2018届二轮复习高考大题专项突破课件（全国通用）
高考大题专项突破一
函数
、导数、方程、不等式压轴大题
考情分析
必备知识
从近五年的高考试题来看
,
对导数在函数中的应用的考查常常是一大一小两个题目
;
命题特点是
:
以三次函数、对数函数、指数函数及分式函数为命题载体
,
以切线问题、单调性问题、极值最值问题、恒成立问题、存在性问题、函数零点问题为设置条件
,
与参数的范围、不等式的证明
,
方程根的分布综合成题
;
重点考查学生应用分类讨论的思想、函数与方程的思想、数形结合思想及化归与转换思想来分析问题、解决问题的能力
.
考情分析
必备知识
1
.
常见恒成立不等式
(1)ln
x
x+
1
.
2
.
构造辅助函数的四种方法
(1)
移项法
:
证明不等式
f
(
x
)
>g
(
x
)(
f
(
x
)
0(
f
(
x
)
-g
(
x
)
<
0),
进而构造辅助函数
h
(
x
)
=f
(
x
)
-g
(
x
);
(2)
构造
“
形似
”
函数
:
对原不等式同解变形
,
如移项、通分、取对数等
,
把不等式两边变成具有相同结构的式子
,
根据
“
相同结构
”
构造辅助函数
;
(3)
主元法
:
对于
(
或可化为
)
f
(
x
1
,
x
2
)
≥
A
的不等式
,
可选
x
1
(
或
x
2
)
为主元
,
构造函数
f
(
x
,
x
2
)(
或
f
(
x
1
,
x
));
(4)
放缩法
:
若所构造函数的最值不易求解
,
可将所证明的不等式进行放缩
,
再重新构造函数
.
考情分析
必备知识
3
.
函数不等式的类型与解法
(1)
∀
x
∈
D
,
f
(
x
)
≤
k
⇔
f
(
x
)
max
≤
k
;
(2)
∃
x
∈
D
,
f
(
x
)
≤
k
⇔
f
(
x
)
min
≤
k
;
(3)
∀
x
∈
D
,
f
(
x
)
≤
g
(
x
)
⇔
f
(
x
)
max
≤
g
(
x
)
min
;
(4)
∃
x
∈
D
,
f
(
x
)
≤
g
(
x
)
⇔
f
(
x
)
min
≤
g
(
x
)
max
.
考情分析
必备知识
4
.
含两个未知数的不等式
(
函数
)
问题的常见题型及具体转化策略
(1)
∀
x
1
∈
[
a
,
b
],
x
2
∈
[
c
,
d
],
f
(
x
1
)
>g
(
x
2
)
⇔
f
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上的最小值
>g
(
x
)
在
[
c
,
d
]
上的最大值
;
(2)
∃
x
1
∈
[
a
,
b
],
x
2
∈
[
c
,
d
],
f
(
x
1
)
>g
(
x
2
)
⇔
f
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上的最大值
>g
(
x
)
在
[
c
,
d
]
上的最小值
;
(3)
∀
x
1
∈
[
a
,
b
],
∃
x
2
∈
[
c
,
d
],
f
(
x
1
)
>g
(
x
2
)
⇔
f
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上的最小值
>g
(
x
)
在
[
c
,
d
]
上的最小值
;
(4)
∃
x
1
∈
[
a
,
b
],
∀
x
2
∈
[
c
,
d
],
f
(
x
1
)
>g
(
x
2
)
⇔
f
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上的最大值
>g
(
x
)
在
[
c
,
d
]
上的最大值
;
(5)
∃
x
1
∈
[
a
,
b
],
当
x
2
∈
[
c
,
d
]
时
,
f
(
x
1
)
=g
(
x
2
)
⇔
f
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上的值域与
g
(
x
)
在
[
c
,
d
]
上的值域的交集非空
;
考情分析
必备知识
(6)
∀
x
1
∈
[
a
,
b
],
∃
x
2
∈
[
c
,
d
],
f
(
x
1
)
=g
(
x
2
)
⇔
f
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上的值域
⊆
g
(
x
)
在
[
c
,
d
]
上的值域
;
(7)
∀
x
2
∈
[
c
,
d
],
∃
x
1
∈
[
a
,
b
],
f
(
x
1
)
=g
(
x
2
)
⇔
f
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上的值域
⊇
g
(
x
)
在
[
c
,
d
]
上的值域
.
-
7
-
题型一
题型二
题型三
题型四
突破
1
导数与函数的单调性、极值、最值
题型
一
讨论单调性或求单调区间
突破策略一
分类讨论法
例
1
(2017
全国
Ⅰ
,
文
21)
已知函数
f
(
x
)
=
e
x
(e
x
-a
)
-a
2
x.
(1)
讨论
f
(
x
)
的单调性
;
(2)
若
f
(
x
)
≥
0,
求
a
的取值范围
.
思路导引
(1)
讨论
f
(
x
)
的单调性
→
求函数的定义域
→
求导函数
判断
导函数的符号
→
确定单调区间
;
(2)
讨论
a
的取值范围
→
求
f
(
x
)
导函数
→
确定
f
(
x
)
的单调区间
→
求
f
(
x
)
取最小值
→
解不等式
f
(
x
)
max
≥
0
得
a
的范围
→
合并
a
的范围
.
