【数学】2018届一轮复习人教A版第三部分考前调节学案
回扣一集合与常用逻辑用语
基础知识看一看]
一、牢记概念与公式
四种命题的相互关系
二、活用定理与结论
运算性质及重要结论
(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U.
(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
易错易混想一想]
1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集．
2．易混淆0，∅，{0}：0是一个实数；∅是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合．但是0∉∅，而∅⊆{0}．
3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性．在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．
4．遇到A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况．
5．注重数形结合在集合问题中的应用．列举法常借助Venn图解题；描述法常借助数轴 运算，求解时要特别注意端点值．
6．“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否定命题p的结论．
7．要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.
保温训练手不凉]
1．(2017·天津高考)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝( )
A．{2} B．{1,2,4}
C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}
解析：选B A∪B＝{1,2,4,6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝{1,2,4}．
2．“α≠β”是“sin α≠sin β”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 命题“若α≠β，则“sin α≠sin β”等价于命题“若sin α＝sin β，则α＝β”，这个命题显然是假命题，故条件是不充分的；命题“若sin α≠sin β，则α≠β”等价于命题“若α＝β，则sin α＝sin β”，这个命题是真命题，故条件是必要的．因此，“α≠β是sin α≠sin β”的必要而不充分条件．
3．命题p：m>7，命题q：f(x)＝x2＋mx＋9(m∈R)有零点，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 当m>7时，方程x2＋mx＋9＝0的判别式Δ＝m2－36>0，此时f(x)有两个零点；反过 ，当f(x)有零点时，Δ＝m2－36≥0，即m2≥36，不能得知m>7.因此，p是q的充分不必要条件．
4．已知集合A＝{a，b，c}中任意2个不同元素的和的集合为{1,2,3}，则集合A的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是( )
A．{1,2,3} B．{1,2} C．{1,0} D．{0,1,2}
解析：选B 不妨设a
0}，所以M∩N＝{x|00且a≠1)的图象必过定点(0,1)；
②“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；
③过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直的直线方程为3x＋2y－1＝0.
其中所有真命题的序号是________．
解析：①中，当x＝0时，y＝loga1＋1＝1，所以恒过定点(0,1)(也可由y＝logax的图象恒过定点(1,0)，将图象左移1个单位，然后向上平移1个单位，故图象恒过(0,1)点)，所以①为真命题；②中，Δ＝1＋4m，当m>0时，Δ>0，所以②为真命题，其逆否命题也为真命题；③中，直线2x－3y＋4＝0的斜率为，所以和2x－3y＋4＝0垂直的直线斜率为－，因为直线过点(－1,2)，所以所求直线方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0，所以③为真命题．综上真命题有①②③.
答案：①②③
回扣二函__数
基础知识看一看]
一、牢记概念与公式
1．函数的单调性、奇偶性、周期性
(1)单调性是函数在其定义域或定义域某子区间I上的性质．对任意的x1，x2∈I，若x1f(x2)，则称f(x)为I上的减函数．
(2)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数)．
(3)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值：
若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期．
2．指数与对数式的运算公式
am·an＝am＋n；(am)n＝am n；loga(MN)＝logaM＋logaN；loga＝logaM－logaN；logaMn＝nlogaM；alogaN＝N；logaN＝(a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0)．
3．指数函数与对数函数的性质
解析式
y＝ax(a＞0且a≠1)
y＝logax(a＞0且a≠1)
定义域
R
(0，＋∞)
值域
(0，＋∞)
R
图象
关于直线y＝x对称
奇偶性
非奇非偶
非奇非偶
单调性
0＜a＜1时，在R上是减函数；a＞1时，在R上是增函数
0＜a＜1时，在(0，＋∞)上是减函数；a＞1时，在(0，＋∞)上是增函数
二、活用定理与结论
1．抽象函数的周期性与对称性
(1)函数的周期性
①若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期．
②设f(x)是R上的偶函数，且图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期．
③设f(x)是R上的奇函数，且图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，4a是它的一个周期．
(2)函数图象的对称性
①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称．
②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a,0)对称．
③若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．
2．函数图象平移变换的相关结论
(1)把y＝f(x)的图象沿x轴左右平移|c|个单位(c＞0时向左移，c＜0时向右移)得到函数y＝f(x＋c)的图象(c为常数)．
(2)把y＝f(x)的图象沿y轴上下平移|b|个单位(b＞0时向上移，b＜0时向下移)得到函数y＝f(x)＋b的图象(b为常数)．
3．函数图象伸缩变换的相关结论
(1)把y＝f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(a＞1)或缩短(0＜a＜1)到原 的a倍，而横坐标不变，得到函数y＝af(x)(a＞0)的图象．
(2)把y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长(0＜b＜1)或缩短(b＞1)到原 的倍，而纵坐标不变，得到函数y＝f(bx)(b＞0)的图象．
4．确定函数零点的三种常用方法
(1)解方程判定法．若方程易解时用此法．
(2)零点定理法．根据连续函数y＝f(x)满足f(a)·f(b)<0，判断函数在区间(a，b)内存在零点．
(3)数形结合法．尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解．
易错易混想一想]
1．求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义 列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数．列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．
2．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．
3．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．
4．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子 表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．
5．不能准确理解基本初等函数的定义和性质．如函数y＝ax(a>0，a≠1)的单调性忽视字母a的取值讨论，忽视ax>0；对数函数y＝logax(a>0，a≠1)忽视真数与底数的限制条件．
6．易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．
保温训练手不凉]
1．下列函数中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)
解析：选A 由题意知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，只有选项A符合．
2．函数f(x)＝的最大值是( )
