2020-2021年新高三数学一轮复习考点 函数的单调性与奇偶性

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2020-2021年新高三数学一轮复习考点 函数的单调性与奇偶性

2020-2021 年新高三数学一轮复习考点 函数的单调性与奇偶性 一.最新考试说明: 1.理解函数的单调性,会讨论和证明函数的单调性. 【2020 年高考全国Ⅱ卷理数 9】设函数   ln21ln21fxxx  ,则  fx ( ) A.是偶函数,且在 1 ,2  单调递增 B.是奇函数,且在 11,22  单调递减 C.是偶函数,且在 1, 2   单调递增 D.是奇函数,且在 1, 2   单调递减 【答案】D 【思路导引】根据奇偶性的定义可判断出  fx为奇函数,排除 AC;当 11,22x  时,利用函数单调性 的性质可判断出 单调递增,排除 B;当 1, 2x    时,利用复合函数单调性可判断出 单调 递减,从而得到结果. 【解析】由   ln 21ln 21fxxx  得 定义域为 1 2xx ,关于坐标原点对称, 又    ln 1 2ln 21ln 21ln 21fxxxxxf x     ,  fx 为定义域上的奇函数,可排 除 AC;当 时,      ln 2 1 ln 1 2f x x x    ,  ln 2 1yxQ 在 11,22  上单调递增,  ln 1 2yx在 上单调递减, 在 上单调递增,排除 B;当 时,       2 1 2ln 2 1 ln 1 2 ln ln 12 1 2 1 xf x x x xx          , 21 21x   在 1, 2   上单调递减,   lnf  在定义域内单调递增,根据复合函数单调性可知: 在 上单调递减,D 正确.故 选 D. 【专家解读】本题的特点是注重函数性质的综合应用,本题考查了函数的奇偶性、单调性,考查数学运算、 逻辑推理等学科素养.解题关键是正确理解函数奇偶性、单调性的含义. 【2020 年高考全国Ⅰ卷理数 12】若 242log42logabab ,则 ( ) A. 2ab B. 2ab C. 2ab D. 2ab 【答案】B 【思路导引】设 2()2log xfxx  ,利用作差法结合 ()fx的单调性即可得到答案. 【解析】设 ,则 为增函数,∵ 2 2422log42log2logabb abb , ∴ ( ) (2 )f a f b  2 222log(2log2)abab 22 222log(2log2)bbbb 2 1l og 1 02    , ∴ ( ) (2 )f a f b  ,∴ .∴ 2( ) ( )f a f b  2 2 222 log (2 log )abab    222 222 log (2 log )bbbb    22 22 2 l o gbb b ,当 1b  时, 2()()20fafb  ,此时 2( ) ( )f a f b  ,有 ;当 2b  时, 2()()10fafb  ,此时 2( ) ( )f a f b  ,有 ,∴C、D 错误,故选 B. 【专家解读】本题的特点函数与方程的灵活运用,本题考查了函数与方程,考查函数的单调性,考查数学 运算、数学建模、逻辑推理等学科素养.解题关键是构造函数,应用函数的单调性解决问题. 【2020 年高考全国Ⅱ卷文数 12 理数 11】若 yxyx   3322 ,则 ( ) A.  ln10yx B.ln(1)0yx C. 0ln  yx D. 0ln  yx 【答案】A 【思路导引】将不等式变为 2323xxyy  ,根据   23ttft 的单调性知 xy ,以此去判断各个 选项中真数与 1 的大小关系,进而得到结果. 【解析】由 2 2 3 3x y x y   得: ,令 , 2 xy  为 R 上的增函数, 3 xy  为 上的减函数,  ft 为 上的增函数, xy , 0yxQ , 11yx ,  ln10yx ,则 A 正确,B 错误; xyQ 与 的大小不确定,故 CD 无法确定,故选 A. 【专家解读】本题的特点是函数单调性的灵活运用,本题考查了转化与化归的数学思想,考查函数的单调 性,考查数式的大小比较,考查数学运算、数学建模等学科素养.解题关键是构造适当的函数,应用函数 的单调性解决问题. 2.理解函数的奇偶性,会判断函数的奇偶性. 【2020 年高考全国Ⅱ卷文数 10】设函数   3 3 1f x x x,则  fx ( ) A.是奇函数,且在  0,  单调递增 B.是奇函数,且在 单调递减 C.是偶函数,且在 单调递增 D.是偶函数,且在 单调递减 【答案】A 【思路导引】根据函数的解析式可知函数的定义域为  0xx ,利用定义可得出函数  fx为奇函数, 再根据函数的单调性法则,即可解出. 【解析】∵函数   3 3 1f x x x 定义域为 ,其关于原点对称,而    f x f x   , ∴函数 为奇函数.又∵函数 3yx 在 ( )0, +? 上单调递增,在 ( ),0-? 