-
8
-
题型一
题型二
题型三
题型四
解
(1)
函数
f
(
x
)
的定义域为
(
-∞
,
+∞
),
f'
(
x
)
=
2e
2
x
-a
e
x
-a
2
=
(2e
x
+a
)
·
(e
x
-a
)
.
①
若
a=
0,
则
f
(
x
)
=
e
2
x
,
在
(
-∞
,
+∞
)
单调递增
.
②
若
a>
0,
则由
f'
(
x
)
=
0
得
x=
ln
a.
当
x
∈
(
-∞
,ln
a
)
时
,
f'
(
x
)
<
0;
当
x
∈
(ln
a
,
+∞
)
时
,
f'
(
x
)
>
0
.
故
f
(
x
)
在
(
-∞
,ln
a
)
单调递减
,
在
(ln
a
,
+∞
)
单调递增
.
-
9
-
题型一
题型二
题型三
题型四
-
10
-
题型一
题型二
题型三
题型四
解题心得
利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号
,
当
f
(
x
)
含参数时
,
需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论
.
-
11
-
题型一
题型二
题型三
题型四
对点训练
1
已知函数
f
(
x
)
=
ln
x-mx
(
m
∈
R
)
.
(1)
若
m=
1,
求曲线
y=f
(
x
)
在点
P
(1,
-
1)
处的切线方程
;
(2)
讨论函数
f
(
x
)
在
(1,e)
内的单调性
.
-
12
-
题型一
题型二
题型三
题型四
-
13
-
题型一
题型二
题型三
题型四
突破策略二
构造函数法
例
2
已知函数
(
k
为常数
,e
是自然对数的底数
),
曲线
y=f
(
x
)
在点
(1,
f
(1))
处的切线与
x
轴平行
.
(1)
求
k
的值
;
(2)
求
f
(
x
)
的单调区间
.
-
14
-
题型一
题型二
题型三
题型四
即
h
(
x
)
在
(0,
+∞
)
内是减函数
.
由
h
(1)
=
0
知
,
当
0
0,
从而
f'
(
x
)
>
0;
当
x>
1
时
,
h
(
x
)
<
0,
从而
f'
(
x
)
<
0
.
综上可知
,
f
(
x
)
的单调递增区间是
(0,1),
单调递减区间是
(1,
+∞
)
.
-
15
-
题型一
题型二
题型三
题型四
解题心得
通过导数研究单调性
,
首先要判断所构造函数的导函数的正负
,
因此
,
构造函数的关键在于其导函数的零点是否易求或易估
.
-
16
-
题型一
题型二
题型三
题型四
对点训练
2
设函数
f
(
x
)
=x
e
a-x
+bx
,
曲线
y=f
(
x
)
在点
(2,
f
(2))
处的切线方程为
y=
(e
-
1)
x+
4
.
(1)
求
a
,
b
的值
;
(2)
求
f
(
x
)
的单调区间
.
-
17
-
题型一
题型二
题型三
题型四
(2)
由
(1)
知
f
(
x
)
=x
e
2
-x
+
e
x.
由
f'
(
x
)
=
e
2
-x
(1
-x+
e
x-
1
)
及
e
2
-x
>
0,
知
f'
(
x
)
与
1
-x+
e
x-
1
同号
.
令
g
(
x
)
=
1
-x+
e
x-
1
,
则
g'
(
x
)
=-
1
+
e
x-
1
.
所以
,
当
x
∈
(
-∞
,1)
时
,
g'
(
x
)
<
0,
g
(
x
)
在区间
(
-∞
,1)
内单调递减
;
当
x
∈
(1,
+∞
)
时
,
g'
(
x
)
>
0,
g
(
x
)
在区间
(1,
+∞
)
内单调递增
.
故
g
(1)
=
1
是
g
(
x
)
在区间
(
-∞
,
+∞
)
内的最小值
,
从而
g
(
x
)
>
0,
x
∈
(
-∞
,
+∞
)
.
综上可知
,
f'
(
x
)
>
0,
x
∈
(
-∞
,
+∞
)
.
故
f
(
x
)
的单调递增区间为
(
-∞
,
+∞
),
无单调递减区间
.
-
18
-
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二
求函数的极值、最值
突破策略一
定义法
-
19
-
当
t
∈
(0,1)
时
,
φ
'
(
t
)
<
0,
φ
(
t
)
在
(0,1)
内单调递减
;
当
t
∈
(1,
+∞
)
时
,
φ
'
(
t
)
>
0,
φ
(
t
)
在
(1,
+∞
)
内单调递增
.
即当
t=
1
时
,
φ
(
t
)
取得极小值
,
也为最小值
.
则
a+b=
φ
(
t
)
≥
φ
(1)
=-
1,
故
a+b
的最小值为
-
1
.
题型一
题型二
题型三
题型四
-
20
-
题型一
题型二
题型三
题型四
解题心得
1
.
求最值的常用方法是由导数确定单调性
,
由单调性确定极值
,
比较极值与区间的端点值确定最值
;
2
.
对
kf
(
x
))
恒成立
,
求参数
k
的最值问题
,
应先求出
f
(
x
)
的最值
,
再由此得出参数的最值
.
-
21
-
题型一
题型二
题型三
题型四
对点训练
3
(2017
北京高考
,
文
20)
已知函数
f
(
x
)
=
e
x
cos
x-x.
