2018届二轮复习二项式定理学案（全国通用）

2018届二轮复习二项式定理学案（全国通用）

二项式定理 ‎【考点梳理】‎ ‎1.二项式定理 ‎(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)；‎ ‎(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项；‎ ‎(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.‎ ‎2.二项式系数的性质 性质 性质描述 对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C 增减性 二项式 系数C 当k＜(n∈N*)时，是递增的 当k＞(n∈N*)时，是递减的 二项式系数最大值 当n为偶数时，中间的一项取得最大值 当n为奇数时，中间的两项与取最大值 ‎3.各二项式系数和 ‎(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.‎ ‎(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.‎ ‎【考点突破】‎ 考点一、求展开式中的特定项或特定项的系数 ‎【例1】已知在的展开式中，第6项为常数项.‎ ‎(1)求n；‎ ‎(2)求含x2的项的系数；‎ ‎(3)求展开式中所有的有理项.‎ ‎[解析] (1)通项公式为 Tk＋1＝Cxx－＝Cx.‎ 因为第6项为常数项，所以k＝5时，＝0，即n＝10.‎ ‎(2)令＝2，得k＝2，‎ 故含x2的项的系数是C＝.‎ ‎(3)根据通项公式，由题意 令＝r (r∈Z)，则10－2k＝3r，k＝5－r，‎ ‎∵k∈N，∴r应为偶数.‎ ‎∴r可取2，0，－2，即k可取2，5，8，‎ ‎∴第3项，第6项与第9项为有理项，‎ 它们分别为x2，－，x－2.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1. 二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程 确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求的项.‎ ‎2．求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)‎ A.10 B.20 C.30 D.60‎ ‎[答案] C ‎[解析] 法一　(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，‎ 含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.‎ 其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.‎ 所以x5y2的系数为CC＝30.‎ 法二　(x2＋x＋y)5表示5个x2＋x＋y之积.‎ ‎∴x5y2可从其中5个因式中选两个因式取y，两个取x2，一个取x.因此x5y2的系数为CCC＝30.‎ ‎2．(2x＋)5的展开式中，x3的系数是________(用数字作答).‎ ‎[答案] 10‎ ‎[解析] 由(2x＋)5得Tr＋1＝C(2x)5－r()r＝‎ ‎25－rCx5－，令5－＝3得r＝4，此时系数为10.‎ 考点二、二项式系数的和与各项的系数和问题 ‎【例2】在(2x－3y)10的展开式中，求：‎ ‎(1)二项式系数的和；‎ ‎(2)各项系数的和；‎ ‎(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；‎ ‎(4)奇数项系数和与偶数项系数和；‎ 解　设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*)‎ 各项系数和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9.‎ 由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.‎ ‎(1)二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210.‎ ‎(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.‎ ‎(3)奇数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29，‎ 偶数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29.‎ ‎(4)令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①‎ 令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，‎ 得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②‎ ‎①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，‎ ‎ ∴奇数项系数和为；‎ ‎①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，‎ ‎∴偶数项系数和为.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1. “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m (a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n (a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.‎ ‎2．若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．若二项式的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为(　　)‎ A.－27C B.27C C.－9C D.9C ‎[答案] B ‎[解析] 令x＝1得2n＝512，所以n＝9，故的展开式的通项为Tr＋1＝C(3x2)9－r＝(－1)rC·39－rx18－3r，令18－3r＝0得r＝6，所以常数项为T7＝(－1)6C·33＝27C.‎ ‎2．(1－3x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝(　　)‎ A.1 024 B.243‎ C.32 D.24‎ ‎[答案] A ‎[解析]令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝[1－(－3)]5＝45＝1 024.‎ 考点三、二项式定理的应用 ‎【例3】(1)求证：1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N*)能被31整除；‎ ‎(2)设复数x＝(i是虚数单位)，则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 017＝(　　)‎ A.i B.－i C.－1＋i D.－1－i ‎[答案] (2) C ‎[解析] (1)证明　∵1＋2＋22＋…＋25n－1＝ ‎＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1‎ ‎＝C×31n＋C×31n－1＋…＋C×31＋C－1‎ ‎＝31(C×31n－1＋C×31n－2＋…＋C)，‎ 显然C×31n－1＋C×31n－2＋…＋C为整数，‎ ‎∴原式能被31整除.‎ ‎(2) x＝＝＝－1＋i，‎ Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 017‎ ‎＝(1＋x)2 017－1＝i2 017－1＝i－1.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1. 整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项.而求近似值则应关注展开式的前几项.‎ ‎2．二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式.‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．设a∈Z，且0≤a<13，若512 016＋a能被13整除，则a＝(　　)‎ A.0 B.1 C.11 D.12‎ ‎[答案] D ‎[解析] ∵512 016＋a＝(52－1)2 016＋a＝C·522 016－C·522 015＋C·522 014＋…－C·52＋1＋a能被13整除，且0≤a<13，∴1＋a能被13整除，故a＝12.‎ ‎2．已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C＋…＋C等于(　　)‎ A.63 B.64 C.31 D.32‎ ‎[答案] A ‎[解析] 逆用二项式定理得C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729，即3n＝36，所以n＝6，所以C＋C＋C＋…＋C＝26－C＝64－1＝63.故选A.‎