2018届二轮复习空间的平行与垂直学案（全国通用）

2018届二轮复习空间的平行与垂直学案（全国通用）

专题12 空间的平行与垂直 ‎1．以选择、填空题形式考查空间位置关系的判断，及文字语言、图形语言、符号语言的转换，难度适中；‎ ‎2.以客观题形式考查有关线面平行、垂直等位置关系的命题真假判断或充要条件判断等．‎ ‎3.以多面体或旋转体为载体(棱锥、棱柱为主)命制空间线面平行、垂直各种位置关系的证明题或探索性问题，以大题形式呈现．‎ ‎1．点、线、面的位置关系 ‎(1)平面的基本性质 名称 图形 文字语言 符号语言 公理1‎ 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 ⇒l⊂α 公理2‎ 过不在一条直线上的三点有且只有一个平面 若A、B、C三点不共线，则A、B、C在同一平面α内且α是唯一的．‎ 公理3‎ 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.‎ 平面α与β不重合，若P∈α，且P∈β，则α∩β＝a，且P∈a ‎(2)平行公理、等角定理 公理4：若a∥c，b∥c，则a∥b.‎ 等角定理：若OA∥O‎1A1，OB∥O1B1，则∠AOB＝∠A1O1B1或∠AOB＋∠A1O1B1＝180°.‎ ‎2．直线、平面的平行与垂直 定理名称 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行的判定定理 平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与此平面平行 ⇒a∥α 线面平行的性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任何一个平面与此平面的交线与该直线平行 a∥α，a⊂β，α∩β＝b，⇒a∥b 面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β 面面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥β且γ∩α＝a且γ∩β＝b⇒a∥b 线面垂直的判定定理 一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α 线面垂直的性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行 a⊥α，b⊥α⇒a∥b 面面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 a⊥α，a⊂β，⇒α⊥β 面面垂直的性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 α⊥β，b∈β，α∩β＝a，b⊥a⇒b⊥α ‎3.熟练掌握常见几何体(柱、锥、台、球)的几何特征，明确各种几何体的直观图与三视图特征及相关面积体积的计算公式，熟练掌握线线、线面、面面平行与垂直等位置关系的判定与性质定理及公理，熟练进行线线、线面、面面平行与垂直关系的相互转化是解答相关几何题的基础. ‎ ‎【误区警示】‎ ‎1．应用线面、面面平行与垂直的判定定理、性质定理时，必须按照定理的要求找足条件．‎ ‎2．作辅助线(面)是立体几何证题中常用技巧，作图时要依据题设条件和待求(证)结论之间的关系结合有关定理作图．注意线线、线面、面面平行与垂直关系的相互转化．‎ ‎3．若a、b、c代表直线或平面，△代表平行或垂直，在形如⇒b△c的命题中，要切实弄清有哪些是成立的，有哪些是不成立的．例如a、b、c中有两个为平面，一条为直线，命题⇒α∥β是成立的.⇒α∥β是不成立的．‎ 考点一　空间中点、线、面的位置 例1．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是(　　)‎ A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行 C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 答案　D ‎【变式探究】已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是(　　)‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α 答案　B 考点二　空间中平行的判定与垂直 例2．【2017江苏，15】 如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD， BC⊥BD， 平面ABD⊥平面BCD， 点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.‎ 求证：（1）EF∥平面ABC；‎ ‎ （2）AD⊥AC.‎ ‎(第15题)‎ A D B C E F ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】证明：（1）在平面内，因为AB⊥AD， ，所以.‎ 又因为平面ABC， 平面ABC，所以EF∥平面ABC.‎ ‎（2）因为平面ABD⊥平面BCD，‎ 平面平面BCD=BD， ‎ 平面BCD， ，‎ 所以平面.‎ 因为平面，所以 .‎ 又AB⊥AD， ， 平面ABC， 平面ABC，‎ 所以AD⊥平面ABC，‎ 又因为AC平面ABC，‎ 所以AD⊥AC.‎ ‎【变式探究】【2016高考江苏卷】(本小题满分14分)‎ 如图，在直三棱柱ABC-A1B‎1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且 ，.‎ 求证：（1）直线DE∥平面A‎1C1F；‎ ‎（2）平面B1DE⊥平面A‎1C1F. ‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）详见解析 ‎（2）在直三棱柱中，‎ 因为平面，所以 又因为 所以平面 因为平面，所以 又因为 所以 因为直线，所以 ‎【变式探究】如图，在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B‎1C∩BC1＝E.‎ 求证：(1)DE∥平面AA‎1C1C；‎ ‎(2)BC1⊥AB1.‎ 因为AC，B‎1C⊂平面B‎1AC，AC∩B‎1C＝C，‎ 所以BC1⊥平面B‎1AC.