(1)
求曲线
y=f
(
x
)
在点
(0,
f
(0))
处的切线方程
;
(2)
求函数
f
(
x
)
在区间
上
的最大值和最小值
.
-
22
-
题型一
题型二
题型三
题型四
突破策略二
分类讨论法
例
4
已知函数
f
(
x
)
=
e
x
-
e
-x
-
2
x.
(1)
讨论
f
(
x
)
的单调性
;
(2)
设
g
(
x
)
=f
(2
x
)
-
4
bf
(
x
),
当
x>
0
时
,
g
(
x
)
>
0,
求
b
的最大值
.
-
23
-
题型一
题型二
题型三
题型四
解
(1)
f'
(
x
)
=
e
x
+
e
-x
-
2
≥
0,
当且仅当
x=
0
时等号成立
,
所以
f
(
x
)
在
(
-∞
,
+∞
)
内单调递增
.
(2)
g
(
x
)
=f
(2
x
)
-
4
bf
(
x
)
=
e
2
x
-
e
-
2
x
-
4
b
(e
x
-
e
-x
)
+
(8
b-
4)
x
,
g'
(
x
)
=
2[e
2
x
+
e
-
2
x
-
2
b
(e
x
+
e
-x
)
+
(4
b-
2)]
=
2(e
x
+
e
-x
-
2)(e
x
+
e
-x
-
2
b+
2)
.
①
当
b
≤
2
时
,
g'
(
x
)
≥
0,
当且仅当
x=
0
时等号成立
,
所以
g
(
x
)
在
(
-∞
,
+∞
)
内单调递增
.
而
g
(0)
=
0,
所以对任意
x>
0,
g
(
x
)
>
0;
②
当
b>
2
时
,
若
x
满足
2
<
e
x
+
e
-x
<
2
b-
2,
-
24
-
题型一
题型二
题型三
题型四
解题心得
依据题意
,
对参数分类
,
分类后相当于增加了一个已知条件
,
在增加条件的情况下
,
对参数的各个范围逐个验证是否适合题意
,
最后适合题意的范围即为所求范围
,
这个范围的最大值也就求出了
.
-
25
-
题型一
题型二
题型三
题型四
对点训练
4
(2017
辽宁鞍山一模
,
文
20)
已知函数
f
(
x
)
=
ln
x- ax
2
+x
,
a
∈
R
.
(1)
当
a=
0
时
,
求函数
f
(
x
)
的图象在
(1,
f
(1))
处的切线方程
;
(2)
令
g
(
x
)
=f
(
x
)
-ax+
1,
求函数
g
(
x
)
的极值
.
-
26
-
题型一
题型二
题型三
题型四
-
27
-
题型一
题型二
题型三
题型四
题型三
证明函数有最值并求最值范围
突破策略
零点分布法
-
28
-
题型一
题型二
题型三
题型四
-
29
-
题型一
题型二
题型三
题型四
当
0
x
a
时
,
f
(
x
)
+a>
0,
g'
(
x
)
>
0,
g
(
x
)
单调递增
.
-
30
-
题型一
题型二
题型三
题型四
-
31
-
题型一
题型二
题型三
题型四
解题心得
在证明函数
f
(
x
)
有最值及求最值范围时
,
若
f'
(
x
)
=
0
解不出
,
可运用零点存在性定理求出极值点
t
存在的范围
,
从而用
t
表示出最值
,
此时最值是关于
t
的函数
,
通过函数关系式求出最值的范围
.
-
32
-
题型一
题型二
题型三
题型四
对点训练
5
已知
函数
f
(
x
)
=
(
x-
2)e
x
+a
(
x+
2)
2
(
x>
0)
.
(1)
若
f
(
x
)
是
(0,
+∞
)
内的增函数
,
求实数
a
的取值范围
;
(2)
当
时
,
求证
:
函数
f
(
x
)
有最小值
,
并求函数
f
(
x
)
最小值的取值范围
.
-
33
-
题型一
题型二
题型三
题型四
-
34
-
题型一
题型二
题型三
题型四
题型四
与极值、最值有关的证明问题
突破策略
等价转换法
例
6
已知
函数
f
(
x
)
=
ln
x-
2
ax
,
a
∈
R
.
(1)
若函数
y=f
(
x
)
的图象存在与直线
2
x-y=
0
垂直的切线
,
求实数
a
的取值范围
;
-
35
-
题型一
题型二
题型三
题型四
-
36
-
题型一
题型二
题型三
题型四
-
37
-
题型一
题型二
题型三
题型四
解题心得
将已知条件进行转换或将要解决的问题进行等价转换是解决函数问题的常用方法
,
通过转换变陌生问题为熟悉问题
,
从而得到解决
.
-
38
-
题型一
题型二
题型三
题型四
对点训练
6
(2017
河北武邑中学一模
,
文
21)
已知函数
f
(
x
)
=
e
2
x
-
4
a
e
x
-
2
ax
,
g
(
x
)
=x
2
+
5
a
2
,
a
∈
R
.
