天津专用高考数学总复习专题06数列分项练习理

天津专用高考数学总复习专题06数列分项练习理

专题06 数列 一．基础题组 ‎1.【2005天津，理13】在数列中，，且则__________。‎ ‎【答案】2600‎ ‎【解析】当为奇数时，；当为偶数时，‎ 因此，数列的奇数各项都是1，偶数项成公差为2的等差数列 本题答案填写：2600‎ ‎2.【2006天津，理7】已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设（），则数列的前10项和等于（　　）‎ A．55　　　　 B．‎70　‎　　　　C．85　　　　　D．100‎ ‎【答案】C ‎3.【2006天津，理16】设函数，点表示坐标原点，点，若向量，是与的夹角，（其中），设 ‎，则= ．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】设函数，点表示坐标原点，点，若向量=，是与的夹角，（其中），设，则 ‎=1．‎ ‎4.【2007天津，理8】设等差数列的公差不为0.若是与的等比中项，则 ( )‎ ‎ A.2 B‎.4 ‎C. 6 D.8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎5.【2007天津，理13】设等差数列的公差是2，前项的和为则.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎ 根据题意知代入极限式得 ‎6.【2008天津，理15】已知数列中，，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 所以.‎ ‎7.【2009天津，理6】设a＞0,b＞0.若是‎3a与3b的等比中项,则的最小值为（ ）‎ A.8 B‎.4 C.1 D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】是‎3a与3b的等比中项‎3a·3b＝3‎3a+b＝‎3a+b＝1,∵a＞0,b＞0,∴‎ ‎.∴.‎ ‎8.【2010天津，理6】已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为(　　) ‎ A.或5 B.或‎5 C. D. ‎ ‎【答案】C　‎ ‎∴9S3＝S3＋S3·q3得q3＝8，解得q＝2.‎ ‎∴{}是首项为1，公比为的等比数列．‎ ‎∴其前5项和为 ‎ ‎9.【2011天津，理4】已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，‎ 为的前项和，，则的值为 A．-110 　　 B．‎-90 　　 ‎ C．90 　 D．110‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】∵，∴，解之得，‎ ‎∴.‎ ‎10.【2014天津，理11】设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和．若成等比数列，则的值为__________．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：依题意得，∴，解得．‎ 考点：1．等差数列、等比数列的通项公式；2．等比数列的前项和公式．‎ ‎11.【2017天津，理18】（本小题满分13分）‎ 已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，．‎ ‎（Ⅰ）求和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）．‎ 由，可得 ①．‎ 由，可得 ②，‎ 联立①②，解得，，由此可得．‎ 所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为．‎ 所以，数列的前项和为．‎ ‎【考点】等差数列、等比数列、数列求和 ‎【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和的方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法和分组求和法等，本题考查的是错位相减法求和．‎ 二．能力题组 ‎1.【2005天津，理18】已知：。‎ ‎（Ⅰ）当a = b时，求数列{}的前n项和；‎ ‎（Ⅱ）求。‎ ‎【答案】（Ⅰ）若， ,若，则 ‎（Ⅱ）当时，，,当时， ‎ ‎【解析】解：（I）当时，，它的前项和 ‎ ‎ ① ‎ ‎①两边同时乘以，得 ‎ ②‎ 当时，设（），则：‎ 此时：‎ 当时，即时，‎ 当时，即时，‎ ‎2.【2006天津，理21】已知数列满足，并且 ‎（为非零参数，）．‎ ‎（1）若成等比数列，求参数的值；‎ ‎（2）当时，证明；‎ 当时，证明.‎ ‎【答案】 （1）（2）（I）详见解析，（II）详见解析 ‎（III）证明：当时，由（II）可知 ‎ 又由（II）则 ‎ 从而 因此 ‎3.【2012天津，理18】已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10．‎ ‎(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；‎ ‎(2)记Tn＝anb1＋an－1b2＋…＋a1bn，n∈N*，证明Tn＋12＝－2an＋10bn(n∈N*)．‎ ‎【答案】(1) an＝3n－1，bn＝2n， (2) 详见解析 ‎【解析】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d．