【数学】2018届一轮复习人教A版第2章第10节变化率与导数、导数的计算学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第2章第10节变化率与导数、导数的计算学案

第十节　变化率与导数、导数的计算 ‎1．导数的概念 ‎(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：‎ ‎①定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′，即f′(x0)＝＝.‎ ‎②几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．‎ ‎(2)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．‎ ‎2．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝xn(n∈Q*)‎ f′(x)＝n·xn－1‎ f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax f′(x)＝axln_a(a＞0)‎ f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ ‎3.导数的运算法则 ‎(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；‎ ‎(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；‎ ‎(3)′＝(g(x)≠0)．‎ ‎4．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．(　　)‎ ‎(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．(　　)‎ ‎(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．(　　)‎ ‎(4)若f(x)＝e2x，则f′(x)＝e2x.(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×‎ ‎2．(教材改编)有一机器人的运动方程为s(t)＝t2＋(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为(　　)‎ A.　　　　 B.　　　　‎ C.　　　　 D. D　[由题意知，机器人的速度方程为v(t)＝s′(t)＝2t－，故当t＝2时，机器人的瞬时速度为v(2)＝2×2－＝.]　‎ ‎3．已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．‎ ‎3　[因为f(x)＝(2x＋1)ex，‎ 所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，‎ 所以f′(0)＝3e0＝3.]‎ ‎4．曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．‎ ‎5x＋y＋2＝0　[∵y′＝－5ex，∴所求曲线的切线斜率k＝y′＝－5e0＝－5，∴切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.]‎ ‎5．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________. 【导学号：51062072】‎ ‎1　[∵f′(x)＝3ax2＋1，‎ ‎∴f′(1)＝3a＋1.‎ 又f(1)＝a＋2，‎ ‎∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．‎ ‎∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝‎3a＋1，解得a＝1.]‎ 导数的计算 ‎　求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝exln x；‎ ‎(2)y＝x；‎ ‎(3)y＝x－sincos；‎ ‎(4)y＝ln(2x－9)．‎ ‎[解]　(1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋ex·＝ex.4分 ‎(2)∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－.6分 ‎(3)∵y＝x－sin x，∴y′＝1－cos x．10分 ‎(4)令u＝2x－9，y＝ln u，‎ 则y′x＝y′u·u′x.‎ 因此y′＝·(2x－9)′＝.15分 ‎[规律方法]　1.熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错．‎ ‎2．如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．‎ ‎3．复合函数求导，应先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理．‎ ‎[变式训练1]　(1)f(x)＝x(2 017＋ln x)，若f′(x0)＝2 018，则x0等于(　　)‎ A．e2　　　　 B．1　　　　‎ C．ln 2　　　　 D．e ‎(2)已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．‎ ‎(1)B　(2)3　[(1)f′(x)＝2 017＋ln x＋x×＝2 018＋ln x，故由f′(x0)＝2 018，得2 018＋ln x0＝2 018，则ln x0＝0，解得x0＝1.‎ ‎(2)f′(x)＝a＝a(1＋ln x)．‎ 由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.]‎ 导数的几何意义 角度1　求切线方程 ‎　已知曲线y＝x3＋.‎ ‎(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；‎ ‎(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程. 【导学号：51062073】‎ ‎[解]　(1)根据已知得点P(2,4)是切点且y′＝x2，‎ ‎∴在点P(2,4)处的切线的斜率为y′＝4，3分 ‎∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，‎ 即4x－y－4＝0.6分 ‎(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，‎ 则切线的斜率为y′＝x，‎ ‎∴切线方程为y－＝x(x－x0)，‎ 即y＝x·x－x＋.9分 ‎∵点P(2,4)在切线上，‎ ‎∴4＝2x－x＋，‎ 即x－3x＋4＝0，12分 ‎∴x＋x－4x＋4＝0，‎ ‎∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，‎ ‎∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，‎ 故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.15分 角度2　求切点坐标 ‎　若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．‎ ‎(e，e)　[由题意得y′＝ln x＋x·＝1＋ln x，直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设P(m，n)，则1＋ln m＝2，解得m＝e，所以n＝eln e＝e，即点P的坐标为(e，e)．]‎ 角度3　求参数的值 ‎　(1)已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为(　　)‎ A．1　　　　 B．2 ‎ C．－1　　　　 D．－2‎ ‎(2)(2017·嘉兴检测(一))已知曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝(　　)‎ A．－2　　　　 B．2 ‎ C．－　　　　 D. ‎(1)B　(2)A　[(1)设直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)的切点为(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)．‎ 又y′＝，所以y′|x＝x0＝＝1，即x0＋a＝1.‎ 又y0＝ln(x0＋a)，所以y0＝0，则x0＝－1，所以a＝2.‎ ‎(2)由y′＝得曲线在点(3,2)处的切线斜率为－，又切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝－2，故选A.]‎ ‎[规律方法]　1.导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上，切线有可能和曲线还有其他的公共点．‎ ‎2．曲线在点P处的切线是以点P为切点，曲线过点P的切线则点P不一定是切点，此时应先设出切点坐标．‎ 易错警示：当曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x＝x0.‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．f′(x0)是函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.‎ ‎2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．在实施化简时，必须注意变换的等价性．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导．‎ ‎2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．‎ ‎3．曲线的切线与二次曲线的切线的区别：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．‎ 课时分层训练(十二)‎ 变化率与导数、导数的计算 A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．函数f(x)＝(x＋‎2a)(x－a)2的导数为(　　) 【导学号：51062074】‎ A．2(x2－a2)　　　　　　 B．2(x2＋a2)‎ C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)‎ C　[∵f(x)＝(x＋‎2a)(x－a)2＝x3－‎3a2x＋‎2a3，∴f′(x)＝3(x2－a2)．]　‎ ‎2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)等于(　　)‎ A．－e　　　　 B．－1 ‎ C．1　　　　 D．e B　[由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝‎2f′(1)＋，‎ ‎∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.]　‎ ‎3．曲线y＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线方程是(　　)‎ A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0‎ C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0‎ C　[y′＝cos x＋ex，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.]　‎ ‎4．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝(　　)‎ A．0　　　　 B．1 ‎ C．2　　　　 D．3‎ D　[令f(x)＝ax－ln(x＋1)，则f′(x)＝a－.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f′(0)＝a－1.又切线方程为y＝2x，则有a－1＝2，∴a＝3.]‎ ‎5．已知f(x)＝x3－2x2＋x＋6，则f(x)在点P(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于(　　)‎ A．4　　　　 B．5 ‎ C.　　　　 D. C　[∵f(x)＝x3－2x2＋x＋6，‎ ‎∴f′(x)＝3x2－4x＋1，∴f′(－1)＝8，‎ 故切线方程为y－2＝8(x＋1)，即8x－y＋10＝0，‎ 令x＝0，得y＝10，令y＝0，得x＝－，‎ ‎∴所求面积S＝××10＝.]‎ 二、填空题 ‎6．(2017·湖州二次质量预测)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P(1,3)处的切线方程是________. 【导学号：51062075】‎ ‎2x－y＋1＝0　[由题意得f′(x)＝3x2－1，则f′(1)＝3×12－1＝2，即函数f(x)的图象在点P(1,3)处的切线的斜率为2，则切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.]‎ ‎7．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.‎ 　[因为y′＝2ax－，所以y′|x＝1＝‎2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故‎2a－1＝0，a＝.]‎ ‎8．如图2101，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.‎ 图2101‎ ‎0　[由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，即f′(3)＝－.‎ 又因为g(x)＝xf(x)，‎ 所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，‎ 由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.]‎ 三、解答题 ‎9．求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝x·tan x；‎ ‎(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；‎ ‎(3)y＝. 【导学号：51062076】‎ ‎[解]　(1)y′＝(x·tan x)′＝x′tan x＋x(tan x)′‎ ‎＝tan x＋x·′＝tan x＋x· ‎＝tan x＋.5分 ‎(2)y′＝(x＋1)′[(x＋2)(x＋3)]＋(x＋1)[(x＋2)(x＋3)]′＝(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋12x＋11.10分 ‎(3)y′＝′＝ ‎＝＝ ‎＝.15分 ‎10．已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：‎ ‎(1)斜率最小的切线方程；‎ ‎(2)切线l的倾斜角α的取值范围．‎ ‎[解]　(1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，2分 所以当x＝2时，y′＝－1，y＝，‎ 所以斜率最小的切线过点，4分 斜率k＝－1，‎ 所以切线方程为x＋y－＝0.9分 ‎(2)由(1)得k≥－1，12分 所以tan α≥－1，所以α∈∪.15分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是(　　)‎ A．y＝sin x B．y＝ln x C．y＝ex D．y＝x3‎ A　[若y＝f(x)的图象上存在两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，‎ 使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f′(x1)·f′(x2)＝－1.‎ 对于A：y′＝cos x，若有cos x1·cos x2＝－1，则当x1＝2kπ，x2＝2kπ＋π(k∈Z)时，结论成立；‎ 对于B：y′＝，若有·＝－1，即x1x2＝－1，∵x>0，∴不存在x1，x2，使得x1x2＝－1；‎ 对于C：y′＝ex，若有ex1·ex2＝－1，即ex1＋x2＝－1.显然不存在这样的x1，x2；‎ 对于D：y′＝3x2，若有3x·3x＝－1，即9xx＝－1，显然不存在这样的x1，x2.‎ 综上所述，选A.]‎ ‎2．已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________. 【导学号：51062077】‎ y＝－2x－1　[因为f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝ln x－3x，所以f′(x)＝－3，则f′(1)＝－2.所以y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.]‎ ‎3．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝a(2－ln x)(a＞0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．‎ ‎[解]　根据题意有f′(x)＝1＋，g′(x)＝－.2分 曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，‎ 曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，‎ 所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.8分 曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为 y－f(1)＝3(x－1)，‎ 所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.12分 曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为 y－g(1)＝3(x－1)，‎ 所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，‎ 所以，两条切线不是同一条直线.15分