高考文数试题汇编数列

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高考文数试题汇编数列

‎2014年高考文数汇编(数列)‎ D1 数列的概念与简单表示法 ‎16.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 数列{an}满足an+1=,a8=2,则a1=________.‎ ‎16. ‎ D2 等差数列及等差数列前n项和 ‎2.[2014·重庆卷] 在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则a7=(  )‎ A.5 B.8 C.10 D.14‎ ‎2.B ‎ ‎5.[2014·天津卷] 设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1=(  )‎ A.2 B. -2 C . D.- ‎5.D ‎ ‎17.[2014·福建卷] 在等比数列{an}中,a2=3,a5=81.‎ ‎(1)求an;‎ ‎(2)设bn=log3an,求数列{bn}的前n项和Sn.‎ 解:(1)设{an}的公比为q,依题意得 解得 因此,an=3n-1.‎ ‎(2)因为bn=log3an=n-1,‎ 所以数列{bn}的前n项和Sn==.‎ ‎16.[2014·湖南卷] 已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=2an+(-1)nan,求数列{bn}的前2n项和.‎ 解:(1)当n=1时,a1=S1=1;‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=n.‎ 故数列{an}的通项公式为an=n.‎ ‎(2)由(1)知,bn=2n+(-1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n,则T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n).‎ 记A=21+22+…+22n,B=-1+2-3+4-…+2n,‎ 则A==22n+1-2,‎ B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n.‎ 故数列{bn}的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-2.‎ ‎13.[2014·江西卷] 在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为________.‎ ‎13. ‎ ‎9.[2014·辽宁卷] 设等差数列{an}的公差为d,若数列{‎2a1an}为递减数列,则(  )‎ A.d>0 B.d<0 C.a1d>0 D.a1d<0‎ ‎9.D ‎ ‎17.[2014·全国卷] 数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.‎ ‎(1)设bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列;‎ ‎(2)求{an}的通项公式.‎ 解:(1)由an+2=2an+1-an+2,得 an+2-an+1=an+1-an+2,‎ 即bn+1=bn+2.‎ 又b1=a2-a1=1,‎ 所以{bn}是首项为1,公差为2的等差数列.‎ ‎(2)由(1)得bn=1+2(n-1),‎ 即an+1-an=2n-1.‎ 于是 所以an+1-a1=n2,‎ 即an+1=n2+a1.‎ 又a1=1,所以{an}的通项公式an=n2-2n+2.‎ ‎5.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=(  )‎ A.n(n+1) B.n(n-1) C. D. ‎5.A ‎ ‎19.[2014·山东卷] 在等差数列{an}中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=a,记Tm=-b1+b2-b3+b4-…+(-1)nbn,求Tn.‎ 解:(1)由题意知,(a1+d)2=a1(a1+3d),‎ 即(a1+2)2=a1(a1+6),解得a1=2.‎ 故数列{an}的通项公式为an=2n.‎ ‎(2)由题意知,bn=a=n(n+1),‎ 所以Tn=-1×2+2×3-3×4+…+(-1)nn×(n+1).‎ 因为bn+1-bn=2(n+1),‎ 所以当n为偶数时,‎ Tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+…+(-bn-1+bn)‎ ‎=4+8+12+…+2n ‎= ‎=,‎ 当n为奇数时,‎ Tn=Tn-1+(-bn)‎ ‎=-n(n+1)‎ ‎=-.‎ 所以Tn= ‎19.[2014·浙江卷] 已知等差数列{an}的公差d>0.设{an}的前n项和为Sn,a1=1,S2·S3=36.‎ ‎(1)求d及Sn;‎ ‎(2)求m,k(m,k∈N*)的值,使得am+am+1+am+2+…+am+k=65.‎ 解:(1)由题意知(‎2a1+d)(‎3a1+3d)=36,‎ 将a1=1代入上式解得d=2或d=-5.‎ 因为d>0,所以d=2.‎ 从而an=2n-1,Sn=n2(n∈N*).‎ ‎(2)由(1)得am+am+1+am+2+…+am+k=(‎2m+k-1)(k+1),‎ 所以(‎2m+k-1)(k+1)=65.‎ 由m,k∈N*知‎2m+k-1≥k+1>1,‎ 故所以 ‎16.[2014·重庆卷] 已知{an}是首项为1,公差为2的等差数列,Sn表示{an}的前n项和.‎ ‎(1)求an及Sn;‎ ‎(2)设{bn}是首项为2的等比数列,公比q满足q2-(a4+1)q+S4=0,求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.‎ 解:(1)因为{an}是首项a1=1,公差d=2的等差数列,所以 an=a1+(n-1)d=2n-1.‎ 故Sn=1+3+…+(2n-1)===n2.‎ ‎(2)由(1)得a4=7,S4=16.因为q2-(a4+1)q+S4=0,即q2-8q+16=0,‎ 所以(q-4)2=0,从而q=4.‎ 又因为b1=2,{bn}是公比q=4的等比数列,‎ 所以bn=b1qn-1=2×4n-1=22n-1.‎ 从而{bn}的前n项和Tn==(4n-1).‎ D3 等比数列及等比数列前n项和 ‎12.[2014·安徽卷] 如图13,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2,过点A作BC的垂线,垂足为A1;过点A1作AC的垂线,垂足为A2;过点A2作A‎1C的垂线,垂足为A3;….