‎ 由条件，得方程组解得 所以an＝3n－1，bn＝2n，n∈N*．‎ ‎ ‎ ‎(方法二：数学归纳法)‎ ‎①当n＝1时，T1＋12＝a1b1＋12＝16，－‎2a1＋10b1＝16，故等式成立；‎ ‎②假设当n＝k时等式成立，即Tk＋12＝－2ak＋10bk，则当n＝k＋1时有：‎ Tk＋1＝ak＋1b1＋akb2＋ak－1b3＋…＋a1bk＋1‎ ‎＝ak＋1b1＋q(akb1＋ak－1b2＋…＋a1bk) ‎ ‎＝ak＋1b1＋qTk ‎＝ak＋1b1＋q(－2ak＋10bk－12)‎ ‎＝2ak＋1－4(ak＋1－3)＋10bk＋1－24‎ ‎＝－2ak＋1＋10bk＋1－12，‎ 即Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1，因此n＝k＋1时等式也成立．‎ 由①和②，可知对任意n∈N*，Tn＋12＝－2an＋10bn成立．‎ ‎4.【2013天津，理19】已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设Tn＝(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）最大项的值为，最小项的值为.‎ ‎【解析】解：(1)设等比数列{an}的公比为q，‎ 因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，‎ 所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，‎ 即‎4a5＝a3，于是.‎ 故.‎ 当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以＝S2≤Sn＜1，‎ 故.‎ 综上，对于n∈N*，总有.‎ 所以数列{Tn}最大项的值为，最小项的值为.‎ ‎5.【2014天津，理19】已知和均为给定的大于1的自然数．设集合，集合．‎ ‎（Ⅰ）当，时，用列举法表示集合；‎ ‎（Ⅱ）设，，，其中证明：若，则．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见试题分析．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）当时，采用列举法可得集合；（Ⅱ）先由已知写出及的表达式：，‎ ‎，再作差可得，放缩．‎ 考点：1．集合的含义与表示；2．等比数列的前项和公式；3．不等式的证明．‎ ‎6. 【2015高考天津，理18】（本小题满分13分）已知数列满足 ‎，且 成等差数列.‎ ‎(I)求的值和的通项公式；‎ ‎(II)设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(I) ; (II) .‎ ‎【解析】(I) 由已知，有，即，‎ 所以，又因为，故，由，得，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 所以的通项公式为 ‎ 所以数列的前项和为.‎ ‎【考点定位】等差数列定义、等比数列及前项和公式、错位相减法求和.‎ 三．拔高题组 ‎1.【2007天津，理21】在数列中N其中.‎ ‎ (I)求数列的通项公式；‎ ‎ (II)求数列的前项和；‎ ‎ (III)证明存在N使得对任意N均成立.‎ ‎【答案】‎ ‎(I)(II) 当 时，当 时，(III)证明(略)‎ ‎【解析】‎ ‎(I)解法一：，‎ ‎ ，‎ ‎ .‎ ‎ 这就是说，当时等式也成立.根据(1)和(2)可知，等式对任何N都成立.‎ 解法二：由N可得 ‎ 学*‎ ‎ 所以为等数列，其公差为1，首项为0.故所以数列的通项公式为 ‎ ‎(II)解：设 ①‎ ‎ ②‎ ‎ 当时，①式减去②式，得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 这时数列的前项和 ‎ ‎ ‎ 当 时，这时数列的前项和 ‎ ‎ 所以③式成立.‎ 因此，存在使得对任意N均成立.‎ ‎2.【2008天津，理22】在数列与中，，数列的前项和满足 ‎,为与的等比中项，.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求数列与的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）设. 证明：.‎ ‎【答案】（I）．（II），，（Ⅲ）详见解析 ‎【解析】（Ⅰ）解：由题设有，，解得．由题设又有，，解得．‎ ‎（Ⅱ）解法一：由题设，，，及，‎ ‎，进一步可得，，，，猜想，，．‎ 先证，．‎ 当时，，等式成立．当时用数学归纳法证明如下：‎ ‎（1当时，，等式成立．‎ ‎（2）假设时等式成立，即，．‎ 由题设，　　‎ ‎　　　　‎ ‎．‎ 这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何的都成立．‎ 解法二：由题设　　‎ ‎　　　　‎ ‎①的两边分别减去②的两边，整理得，．所以 ‎　　　　　　　　，‎ ‎　　　　　　　　，‎ ‎　　　　　　　　……‎ ‎，‎ ‎　　　　　　　　，‎ ‎　　　　　　　　……‎ ‎　　　　　　　　，．‎ 将以上各式左右两端分别相乘，得，化简得 ‎，．‎ 由（Ⅰ），上式对也成立．所以，．‎ 上式对时也成立．‎ 以下同解法二，可得，．‎ ‎（Ⅲ）证明：．‎ 当，时，‎ ‎．‎ 注意到，故 ‎　．‎ 从而时，有 总之，当时有，即．‎ ‎3.