小升初数学总复习一(含答案)

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小升初数学总复习一(含答案)

小学数学总复习 ( 含答案 ) 主要内容 求一个数比另一个数多(少)百分之几、纳税问题 学习目标 1、使学生在现实情境中,理解并掌握“求一个数比另一个数多(少)百分之几”的基本思考方 法,并能正确解决相关的实际问题。 2、使学生在探索“求一个数比另一个数多(少)百分之几”方法的过程中,进一步加深对百分 数的理解,体会百分数与日常生活的密切联系,增强自主探索和合作交流的意识,提高分析 问题和解决问题的能力。 3、使学生初步认识纳税和税率,理解和掌握应纳税额的计算方法。 4、初步培养学生的纳税意识,继续感知数学就在身边,提高知识的应用能力。 5、培养和解决简单的实际问题的能力,体会生活中处处有数学。 考点分析 1、一个数比另一个数多(少)百分之几 = 一个数比另一个数多(少)的量÷另一个数。 2、应该缴纳的税款叫做应纳税额,应纳税额与各种收入的比率叫做税率,应纳税额 = 收入 × 税率 典型例题 例 1、(解决“求一个数比另一个数多百分之几”的实际问题) 向阳客车厂原计划生产客车 5000 辆,实际生产 5500 辆。实际比计划多生产百分之几? 分析与解: 要求“实际比计划多生产百分之几” ,就是求实际比计划多生产的辆数占计划产量的百分 之几,把原计划产量看作单位“ 1”。两者之间的关系可用线段图表示。 计划产量 5000 辆 实际比计划多的 实际产量 5500 辆 解答: 方法 1: 5500 – 5000 = 500 (辆) ⋯⋯ 实际比计划多生产 500 辆 500 ÷ 5000 = 0.1 = 10 % ⋯⋯ 实际比计划多生产百分之几 方法 2: 5500 ÷ 5000 = 110 % ⋯⋯ 实际产量相当于原计划的 110% 110% - 100 % = 10 % ⋯⋯ 实际比计划多生产百分之几 答: 实际比计划多生产 10%。 例 2、(解决“求一个数比另一个数少百分之几”的实际问题) 向阳客车厂原计划生产客车 5000 辆,实际生产 5500 辆。计划比实际少生产百分之几? 分析与解: 要求“计划比实际少生产百分之几” ,就是求计划比实际少生产的辆数占实际产量的百分 之几,把实际产量看作单位“ 1”。两者之间的关系可用线段图表示。 计划产量 5000 辆 计划比实际少的 实际产量 5500 辆 解答: 方法 1: 5500 – 5000 = 500 (辆) ⋯⋯ 计划比实际少生产 500 辆 500 ÷ 5500 ≈ 9.1 % ⋯⋯ 计划比实际少生产百分之几 方法 2: 5500 ÷ 5500 ≈ 90.9 % ⋯⋯ 计划产量相当于实际的 90.9 % 100% - 90.9 % ≈ 9.1 % ⋯⋯ 计划比实际少生产百分之几 答: 计划比实际少生产 9.1 %。 点评: 想一想,在分数乘法应用题中的最基本的数量关系式: “单位 1 × 分率 = 分率对应的 量”,如果和百分数应用题结合起来,求一种量比另一种量多(少)百分之几,实际上就 是求分率。就用“多(少)的量 ÷ 单位 1”。 例 3、(难点突破) 一筐苹果比一筐梨重 20%,那么一筐梨就比一筐苹果轻 20% 分析与解: 苹果比梨重 20%,表示苹果比梨重的部分占梨的 20%,把梨的质量看作单位“ 1”;而梨 比苹果轻 20%则表示梨比苹果轻的部分占苹果的 20%,把苹果的质量看作单位“ 1”,两 个单位“ 1”不同,切忌将两个问题混为一谈。一筐苹果比一筐梨重 20%,是把梨看作单 位“ 1”,梨有 100 份,苹果就是 100 + 20 = 120 份;一筐梨比一筐苹果轻百分之几 = 一 筐梨比一筐苹果轻的部分 ÷ 苹果 = (120 - 100 )÷ 120 ≈16.7 % 答: 一筐苹果比一筐梨重 20%,那么一筐梨就比一筐苹果轻 16.7 % 点评: 在求一个数比另一个数多(少)百分之几的百分数应用题中,关键还是要找准单位“ 1” 的量。