A. B. C. D.
解析：选D 首先讨论分母1－x(1－x)的取值范围：1－x(1－x)＝x2－x＋1＝2＋≥.因此，有0<≤.所以f(x)的最大值为.
3．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x
的定义域和值域相同的是( )
A．y＝x B．y＝lg x
C．y＝2x D．y＝
解析：选D 函数y＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．
函数y＝x的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．
函数y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．
函数y＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)．
函数y＝的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.
4．函数f(x)＝的所有零点的和等于( )
A．－2 B．－1 C．0 D．1
解析：选C 令x－2＝0，解得x＝－1；令x－1＝0，解得x＝1.所以函数f(x)存在两个零点1和－1，其和为0.
5．已知f(x)＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B． 4,8)
C．(4,8) D．(1,8)
解析：选B 由已知可得解得4≤a＜8，故选B.
6．已知a＝，b＝2，c＝，则下列关系式中正确的是( )
A．ca>b.
7．若方程f(x)－2＝0在(－∞，0)内有解，则y＝f(x)的图象是( )
解析：选D 方程f(x)－2＝0在(－∞，0)内有解，即函数f(x)的图象与直线y＝2在(－∞，0)内有交点，在各选项中画出直线y＝2，满足在(－∞，0)内有交点的只有选项D.
8．如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数，且函数y＝在区间I
上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫作“缓增区间”．若函数f(x)＝x2－x＋是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为( )
A． 1，＋∞) B． 0， ]
C． 0,1] D． 1， ]
解析：选D 因为函数f(x)＝x2－x＋的对称轴为x＝1，所以函数y＝f(x)在区间 1，＋∞)上是增函数，又当x≥1时，＝x－1＋，函数＝x－1＋在区间 1， ]上单调递减，故“缓增区间”I为 1， ]．
9．已知函数f(x)＝且g(x)＝f(x)－mx－m在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是( )
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
解析：选A g(x)＝f(x)－mx－m在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点就是函数y＝f(x)的图象与函数y＝m(x＋1)的图象有两个交点，在同一直角坐标系内作出函数f(x)＝和函数y＝m(x＋1)的图象，如图，当直线y＝m(x＋1)与y＝－3，x∈(－1,0]和y＝x，x∈(0,1]都相交时00，＝0，∴
ac＝4，c>0，∴＋≥2＝3，当且仅当＝，即a＝6，c＝时等号成立，∴＋的最小值为3.
答案：3
11．已知奇函数f(x)＝的定义域为R，其中y＝g(x)为指数函数，且其图象过点(2,9)，则函数y＝f(x)的解析式为________．
解析：设g(x)＝ax(a>0，a≠1)，则a2＝9，∴a＝3或a＝－3(舍去)，∴g(x)＝3x，∴f(x)＝，又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即＝－，整理得m(3x＋1)＋m(1＋3－x)＝3x＋1＋1＋3－x，∴m＝1(或由f(0)＝0得m＝1)，∴f(x)＝.
答案：f(x)＝
12．设函数y＝f(x)的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1＋x2＝2a时，恒有f(x1)＋f(x2)＝2b，则称点(a，b)为函数y＝f(x)图象的对称中心．研究函数f(x)＝x3＋sin x＋2的某一个对称中心，并利用对称中心的定义，可得到f(－1)＋f＋…＋f＋f(1)＝________.
解析：由题意可得，对于函数f(x)＝x3＋sin x＋2，当x1＋x2＝0时，恒有f(x1)＋f(x2)＝4，所以f(－1)＋f＋…＋f＋f(1)＝4×20＋f(0)＝82.
答案：82
回扣三导数及其应用
基础知识看一看]
一、牢记概念与公式
1．基本导数公式：
(1)c′＝0(c为常数)；
(2)(xm)′＝mxm－1(m∈Q)；
(3)(sin x)′＝cos x；
(4)(cos x)′＝－sin x；
(5)(ax)′＝axln a(a>0且a≠1)；
(6)(ex)′＝ex；
(7)(logax)′ ＝(a>0且a≠1)；
(8)(ln x)′＝.
