广州市2021届高三年级阶段训练数学试卷

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数学试卷 第 1 页 （共 5 页） 秘密 ★ 启用前 试卷类型： A 广州市 2021 届高三年级阶段训练 数学 本试卷共 5 页，22 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的 答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能 答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目 指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答 案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1. 设集合    0,1,2 , | 1A B x x   ，则 AB 的子集个数为 A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 2. 已知复数 1 2iz  ，则 2z  A. 3 B. 3 C. 5 D. 5 3. 设 na 是公差为正数的等差数列，若 2 1 35, 16a a a，则 12a  A. 12 B. 35 C. 75 D. 90 4. 中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:“ 今有牛、马、羊食人苗. 苗主责之粟 五斗.羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？”翻译过来就 是：现有牛、马、羊吃了人家的田里的青苗，青苗主人要求三畜的主人一共赔偿粟米 5 斗. 羊主人说：“我的羊所吃数是马的一半.”马主人说：“我的马所吃数是牛的一半.”现在按照三 畜所吃青苗数的比例进行分配赔偿，问牛、马、羊的主人赔偿粟米斗数分别为 A. 20 7 ，10 7 ， 5 7 B. ， ， C. ， ， D. ， ， 5. 已知  fx，  gx分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且     32f x g x x x a    ， 则  2g  A. 4 B. 4 C. 8 D. 8 数学试卷 第 2 页 （共 5 页） 6. 某学校鼓励学生参加社区服务, 学生甲 2019 年每月参加社区服务的时长（单位：小时） 分别为 1x ， 2x ， ， 12x ，其均值和方差分别为 x 和 2s ，若 2020 年甲每月参加社区服务 的时长增加 1 小时，则 2020 年甲参加社区服务时长的均值和方差分别为 A. x ， 2s B. 1 x ， 21 s C. x ， D. 1+x ， 7. 61 ax x 的展开式中的常数项为160 ，则 a 的值为 A. 2 B. 2 C. 4 D. 4 8. 在长方体 1111 DCBAABCD  中， 1 21AB CC BC  ， ，点 M 在正方形 11CCDD 内， MC1 平面 CMA1 ，则三棱锥 11CCAM  的外接球表面积为 A. 11 2  B. 7 C. 11 D. 14 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分． 9. 以下四个命题中，真命题的是 A. 若 pq 为真命题，则 ,pq均为真命题 B. “ 2x  ”是“ lg(3 ) 0x”的必要不充分条件 C. 若命题 2: , 1 0p x x x    R ，则 p 2: , 1 0x x x    R D. 若 0ab，则 22a ab b 10. 已知 P 是双曲线 :C 22 16 9 1xy右支上一点， 1F , 2F 分别是 C 的左, 右焦点，O 为坐 标原点， 1 9 4OP OF   ，则 A. C 的离心率为 5 4 B. 的渐近线方程为 4 3yx C. 点 P 到C 的左焦点距离是 4 23 D. 12PF F△ 的面积为 4 45 11. 已知函数 ( ) | sin cos | (sin cos ),f x x x x x x   R，则 A. ()fx在 π0, 4   上单调递增 B. 是周期函数，且周期为 2 π C. 有对称轴 D. 函数 ( ) ( ) 1g x f x在 ( π,π) 上有且仅有一个零点 数学试卷 第 3 页 （共 5 页） 12. 已知直线 2 xy 分别与函数 1 e2 xy  和  ln 2yx 的图象交于点 11( , )A x y ， 22( , )B x y ，则 A. 12e e 2exx B. 12 e 4xx  C. 1 22 1 ln ln 0x xxx  D.  1 2e ln 2 >2x x 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 已知 1e ， 2e 是互相垂直的单位向量，若 123 ee与 12ee的夹角为90 ，则实数  的 值是 ． 14. 函数 ( ) sinf x x x 在点 π π,22f  处的切线方程为 ． 15. 广东省 2021 年的新高考按照“3 1 2 ”的模式设置，“3 ”为全国统一高考的语文、 数学、外语3 门必考科目；“1”由考生在物理、历史 2 门中选考 门科目；“ ”由考生在 思想政治、地理、化学、生物学 4 门中选考 2 门科目. 则甲，乙两名考生在选考科目中恰有 两门科目相同的方法数为 . 16．已知抛物线 :C 2 2 ( 0)y px p的焦点为 F ，过点 F 且斜率为 3 的直线l 交C 于 A , B 两点，以线段 AB 为直径的圆交 y 轴于 M ，N 两点，设线段 AB 的中点为Q ，若点 到 C 的准线的距离为3 ，则 QMNsin 的值为 ． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（10 分） 在① cos sina B b A ，② 2 2 22b ac a c   ，③sin cos 2BB这三个条件中 任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题. 问题：已知△ ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ， ， △ 的面积为 2 ， 2a ，求b . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18.（12 分） 已知数列{}na 的前 n 项和 nS 满足 223nS n n，数列 3{log }nb 是公差为 1 的等差数 列， 1 1b  . （1）求数列 ，{}nb 的通项公式； （2）设 1212   nnn bac ，求数列{}nc 的前 n 项和 nT . 数学试卷 第 4 页 （共 5 页） 19.（12分） 某学校高三年级数学备课组的老师为了解新高三年级学生在假期的自学情况，在开学初 进行了一次摸底测试，根据测试成绩评定“优秀”、“良好”、“要加油”三个等级，同时对相 应等级进行量化：“优秀”记10分，“良好”记5 分，“要加油”记 0 分. 现随机抽取年级120 名 学生的成绩，统计结果如下所示： （1）若测试分数90 分及以上认定为优良. 分数段在 150120， ， 12090， ， 0 90， 内女生 的人数分别为 4 人， 40 人， 20 人，完成下面的 22 列联表，并判断：是否有95％以上的 把握认为性别与数学成绩优良有关？ （2）用分层抽样的方法，从评定为“优秀”、“良好”、“要加油”的三个等级的学生中选取10 人进行座谈，现再从这10人中任选 2 人，所选 2 人的量化分之和记为 X ，求 的分布列及 数学期望 ()EX . 附表及公式： 2 2 () ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    . 20.（12 分） 如图，在四棱锥 E ABCD 中，底面 ABCD为菱形，BE ⊥平面 ，G 为 AC 与 BD 的交点. （1）证明：平面 AEC ⊥平面 BED ； （2）若 60BAD ， AE ⊥ EC ， 求直线 EG 与平面 EDC 所成角的正弦值． 等级 优秀 良好 要加油 得分  0,90 频数 12 72 36 是否优良 性别 优良 非优良 总计 男生 女生 总计 2 0()P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 数学试卷 第 5 页 （共 5 页） 21.（12 分） 已知椭圆 )0(1: 2 2 2 2  bab y a xC 经过点 21, 2P  ，且两焦点与短轴的两个端点的 连线构成一正方形. （1）求椭圆C 的方程； （2）过椭圆 的右焦点 F 的直线l （与 x 轴不重合）与椭圆 交于 M ， N 两点. 是否存 在一定点 )0,(tE ，使得 轴上的任意一点(异于点 E ， F )到直线 EM ， EN 的距离相等？ 若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由． 22.（12 分） 已知函数 21( ) ( )ln 12f x x a x x ax a      ． （1）若 1a  ，求函数  fx的单调区间； （2）若   21ln 22f x a x x x   在 1,  上恒成立，求整数 a 的最大值．