从结论可以得出 “一个数比另一个数多百分之几, 另一个数就比一个数少百分之几。 ” 这句话是错的。为什么呢?把两个百分之几比较一下,就可以得出这两个百分之几对应的 量是一个数比另一个数多的量或另一个数比一个数少的量,而这两种说法是相同的,也就 表示的是同一个量;而单位“ 1”一个是梨,一个是苹果,所以这两个百分之几是不可能 相等的。 例 4、(考点透视) 一种电子产品,原价每台 5000 元,现在降低到 3000 元。降价百分之几? 分析与解: 降低到 3000 元,即现价为 3000 元,说明降低了 2000 元。求降价百分之几,就是求降低 的价格占原价的百分之几。 5000 – 3000 = 2000 (元) 2000 ÷ 5000 = 40 % 答: 降价 40﹪。 例 5、(考点透视) 一项工程,原计划 10 天完成,实际 8 天就完成了任务,实际每天比原计划多修百分之几? 分析与解: 根据“原计划 10 天完成” ,可以得到:原计划每天完成这项工程的 10 1 ;根据“实际 8 天 完成” ,可以得到: 实际每天完成这项工程的 8 1 。用“实际比原计划每天多完成的量 ÷ 原 计划每天完成的量” ,就可以求出实际每天多修百分之几。 ( 8 1 - 10 1 ) ÷ 10 1 = 25 % 答: 实际每天比原计划多修 25%。 点评: 找准解决问题的数量关系式是解答好这一题的关键, 题目中要求的是每天完成的任务量, 而不能用 10 和 8 去求,因为 10 和 8 是工作时间,在解答时容易发生错误。 例 6、(应纳税额的计算方法) 益民五金公司去年的营业总额为 400 万元。如果按营业额的 3%缴纳营业税,去年应缴纳营业 税多少万元? 分析与解: 如果按营业额的 3%缴纳营业税,是把营业额看作单位“ 1”。 缴纳营业税占营业额的 3%,即 400 万元的 3%。求一个数的百分之几是多少,也用乘法计算。计算时可将百分 数化成分数或小数来计算。 400×3% = 400 × 100 3 = 12 (万元) 或 400×3% = 400 × 0.03 = 12 (万元) 答: 去年应缴纳营业税 12 万元。 点评: 在现实社会中,各种税率是不一样的。应纳税额的计算从根本上讲是求一个数的百分之 几是多少。 例 7、(和应纳税额有关的简单实际问题) 王叔叔买了一辆价值 16000 元的摩托车。按规定,买摩托车要缴纳 10%的车辆购置税。王叔叔 买这辆摩托车一共要花多少钱? 分析与解: 王叔叔买这辆摩托车所需的钱应包含购买价和 10%的车辆购置税两部分,而车辆购置税 是占摩托车购买价的 10%,可先算出要缴纳的车辆购置税。也可以这样想:车辆购置税 占购买价的 10%,把购买价看作单位“ 1”,王叔叔买这辆摩托车所需的钱相当于购买价 的( 1 + 10 %),即求 16000 元的 110%是多少,也用乘法计算。 方法 1:16000 ×10% + 16000 = 1600 + 16000 = 17600 (元) 方法 2:16000 ×( 1 + 10 %) = 16000 ×1.1 = 17600 (元) 答: 王叔叔买这辆摩托车一共要花 17600 元钱。 例 8、扬州某风景区 2007 年“十一”黄金周接待游客 9 万人次,门票收入达 270 万元。按门票的 5%缴纳营业税计算, “十一”黄金周期间应缴纳营业税 0.45 万元。 分析与解: 营业税是按门票的 5%缴纳,是占门票收入的 5%,而不是占游客人数的 5% 答:“十一”黄金周期间应缴纳营业税 13.5 万元。 (二) 主要内容: 应用百分数解决实际问题:利息、折扣问题 学习目标: 1、了解储蓄的含义。 2、理解本金、利率、利息的含义。 3、掌握利息的计算方法,会正确地计算存款利息。 4、进一步掌握折扣的有关知识及计算方法。 5、使学生进一步积累解决问题的经验,增强数学的应用意识。 