2．导数的四则运算：
(1)(u±v)′＝u′±v′；
(2)(uv)′＝u′v＋uv′；
(3)′＝(v≠0)．
二、活用定理与结论
1．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．
2．函数的单调性与导数的关系
在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．
3．导数研究函数单调性的一般步骤
①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0即可；若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．
4．求函数y＝f(x)在某个区间上的极值的步骤
第一步：求导数f′(x)；
第二步：求方程f′(x)＝0的根x0；
第三步：检查f′(x)在x＝x0左右的符号：
①左正右负⇔f(x)在x＝x0处取极大值；
②左负右正⇔f(x)在x＝x0处取极小值．
5．求函数y＝f(x)在区间 a，b]上的最大值与最小值的步骤
第一步：求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值(极大值或极小值)；
第二步：将y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
易错易混想一想]
1．如果已知f(x)为减函数求参数取值范围，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要验证f′(x)是否恒等于0.增函数亦如此．
2．导数为零的点并不一定是极值点，例如函数f(x)＝x3，有f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．
3．求曲线的切线方程时，要注意题目条件中的已知点是否为切点．
保温训练手不凉]
1．已知函数f(x)＝cos x，则f′(x)＝( )
A. B.
C. D.－
解析：选D f′(x)＝－cos x－＝－.
2．函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则( )
A．p是q的充分必要条件
B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
解析：选C 设f(x)＝x3，f′(0)＝0，但是f(x)是单调增函数，在x＝0处不存在极值，故若p则q是一个假命题，由极值的定义可得若q则p是一个真命题．故选C.
3．一直角坐标系中，函数y＝ax2－x＋与y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)的图象不可能的是( )
解析：选B 分两种情况讨论：
当a＝0时，函数为y＝－x与y＝x，图象为D，故D有可能；当a≠0时，函数y＝ax2－x＋的对称轴为x＝，对函数y＝a2x3－2ax2＋x＋a求导得y′＝3a2x2－4ax＋1＝(3ax－1)(ax－1)，令y′＝0，则x1＝，x2＝，所以对称轴x＝介于两个极值点x1＝，x2＝之间，A，C满足，B不满足，所以B不可能．故选B.
4．x∈ －2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A． －5，－3] B.
C． －6，－2] D． －4，－3]
解析：选C 当x∈(0,1]时，得a≥－33－42＋，令t＝，则t∈ 1，＋∞)，a≥－3t3－4t2＋t，令g(t)＝－3t3－4t2＋t，t∈ 1，＋∞)，则g′(t)＝－9t2－8t＋1＝－(t＋1)(9t－1)，显然在 1，＋∞)上，g′(t)<0，g(t)单调递减，所以g(t)max＝g(1)＝－6，因此a≥－6；同理，当x∈ －2,0)时，得a≤－33－42＋，令m＝，则m∈，a≤－3
m3－4m2＋m，令g(m)＝－3m3－4m2＋m，m∈，则g′(m)＝－9m2－8m＋1＝－(m＋1)(9m－1)．显然在(－∞，－1]上g′(m)≤0，在上，g′(m)>0，所以g(m)min＝g(－1)＝－2.所以a≤－2.由以上两种情况得－6≤a≤－2，显然当x＝0时也成立．故实数a的取值范围为 －6，－2]．
5．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．
解析：由题意有y′＝－e－x，设P(m，n)，直线2x＋y＋1＝0的斜率为－2，则由题意得－e－m＝－2，解得m＝－ln 2，所以n＝e－(－ln 2)＝2.
答案：(－ln 2,2)
6．函数f0(x)＝(x>0)，设fn(x)为fn－1(x)的导数，n∈N .则2f1＋f2＝________.
解析：由已知，得f1(x)＝f0′(x)＝′＝－，于是f2(x)＝f1′(x)＝′－′＝－－＋，所以f1＝－，f2＝－＋.故2f1＋f2＝－1.
答案：－1
回扣四不_等_式
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一、牢记概念与公式
1．不等式的性质
(1)a＞b，b＞c⇒a＞c；
(2)a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；
(3)a＞b⇒a＋c＞b＋c；
(4)a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；
(5)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
(6)a＞b＞0，n∈N，n＞1⇒an＞bn，＞.
2．简单分式不等式的解法
(1)＞0⇔f(x)g(x)＞0，＜0⇔f(x)g(x)＜0.
(2)≥0⇔≤0⇔
(3)对于形如＞a(≥a)的分式不等式要采取：移项—通分—化乘积的方法转化为(1)或(2)的形式求解．
3．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a的解集：
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|a
{x|x>a或x<－a}
{x∈R|x≠0}
R
(2)|ax＋b|≤c、|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解．
②利用零点分段法求解．
③构造函数，利用函数的图象求解．
二、活用定理与结论
1．常用的六个重要不等式
(1)|a|≥0，a2≥0(a∈R)．
(2)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(3)≥(a>0，b>0)．
(4)ab≤2(a，b∈R)．
(5) ≥≥(a>0，b>0)．
(6)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
2．可行域的确定
“线定界，点定域”，即先画出与不等式对应的方程所表示的直线，然后代入特殊点的坐标，根据其符号确定不等式所表示的平面区域．
3．一元二次不等式的恒成立问题
(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的条件是
(2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的条件是
4．基本不等式求最值问题
若a，b∈R＋，则≥，当且仅当“a＝b”时取等号．
应用基本不等式求最值应注意“一正、二定、三相等”．
易错易混想一想]
1．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错．
2．解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论．
3．应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把≤0直接转化为f(x)·g(x)≤0，而忽视g(x)≠0.