上单调递增,而 3 3 1yxx  在 上单调递减,在 上单调递减,∴函数 在 上单调递增,在 上单调递增.故选 A. 【专家解读】本题考查了函数的奇偶性、单调性,考查数学运算学科素养.解题关键是正确理解函数奇偶 性、单调性的含义. 【2018 年高考全国Ⅱ卷理数】函数   2 eexx fx x  的图像大致为 【答案】B 【解析】      2 ee0,, xx xfxf xf x x     为奇函数,舍去 A;   11 e e 0f    ,∴ 舍去 D;          2 43 e ee e 2 2 e2 e , x xx x xxxxxxfx xx      2x时,   0fx  , ()fx单调 递增,舍去 C.因此选 B. 【名师点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路:(1)由函数的定义域,判断图象左右的位置, 由函数的值域,判断图象的上下位置;(2)由函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)由函数的奇偶性, 判断图象的对称性;(4)由函数的周期性,判断图象的周期性. 【2020 年福建高三模拟】下列函数为奇函数的是 A. yx B. sinyx C. c osyx D. xxy e e  【答案】D 【解析】∵函数 yx 的定义域为[0, ) ,不关于原点对称,所以函数 yx 为非奇非偶函数,排除 A; 因为 | s i n |yx 为偶函数,所以排除 B;因为 c osyx 为偶函数,所以排除 C;因为 () xxyfxee  , ()()() xxxxfxeeeefx    ,所以 () xxyfxee  为奇函数. 3.利用函数奇偶性求函数值及求参数值. 【2020 年高考江苏卷 7】已知 ()y f x 是奇函数,当 0x  时, 2 3()f x x  ,则 ( 8 )f  的值是 . 【答案】 4 【解析】 ()y f x 是奇函数,当 0x  时, 2 3()f x x  ,则 2 3(8)(8)84ff . 【专家解读】本题考查了函数的奇偶性,考查数学运算学科素养.解题关键是正确应用函数的奇偶性. 【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】已知 ()fx是奇函数,且当 0x  时, ()e axfx .若 (ln 2)8f  ,则 a  __________. 【答案】 3 【解析】由题意知 ()fx是奇函数,且当 0x  时, ,又因为ln 2 (0,1) , , 所以 ln2e8a ,两边取以 e 为底数的对数,得 ln 2 3ln 2a,所以 3a ,即 3a  . 【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性,对数的计算. 【2015 新课标Ⅰ】若函数 2()ln()fxxxax 为偶函数,则 a = 【答案】1 【解析】由题意 22( ) ln( ) ( ) ln( )        f x x x a x f x x a x x ,所以 2 2 1    a x x a x x , 解得 1a = . 【2012 安徽】若函数 ( ) | 2 |f x x a的单调递增区间是 ),3[  ,则 a =________. 【答案】 6 【解析】由 2 2() 2 2 axax fx axax     … 可知 ()fx的单调递增区间为 [ , ) 2 a  ,故 362 a a . 二.命题方向预测: 1.利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式、求变量的取值是历年高考考查的热点. 2.函数的奇偶性是高考考查的热点. 3.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性求函数值及求参数值等问题 是重点,也是难点. 4.题型以选择题和填空题为主,函数性质与其它知识点交汇命题. 三.课本结论总结: 1.奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上若 有单调性,则其单调性恰恰相反. 注意:确定函数的奇偶性,务必先判定函数定义域是否关于原点对称.确 定函数奇偶性的常用方法有:定义法、图像法、性质法等. 2.若奇函数定义域中有 0,则必有 (0 ) 0f  .即 0 ( ) fx 的定义域时, (0 ) 0f  是 ()fx为奇函数的必要 非充分条件. 对于偶函数而言有: ()()(||)fxfxfx . 3.确定函数的单调性或单调区间,在解答题中常用:定义法(取值、作差、鉴定)、导数法;在选择、填 空题中还有:数形结合法(图像法)、特殊值法等等. 4.若函数  fx的定义域关于原点对称,则 可以表示为          11 22fxfxfxfxfx , 该式的特点是:右端为一个奇函数和一个偶函数的和. 5.既奇又偶函数有无穷多个( ()0fx ,定义域是关于原点对称的任意一个数集). 6.