(1)
若
a=
1,
求
f
(
x
)
的递增区间
;
(2)
若
f
(
x
)
在
R
上单调递增
,
求
a
的取值范围
;
(3)
记
F
(
x
)
=f
(
x
)
+g
(
x
),
求证
:
F
(
x
)
≥
-
39
-
题型一
题型二
题型三
题型四
-
40
-
题型一
题型二
突破
2
导数与不等式及参数范围
题型一
求参数的取值范围
(
多维探究
)
突破策略一
从条件中构造函数
例
1
已知函数
f
(
x
)
=
(
x+
1)ln
x-a
(
x-
1)
.
(1)
当
a=
4
时
,
求曲线
y=f
(
x
)
在
(1,
f
(1))
处的切线方程
;
(2)
若当
x
∈
(1,
+∞
)
时
,
f
(
x
)
>
0,
求
a
的取值范围
.
-
41
-
题型一
题型二
-
42
-
题型一
题型二
-
43
-
题型一
题型二
-
44
-
题型一
题型二
解题心得
用导数解决满足函数不等式条件的参数范围问题
,
一般都需要构造函数
,
然后对构造的函数求导
,
一般导函数中都含有参数
,
通过对参数讨论确定导函数的正负
,
由导函数的正负确定构造函数的单调性
,
再由单调性确定是否满足函数不等式
,
由此求出参数范围
.
-
45
-
题型一
题型二
对点训练
1
(2017
辽宁大连一模
,
文
20)
已知函数
f
(
x
)
=ax-
ln
x.
(1)
过原点
O
作函数
f
(
x
)
图象的切线
,
求切点的横坐标
;
(2)
对
∀
x
∈
[1,
+∞
),
不等式
f
(
x
)
≥
a
(2
x-x
2
)
恒成立
,
求实数
a
的取值范围
.
-
46
-
题型一
题型二
-
47
-
题型一
题型二
突破策略二
从化简条件中构造函数
例
2
(2017
北京丰台一模
,
文
20)
已知函数
f
(
x
)
,
A
(
x
1
,
m
),
B
(
x
2
,
m
)
是曲线
y=f
(
x
)
上两个不同的点
.
(1)
求
f
(
x
)
的单调区间
,
并写出实数
m
的取值范围
;
(2)
证明
x
1
+x
2
>
0
.
思路导引
(1)
求
m
的取值范围即求直线
y=m
与函数
f
(
x
)
的图象有两个交点的
m
的范围
,
求出函数
f
(
x
)
的单调区间
,
结合
f
(
x
)
的图象易求
m
的范围
.
(2)
由
f
(
x
)
的图象知
x
1
∈
(
-
1,0),
要证
x
2
>-x
1
>
0,
只需证
f
(
x
2
)
0,
得
x<
0,
由
f'
(
x
)
<
0,
得
x>
0,
所以
f
(
x
)
的单调递增区间为
(
-∞
,0),
单调递减区间为
(0,
+∞
),
f
(
x
)
max
=f
(0)
=
1,
当
x
→
+∞
时
,
y
→0,
当
x
→
-∞
时
,
y
→
-∞
,
所以
m
的取值范围是
(0,1)
.
(2)
由
(1)
知
,
x
1
∈
(
-
1,0),
要证
x
2
>-x
1
>
0,
只需证
f
(
x
2
)
h'
(0)
=
0,
所以
h
(
x
)
在
(
-
1,0)
内单调递增
,
所以
h
(
x
)
0
.
-
49
-
题型一
题型二
解题心得
在面对陌生的已知条件
,
一时没有解题思路时
,
不妨对已知条件进行等价转化
,
在转化的过程中把问题化归为熟悉的问题或者熟悉的题型
,
从而求解
.
-
50
-
题型一
题型二
对点训练
2
(2017
贵州贵阳一模
,
文
21)
设
f
(
x
)
=x
e
x
,
g
(
x
)
= x
2
+x.
(1)
令
F
(
x
)
=f
(
x
)
+g
(
x
),
求
F
(
x
)
的最小值
;
(2)
若任意
x
1
,
x
2
∈
[
-
1,
+∞
),
且
x
1
>x
2
,
有
m
[
f
(
x
1
)
-f
(
x
2
)]
>g
(
x
1
)
-g
(
x
2
)
恒成立
,
求实数
m
的取值范围
.
-
51
-
题型一
题型二
-
52
-
题型一
题型二
突破策略三
分离参数后构造
函数
-
53
-
题型一
题型二
-
54
-
题型一
题型二
-
55
-
题型一
题型二
解题心得
有些函数与导数的综合问题即使构造函数正确
,
也存在分类讨论相当复杂的情形
,
难以继续作答
.
可以利用分离参数法简化构造函数
,
使得问题简单求解
.
若求导后不易得到极值点
,
可二次求导
,
还不行时
,
就使用参数讨论法
,
即以参数为分类标准
,
看是否符合题意
.
-
56
-
题型一
题型二
对点训练
3
(2017
安徽合肥一模
,
文
21)
已知函数
f
(
x
)
=
(
a
∈
R
)
.
(1)
求函数
f
(
x
)
的单调区间
;
(2)
若
∀
x
∈
[1,
+∞
),
不等式
f
(
x
)
>-
1
恒成立
,
求实数
a
的取值范围
.
-
57
-
题型一
题型二
-
58
-
题型一
题型二
题型二
证明不等式
(
多维探究
)
突破策略一
作差构造函数
例
4
已知函数
f
(
x
)
=
ln
x-x+
1
.