考点分析 1、存入银行的钱叫做本金,取款时银行除还给本金外,另外付给的钱叫做利息,利息占本金的 百分率叫做利率。 2、利息 =本金×利率×时间。 3、几折就是十分之几,也就是百分之几十。 4、商品现价 = 商品原价 × 折数。 典型例题 例 1、(解决税前利息) 李明把 500 元钱按三年期整存整取存入银行,到期后应得利息多少元? 存期(整存整取) 年利率 一年 3.87 % 二年 4.50 % 三年 5.22 % 分析与解: 根据储蓄年利率表,三年定期年利率 5.22 %。 税前应得利息 = 本金 × 利率 × 时间 500 × 5.22 % × 3 = 78.3 (元) 答: 到期后应得利息 78.3 元。 例 2、(解决税后利息) 根据国家税法规定,个人在银行存款所得的利息要按 5%的税率缴纳利息税。例 1 中纳税 后李明实得利息多少元? 分析与解: 从应得利息中扣除利息税剩下的就是实得利息。 税后实得利息 = 本金 × 利率 × 时间 ×( 1 - 5 %) 500 × 5.22 % × 3 = 78.3 (元) ⋯⋯ 应得利息 78.3 × 5 % = 3.915 (元) ⋯⋯ 利息税 78.3 – 3.915 = 74.385 ≈ 74.39 (元) ⋯⋯ 实得利息 或者 500 × 5.22 % × 3 × (1 - 5 %) = 74.385 (元)≈ 74.39 (元) 答: 纳税后李明实得利息 74.39 元。 例 3、 方明将 1500 元存入银行,定期二年,年利率是 4.50 %。两年后方明取款时要按 5%缴纳 利息税,到期后方明实得利息多少元? 错误解答: 1500 × 4.50 % ×( 1 - 5 %) = 64.125 (元)≈ 64.13 (元) 分析原因: 税后实得利息 = 本金 × 利率 × 时间 ×( 1 - 5 %),这里漏乘了时间。 正确解答: 1500 × 2 × 4.50 % ×( 1 - 5 %) = 128.25 (元) 答: 到期后方明实得利息 128.25 元。 点评: 求利率根据实际情况有时要扣掉利息税,根据国家规定利息税的税率是 5%,所以利息 分税前利息和税后利息,在做题时要注意区分。但也有一些是不需要缴利息税的,比如: 国家建设债券、教育储蓄等。 例 4、(求折扣) 一本书现价 6.4 元,比原价便宜 1.6 元。这本书是打几折出售的? 分析与解: 打了几折是求实际售价是原价的百分之几,只要用实际售价除以原价。 6.4 + 1.6 = 8 (元) 6.4 ÷ 8 = 80 % = 八折 答: 这本书是打八折出售的。 点评: 几折就是百分之几十,几几折就是百分之几十几,同一商品打的折数越低,售价也就越 低。在折数的题目中,打几折就是按原价的百分之几十出售,它并不代表增加或减少的 数额。 例 5、(已知折扣求原价) “国庆”商场促销,一套西服打八五折出售是 1020 元,这套西服原价多少元? 分析与解: 打八五折出售,即实际售价相当于原价的 85%。已知原价的 85%是 1020 元,要求 原价是多少,可以列方程解答。 原价 × 85 % = 实际售价 解: 设这套西服原价x元。 x × 85 % = 1020 x = 1020 ÷ 85 % x = 1200 检验: (1)用现价除以原价看是否打了八五折。 1020 ÷ 1200 = 0.85 = 85 % (2)看原价的 85%是不是 1020 元。 1200 × 85 % = 1020 (元) 经检验,答案符合题意。 答: 这套西服原价 1200 元。 例 6、一台液晶电视 6000 元,若打七五折出售,可降价 2000 元。 分析原因: 6000 元为原价,打七五折出售,要先算出实际售价再相减,或者先算出降价部分占 原价的 25%。 正确解答: 6000 - 6000 ×75% = 1500 (元) 或 6000×( 1 - 75 %) = 1500 (元) 答: 可降价 1500 元。 例 7、(和应纳税额有关的简单实际问题) 一批电冰箱,原来每台售价 2000 元,现促销打九折出售,有一顾客购买时,要求再打九折,如 果能够成交,售价是多少元? 