4．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)＝＋的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函数y＝x＋(x<0)时应先转化为正数再求解．
5．解绝对值不等式易出现解集不全或错误．对于含绝对值的不等式不论是分段去绝对值号还是利用几何意义，都要不重不漏．
6．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解．
7．求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如是指已知区域内的点(x，y)与点(－2,2)连线的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指已知区域内的点(x，y)到点(1,1)的距离的平方等．
保温训练手不凉]
1．已知－1－a3>－a B．－a>a2>－a3
C．－a3>a2>－a D．a2>－a>－a3
解析：选B ∵－1(－a)2>－a3，即－a>a2>－a3.
2．直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的公共点有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
解析：选B 直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的位置关系如图所示，故直线与此区域的公共点有1个．
3．已知a，b∈R，且ab＝50，则|a＋2b|的最小值是( )
A．20 B．150
C．75 D．15
解析：选A 依题意得，a，b同号，于是有|a＋2b|＝|a|＋|2b|≥2＝2＝2＝20(当且仅当|a|＝|2b|时取等号)，因此|a＋2b|的最小值是20.
4．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组确定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝·的最大值为( )
A．3 B．4
C．3 D．4
解析：选B 画出区域D，如图所示，而z＝·＝x＋y，故y＝－x＋z，令l0：y＝－x，平移直线l0，相应直线过点(，2)时，截距z有最大值，故zmax＝×＋2＝4.
5．若对任意正实数x，不等式≤恒成立，则实数a的最小值为( )
A．1 B.
C. D.
解析：选C 因为≤，即a≥，而＝≤(当且仅当x＝1时取等号)，所以a≥，故a的最小值为.
6．(2017·北京高考)若x，y满足则x＋2y的最大值为( )
A．1 B．3
C．5 D．9
解析：选D 不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，是以点A(1,1)，B(3,3)，C(3，－1)为顶点的三角形及其内部．
设z＝x＋2y，当直线z＝x＋2y经过点B时，z取得最大值，所以zmax＝3＋2×3＝9.
7．不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集是________．
解析：f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝
当－11恒成立．
所以不等式的解集为{x|x≥1}．
答案：{x|x≥1}
8．若函数f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图象恒在x轴上方，则a的取值范围是________．
解析：函数图象恒在x轴上方，即不等式(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3>0对于一切x∈R恒成立．
(1)当a2＋4a－5＝0时，有a＝－5或a＝1.若a＝－5，不等式化为24x＋3>0，不满足题意；若a＝1，不等式化为3>0，满足题意；
(2)当a2＋4a－5≠0时，应有解得1B⇔sin A>sin B.
7．要特别注意零向量带 的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行；λ0＝0(λ∈R)，而不是等于0；0与任意向量的数量积等于0，即0·a＝0；但不说0与任意非零向量垂直．
8．当a·b＝0时，不一定得到a⊥b，当a⊥b时，a·b＝0；a·b＝c·b，不能得到a＝c，消去律不成立；(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等；(a·b)·c与c共线，而a·(b·c)与a共线．
9．两向量夹角的范围为 0，π]，向量的夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价．
保温训练手不凉]
1．已知cos 2α＝，则sin2α＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由倍角公式，得sin2α＝(1－cos 2α)．
又cos 2α＝，所以sin2α＝·＝.
2．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为( )
A．75° B．60°
C．45° D．30°
解析：选B 依题意，3＝×4×3sin C，解得sin C＝.故角C为60°.
3．已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 因为角α的终边上一点的坐标为，所以角α在第四象限，tan α＝＝－，故α的最小正值为.
4．设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为( )
A．(3,1) B．(1，－1)
C．(3,1)或(1，－1) D．无数多个
解析：选C 设P(x，y)，由点P在直线AB上，且||＝2||得＝2，或＝－2.而＝(2,2)，＝(x－2，y)，由(2,2)＝2(x－2，y)，解得x＝3，y＝1，此时点P的坐标为(3,1)；由(2,2)＝－2(x－2，y)，解得x＝1，y＝－1，此时点P的坐标为(1，－1)．综上所述，点P的坐标为(3,1)或(1，－1)．
5．若函数f(x)＝1－2sin2＋sin，则f(x)图象的一个对称中心为( )
A. B.
C. D.
解析：选C f(x)＝cos＋sin＝sin＝cos 2x，由题设知2x＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，当k＝0时，对称中心为.
6．已知在三角形ABC中，AB＝AC，BC＝4，∠BAC＝120°，BE＝3EC，若P是BC边上的动点，则·的取值范围是( )
A． －1,3] B．
C． D．
解析：选C 以BC的中点D为坐标原点，BC所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则B(－2,0)，C(2,0)，A，E(1,0)．设P(x,0)，x∈ －2,2]，所以·＝·＝x＋∈.