(1)
讨论
f
(
x
)
的单调性
;
(2)
证明当
x
∈
(1,
+∞
)
时
,
(3)
设
c>
1,
证明当
x
∈
(0,1)
时
,1
+
(
c-
1)
x>c
x
.
思路导引
证明当
x
∈
(0,1)
时
,1
+
(
c-
1)
x>c
x
⇔
设
g
(
x
)
=
1
+
(
c-
1)
x-c
x
,
证
g
(
x
)
>
0,
通过对
g
(
x
)
求导判断
g
(
x
)
的单调性
,
再由
g
(
x
)
的单调性和
g
(
x
)
的几个特殊值证出
g
(
x
)
>
0
.
-
59
-
题型一
题型二
-
60
-
题型一
题型二
-
61
-
题型一
题型二
解题心得
1
.
欲证函数不等式
f
(
x
)
>g
(
x
)(
x>a
),
只需证明
f
(
x
)
-g
(
x
)
>
0(
x>a
),
设
h
(
x
)
=f
(
x
)
-g
(
x
),
即证
h
(
x
)
>
0
.
若
h
(
a
)
=
0,
h
(
x
)
>h
(
a
)(
x>a
)
.
接下来往往用导数证得函数
h
(
x
)
是增函数即可
.
2
.
欲证函数不等式
f
(
x
)
>g
(
x
)(
x
∈
I
,
I
是区间
),
只需证明
f
(
x
)
-g
(
x
)
>
0(
x
∈
I
)
.
设
h
(
x
)
=f
(
x
)
-g
(
x
)(
x
∈
I
),
即证
h
(
x
)
>
0,
也即证
h
(
x
)
min
>
0(
x
∈
I
)(
若
h
(
x
)
min
不存在
,
则须求函数
h
(
x
)
的下确界
),
而这用导数往往容易解决
.
3
.
证明
f
(
x
)
≥
g
(
x
)(
x
∈
I
,
I
是区间
),
只需证明
f
(
x
)
min
≥
g
(
x
)
max
;
证明
f
(
x
)
>g
(
x
)(
x
∈
I
,
I
是区间
),
只需证明
f
(
x
)
min
>g
(
x
)
max
,
或证明
f
(
x
)
min
≥
g
(
x
)
max
且两个最值点不相等
.
-
62
-
题型一
题型二
对点训练
4
(2017
广东汕头高三期末
)
已知
f
(
x
)
=
e
x
-ax
2
,
曲线
y=f
(
x
)
在
(1,
f
(1))
处的切线方程为
y=bx+
1
.
(1)
求
a
,
b
的值
;
(2)
求
f
(
x
)
在
[0,1]
上的最大值
;
(3)
证明
:
当
x>
0
时
,e
x
+
(1
-
e)
x-
1
-x
ln
x
≥
0
.
(1)
解
f'
(
x
)
=
e
x
-
2
ax
,
由题设得
f'
(1)
=
e
-
2
a=b
,
f
(1)
=
e
-a=b+
1,
解得
a=
1,
b=
e
-
2
.
(2)
解
由
(1)
知
f
(
x
)
=
e
x
-x
2
,
∴
f'
(
x
)
=
e
x
-
2
x
,
设
h
(
x
)
=
e
x
-
2
x
,
h'
(
x
)
=
e
x
-
2
.
∴
f'
(
x
)
在
(0,ln
2)
上单调递减
,
在
(ln
2,
+∞
)
上单调递增
,
所以
f'
(
x
)
≥
f'
(ln
2)
=
2
-
2ln
2
>
0,
∴
f
(
x
)
在
[0,1]
上单调递增
,
∴
f
(
x
)
max
=f
(1)
=
e
-
1
.
-
63
-
题型一
题型二
(3)
证明
∵
f
(0)
=
1,
由
(2)
知
,
f
(
x
)
过点
(1,e
-
1),
且
y=f
(
x
)
在
x=
1
处的切线方程为
y=
(e
-
2)
x+
1,
故可猜测当
x>
0,
x
≠1
时
,
f
(
x
)
的图象恒在切线
y=
(e
-
2)
x+
1
的上方
.
下证
:
当
x>
0
时
,
f
(
x
)
≥
(e
-
2)
x+
1
.
设
g
(
x
)
=f
(
x
)
-
(e
-
2)
x-
1
=
e
x
-x
2
-
(e
-
2)
x-
1,
则
g'
(
x
)
=
e
x
-
2
x-
(e
-
2),
设
k
(
x
)
=
e
x
-
2
x-
(e
-
2),
k'
(
x
)
=
e
x
-
2
.
∴
g'
(
x
)
在
(0,ln
2)
上单调递减
,
在
(ln
2,
+∞
)
上单调递增
,
又
g'
(0)
=
3
-
e
>
0,
g'
(ln
2)
=
2
-
2ln
2
-
e
+
2
=
4
-
2ln
2
-
e
<
0,
g'
(1)
=
0,
∴
存在
x
0
∈
(0,ln
2),
使得
g'
(
x
)
=
0,
∴
当
x
∈
(0,
x
0
)
∪
(1,
+∞
)
时
,
g'
(
x
)
>
0;
当
x
∈
(
x
0
,1)
时
,
g'
(
x
)
<
0,
故
g
(
x
)
在
(0,
x
0
)
上单调递增
,
在
(
x
0
,1)
上单调递减
,
在
(1,
+∞
)
上单调递增
,
-
64
-
题型一
题型二
-
65
-
题型一
题型二
突破策略二
移项分别构造函数
例
5
设函数
f
(
x
)
=a
e
x
ln
x+
,
曲线
y=f
(
x
)
在点
(1,
f
(1))
处的切线方程为
y=
e(
x-
1)
+
2
.