‎ 又因为AB1⊂平面B‎1AC，‎ 所以BC1⊥AB1. ‎ ‎【举一反三】【2016高考新课标2理数】如图，菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于点．将沿折到位置，．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正弦值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【变式探究】如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD翻折成△A′CD，所成二面角A′－CD－B的平面角为α，则(　　)‎ A．∠A′DB≤α 　　　 B．∠A′DB≥α ‎ C．∠A′CB≤α 　　　 D．∠A′CB≥α 解析　极限思想：若α＝π，则∠A′CB＜π，排除D；若α＝0，如图，则∠A′DB，∠A′CB都可以大于0，排除A，C.故选B.‎ 答案　B 考点三 平面图形的折叠问题 例 3、(2016·全国甲卷)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．‎ ‎(1)证明：AC⊥HD′；‎ ‎(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱锥D′－ABCFE的体积．‎ 由(1)知，AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，‎ 所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′.‎ 又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以OD′⊥平面ABC.‎ 又由＝得EF＝.‎ 五边形ABCFE的面积S＝×6×8－××3＝.‎ 所以五棱锥D′－ABCFE的体积V＝××2＝.‎ ‎【方法技巧】‎ ‎　平面图形翻折问题的求解方法 ‎(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．‎ ‎(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．‎ ‎【变式探究】如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且＝.将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示．‎ ‎ ‎ ‎(1)求证：GR⊥平面PEF；‎ ‎(2)若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P－DEF的内切球的半径．‎ ‎(2)正方形ABCD边长为4.‎ 由题意知，PE＝PF＝2，PD＝4，EF＝2，DF＝2.‎ ‎∴S△PEF＝2，S△DPF＝S△DPE＝4.‎ S△DEF＝×2×＝6.‎ 设三棱锥P－DEF内切球的半径为r，‎ 则三棱锥的体积VP－DEF＝××2×2×4＝(S△PEF＋2S△DPF＋S△DEF)·r，解得r＝.‎ ‎∴三棱锥P－DEF的内切球的半径为.‎ ‎1．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　　)‎ A B C D 答案：A ‎2．(2017·山东卷)由四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1截去三棱锥C1－B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.‎ ‎(1)证明：A1O∥平面B1CD1；‎ ‎(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.‎ 证明：(1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，‎ 由于ABCD－A1B‎1C1D1是四棱柱，‎ 所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，‎ 因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O‎1C.‎ 又O‎1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1，‎ 所以A1O∥平面B1CD1.‎ ‎3.【2017江苏，15】 如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD， BC⊥BD， 平面ABD⊥平面BCD， 点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.‎ 求证：（1）EF∥平面ABC；‎ ‎ （2）AD⊥AC.‎ ‎(第15题)‎ A D B C E F ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】证明：（1）在平面内，因为AB⊥AD， ，所以.‎ 又因为平面ABC， 平面ABC，所以EF∥平面ABC.‎ ‎1.【2016高考浙江理数】已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足 则（ ）‎ A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n ‎【答案】C ‎【解析】由题意知，．故选C．‎ ‎2.【2016高考新课标2理数】 是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎（1）如果，那么.‎ ‎（2）如果，那么.‎ ‎（3）如果，那么.‎ ‎（4）如果，那么与所成的角和与所成的角相等.‎ 其中正确的命题有 ． (填写所有正确命题的编号）‎ ‎【答案】②③④‎ ‎【解析】对于①，，则的位置关系无法确定，故错误；对于②,因为，所以过直线作平面与平面相交于直线，则，因为，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④.‎ ‎3.【2016高考浙江理数】如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 .‎ ‎【答案】‎ 在中，，.‎ 由余弦定理可得，所以.‎ 由此可得，将ABD沿BD翻折后可与PBD重合，无论点D在任何位置，只要点D的位置确定，当平面PBD⊥平面BDC时，四面体PBCD的体积最大（欲求最大值可不考虑不垂直的情况）.