北京高考文科数学试题及答案解析

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北京高考文科数学试题及答案解析

‎2017年北京市高考文科数学试卷逐题解析 数 学(文)(北京卷)‎ 本试卷共5页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷的答题卡一并交回。‎ 第一部分(选择题 共40分)‎ 一、选择题 ‎1. 已知全集,集合或,则 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】或,,故选.‎ ‎2. 若复数在复平面内对应的点在第二象限,则实数的取值范围是 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在第二象限.‎ 得.故选.‎ ‎3. 执行如图所示的程序框图,输出的值为 ‎ A. ‎ ‎ B. ‎ ‎ C. ‎ ‎ D.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】. 成立,,.‎ 成立,,. 成立,,. ‎ 不成立,输出.故选.‎ ‎4.若满足,则的最大值为 ‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】设,则,当该直线过时,‎ 最大. 当时,取得最大值,故选.‎ ‎5.已知函数,则 ‎ A. 是偶函数,且在上是增函数 B. 是奇函数,且在上是增函数 C. 是偶函数,且在上是减函数 D. 是奇函数,且在上是减函数 ‎【答案】‎ ‎【解析】 且定义域为.‎ 为奇函数. 在上单调递增,在上单调递减在上单调递增.‎ 在上单调递增,故选.‎ ‎6.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由三视图可知三棱锥的直观图如下:,故选.‎ ‎7.设为非零向量,则“存在负数,使得 ”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】‎ ‎【解析】存在负数,使得,且为非零向量.‎ 与方向相反. ‎ ‎“存在负数,使得”是“”的充分条件.‎ 若,则,则.‎ ‎,与不一定反向.‎ 不一定存在负数,使.故选 ‎8.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限约为,而 可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中与最接近的是 ‎(参考数据:)‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,,,两边取对数 第二部分(非选择题 共110分)‎ 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。‎ ‎9.在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称.若,则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意得 所以 ‎10.若双曲线的离心率为,则实数 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意得 且,解得 ‎11.已知,且,则的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 当时,取得最小值为 当或时,取得最大值为 的取值范围为 ‎12.已知点在圆上,点的坐标为,为原点,则的最大值为_______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】点在圆上 ‎ 设点坐标,满足 ‎ ,,‎ ‎ ,‎ ‎ 的最大值为 ‎13.能够说明“设是任意实数.若,则”是假命题的一组整数的值依次为_______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】取分别为不满足,故此命题为假命题 ‎ (此题答案不唯一)‎ ‎14.某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:‎ ‎( i ) 男学生人数多于女学生人数;‎ ‎(ii ) 女学生人数多于教师人数;‎ ‎(iii) 教师人数的两倍多于男学生人数.‎ ‎ ① 若教师人数为,则女学生人数的最大值为_______;‎ ‎ ② 该小组人数的最小值为_______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 ①若教师人数为人,则男生人数小于人,则男生人数最多为人,女生最多为人。‎ ‎ ②若教师人数为人,则男生人数少于人,与已知矛盾 若教师人数为人,则男生人数少于人,与已知矛盾 若教师人数为人,则男生人数少于人,则男生为 人,女生人。‎ 所以小组人数最小值为人 ‎ 三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。‎ ‎15.(本小题13分)‎ 已知等差数列和等比数列满足,,. ‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求和:.‎ ‎【解析】(Ⅰ)设公差为,公比为.‎ 则,即.‎ 故,即.‎ ‎.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,即,则,.‎ 为公比为的等比数列.‎ 构成首项为,公比为的等比数列.‎ ‎.‎ ‎16.(本小题13分)‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求的最小正周期;‎ ‎(Ⅱ)求证:当时,.‎ ‎【解析】(Ⅰ)‎ 所以最小正周期.‎ ‎(Ⅱ)证明:‎ 由(Ⅰ)知.‎ 当,即时,取得最小值.‎ 得证.‎ ‎17.(本小题13分)‎ 某大学艺术专业名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了名学生,记录他们的分数,将数据分成组:,,…,,并整理得到如下频率分布直方图:‎ ‎(I)从总体的名学生中随机抽取一人,估计其分数小于的概率;‎ ‎(II)已知样本中分数小于的学生有人,试估计总体中分数在区间内的人数;‎ ‎(III)已知样本中有一半男生的分数不小于,且样本中分数不小于的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.‎ ‎【解析】‎ ‎(I)由频率分布直方图得:‎ ‎ 分数大于等于的频率为分数在和的频率之和,‎ ‎ 即,由频率估计概率 ‎ 分数小于的概率为 ‎(II)设样本中分数在区间内的人数为,则由频率和为得 ‎ 解之得 ‎ 总体中分数在区间内的人数为(人)‎ ‎(III)设样本中男生人数为,女生人数为 ‎ 样本中分数不小于的人数共有(人)‎ ‎ 分数不小于的人中男生,女生各占人 ‎ 样本中男生人数为(人)‎ ‎ 女生人数为(人)‎ ‎ 总体中男生和女生的比例为 ‎18.(本小题14分)‎ ‎ 如图,在三棱锥中,,,,‎ ‎,为线段的中点,为线段上一点.‎ ‎(I)求证:;‎ ‎(II)求证:平面平面;‎ ‎(III)当平面时,求三棱锥的体积.‎ ‎【解析】‎ ‎(I),,‎ ‎ 又平面,平面 ‎ 平面 ‎ 又平面 ‎ ‎ ‎(II)在中,为中点 ‎ 又 ‎ ‎ ‎ 由(I)知,而,,平面 ‎ 平面 ‎ 又平面且平面 ‎ 平面平面 ‎(III)由题知平面 ‎ 平面,平面平面 ‎ ‎ ‎ 平面平面 ‎ 又为中点 为中点 ‎ ,‎ ‎ 在中,‎ ‎ 且 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19.(本小题14分)‎ 已知椭圆的两个顶点分别为,,焦点在轴上,离心率为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)点为轴上一点,过作轴的垂线交椭圆于不同的两点,,过作的垂线交于点.求证:与的面积之比为. ‎ ‎【解析】(Ⅰ)焦点在轴上且顶点为 椭圆的方程为:‎ ‎(Ⅱ)设且,,则 ‎ ‎ ‎ ‎ 直线:‎ 直线:‎ 由 得 得证 ‎20.(本小题13分)‎ 已知函数.‎ ‎(I)求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(II)求函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【解析】‎ ‎(I)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎ 在点处的切线方程为 ‎(II)令, ‎ ‎ ‎ 而 在区间上单调递减 在区间上单调递减 当时,有最小值 ‎ 当时,有最大值
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