(1)
求
a
,
b
;
(2)
证明
f
(
x
)
>
1
.
-
66
-
题型一
题型二
-
67
-
题型一
题型二
-
68
-
题型一
题型二
解题心得
证明不等式
f
(
x
)
≥
g
(
x
)
成立
,
可以构造函数
H
(
x
)
=f
(
x
)
-g
(
x
),
通过证明函数
H
(
x
)
的最小值大于等于零即可
,
可是有时候利用导数求函数
H
(
x
)
的最小值不易
,
可证明
f
(
x
)
的最小值大于等于
g
(
x
)
的最大值即可
.
-
69
-
题型一
题型二
对点训练
5
已知函数
f
(
x
)
=a
e
x
ln
x
,
曲线
y=f
(
x
)
在
x=
1
处的切线与直线
x+
2e
y=
0
垂直
.
(1)
求
a
的值
;
(2)
证明
xf
(
x
)
>
1
-
5e
x-
1
.
-
70
-
题型一
题型二
-
71
-
题型一
题型二
突破策略三
放缩、控元构造函数
例
6
(2013
全国
Ⅱ
)
已知函数
f
(
x
)
=
e
x
-
ln(
x+m
)
.
(1)
设
x=
0
是
f
(
x
)
的极值点
,
求
m
,
并讨论
f
(
x
)
的单调性
;
(2)
当
m
≤
2
时
,
证明
f
(
x
)
>
0
.
-
72
-
题型一
题型二
-
73
-
题型一
题型二
解题心得
判断函数
f
(
x
)
的单调性可求
f'
(
x
)
>
0
或
f'
(
x
)
<
0
的区间
,
若不易求区间
,
可通过组成导函数
f'
(
x
)
的基本函数的单调性判断出导函数的单调性
,
再加上导函数的零点从而得出
f'
(
x
)
>
0
或
f'
(
x
)
<
0
的区间
.
-
74
-
题型一
题型二
对点训练
6
设函数
f
(
x
)
=
(
x+a
)ln
x+b
,
曲线
y=f
(
x
)
在点
(1,
f
(1))
处的切线方程为
x+y-
2
=
0
.
(1)
求
y=f
(
x
)
的解析式
;
(2)
证明
-
75
-
题型一
题型二
-
76
-
题型一
题型二
题型三
突破
3
导数与函数的零点及参数范围
题型一
判断、证明或讨论函数零点个数
突破策略一
应用零点存在性定理
例
1
设函数
f
(
x
)
=
e
2
x
-a
ln
x.
(1)
讨论
f
(
x
)
的导函数
f'
(
x
)
零点的个数
;
(2)
证明
:
当
a>
0
时
,
f
(
x
)
≥
2
a+a
ln
.
思路导引
(1)
讨论
f'
(
x
)
零点的个数要依据
f'
(
x
)
的单调性
,
应用零点存在性定理进行判断
.
-
77
-
题型一
题型二
题型三
-
78
-
题型一
题型二
题型三
解题心得
研究函数零点或方程根的情况
,
可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等
,
并借助函数的大致图象判断函数零点或方程根的情况
.
-
79
-
题型一
题型二
题型三
对点训练
1
已知函数
f
(
x
)
=x
3
-
3
x
2
+ax+
2,
曲线
y=f
(
x
)
在点
(0,2)
处的切线与
x
轴交点的横坐标为
-
2
.
(1)
求
a
的值
;
(2)
证明
:
当
k<
1
时
,
曲线
y=f
(
x
)
与直线
y=kx-
2
只有一个交点
.
-
80
-
题型一
题型二
题型三
(1)
解
f'
(
x
)
=
3
x
2
-
6
x+a
,
f'
(0)
=a
,
曲线
y=f
(
x
)
在点
(0,2)
处的切线方程为
y=ax+
2,
由题设得
=-
2,
所以
a=
1
.
(2)
证明
由
(1)
知
,
f
(
x
)
=x
3
-
3
x
2
+x+
2,
设
g
(
x
)
=f
(
x
)
-kx+
2
=x
3
-
3
x
2
+
(1
-k
)
x+
4,
由题设知
1
-k>
0
.
当
x
≤
0
时
,
g'
(
x
)
=
3
x
2
-
6
x+
1
-k>
0,
g
(
x
)
单调递增
,
g
(
-
1)
=k-
1
<
0,
g
(0)
=
4
>
0,
所以
g
(
x
)
=
0
在
(
-∞
,0]
有唯一实根
.
当
x>
0
时
,
令
h
(
x
)
=x
3
-
3
x
2
+
4,
则
g
(
x
)
=h
(
x
)
+
(1
-k
)
x>h
(
x
)
.
h'
(
x
)
=
3
x
2
-
6
x=
3
x
(
x-
2),
h
(
x
)
在
(0,2)
内单调递减
,
在
(2,
+∞
)
内单调递增
,
所以
g
(
x
)
>h
(
x
)
≥
h
(2)
=
0,
所以
g
(
x
)
=
0
在
(0,
+∞
)
内没有实根
.