分析与解: “促销打九折出售”就是按原价的百分之九十出售,用“原价× 90%”,“再打九折” 是在促销价的基础上打九折,要用促销价乘 90%。 2000× 90 % × 90 % = 1800 × 90 % = 1620 (元) 答: 如果能够成交,售价是 1620 元。 点评: 题目的关键是“再打九折”表示的意思是在促销价的基础上再打九折,单位“ 1”的 量是促销价,即原价打九折后的价钱,这是易错点,要多加注意。 例 8、(考点透视) 商店以 40 元的价钱卖出一件商品,亏了 20%。这件商品原价多少元,亏了多少元? 分析与解: 以 40 元的价钱卖出,说明实际售价是 40 元;亏了 20%,即亏了原价的 20%,因此 实际售价相当于原价的( 1 - 20 %)。 解: 设这件商品原价x元。 x × (1 - 20 %) = 40 x × 80 % = 40 x = 50 50 × 20 % = 10 (元) 答: 这件商品原价 50 元,亏了 10 元。 例 9、(考点透视) 某商店同时卖出两件商品,每件各得 30 元,其中一件盈利 20%,另一件亏本 20%。这个商店 卖出这两件商品总体上是盈利还是亏本?具体是多少? 分析与解: 盈利 20%,即售出价是成本价的( 1 + 20%);亏本 20%,即售出价是成本价的( 1 - 20%)。两件商品的售出价都是 30 元,可分别算出两件商品的成本价。 30 ÷( 1 + 20 %) = 25 (元) 30 ÷( 1 - 20 %) = 37.5 (元) 25 + 37.5 = 62.5 (元) 62.5 – 60 = 2.5 (元) 答: 这个商店卖出这两件商品总体上是亏本,亏本 2.5 元。 主要内容 列方程解稍复杂的百分数实际问题 学习目标 1、引导学生在已学会的一些基本的百分数实际问题的基础上, 引出列方程解一些稍复杂的百分 数实际问题的方法。 2、能根据题中的信息,熟练地找出基本的数量关系,培养学生的分析解题能力。 3、通过练习,沟通百分数和分数的联系,提高学生解决相关问题的能力。 考点分析 1、解答稍复杂的百分数应用题和稍复杂的分数应用题的解题思路、解题方法完全相同。 2、用字母或含有字母的式子表示题中两个未知的数量,找出数量间的相等关系。根据求一个数 的百分之几是多少用乘法列方程求解,或者根据除法的意义,直接解答。 3、“已知比一个数多(少)百分之几的数是多少,求这个数”的实际问题,可以根据数量间的 相等关系列方程求解;或者根据除法的意义,直接解答。 4、灵活运用本单元所学知识, 、解决稍复杂的百分数实际问题,沟通分数、百分数应用题之间 的联系。 典型例题 例 1、(列方程解答和倍问题) 一根绳子长 48 米,截成甲、乙两段,其中乙绳长度是甲绳的 60%。甲、乙两绳各长多少米? 分析与解: 乙绳长度是甲绳的 60%,把甲绳长度看作单位“ 1”。 x米 甲绳 | ( )米 | 48 米 乙绳 乙绳是甲绳的 60% 等量关系式:甲绳长度 + 乙绳长度 = 总长度 解答: 设甲绳长x米,则乙绳长 60%x米。 x + 60 %x = 48 1.6 x = 48 x = 30 60%x = 30 × 60 % = 18 答: 甲绳长 30 米,则乙绳长 18 米。 检验: 30 + 18 = 48 (米),符合甲、乙两绳共长 48 米。 18 ÷ 30 = 60 %,符合乙绳长度是甲绳的 60%。 例 2、(列方程解答差倍问题) 体育馆内排球的个数是篮球的 75%,篮球比排球多 6 个。篮球和排球各有多少个? 分析与解: 排球的个数是篮球的 75%,是把篮球个数看作单位“ 1”。 x个 篮球 | ()个 | 多 6 个 排球 排球的个数是篮球的 75% 等量关系式:篮球 – 排球 = 6 个 解答: 设篮球有x个,则排球有 75%x个。 