2018届二轮复习 立体几何 学案（全国通用）

2018届二轮复习 立体几何 学案（全国通用）

专题04 立体几何 ‎1．（2017新课标全国Ⅰ理科）如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且.‎ ‎（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A−PB−C的余弦值.‎ 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 由（1）及已知可得，，，.‎ 所以，，，.‎ 设是平面的法向量，则 即可取.‎ 设是平面的法向量，则 即可取.‎ 则，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.学@科网 ‎2．（2017全国2卷理科）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，E是PD的中点．‎ ‎（1）证明：直线平面PAB；‎ ‎（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求二面角的余弦值．‎ ‎【解析】（1）取的中点，连结，．‎ 因为是的中点，所以∥，，由得∥，‎ 又，所以，四边形是平行四边形，∥．‎ 又平面，平面，故平面．‎ ‎（2）由已知得，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 所以，，即．①‎ 又M在棱PC上，设，则．②‎ 由①②解得(舍去)，．‎ 所以，从而．‎ 设是平面ABM的法向量，则即 所以可取．于是，‎ 因此二面角的余弦值为．‎ ‎【名师点睛】（1）求解本题要注意两点：①两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，②利用方程思想进行向量运算，要认真细心、准确计算．‎ ‎（2）设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与互补或相等，故有|cos θ|＝|cos|=．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．‎ ‎3.（2017全国3卷理科）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．‎ ‎（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；‎ ‎（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.‎ 又，所以，‎ 故.‎ 所以平面ACD⊥平面ABC.‎ ‎（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.则.‎ 设是平面DAE的法向量，则即 可取.‎ 设是平面AEC的法向量，则同理可取.‎ 则.‎ 所以二面角D-AE-C的余弦值为.‎ ‎【名师点睛】（1）求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算时，要认真细心，准确计算.学科/网[来源: ]‎ ‎（2）设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与互补或相等，故有.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.‎ ‎4．如图，在四棱锥PABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.‎ ‎(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；‎ ‎(2)若二面角PCDA的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．‎ ‎【解析】(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行．如图，延长AB，DC相交于点M(M∈平面PAB)，点M即为所求的一个点．‎ 理由如下：[来源: ]‎ 由已知，知BC∥ED，且BC＝ED，‎ 所以四边形BCDE是平行四边形，从而CM∥EB. ‎ 又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，‎ 所以CM∥平面PBE.‎ 设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2，作Ay⊥平面PAD，以A为原点，以，的方向分别为x轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,1,0)，E(1,0,0)，‎ 所以＝(1,0，－2)，＝(1,1,0)，＝(0,0,2)．‎ 设平面PCE的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 由得 令x＝2，则n＝(2，－2,1)．[来源: ]‎ 设直线PA与平面PCE所成角为α，‎ 则sin α＝＝＝，‎ 所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.‎ ‎5．如图，在三棱柱ABC A1B‎1C1中，已知AB⊥侧面BB‎1C1C，AB＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝.‎ ‎(1)求证：BC1⊥平面ABC；‎ ‎(2)设＝λ (0≤λ≤1)，且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．‎ 故BC2＋BC＝CC，‎ 所BC⊥BC1，而BC∩AB＝B，‎ 所以BC1⊥平面ABC.‎ ‎(2)由(1)可知，AB，BC，BC1两两垂直．以B为原点，BC，BA，BC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．‎ 则B(0,0,0)，A(0,1,0)，B1(－1，0，)，C(1,0,0)，C1(0,0，)．‎ 所以＝(－1,0, )，‎ 所以＝(－λ，0, λ)，E(1－λ，0, λ)，‎ 则＝(1－λ，－1，λ)，＝(－1，－1，)．‎ 设平面AB1E的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则即，‎ 令z＝，则x＝，y＝，‎ 故n＝是平面AB1E的一个法向量．‎ 因为AB⊥平面BB‎1C1C，‎ 所以＝(0,1,0)是平面BB1E的一个法向量，‎ 所以|cos〈n，〉|＝＝＝.‎ 两边平方并化简得2λ2－5λ＋3＝0，‎ 所以λ＝1或λ＝(舍去)．故λ的值为1.‎