复合函数的单调性特点是:“同增异减”;复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”.复合函数 要考虑定义域的变化(即复合有意义). 7.函数  xfy  与函数  xfy  的图像关于直线 0x ( y 轴)对称. 8.函数 与函数  xfy  的图像关于直线 0y ( x 轴)对称. 9.函数 与函数  y f x   的图像关于坐标原点中心对称. 10.函数 xya 与函数  log0,1ayxaa 的图像关于直线 yx 对称. 四、名师二级结论: 一个防范 函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制.例如函数 1y= x 分别在(-∞,0),(0,+∞) 内都是单调递减的,但不能说它在整个定义域即(-∞,0)∪(0,+∞)内单调递减,只能分开写,即函数 的单调减区间为(-∞,0)和(0,+∞),不能用“∪”连接. 一条规律 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件. 注意:分段函数判断奇偶性应分段分别证明 f(-x)与 f(x)的关系,只有当对称的两段上都满足相同的关系 时,才能判断其奇偶性. 两个应用 1.已知函数的奇偶性求函数的解析式. 抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式,或充分利用奇偶性产生关于 f(x)的方程,从而可得 f(x)的 解析式. 2.已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数. 常常采用待定系数法:利用 f(x)±f(-x)=0 产生关于字母的恒等式,由系数的对等性可得知字母的值. 三种方法 判断函数单调性的三种方法方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)导数法. 判断函数的奇偶性的三种方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)性质法. 在判断函数是否具有奇偶性时,为了便于判断,有时需要将函数进行化简,或应用定义的变通形式: f(-x)=±f(x)  f(-x)±f(x)=0  () () fx fx  =±1,f(x)≠0. 五、课本经典习题: (1)新课标人教 A 版必修一第 36 页练习第 1(3)题 判断下列函数的奇偶性: ( ) 2 1xfx x += . 【经典理由】典型的巩固定义题,可以进行多角度变式. (2)新课标人教 A 版必修一第 44 页复习参考题 A 组第八题 设 2 2 1() 1 xfx x   ,求证:(1) ( ) ( )f x f x ;( 2) 1( ) ( )f f xx  . 【经典理由】典型的巩固定义题,可以进行改编、变式或拓展. (3)新课标人教 A 版必修一第 83 页复习参考题 B 组第 3 题 对于函数    2 21xfxaaR  .(1)探索函数 ()fx的单调性;(2)是否存在实数 a 使 为奇函数? 【经典理由】典型的函数性质应用题,可以进行改编、变式或拓展. (4)新课标人教 A 版必修一第 83 页复习参考题 B 组第 4 题 设 ( ) , ( )22 x x x xe e e ef x g x ,求证: (1)    22()()1gxfx ;( 2) (2)2()()fxfxgx;( 3)    22(2)()()gxgxfx . 【经典理由】典型的证明函数性质题,可以进行改编、变式或拓展. 六.考点交汇展示: (1)函数的奇偶性与导函数交汇 例 1.( 2020·四川高三三模)已知 ()fx是定义在 R 上的偶函数,其导函数为 ()fx .若 0x  时, ( ) 2f x x  , 则不等式 2(2)(1)321fxfxxx 的解集是___________. 【答案】 11, 3  【解析】 【分析】构造 2()()gxfxx,先利用定义判断 ()gx 的奇偶性,再利用导数判断其单调性,转化 为 (2 ) ( 1)g x g x,结合奇偶性,单调性求解不等式即可. 【详解】令 ,则 是 R 上的偶函数, ( ) ( ) 2 0g x f x x   ,则 在(0, ) 上递 减,于是在 ( ,0 ) 上递增.由 得 22(2 ) (2 ) ( 1) ( 1)f x x f x x     ,即 ,于是 (| 2|)(|1|)gxgx ,则| 2 | | 1|xx,解得 11 3x .故答案为: 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的 能力,属于较难题. (2)函数的奇偶性与函数的零点交汇 例 2.