x - 75 %x = 6 0.25 x = 6 x = 24 75%x = 24 × 0.75 = 18 答: 篮球有 24 个,排球有 18 个。 你会自己检验吗? 检验: 24 - 18 = 6 (个),符合篮球比排球多 6 个。 18 ÷ 24 = 75 %,符合排球的个数是篮球的 75%。 点评: 在列方程解答和倍、差倍问题的题目时,要注意找准单位“ 1”的量,通常情况下设单位 “1”的量为x,再用另一个量和单位“ 1”之间的关系,用含有x的式子表示出另一个量, 最后根据它们的和或差列出方程。 例 3、六年级男生比女生少 40 人,六年级女生人数相当于男生人数的 140%,六年级男生有多 少人? 错误解法: 设:女生有x人,男生就有 140%x人。 140%x - x = 40 0.4 x = 40 x = 100 140%x = 100 × 1.4 = 140 分析与解: 根据“六年级女生人数相当于男生人数的 140%”,可以把男生人数看作单位“ 1” 的量,设男生人数为x人,女生人数就是 140%x人,再根据“六年级男生比女生少 40 人”,可以得出数量关系式: “女生人数 – 男生人数 = 40 ”,根据此数量关系式 列出方程。 正确解答: 设男生有x人,女生就有 140%x人。 140%x - x = 40 0.4 x = 40 x = 100 答: 男生有 100 人。 点评: 解错此题的原因是单位“ 1”的量找错了,要记住找单位“ 1”的量时候,首先要去找分率 (百分率) ,因为没有分率就没有单位“ 1”的量,就不能看到“比” ,而“比”后面的那个 量就是单位“ 1”的量。 例 4、(列方程解决“已知比一个数少百分之几的数是多少,求这个数”的百分数实际问题) 白兔有 36 只,比灰兔少 20%。灰兔有多少只? 分析与解: 白兔比灰兔少 20%,把灰兔看作单位“ 1”。 ?只 灰兔 | 36 只 | 白兔 比灰兔少 20% 等量关系式:灰兔的只数 – 白兔比灰兔少的只数 = 白兔的只数 解答: 设灰兔有x只。 x - 20 %x = 36 0.8 x = 36 x = 45 答: 灰兔有 45 只。 检验: 45 – 45 × 20 % = 36 或 (45 – 36 )÷ 45 = 20 %,符合题意。 例 5、(列方程解决“已知比一个数多百分之几的数是多少,求这个数”的百分数实际问题) 白兔有 48 只,比灰兔多 20%。灰兔有多少只? 分析与解: 白兔比灰兔多 20%,把灰兔看作单位“ 1”。 ?只 灰兔 | 比灰兔多 20% | 白兔 48 只 等量关系式:灰兔的只数 + 白兔比灰兔多的只数 = 白兔的只数 解答: 设灰兔有x只。 x + 20 %x = 48 1.2 x = 48 x = 40 答: 灰兔有 40 只。 检验: 40 + 40 × 20 % = 48 或 (48 – 40 )÷ 40 = 20 %,符合题意。 点评: 和前面例题一样,都是去求单位“ 1”的量。在解题时同样要注意找准单位“ 1”的量,看 问题求什么,确定用什么方法计算。 例 6、(难点突破) 某商品如果按现价 18 元出售,则亏了 25%,原来成本是多少元?如果想盈利 25%,应按多少 元出售该商品? 分析与解: 不管是亏 25%,还是盈利 25%,单位“ 1”都是这件商品的成本。所以要先求这件 商品的成本。 18 元亏 25%,说明 18 元比成本少 25%,即是成本的( 1 - 25%)。盈 利 25%,说明盈利的是原来成本的 25%,实际售价是原来成本的( 1 + 25 %)。 解答: 设原来成本是x元。 x - 25 %x = 18 0.75 x = 18 x = 24 24 × ( 1 + 25 %) = 30 (元) 答: 原来成本是 24 元,应按 30 元出售该商品。 点评: 通常情况下,商品的盈利和亏损都是以成本作单位“ 1”的 。解答这道题目的关键是确定 好单位“ 1”,这也是解百分数应用题时最重要的。 