依此类推,设BA=a1,AA1=a2,A‎1A2=a3,…,A‎5A6=a7,则a7=________.‎ 图13‎ ‎12. ‎ ‎13.、[2014·广东卷] 等比数列{an}的各项均为正数,且a‎1a5=4,则log‎2a1+log‎2a2+log‎2a3+log‎2a4+log‎2a5=________.‎ ‎13.5 ‎ ‎19.[2014·湖北卷] 已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式.‎ ‎(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.‎ 解:(1)设数列{an}的公差为d,‎ 依题意知,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),‎ 化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4,‎ 当d=0时,an=2;‎ 当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2,‎ 从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2.‎ ‎(2)当an=2时,Sn=2n,显然2n<60n+800,‎ 此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立.‎ 当an=4n-2时,Sn==2n2.‎ 令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0,‎ 解得n>40或n<-10(舍去),‎ 此时存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值为41.‎ 综上,当an=2时,不存在满足题意的正整数n;‎ 当an=4n-2时,存在满足题意的正整数n,其最小值为41.‎ ‎7.[2014·江苏卷] 在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+‎2a4,则a6的值是________.‎ ‎7.4 ‎ ‎8.[2014·全国卷] 设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=(  )‎ A.31 B.32 C.63 D.64‎ ‎8.C [解析] 设等比数列{an}的首项为a,公比为q,易知q≠‎ ‎1,根据题意可得解得q2=4,=-1,所以S6==(-1)(1-43)=63.‎ ‎5.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=(  )‎ A.n(n+1) B.n(n-1) C. D. ‎5.A [解析] 由题意,得a2,a2+4,a2+12成等比数列,即(a2+4)2=a2(a2+12),解得a2=4,即a1=2,所以Sn=2n+×2=n(n+1).‎ ‎16.[2014·陕西卷] △ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.‎ ‎(1)若a,b,c成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);‎ ‎(2)若a,b,c成等比数列,且c=‎2a,求cos B的值.‎ 解: (1)∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.‎ ‎∵sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),‎ ‎∴sin A+sin C=2sin(A+C).‎ ‎(2)由题设有b2=ac,c=‎2a,‎ ‎∴b=a.‎ 由余弦定理得cos B===.‎ ‎20.[2014·天津卷] 已知q和n均为给定的大于1的自然数,设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn-1,xi∈M,i=1,2,…,n}.‎ ‎(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A.‎ ‎(2)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.证明:若an<bn,则s<t.‎ 解:(1)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x1+x2·2+x3·22,xi∈M,i=1,2,3},可得A={0,1,2,3,4,5,6,7}.‎ ‎(2)证明:由s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,ai,bi∈M,i=1,2,…,n及an1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.‎ ‎17.解:(1)由Sn=,得a1=S1=1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-2,a1也符合上式,所以数列{an}的通项公式为an=3n-2.‎ ‎(2)证明:要使得a1,an,am成等比数列,只需要a=a1·am,即(3n-2)2=1·(‎3m-2),即m=3n2-4n+2.而此时m∈N*,且m>n,‎ 所以对任意的n>1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.‎ ‎19.[2014·四川卷] 设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图像上(n∈N*).‎ ‎(1)证明:数列{bn}为等比数列;‎ ‎(2)若a1=1,函数f(x)的图像在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2-,求数列{anb}的前n项和Sn.‎ ‎19.解:(1)证明:由已知得,bn=2an>0,‎ 当n≥1时,=2an+1-an=2d.‎ 故数列{bn}是首项为‎2a1,公比为2d的等比数列.‎ ‎(2)函数f(x)=2x在点(a2,b2)处的切线方程为y-‎2a2=(‎2a2ln 2)(x-a2),‎ 其在x轴上的截距为a2-.‎ 由题意知,a2-=2-,‎ 解得a2=2,‎ 所以d=a2-a1=1,an=n,bn=2n,anb=n·4n.‎ 于是,Sn=1×4+2×42+3×43+…+(n-1)×4n-1+n×4n,‎ ‎4Sn=1×42+2×43+…+(n-1)×4n+n×4n+1,‎ 因此,Sn-4Sn=4+42+…+4n-n·4n+1=-n·4n+1=,‎ 所以,Sn=.‎ ‎ ‎
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