已知函数  fx是定义在   ,0 0,   上的偶函数,当 0x  时,     12 1,0 2 { 1 2 , 22 x x fx f x x       , 则函数    41gxfx 的零点个数为( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】求函数    41gxfx 的零点个数只需考查方程   1 4fx 的实根个数,当02x时,   1 1 1 2 1,1 2 2 1 { 1 1,0 12 x x x x fx x              ,  fx在 0,1 上递减,在 1,2 上递增,  21f  ,值域为  0,1 .当 2x  时,    1 22fxfx  ,当 24x时,函数  fx的值域为 10, 2   ,当 46x时, 函数  fx的值域为 10, 4   ,当68x时,函数  fx的值域为 10, 16   ,   1 4fx 在 0x  上有5 个 实根,又函数为偶函数,   1 4fx 在    ,00, 上有 10 个实根,函数    41gxfx 的零点 个数为 10 个,选 D. (3) 函数的奇偶性、单调性与特称命题交汇 例 3.(2020·河北正定中学高三月考)已知定义域为 I 的偶函数 ()fx在 (0, ) 上单调递增,且 0xI, 0()0fx  ,则下列函数中符合上述条件的是( ) A. 2()||fxxx  B. ()22 xxfx  C. 2()log||fxx  D. 4 3()f x x  【答案】C 【解析】 由题意,函数 的图象关于 y 轴对称,但在 1(0 , )2 单调递减,在 1( , )2  单调递增, 不满足题意;函数 的图象关于原点对称,所以函数为奇函数,不满足题意;函数 4 3 34 1( )0f xx x   ,即函数的值域为[0,) ,不满足题意,故选 C. 【考点分类】 热点一 函数的单调性 1.【2017 北京,理 5】已知函数 1( ) 3 ( )3 xxfx ,则 ()fx (A)是奇函数,且在 R 上是增函数 (B)是偶函数,且在 R 上是增函数 (C)是奇函数,且在 R 上是减函数 (D)是偶函数,且在 R 上是减函数 【答案】A 2.已知 )( xf 是定义域为实数集 R 的偶函数, 01  x , 02  x ,若 21 xx  ,则 0)()( 12 12   xx xfxf .如 果 4 3)3 1( f , 3)log(4 8 1 xf ,那么 x 的取值范围为 ( ) (A) )2 1,0( (B) )2,2 1( (C) 1(,1](2,)2  (D) 11(0, ) ( , 2)82 【答案】B 【解析】∵ 01  x , 02  x , 21 xx  ,则 ,∴定义在实数集 上的偶函数 在 ),0[  上是减函数.∵ 3)log(4 8 1 xf , ∴ 4 3)log( 8 1 xf , 即 )3 1()log( 8 1 fxf  . ∴ , 3 1log ,0log 8 1 8 1        x x 或 , 3 1log ,0log 8 1 8 1        x x 解得 12 1  x 或 21  x .∴ 22 1  x .故选 B. 3.( 2020·辽宁高三开学考试)已知函数  fx在定义域(0, ) 上是单调函数,若对任意 (0, )x  ,都有 1[()]2ffx x,则 1()7f 的值是( ). A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】D 【解析】设   txxf  1 ,所以   2tf ,那么   xtxf 1 ,当 tx   0t 时, 21  tt ,解得 1t , 所以   xxf 11 ,那么 8717 1     f ,故选 D. 4. (2020·河南鹤壁高中高三月考)已知 ,函数 ,若 在 上是单调减函 数,则实数 的取值范围是_________________. 【答案】 【解析】 在 上上是单调减函数, , ,设 , ,则 . 【方法规律】 1.对于给出具体解析式的函数,证明其在某区间上的单调性有两种方法: (1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解. (2)可导函数则可以利用导数解之.但是,对于抽象函数单调性的证明,一般采用定义法进行. 2.求函数的单调区间与确定单调性的方法一致. (1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间. (2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义确定单调区间. (3)图象法:如果 f(x)是以图象形式给出的,或者 f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区 间. (4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间. 3.函数单调性的应用:f(x)在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性,则 f(x1)
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