例 7、(考点透视) 水果批发部要运进一批水果,第一次运进总量的 22%,第二次运进 1.5 吨,两次共运进这批水 果的 62%,这批水果一共有多少吨? 分析与解: 根据题意可以画出下面的线段图: 62% 第一次 22% 1.5 吨 “1”? 吨 从图中可以看出:两次一共运的吨数 - 第一次运的吨数 = 1.5 吨,单位“ 1”的量是这批水 果的总吨数,设这批水果一共有x吨,那么两次一共运了 62%x吨,第一次运进了 22%x吨。 解: 设这批水果一共有x吨。 62%x - 22 %x = 1.5 40 %x = 1.5 x = 3.75 答: 这批水果一共有 3.75 吨。 点评: 在解答稍复杂的百分数应用题时,要学会画线段图,它的好处是:使题目的条件变得简洁, 找数量关系式时更加容易、 方便。 画图的时候, 要先找准单位 “1”的量,用一根线段表示出单位 “ 1” 的量之后,再去表示其他的量。 主要内容 圆柱和圆锥的认识、圆柱的表面积 学习目标 1、使学生在观察、 操作、 交流等活动中感知和发现圆柱、 圆锥的特征, 知道圆柱和圆锥的底面、 侧面和高。 2、使学生理解圆柱侧面积和圆柱表面积的含义,掌握圆柱侧面积和表面积的计算方法。 3、使学生在活动中进一步积累认识立体图形的学习经验,增强空间观念,发展数学思考。 4、使学生进一步体验立体图形与生活的关系,感受立体图形的学习价值,提高学习数学的兴趣 和学好数学的信心。 考点分析 1、圆柱上、 下两个面叫做圆柱的底面, 它们是完全相同的两个圆。 形成圆柱的面还有一个曲面, 叫做圆柱的侧面。 圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高。 2、圆锥的底面是个圆,圆锥的侧面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 3、把圆柱的侧面展开得到一个长方形, 这个长方形的长等于圆柱底面的周长, 宽等于圆柱的高。 4、圆柱的侧面积 = 底面周长 × 高 5、圆柱的表面积 = 侧面积 + 底面积 × 2 典型例题 例 1、(圆柱和圆锥的特征) 圆柱和圆锥分别有什么特点? 分析与解: 长方体和正方体的六个面都是平面图形(长方形或正方形) ,而圆柱和圆锥除了底面 是平面图形(圆)外,都有一个曲面。圆柱和圆锥的特征见下表。 圆 柱 圆 锥 底 面 两个底面完全相同,都 是圆形。 一个底面,是圆形。 侧 面 曲面,沿高剪开,展开 后是长方形。 曲面, 沿顶点到底面圆周上的一 条线段剪开,展开后是扇形。 高 两个底面之间的距离, 有无数条。 顶点到底面圆心的距离, 只有一 条。 例 2、求下面立体图形的底面周长和底面积。 半径 3 厘米 直径 10 米 分析与解: 根据圆的面积和周长计算公式计算圆柱和圆锥的底面周长和底面积。 圆柱:底面周长 3.14 × 3 × 2 = 18.84 (厘米) 底面积 3.14 × 3 2 = 28.26 (平方厘米) 圆锥:底面周长 3.14 × 10 = 31.4 (米) 底面积 3.14 ×( 10÷2)2 = 78.5 (平方米) 点评: 圆柱和圆锥的底面都是圆, 在计算它们的周长和面积时只要按照圆的周长和面积计算 公式进行计算。 例 3、判断: 圆柱和圆锥都有无数条高。 错误解法: 正确 分析与解: 圆柱有无数条高,圆锥只有一条高。 正确解答: 错误 点评: 圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高。两个底面之间有无数个对应的点,圆柱有无数 条高。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。顶点和底面圆心都是唯一的点,所 以圆锥只有一条高。 例 4、(圆柱的侧面积) 体育一个圆柱,底面直径是 5 厘米,高是 12 厘米。求它的侧面积。 分析与解: 高 底面周长 沿着圆柱侧面的一条高剪开,将侧面展开,就得到一个长方形。这个长方形的长等于圆 柱底面的周长,宽等于圆柱的高。