2019届二轮复习第九章第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系学案（全国通用）
第 4 节 直线与圆、圆与圆的位置关系
最新考纲 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定
两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问
题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
知 识 梳 理
1.直线与圆的位置关系
设圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线 l：Ax＋By＋C＝0，圆心 C(a，b)到直线 l 的
距离为 d，由
（x－a）2＋（y－b）2＝r2，
Ax＋By＋C＝0
消去 y(或 x)，得到关于 x(或 y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
方法
位置关系
几何法 代数法
相交 d
0
相切 d＝r Δ＝0
相离 d>r Δ<0
2.圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为 R，r，R＞r，圆心距为 d，则两圆的位置关系可用下表来
表示：
位置关系 相离 外切 相交 内切 内含
几何特征 d＞R＋r d＝R＋r
R－r＜d＜
R＋r
d＝R－
r
d＜R－r
代数特征 无实数解 一组实数解
两组实数
解
一组实
数解
无实数解
公切线条数 4 3 2 1 0
[常用结论与微点提醒]
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆 x2＋y2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0
－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆 x2＋y2＝r2 外一点 M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为
x0x＋y0y＝r2.
2.过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，
若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以
防漏解.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)“k＝1”是“直线 x－y＋k＝0 与圆 x2＋y2＝1 相交”的必要不充分条件.( )
(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.( )
(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( )
(4)过圆 O：x2＋y2＝r2 外一点 P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为 A，B，则 O，
P，A，B 四点共圆且直线 AB 的方程是 x0x＋y0y＝r2.( )
解析 (1)“k＝1”是“直线 x－y＋k＝0 与圆 x2＋y2＝1 相交”的充分不必要条
件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.圆(x＋2)2＋y2＝4 与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9 的位置关系为( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
解析 两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为 2 和 3，圆心距 d＝ 42＋12
＝ 17.
∵3－20)，设条件 p：05.故圆 C1 与圆 C2 相离，所以，|PQ|的
最小值是 3 5－5.
答案 3 5－5
三、解答题
9.已知圆 C 经过点 A(2，－1)，和直线 x＋y＝1 相切，且圆心在直线 y＝－2x 上.
(1)求圆 C 的方程；
(2)已知直线 l 经过原点，并且被圆 C 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程.
解 (1)设圆心的坐标为 C(a，－2a)，
则 （a－2）2＋（－2a＋1）2＝|a－2a－1|
2
.
化简，得 a2－2a＋1＝0，解得 a＝1.
所以 C 点坐标为(1，－2)，
半径 r＝|AC|＝ （1－2）2＋（－2＋1）2＝ 2.
故圆 C 的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
(2)①当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x＝0，此时直线 l 被圆 C 截得的
弦长为 2，满足条件.
②当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＝kx，
由题意得 |k＋2|
1＋k2
＝1，解得 k＝－3
4
，
则直线 l 的方程为 y＝－3
4x.
综上所述，直线 l 的方程为 x＝0 或 3x＋4y＝0.
10.(2015·全国Ⅰ卷)已知过点 A(0，1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x－2)2＋(y－
3)2＝1 交于 M，N 两点.
(1)求 k 的取值范围；
(2)若OM→ ·ON→ ＝12，其中 O 为坐标原点，求|MN|.
解 (1)易知圆心坐标为(2，3)，半径 r＝1，
由题设，可知直线 l 的方程为 y＝kx＋1，
因为 l 与 C 交于两点，所以|2k－3＋1|
1＋k2 <1.
解得4－ 7
3
查看更多
