2018届二轮复习（理）数学归纳法学案（全国通用）

2018届二轮复习（理）数学归纳法学案（全国通用）

专题11.4 数学归纳法 ‎【最新考纲解读】‎ 内 容 要 求 备注 A　　‎ B　　‎ C　　‎ 推理与证明　　‎ 数学归纳法的原理　　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.‎ 了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.‎ 理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.‎ 掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.‎ 数学归纳法的简单应用　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎【考点深度剖析】‎ ‎ 1. 江苏高考中，经常考有难度的数学归纳法，利用归纳和类比的方法进行推理是新课标倡导的精神，主要考查学生探索创新能力.‎ ‎2. 数学归纳法既是方法，又是思想，更是能力.不仅需要归纳能力，更需要探究能力、创新能力、构造能力.做一些有难度的数学归纳法试题，有助于培养思维品质，提高分析问题及解决问题的能力.‎ ‎【课前检测训练】‎ ‎【判一判】‎ 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(　　)‎ ‎(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(　　)‎ ‎(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．(　　)‎ ‎(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(　　)‎ ‎(5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－‎1”‎，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(　　)‎ ‎(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.(　　)‎ ‎1. ×2. ×3. ×4. ×5. √6. √‎ ‎【练一练】‎ ‎1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝ (a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，等式左边的项是(‎ ‎　　)‎ A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3‎ ‎【答案】C ‎2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．0‎ ‎【答案】C ‎【解析】凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n＝3.‎ ‎3．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　)‎ A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋ B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋ D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ ‎【答案】D ‎4．设Sn＝1＋＋＋＋…＋，则Sn＋1－Sn＝____________________________.‎ ‎【答案】＋＋＋…＋ ‎【解析】∵Sn＋1＝1＋＋…＋＋＋…＋，‎ Sn＝1＋＋＋＋…＋，‎ ‎∴Sn＋1－Sn＝＋＋＋…＋.‎ ‎5．已知{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n∈N*，且a1＝2，则a2＝________，a3＝______，a4＝________，猜想an＝________.‎ ‎【答案】3　4　5　n＋1‎ ‎【题根精选精析】‎ 考点：数学归纳法 ‎【1-1】用数学归纳法证明“”（）时，从 ‎ ‎“”时，左边应增添的式子是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时，左边为：；当时，左边为：，左边多了 ‎ ‎【1-2】用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开 ．‎ ‎【答案】(k＋3)3‎ ‎【1-3】若，则对于， ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【1-4】在数列中，，，且.‎ ‎（1）求、，猜想的表达式，并加以证明；‎ ‎（2）设，求证：对任意的自然数，都有；‎ 由归纳原理知，；‎ ‎（2），‎ ‎，证毕！‎ ‎【1-5】设，其中为正整数．‎ ‎（1）求，，的值；‎ ‎（2）猜想满足不等式的正整数的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．‎ ‎【解析】（1） ‎ ‎（2）猜想： ‎ ‎【基础知识】‎ ‎1. 一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为完全归纳法和不完全归纳法．‎ ‎2．数学归纳法：设是一个与正整数相关的命题集合，如果：①证明起始命题(或)成立；②在假设成立的前提下，推出也成立，那么可以断定对一切正整数成立．‎ ‎3. 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为：‎ ‎①归纳奠基：证明当取第一个自然数时命题成立；‎ ‎②归纳递推：假设，(，)时，命题成立，证明当时，命题成立；‎ ‎③由①②得出结论．‎ ‎【思想方法】‎ ‎1. 明确数学归纳法的两步证明 数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在n＝k＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”．‎ ‎2. 用数学归纳法证明等式应注意的问题 ‎(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值的值．‎ ‎(2)由到时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等．简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．3. 数学归纳法证明不等式的注意问题 ‎(1)当遇到与正整数有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．‎ ‎(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由成立，推证时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．‎ ‎4. “归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用．其关键是观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律．‎ ‎5. 使用数学归纳法需要注意的三个问题 在使用数学归纳法时还要明确：‎ ‎(1)数学归纳法是一种完全归纳法，其中前两步在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可；‎ ‎(2)在运用数学归纳法时，要注意起点，并非一定取1，也可能取0,2等值，要看清题目；‎ ‎(3)第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清楚由到时命题变化的情况．‎ ‎6. 数学归纳法常用于与正整数有关命题的证明可用数学归纳法．例如根据递推公式写出数列的前几项，通过观察项与项数的关系，猜想出数列的通项公式，再用数学归纳法进行证明，初步形成“观察—归纳—猜想—证明”的思维模式；利用数学归纳法证明不等式时，要注意放缩法的应用，放缩的方向应朝着结论的方向进行，可通过变化分子或分母，通过裂项相消等方法达到证明的目的．‎ ‎【温馨提醒】这两个题都是数学归纳法的应用,用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题时，关键在于弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，由到时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项，其难点在于归纳假设后，如何推证对下一个正整数值命题也成立.‎ ‎【易错问题大揭秘】 ‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1．数学归纳法证题时初始值n0不一定是1；‎ ‎2．推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则不是数学归纳法．‎