【2009天津，理22】已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),等比数列{bn}的公比为q(q＞1).设Sn＝a1b1+a2b2+…+anbn,Tn＝a1b1－a2b2+…+(－1)n－1anbn,n∈N*.‎ ‎(1)若a1＝b1＝1,d＝2,q＝3,求S3的值;‎ ‎(2)若b1＝1,证明,n∈N*;‎ ‎(3)若正整数n满足2≤n≤q,设k1,k2,…,kn和l1,l2,…,ln是1,2,…,n的两个不同的排列,‎ ‎,,证明c1≠c2.‎ 分析:本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识,考查运算能力、推理论证能力及综合分析和解决问题的能力.‎ ‎【答案】（Ⅰ）55.；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析 所以,‎ ‎(1－q)S2n－(1+q)T2n＝(S2n－T2n)－q(S2n+T2n)‎ ‎＝2d(q+q3+…+q2n－1)‎ ‎,n∈N*.‎ ‎(3)证明:‎ ‎＝(k1－l1)db1+(k2－l2)db1q+…+(kn－ln)db1qn－1.‎ 因为d≠0,b1≠0,所以 ‎.‎ ‎①若kn≠ln,取i＝n.‎ ‎②若kn＝ln,取i满足ki≠li,且kj＝lj,i+1≤j≤n.‎ 由①,②及题设知,1＜i≤n,且 ‎.‎ ‎(ⅰ)当ki＜li时,得ki－li≤－1.由q≥n,得kt－lt≤q－1,t＝1,2,…,i－1,‎ 即k1－l1≤q－1,(k2－l2)q≤(q－1)q,…,(ki－1－li－1)qi－2≤(q－1)qi－2.‎ 又(ki－li)qi－1≤－qi－1,所以 ‎.‎ 因此c1－c2≠0,即c1≠c2.‎ ‎(ⅱ)当ki＞li时,同理可得≤－1,因此c1≠c2.‎ 综上,c1≠c2.‎ ‎4.【2010天津，理22】在数列{an}中，a1＝0，且对任意k∈N*，a2k－1，a2k，a2k＋1成等差数列，其公差为dk.‎ ‎(1)若dk＝2k，证明a2k，a2k＋1，a2k＋2成等比数列(k∈N*)；‎ ‎(2)若对任意k∈N*，a2k，a2k＋1，a2k＋2成等比数列，其公比为qk.‎ ‎①若q1≠1，证明{}是等差数列；‎ ‎②若a2＝2，证明＜2n－≤2(n≥2)．‎ ‎【答案】(1)详见解析， (2) ①详见解析，②详见解析 ‎ ‎ ‎(2)法一：①由a2k－1，a2k，a2k＋1成等差数列，及a2k，a2k＋1，a2k＋2成等比数列，得‎2a2k＝a2k－1＋a2k＋1，2＝＋qk.‎ 当q1≠1时，可知qk≠1，k∈N*.‎ 从而＋1，‎ 即 (k≥2)，‎ 所以{}是等差数列，公差为1.‎ ‎②由a1＝0，a2＝2，可得a3＝4，从而q1＝＝2，＝1.由①有＝1＋k－1＝k，得qk＝，k∈N*.‎ 所以＝.‎ 从而＝，k∈N*.‎ 因此a2k＝··…··a2＝…··2＝2k2.‎ a2k＋1＝a2k·＝2k(k＋1)，k∈N*.‎ 以下分两种情况进行讨论：‎ ‎(ⅰ)当n为偶数时，设n＝‎2m(m∈N*)．‎ 若m＝1，则2n－＝2.‎ 若m≥2，则 ‎＝‎ ‎＝‎2m＋‎ ‎＝‎2m＋‎ ‎＝‎2m＋2(m－1)＋ (1－)＝2n－－.‎ 所以2n－＝＋，从而＜2n－＜2，n＝4,6,8，….‎ 综合(ⅰ)和(ⅱ)可知，对任意n≥2，n∈N*，有＜2n－≤2. ‎ 法二：①由题设，可得dk＝a2k＋1－a2k＝qka2k－a2k＝a2k(qk－1)，‎ dk＋1＝a2k＋2－a2k＋1＝ a2k－qka2k＝a2kqk(qk－1)，‎ 所以dk＋1＝qkdk.‎ qk＋1＝.‎ 由q1≠1可知qk≠1，k∈N*，‎ 可得＝1.‎ 所以{}是等差数列，公差为1.‎ ‎②因为a1＝0，a2＝2，‎ 所以d1＝a2－a1＝2.‎ 所以a3＝a2＋d1＝4，‎ 故qk＝.‎ 从而＝qk＝.‎ 所以·…·…·＝k.‎ 由d1＝2，可得dk＝2k.‎ 于是，由(1)可知a2k＋1＝2k(k＋1)，a2k＝2k2，k∈N*.‎ 以下同法一． ‎ ‎5.【2011天津，理20】已知数列与满足：， ，且 ‎．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）设，证明：是等比数列；‎ ‎（III）设证明：．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析 ‎【解析】（I）解：由 ‎ 可得 因此是等比数列.‎ ‎（III）证明：由（II）可得，‎ 于是，对任意，有 将以上各式相加，得 即，‎ 此式当k=1时也成立.由④式得 从而 所以，对任意，‎ 对于n=1，不等式显然成立.‎ 所以，对任意 ‎6. 【2016高考天津理数】已知{}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的，是和的等比中项.‎ ‎（I）设 求证：数列{}是等差数列；‎ ‎（II）设 求证： ‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析 ‎【解析】‎ ‎（II）证明：‎ 所以.‎ ‎【考点】等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和 ‎【名师点睛】利用分组转化法求和的常见类型：‎ ‎(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．‎ ‎(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．‎