综上
,
g
(
x
)
=
0
在
R
有唯一实根
,
即曲线
y=f
(
x
)
与直线
y=kx-
2
只有一个交点
.
-
81
-
题型一
题型二
题型三
突破策略二
分类讨论法
例
2
已知函数
f
(
x
)
=x
3
+ax+
,
g
(
x
)
=-
ln
x.
(1)
当
a
为何值时
,
x
轴为曲线
y=f
(
x
)
的切线
;
(2)
用
min{
m
,
n
}
表示
m
,
n
中的最小值
,
设函数
h
(
x
)
=
min{
f
(
x
),
g
(
x
)}(
x>
0),
讨论
h
(
x
)
零点的个数
.
思路导引
(1)
设切点
(
x
0
,0),
依题意
f
(
x
0
)
=
0,
f'
(
x
0
)
=
0,
得关于
a
,
x
0
的方程组解之
.
(2)
为确定出
h
(
x
),
对自变量
x>
0
分类讨论
;
确定出
h
(
x
)
后
,
对参数
a
分类讨论
h
(
x
)
零点的个数
,
h
(
x
)
零点的个数的确定要依据
h
(
x
)
的单调性和零点存在性定理
.
-
82
-
题型一
题型二
题型三
-
83
-
题型一
题型二
题型三
-
84
-
题型一
题型二
题型三
-
85
-
题型一
题型二
题型三
解题心得
1
.
如果函数中没有参数
,
那么可以直接一阶求导得出函数的极值点
,
判断极值点大于
0
和小于
0
的情况
,
进而判断函数零点的个数
.
2
.
如果函数中含有参数
,
那么一阶导数的正负往往不好判断
,
这时要对参数进行分类
,
在参数的小范围内判断导数的符号
.
如果分类也不好判断
,
那么需要对一阶导函数进行再次求导
,
在判断二阶导数的正负时
,
也可能需要分类
.
-
86
-
题型一
题型二
题型三
对点训练
2
(2017
福建莆田一模
,
文
21)
已知函数
f
(
x
)
=
2
x
3
-
3
x
2
+
1,
g
(
x
)
=kx+
1
-
ln
x.
(1)
设函数
当
k<
0
时
,
讨论
h
(
x
)
零点的个数
;
(2)
若过点
P
(
a
,
-
4)
恰有三条直线与曲线
y=f
(
x
)
相切
,
求
a
的取值范围
.
g'
(
x
)
<
0,
g
(
x
)
在
[1,
+∞
)
上单调递减
,
g
(
x
)
的最大值为
g
(1)
=k+
1
.
当
k<-
1
时
,
g
(1)
<
0,
g
(
x
)
在
[1,
+∞
)
上无零点
;
当
k=-
1
时
,
g
(1)
=
0,
g
(
x
)
在
[1,
+∞
)
上有
1
个零点
;
当
-
1
0,
g
(e)
=k
e
<
0,
g
(
x
)
在
[1,
+∞
)
上有
1
个零点
;
综上所述
,
k<-
1
时
,
h
(
x
)
有
1
个零点
;
-
1
≤
k<
0
时
,
h
(
x
)
有两个零点
.
-
87
-
题型一
题型二
题型三
(2)
设切点
(
t
,
f
(
t
)),
f'
(
x
)
=
6
x
2
-
6
x
,
∴
切线斜率
f'
(
t
)
=
6
t
2
-
6
t
,
∴
切线方程为
y-f
(
t
)
=
(6
t
2
-
6
t
)(
x-t
),
∵
切线过
P
(
a
,
-
4),
∴
-
4
-f
(
t
)
=
(6
t
2
-
6
t
)(
a-t
),
∴
4
t
3
-
3
t
2
-
6
t
2
a+
6
ta-
5
=
0,
①
由题意
,
方程
①
有
3
个解
.
令
H
(
t
)
=
4
t
3
-
3
t
2
-
6
t
2
a+
6
ta-
5,
-
88
-
题型一
题型二
题型三
-
89
-
题型一
题型二
题型三
题型二
已知零点个数求参数范围
突破策略一
最小值法
例
3
(2017
内蒙古包头一模
,
文
20)
已知函数
f
(
x
)
=a
x
+x
2
-x
ln
a
(
a>
0,
a
≠1)
.
(1)
当
a>
1
时
,
求证
:
函数
f
(
x
)
在
(0,
+∞
)
上单调递增
;
(2)
若函数
y=|f
(
x
)
-t|-
1
有三个零点
,
求
t
的值
.
思路导引
(1)
先求
f
(
x
)
的导函数
f'
(
x
),
再证明
f'
(
x
)
>
0
.
(2)
由题意知当
a>
0,
a
≠1
时
,
f'
(
x
)
=
0
有唯一解
x=
0,
y=|f
(
x
)
-t|-
1
有三个零点
⇔
f
(
x
)
=t
±
1
有三个根
,
从而
t-
1
=f
(
x
)
min
=f
(0)
=
1,
解
t
即得
.