7．若函数y＝tan(ω>0)的图象向右平移个单位后，与函数y＝tan的图象重合，则ω的最小值为( )
A. B. C. D.
解析：选D 函数y＝tan(ω>0)的图象向右平移个单位后，得y＝tan的图象，由题知tan＝tan，即－ω＋kπ＝(k∈Z)，解得ω＝6k＋(k∈Z)．又因ω
>0，故ω的最小值为.
8．为得到函数y＝sin的图象，可将函数y＝sin x的图象向左平移m个单位长度，或向右平移n个单位长度(m，n均为正数)，则|m－n|的最小值是________．
解析：由题意可知，m＝＋2k1π，k1为非负整数，
n＝－＋2k2π，k2为正整数，
∴|m－n|＝＋2(k1－k2)π，
∴当k1＝k2时，|m－n|min＝.
答案：
9．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．
解析：∵f(x)在区间上具有单调性，且f＝f，∴x＝，x＝均不是f(x)的极值点，其极值应在x＝＝处取得，∵f＝－f，∴x＝＝，即应是与对称轴x＝相邻的对称中心，∴T＝4×＝π.
答案：π
10.已知圆O的半径为2，圆O的一条弦AB长为3，P是圆O上任意一点，点Q满足＝，则·的取值范围是________．
解析：·＝·(＋)＝·(＋3)＝·(＋3＋3)
＝2＋3·＋3·，
由已知得AB＝3，OB＝OA＝OP＝2.
〈，〉＝π－∠ABO，
由余弦定理得cos∠ABO＝＝.
∴cos〈，〉＝－，·∈ －6,6]．
∴·＝9－＋3·∈
答案：
回扣六数列与数学归纳法
基础知识看一看]
一、牢记概念与公式
等差数列、等比数列
等差数列
等比数列
概念
an－an－1＝d，n≥2
＝q，n≥2
通项公式
an＝a1＋(n－1)d
an＝a1qn－1(q≠0)
前n项和
Sn＝＝na1＋d
(1)q≠1，Sn＝＝
(2)q＝1，Sn＝na1
二、活用定理与结论
1．等差、等比数列的常用性质
等差数列
等比数列
性质
(1)若m，n，p，q∈N ，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq
(2)an＝am＋(n－m)d
(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列
(1)若m，n，p，q∈N ，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq
(2)an＝amqn－m
(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列(Sn≠0)
2．判断等差数列的常用方法
(1)定义法：
an＋1－an＝d(常数)(n∈N )⇔{an}是等差数列．
(2)通项公式法：
an＝pn＋q(p，q为常数，n∈N )⇔{an}是等差数列．
(3)中项公式法：
2an＋1＝an＋an＋2(n∈N )⇔{an}是等差数列．
(4)前n项和公式法：
Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N )⇔{an}是等差数列．
3．判断等比数列的三种常用方法
(1)定义法：
＝q(q是不为0的常数，n∈N )⇔{an}是等比数列．
(2)通项公式法：
an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N )⇔{an}是等比数列．
(3)中项公式法：
a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N )⇔{an}是等比数列．
4．证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N )时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N )时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0 的所有正整数n都成立．
易错易混想一想]
1．已知数列的前n项和求an，易忽视n＝1的情形，直接用Sn－Sn－1表示．事实上，当n＝1时，a1＝S1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.
2．易混淆几何平均数与等比中项，正数a，b的等比中项是±.
3．等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算．如等差数列{an)与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求时，无法正确赋值求解．
4．易忽视等比数列中公比q≠0，导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解．
5．运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q＝1和q≠1两种情况进行讨论．
6．对于通项公式中含有(－1)n的一类数列，在求Sn时，切莫忘记讨论n的奇偶性；遇到已知an＋1－an－1＝d或＝q(n≥2)，求{an}的通项公式，要注意分n的奇偶性讨论．
7．数列相关问题中，切忌忽视公式中n的取值范围，混淆数列的单调性与函数的单调性．如数列{an}的通项公式an＝n＋，求最小值，既要考虑函数f(x)＝x＋(x>0)的单调性，又要注意n的取值限制条件．
8．求等差数列{an}前n项和Sn的最值，易混淆取得最大或最小值的条件．
9．数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意：
必须利用归纳假设作基础；解题时要搞清从n＝k到n＝k＋1的过程中增加了哪些项或减少了哪些项．
保温训练手不凉]
1．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a3＝6，则S4的值为( )
A．12 B．11 C．10 D．9
解析：选A 由题意得S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝2(a2＋a3)＝12.
2．设{an}是等比数列，则“a10时，解得q>1，此时数列{an}是递增数列，当a1<0时，解得00，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．
解析：∵数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8>0，∴a8>0.又a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a9<0.∴当n＝8时，其前n项和最大．
答案：8
回扣七立_体_几_何
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一、牢记概念与公式
1．简单几何体的表面积和体积
(1)S直棱柱侧＝c·h(c为底面的周长，h为高)．
(2)S正棱锥侧＝ch′(c为底面周长，h′为斜高)．
(3)S正棱台侧＝(c′＋c)h′(c与c′分别为上、下底面周长，h′为斜高)．
(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl(r为底面半径，l为母线长)，
S圆锥侧＝πrl(同上)，
S圆台侧＝π(r′＋r)l(r′，r分别为上、下底面的半径，l为母线长)．
(5)体积公式
V柱＝S·h(S为底面面积，h为高)，
V锥＝S·h(S为底面面积，h为高)，
V台＝(S＋＋S′)h(S、S′为上、下底面面积，h为高)．
(6)球的表面积和体积
S球＝4πR2，V球＝πR3.