因此,用圆柱的底面周长乘圆柱的高就得到这个长方 形的面积,即圆柱的侧面积。 解答: 3.14 × 5 × 12 = 188.4 (平方厘米) 答: 它的侧面积是 188.4 平方厘米。 点评: 圆柱的侧面是个曲面,不能直接求出它的面积。推导出侧面积的计算公式也用到了转化 的思想。把这个曲面沿高剪开,然后平展开来,就能得到一个长方形,这个长方形的面 积就是这个圆柱的侧面积。 例 5、(圆柱的表面积) 做一个圆柱形油桶, 底面直径是 0.6 米,高是 1 米,至少需要多少平方米铁皮? (得数保留整数) 分析与解: 求铁皮的面积,就是求圆柱形油桶的表面积,即两个底面积和一个侧面积的和。 解答: 底面积: 3.14 ×( 0.6 ÷ 2)2 = 0.2826 (平方米) 侧面积: 3.14 × 0.6 × 1 = 1.884 (平方米) 表面积: 0.2826 × 2 + 1.884 = 2.4492 (平方米)≈ 3 (平方米) 答: 至少需要铁皮 3 平方米。 点评: 这里不能用四舍五入法取近似值。因为在实际生活中使用的材料要比计算得到的结果多 一些。因此这儿保留整数,十分位上虽然是 4,但也要向个位进 1。 例 6、(辨析) 一个无盖的圆柱铁皮水桶,底面直径是 30 厘米,高是 50 厘米。做这样一个水桶, 至少需用铁皮 6123 平方厘米。 分析与解: 题目中是做一个无盖的圆柱铁皮水桶,只有一个底面。在计算铁皮面积时只要用圆 柱的侧面积加上一个底面的面积。 解答: 底面积: 3.14 ×( 30÷2)2 = 706.5 (平方厘米) 侧面积: 3.14 × 30 × 50 = 4710 (平方厘米) 表面积: 706.5 + 4710 = 5416.5 (平方厘米) 答: 做这样一个水桶,至少需用铁皮 5416.5 平方厘米。 例 7、(考点透视) 一个圆柱的侧面积展开是一个边长 15.7 厘米的正方形。这个圆柱的表面积 是多少平方厘米? 分析与解: 圆柱的侧面积展开是一个正方形,即圆柱的高和底面周长都是 15.7 厘米。根据圆柱 的底面周长可以算出底面积。 解答: 底面半径: 15.7 ÷ 3.14 ÷ 2 = 2.5 (厘米) 底面积: 3.14 × 2.5 2 = 19.625 (平方厘米) 侧面积: 15.7 × 15.7 = 246.49 (平方厘米) 表面积: 19.625 × 2 + 246.49 = 285.74 (平方厘米) 答: 这个圆柱的表面积是 285.74 平方厘米。 例 8、(考点透视) 一个圆柱形的游泳池,底面直径是 10 米,高是 4 米。在它的四周和底部涂 水泥,每千克水泥可涂 5 平方米,共需多少千克水泥? 分析与解: 要求水泥的质量,先要求水泥的面积。在圆柱形的游泳池的四周和底部涂水泥,涂 水泥的面积是一个底面积加上侧面积。 解答: 侧面积: 3.14 × 10 × 4 = 125.6 (平方米) 底面积: 3.14 × (10 ÷ 2 )2 = 78.5 (平方米) 涂水泥的面积: 125.6 + 78.5 = 204.1 (平方米) 水泥的质量: 204.1 ÷ 5 = 40.82 (千克) 答: 共需 40.82 千克水泥。 例 9、(考点透视) 把一个底面半径是 2 分米,长是 9 分米的圆柱形木头锯成长短不同的三小段 圆柱形木头,表面积增加了多少平方分米? 分析与解: 锯圆柱形木头,表面积增加的部分是若干个相同的底面积。锯成三段,要锯两次, 每锯一次增加两个面,锯了两次增加了四个面。 3.14 × 2 2 × 4 = 50.24 (平方分米) 答: 表面积增加了 50.24 平方分米。 点评: 这是一道在实际生活中应用的题目,对于这一类题目,它的规律就是每切一次就增加两个 面。但切的方式不同,增加的面也不同。如果是沿着底面直径把圆柱切成相同的两个部分, 增加的面就是以底面直径和高为两邻边的长方形。
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