‎ 过作直线的垂线，垂足为.设，则，‎ 即，解得.‎ 而的面积.‎ 当平面PBD⊥平面BDC时：‎ 四面体的体积.‎ 观察上式，易得，当且仅当，即时取等号，同时我们可以发现当时，取得最小值，故当时，四面体的体积最大，为 ‎ ‎4.【2016高考新课标1卷】平面过正方体ABCD-A1B‎1C1D1的顶点A,//平面CB1D1,平面ABCD=m,平面AB B‎1A1=n,则m、n所成角的正弦值为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎5.【2016高考新课标3理数】在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，则的最大值是（ ）‎ ‎（A）4π （B） （C）6π （D） ‎ ‎【答案】B ‎6.【2016高考天津理数】已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单 位：m），则该四棱锥的体积为_______m3.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由三视图知四棱锥高为3，底面平行四边形的一边长为2，其对应的高为1，‎ 因此所求四棱锥的体积．故答案为2．‎ ‎1.【2015高考浙江，理8】如图，已知，是的中点，沿直线将折成，所成二面角的平面角为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B.‎ 在中，，‎ 在中，‎ ‎，‎ ‎∵，，∴（当时取等号），‎ ‎∵，，而在上为递减函数，∴，故选B.‎ ‎【考点定位】立体几何中的动态问题 ‎2.【2015高考湖南，理10】某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A.‎ ‎，当且仅当，时，等号成立，此时利用率为，故选A.‎ ‎【考点定位】1.圆锥的内接长方体；2.基本不等式求最值.‎ ‎3.【2015高考福建，理7】若 是两条不同的直线， 垂直于平面 ，则“ ”是“ 的 （ ） ‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎4.【2015高考四川，理14】如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点。设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】建立坐标系如图所示.设，则.设，则，由于异面直线所成角的范围为，所以 ‎5.【2015高考浙江，理13】如图，三棱锥中，，点分别是的中点，则异面直线，所成的角的余弦值是 ．‎ ‎【答案】.‎ ‎6.【2015高考新课标2，理19】（本题满分12分）‎ 如图，长方体中,，，，点，分别在，上，．过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．‎ D D1‎ C1‎ A1‎ E F A B C B1‎ ‎（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．‎ ‎7.【2015江苏高考，16】（本题满分14分）‎ 如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，.求证：（1）；‎ ‎（2）.‎ A B C D E A1‎ B1‎ C1‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）详见解析 ‎【解析】（1）由三棱锥性质知侧面为平行四边形,因此点为的中点，从而由三角形中位线性质得，再由线面平行判定定理得（2）因为直三棱柱中，所以侧面为正方形，因此，又，（可由直三棱柱推导），因此由线面垂直判定定理得,从而，再由线面垂直判定定理得,进而可得 试题解析：（1）由题意知，为的中点，‎ 又为的中点，因此．‎ 又因为平面，平面，‎ 所以平面．‎ 又因为平面，所以．‎ ‎8.【2015高考浙江，理17】如图，在三棱柱-中，，，，在底面的射影为的中点，为的中点.‎ ‎（1）证明：D平面；‎ ‎（2）求二面角-BD-的平面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）设为的中点，由题意得平面，∴，∵，‎ ‎∴，故平面，由，分别，的中点，得且 ‎，从而，∴四边形为平行四边形，故，又∵‎ 平面，∴平面；（2）作，且，连结，‎ 由，，得，由，‎ ‎，得，由，得，因此为二面角 的平面角，由，，，得，‎ ‎，由余弦定理得，.‎ ‎1. 【2014高考安徽卷理第8题】从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有（ ）‎ A.24对 B.30对 C.48对 D.60对 ‎【答案】C ‎2. 【2014辽宁高考理第4题】已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）‎ A．若则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎【答案】B ‎【解析】若A．若则与可能平行、相交、异面，故A错误； B．若，，则，显然成立；C．若，，则或故C错误；D．若，，则或或与相交.‎ ‎3. 【2014四川高考理第8题】如图，在正方体中，点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎4. 【2014高考湖南理第19题】如图6,四棱柱的所有棱长都相等,,四边形和四边形为矩形.‎ ‎(1)证明:底面;‎ ‎(2)若,求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1) 详见解析 (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎ (1)证明:四棱柱的所有棱长都相等 四边形和四边形均为菱形 分别为中点 四边形和四边形为矩形 且 又且底面 底面.‎ 又且,面 面 又面 又且,面 面 为二面角的平面角,则 且四边形为菱形 ‎,,‎ 则 再由的勾股定理可得,‎ 则,所以二面角的余弦值为.‎ 所以,,故二面角 的余弦值为.‎ ‎【考点定位】线面垂直、二面角、勾股定理 。‎ ‎5、【2014高考江苏第16题】如图在三棱锥中，分别为棱的中点，已知，‎ 求证（1）直线平面；‎ ‎（2）平面平面 ‎ ‎【答案】证明见解析．‎