-
90
-
题型一
题型二
题型三
(1)
证明
f'
(
x
)
=a
x
ln
a+
2
x-
ln
a=
2
x+
(
a
x
-
1)ln
a
,
由于
a>
1,
当
x
∈
(0,
+∞
)
时
,ln
a>
0,
a
x
-
1
>
0,
所以
f'
(
x
)
>
0,
故函数
f
(
x
)
在
(0,
+∞
)
上单调递增
.
(2)
解
当
a>
0,
a
≠1
时
,
∵
f'
(
x
)
=
2
x+
(
a
x
-
1)ln
a
,
∴
[
f'
(
x
)]
'=
2
+a
x
(ln
a
)
2
>
0,
∴
f'
(
x
)
在
R
上单调递增
,
∵
f'
(0)
=
0,
故
f'
(
x
)
=
0
有唯一解
x=
0
,
∴
x
,
f'
(
x
),
f
(
x
)
的变化情况如下表所示
:
又函数
y=|f
(
x
)
-t|-
1
有三个零点
,
∴
方程
f
(
x
)
=t
±
1
有三个根
,
而
t+
1
>t-
1,
所以
t-
1
=f
(
x
)
min
=f
(0)
=
1,
解得
t=
2
.
-
91
-
题型一
题型二
题型三
解题心得
在已知函数
y=f
(
x
)
有几个零点求
f
(
x
)
中参数
t
的值或范围问题时
,
经常从
f
(
x
)
中分离出参数
t=g
(
x
),
然后用求导的方法求出
g
(
x
)
的最值
,
再根据题意求出参数
t
的值或范围
.
-
92
-
题型一
题型二
题型三
对点训练
3
已知函数
f
(
x
)
=
2ln
x-x
2
+ax
(
a
∈
R
)
.
(1)
当
a=
2
时
,
求
f
(
x
)
的图象在
x=
1
处的切线方程
;
(2)
若函数
g
(
x
)
=f
(
x
)
-ax+m
在
上有两个零点
,
求实数
m
的取值范围
.
-
93
-
题型一
题型二
题型三
-
94
-
题型一
题型二
题型三
-
95
-
题型一
题型二
题型三
-
96
-
题型一
题型二
题型三
-
97
-
题型一
题型二
题型三
-
98
-
题型一
题型二
题型三
解题心得
在已知函数零点个数的情况下
,
求参数的范围问题
,
通常采用分类讨论法
,
依据题目中的函数解析式的构成
,
将参数分类
,
在参数的小范围内研究函数零点的个数是否符合题意
,
将满足题意的参数的各个小范围并在一起
,
即为所求参数范围
.
-
99
-
题型一
题型二
题型三
对点训练
4
已知函数
f
(
x
)
=
(
x-
2)e
x
+a
(
x-
1)
2
.
(1)
讨论
f
(
x
)
的单调性
;
(2)
若
f
(
x
)
有两个零点
,
求
a
的取值范围
.
解
(1)
f'
(
x
)
=
(
x-
1)e
x
+
2
a
(
x-
1)
=
(
x-
1)(e
x
+
2
a
)
.
(
ⅰ
)
设
a
≥
0,
则当
x
∈
(
-∞
,1)
时
,
f'
(
x
)
<
0;
当
x
∈
(1,
+∞
)
时
,
f'
(
x
)
>
0
.
所以
f
(
x
)
在
(
-∞
,1)
内单调递减
,
在
(1,
+∞
)
内单调递增
.
-
100
-
题型一
题型二
题型三
-
101
-
题型一
题型二
题型三
-
102
-
题型一
题型二
题型三
题型三
与函数零点有关的证明问题
突破策略
等价转换后构造函数证明
例
5
(2017
宁夏中卫二模
)
设函数
f
(
x
)
=x
2
-a
ln
x
,
g
(
x
)
=
(
a-
2)
x.
(1)
求函数
f
(
x
)
的单调区间
;
(2)
若函数
F
(
x
)
=f
(
x
)
-g
(
x
)
有两个零点
x
1
,
x
2
,
①
求满足条件的最小正整数
a
的值
;
-
103
-
题型一
题型二
题型三
-
104
-
题型一
题型二
题型三
-
105
-
题型一
题型二
题型三
-
106
-
题型一
题型二
题型三
-
107
-
题型一
题型二
题型三
解题心得
证明与零点有关的不等式
,
函数的零点本身就是一个条件
,
即零点对应的函数值为
0,
证明的思路一般对条件等价转化
,
构造合适的新函数
,
利用导数知识探讨该函数的性质
(
如单调性、极值情况等
),
再结合函数图象来解决
.
-
108
-
题型一
题型二
题型三
①
1
+a
≤
0,
即
a
≤
-
1,
x
∈
(0,
+∞
)
时
,
h'
(
x
)
>
0,
h
(
x
)
在
(0,
+∞
)
递增
;
②
a+
1
>
0,
即
a>-
1,
x
∈
(0,1
+a
)
时
,
h'
(
x
)
<
0,
x
∈
(1
+a
,
+∞
)
时
,
h'
(
x
)
>
0,
h
(
x
)
在
(0,1
+a
)
递减
,
在
(1
+a
,
+∞
)
递增
,
综上
,
当
a>-
1
时
,
h
(
x
)
在
(0,1
+a
)
递减
,
在
(1
+a
,
+∞
)
递增
,
当
a
≤
-
1
时
,
h
(
x
)
在
(0,
+∞
)
递增
.
-
109
-
题型一
题型二
题型三