2．“向量法”求解“空间角”
(1)向量法求异面直线所成的角
若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所成的角为θ，则cos θ＝|cos〈a，b〉|＝.
(2)向量法求线面所成的角
求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈n，a〉|＝.
(3)向量法求二面角
求出二面角αlβ的两个半平面α与β的法向量n1，n2，若二面角αlβ所成的角θ为锐角，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝；若二面角αlβ所成的角θ为钝角，则cos θ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－.
二、活用定理与结论
1．把握两个规则
(1)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样．画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．
(2)画直观图的规则
画直观图时，与坐标轴平行的线段仍平行，与x轴、z轴平行的线段长度不变，与y轴平行的线段长度为原 的一半．
2．线、面位置关系判定的六种方法
(1)线面平行 ⇒a∥α，⇒a∥α，
⇒a∥α.
(2)线线平行 ⇒a∥b，⇒a∥b，
⇒a∥b，⇒c∥b.
(3)面面平行 ⇒α∥β，⇒α∥β，
⇒α∥γ.
(4)线线垂直 ⇒a⊥b.
(5)线面垂直 ⇒l⊥α，⇒a⊥β，
⇒a⊥β，⇒b⊥α.
(6)面面垂直 ⇒α⊥β，⇒α⊥β.
易错易混想一想]
1．混淆“点A在直线a上”与“直线a在平面α内”的数学符号关系，应表示为A∈
a，a⊂α.
2．在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线．在还原空间几何体实际形状时一般是以正视图和俯视图为主．
3．易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数.
4．不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m⊂α的限制条件．
5．注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系．对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系．
6．几种角的范围
两条异面直线所成的角0°<α≤90°；
直线与平面所成的角0°≤α≤90°；
斜线与平面所成的角0°<α<90°；
二面角0°≤α≤180°；
两条相交直线所成的角(夹角)0°<α≤90°；
直线的倾斜角0°≤α≤180°；
两个向量的夹角0°≤α≤180°；
锐角0°<α<90°.
7．空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，不能根据几何体判断二面角的范围，忽视法向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错．
保温训练手不凉]
1．已知直线a，b和平面α满足a⊥b，a∥α，则直线b与平面α的位置关系是( )
A．b⊂α B．b∥α
C．b⊂α或b∥α D．以上都不对
解析：选D b与α可能相交，可能平行，也可能b在α内．
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )
A.π B.π C.π D．12π
解析：选A 由三视图可知，该几何体是由底面半径为2、高为2的圆柱和半径为1的球的组合体，则该几何体的体积为π×22×2＋×π×13＝π.
3．已知两相异直线a，b和不重合平面α，β，则a∥b的一个充分条件是( )
A．a∥α，b∥α B．a∥α，b∥β，α∥β
C．a⊥α，b⊥β，α∥β D．α⊥β，a⊥α，b∥β
解析：选C a∥α，b∥α时，a与b可相交可异面也可平行，故A错；a∥α，b∥β，α∥β时，a与b可相交可异面也可平行，故B错；由α⊥β，a⊥α得，a∥β或a⊂β，又b∥β，此时a与b可平行也可异面，D错；可得a∥b.
4．已知空间中有不共线的三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( )
A．AB∥CD
B．AB与CD异面
C．AB与CD相交
D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交
解析：选D 若三条线段共面，则直线AB与CD相交或平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线．
5.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB1与平面AB1C1所成的角为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 记点B到平面AB1C1的距离为d，BB1与平面AB1C1所成的角为θ，连接BC1，利用等体积法，VABB1C1＝VBAB1C1，即×××2×3＝d××2×2，得d＝
，则sin θ＝＝，所以θ＝.
6．如图是某几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间的距离的最大值为( )
A．4 B．5
C．3 D．3
解析：选D 由三视图可得该几何体由一个平放的直三棱柱与一个三棱锥组合而成，其直观图如图所示．其中，直三棱柱的底面是腰长为3的等腰直角三角形，高为3；三棱锥的底面A1B1C1是腰长为3的等腰直角三角形，三棱锥的高B1D为1.由图可知，该几何体任意两个顶点间的距离的最大值为AC1或A1C，且最大值为＝3，故选D.
7．已知二面角αlβ为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD＝135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为________．
解析：如图，过点D作DE⊥α于点E，DF⊥l于点F，再过点E作l的平行线与过点C作l的垂线交于点G，连接EF，DG，则∠DFE为二面角αlβ的平面角，易知四边形EFCG为矩形．由AB⊥l知，AB∥EF∥CG，∴∠DCG为AB与CD所成的角．设EF＝1，则DF＝2，CG＝1.又由条件知∠DCF＝45°，且DF⊥l，∴在Rt△DFC中，DC＝2，∴在Rt△DGC中，cos∠DCG＝＝＝.
答案：
8．已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上．则这个球的表面积是________．
解析：根据三视图可知，该几何体是一个正三棱柱，底面为边长为2的正三角形，高为2，由空间几何体的所有顶点都在一个球面上，设球半径为R，则R2＝2＋1，解得R2＝，故球的表面积S＝4πR2＝.
答案：
9．设α和β为两个不重合的平面，给出下列命题：
(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；
(3)设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．
其中真命题的序号是________．
解析：由(1)知α内两条相交直线分别平行于平面β，则两条相交直线确定的平面α平行于平面β，故(1)为真命题；由线面平行的判定定理知，(2)为真命题；如图，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，但不一定有α⊥β，故(3)为假命题；直线l与平面α垂直的充分必要条件是l与α内的两条相交直线垂直，故(4)为假命题．
综上所述，真命题的序号为(1)(2)．
答案：(1)(2)
10．如图，A，B，C，D为空间中的四个不同点．在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝.等边三角形ADB以AB为轴运动．当平面ADB⊥平面ABC时，CD＝________.
解析：取AB的中点E，连接DE，CE.
因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，故DE⊥CE.
由已知可得DE＝，EC＝1，
在Rt△DEC中，CD＝＝2.
答案：2
回扣八解_析_几_何
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一、牢记概念与公式
1．直线方程的五种形式
(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．
(2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．
(3)两点式：＝(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．
(4)截距式：＋＝1(a，b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．
(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)．
2．点到直线的距离及两平行直线间的距离
(1)点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d＝；
(2)两平行线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝.
3．圆的方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
(3)圆的直径式方程：(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0(圆的直径的两端点是A(x1，y1)，B(x2，y2))．
4．圆锥曲线定义、标准方程和性质
名称
椭圆
双曲线
抛物线
定义
|PF1|＋|PF2|＝
2a(2a>|F1F2|)
||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)
|PF|＝|PM|点F不在直线l上，PM⊥l于M
标准方程
＋＝1
(a>b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
y2＝2px
(p>0)
图形
几何性质
轴
长轴长2a，短轴长2b
实轴长2a，虚轴长2b
——
离心率
e＝
＝
(01)
e＝1
渐近线
——
y＝±x
——
二、活用定理与结论
1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系
(1)平行⇔A1B2－A2B1＝0(斜率相等)且B1C2－B2C1≠0(在y轴上截距不相等)；
(2)相交⇔A1B2－A2B1≠0；
(3)重合⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0；
(4)垂直⇔A1A2＋B1B2＝0.
2．直线与圆位置关系的判定方法
(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0⇔相交，Δ<0⇔相离，Δ＝0⇔相切．
(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则dr⇔相离，d＝r⇔相切．(主要掌握几何方法)．
3．圆与圆的位置关系
已知两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，则
(1)当|O1O2|＞r1＋r2时，两圆外离；
(2)当|O1O2|＝r1＋r2时，两圆外切；
(3)当|r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2时，两圆相交；
(4)当|O1O2|＝|r1－r2|时，两圆内切；
(5)当0≤|O1O2|＜|r1－r2|时，两圆内含．
4．直线与圆锥曲线的位置关系通常转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的情况的讨论 研究．还可以利用数形结合的方法 解决．
5．直线与圆锥曲线相交时，弦长问题通常利用设而不求、整体代入等思想方法，当直线(斜率为k)与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝·|x1－x2|＝·.
易错易混想一想]
1．不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错．
2．易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为＋＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y－y0＝k(x－x0)等．
3．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0.
4．在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，要注意有可能这两条直线重合；在立体几何中一般提到的两条直线可理解为它们不重合．
5．求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式，导致错解．
6．圆的标准方程中误把r2当成r；圆的一般方程中忽视方程表示圆的条件．
7．易误认为两圆相切即为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解．
8．满足|PF1|＋|PF2|＝2a的点P的轨迹不一定是椭圆．当2a>|F1F2|时，点P的轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，点P的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，点P的轨迹不存在．
9．易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a，b，c三者之间的关系，导致计算错误．
10．已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解．
11．直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制．尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求解交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ>0”下进行．
保温训练手不凉]
1．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是( )
A．1 B．－1 C．－2或－1 D．－2或1
解析：选D 由题意得a＋2＝，解得a＝－2或a＝1.
2．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
解析：选B 由题易知圆O1的圆心O1(1,0)，半径r1＝1，圆O2的圆心O2(0,2)，半径r2＝2，故两圆圆心距|O1O2|＝，而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，则有r2－r1<|O1O2|0，b>0)的两个焦点，若F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( )
A. B．2 C. D．3
解析：选B 依题意得tan 60°＝，则＝，因此该双曲线的离心率e＝＝2.
5．平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3，－1)，C(2，－3)两点，D点在直线3x－y＋1＝0上移动，则B点的轨迹方程为( )
A．3x－y－20＝0 B．3x－y－10＝0
C．3x－y－9＝0 D．3x－y－12＝0
解析：选A 设AC的中点为O，则O点坐标为.设B(x，y)关于点O的对称点为(x0，y0)，
即D(x0，y0)，则
由3x0－y0＋1＝0得3x－y－20＝0.
6．已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选D 双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦点在x轴上．设双曲线方程为x2－＝λ(λ≠0)，即－＝1，则a2＝λ，b2＝3λ，∵焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，∴c＝4，∴c2＝a2＋b2＝4λ＝16，解得λ＝4，∴双曲线方程为－＝1.
7．已知A，B为抛物线C：y2＝4x上的不同两点，F为抛物线C的焦点，若＝－4
，则直线AB的斜率为( )
A．± B．±
C．± D．±
解析：选D ∵＝－4，∴||＝4||.设|BF|＝t，则|AF|＝4t，如图所示，点A，B在抛物线C的准线上的射影分别为A1，B1，过A作BB1的垂线，交线段B1B的延长线于点M，则|BM|＝|AA1|－|BB1|＝|AF|－|BF|＝3t.又|AB|＝|AF|＋|BF|＝5t，∴|AM|＝＝4t，∴tan∠ABM＝.由对称性可知，这样的直线AB有两条，其斜率为±.
8．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆＋＝1的两个焦点，若椭圆上一点P满足|PF1|＋|PF2|＝4，则椭圆的离心率e＝________.
解析：由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝4，所以2a＝4，解得a＝2，又c＝1，所以e＝＝.
答案：
9．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直线l过定点A(1,0)，且与圆相切，则直线l的方程为________．
解析：①若直线l的斜率不存在，即直线l的方程是x＝1，符合题意；
②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.由题意知圆心(3,4)到直线l的距离等于半径2，即＝2，解得k＝.因此所求直线l的方程是3x－4y－3＝0.
综上可知，直线l的方程是x＝1或3x－4y－3＝0.
答案：x＝1或3x－4y－3＝0
10．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为________．
解析：由题不妨设A在第一象限，联立y＝x－3和y2＝4x可得A(9,6)，B(1，－2)．而抛物线的准线方程是x＝－1，所以|AP|＝10，|QB|＝2，|PQ|＝8，故S梯形APQB＝(|AP|＋|QB|)·|PQ|＝48.
答案：48
回扣九复数、计数原理、概率、随机变量及其分布
基础知识看一看]
一、牢记概念与公式
1．概率的计算公式
(1)古典概型的概率计算公式
P(A)＝；
(2)互斥事件的概率计算公式
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
(3)对立事件的概率计算公式
P()＝1－P(A)．
2．排列、组合数公式
(1)排列数公式
A＝n(n－1)…(n－m＋1)＝.
(2)组合数公式
C＝＝＝.
3．两点分布与二项分布的均值、方差
均值
方差
变量X服从两点分布
E(X)＝p
D(X)＝p(1－p)
X～B(n，p)
E(X)＝np
D(X)＝np(1－p)
二、活用定理与结论
1．二项式定理的四个基本问题
(1)二项式定理
(a＋b)n＝Canb0＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn.
(2)通项与二项式系数
Tr＋1＝Can－rbr，其中C(r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．
(3)各二项式系数之和
①C＋C＋C＋…＋C＝2n.
②C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1.
(4)二项式系数的性质
①C＝C，C＋C＝C.
②二项式系数最值问题
当n为偶数时，中间一项即第＋1项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项即第，项的二项式系数，相等且最大．
2．复数的四则运算法则
①(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i；
②(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i；
③(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)．
3．复数的几个常见结论
(1)(1±i)2＝±2i；
(2)＝i，＝－i；
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z)；
(4)ω＝－±i，且ω0＝1，ω2＝，ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.
易错易混想一想]
1．应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．
2．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
3．二项式(a＋b)n与(b＋a)n的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在遇到类似问题时，要注意区分．还要注意二项式系数与项的系数的区别与联系，同时明确二项式系数最大项与展开式系数最大项的不同．
4．复数z为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0(z＝a＋bi(a，b∈R))．还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧．
保温训练手不凉]
1．设复数z满足i(1＋z)＝2＋i，则|z|＝( )
A. B. C．2 D．1
解析：选C 因为z＝－1＝＝－2i，所以|z|＝|－2i|＝2，故选C.
2.10的展开式中含x的正整数指数幂的项数是( )
A．0 B．2 C．4 D．6
解析：选B 二项展开式的通项为Tr＋1＝C()10－r·r＝C(－1)rx，若展开式中含x的正整数指数幂，则∈N ，且0≤r≤10，r∈N，所以r＝2或0.即共有两项，故选B.
3．若m的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数为( )
A．9 B．18 C．21 D．27
解析：选C 因为展开式中二项式系数之和为2m，所以2m＝128，m＝7，所以m＝7的展开式的通项为Tr＋1＝C(3x)7－rr＝C(－1)r37－rx，令7－＝－3，解得r＝6，故展开式中的系数为3C＝21.
4．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则( )
A．p1
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