高考数学一轮复习第二章函数及其应用2-5对数与对数函数练习理北师大版

高考数学一轮复习第二章函数及其应用2-5对数与对数函数练习理北师大版

‎2.5 对数与对数函数 核心考点·精准研析 考点一　对数式的化简与求值 ‎ ‎1.(2019·北京高考)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为 (　　)‎ A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10-10.1‎ ‎2.(2020·深圳模拟)设函数y=f(x)的图像与y=2x+a的图像关于直线y=-x对称,且f(-2)+f(-4)=1,则a= (　　)‎ A.-1 B.1 C.2 D.4‎ ‎3.设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则 (　　)‎ A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z ‎4.计算log23·log38+(=________________. ‎ ‎【解析】1.选A.令m1=-26.7,m2=-1.45,‎ 则m2-m1=-1.45-(-26.7)=25.25=lg,‎ lg=10.1,=1010.1.‎ ‎2.选C.设(x,y)是函数y=f(x)的图像上任意一点,它关于直线y=-x对称的点为(-y,-x),由已知知(-y,-x)在函数y=2x+a的图像上,所以-x=2-y+a,解得y=-log2(-x)+a,即f(x)=-log2(-x)+a,所以f(-2)+f(-4)=-log22+a-log24+a=1,解得a=2,故选C.‎ ‎3.选D.令2x=3y=5z=m,分别可求得2x==,3y==,‎ - 8 -‎ ‎5z==,分别对分母乘以30可得,30logm=logm215,‎ ‎30logm=logm310,30logm=logm56,‎ 故而可得⇒logm310>logm215>logm56⇒3y<2x<5z.‎ ‎4.原式=·+=3+=3+2=5.‎ 答案:5‎ ‎　对数运算的一般思路 ‎(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简.‎ ‎(2)将同底对数的和、差、倍合并.‎ ‎(3)ab=N⇔b=logaN(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.‎ ‎(4)利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式.‎ 考点二　对数函数的图像及其应用 ‎ ‎【典例】1.已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,且a≠1)的图像如图,则下列结论成立的是 (　　)‎ A.a>1,c>1‎ B.a>1,01‎ D.00,且a≠1)的图像可能是 ‎(　　)‎ - 8 -‎ ‎3.已知函数f(x)=g(x)=log2x,则f(x)与g(x)两函数图像的交点个数为______. 【解题导思】‎ 序号 联想解题 ‎1‎ 由图像是下降的,想到对数的底数00,即logac>0,所以01时,函数y=ax的图像过定点(0,1)且单调递增,则函数y=的图像过定点(0,1)且单调递减,函数y=loga的图像过定点且单调递增,各选项均不符合.‎ ‎3.如图,函数g(x)的图像与函数f(x)的图像交于两点,且均在函数y=8x-8(x≤1)的图像上.‎ - 8 -‎ 答案:2‎ ‎1.应用对数型函数的图像可求解的问题 ‎(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想.‎ ‎(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题,利用数形结合法求解.‎ ‎2.对数函数图像的规律 在第一象限内,不同底的对数函数的图像从左到右底数逐渐增大.‎ ‎1.已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,a≠1)的图像如图所示,则a,b满足的关系是 ‎(　　)‎ A.01.函数图像与y轴的交点坐标为(0,logab),由函数图像可知-10)个单位长度,恰好过(0,1)时,函数f(x)与g(x)就不存在关于y轴对称的点,所以01时为增函数.‎ ‎(3)对数型函数的单调性根据复合函数“同增异减”进行判断.‎ 比较大小问题 ‎【典例】(2019·全国卷Ⅰ)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则 (　　)‎ A.a20=1,0<0.20.3<0.20=1,则02,解得a>,所以”) ‎ ‎【解析】因为f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增,所以a>1,所以a+1>2.因为f(x)是偶函数,所以f(-2)=f(2)0时,f(2-a)=-log2(1+a)=1.解得a=-,不合题意.‎ 当2-a≥2,即a≤0时,f(2-a)=2-a-1=1,即2-a=2,解得a=-1,所以f(a)=f(-1)=-log24=-2.‎ 答案:-2‎ ‎1.(2019·绵阳模拟)若x,y,z∈R+,且3x=4y=12z,∈(n,n+1),n∈N,则n的值是 ‎ (　　)‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ - 8 -‎ ‎【解析】选C.设3x=4y=12z=t(t>1),则x=log3t,y=log4t,z=log12t,‎ 所以==+=log312+log412=2+log34+log43.‎ 因为12=2,‎ 所以4<2+log34+log43<5,即∈(4,5).‎ 所以n=4.‎ ‎2.(2020·扬州模拟)设f(x)=a=0.7-0.5,b=log0.50.7,c=log0.75,则f(a),f(b),f(c)的大小关系为________. ‎ ‎【解析】当x≥0时,f(x)=x+1是单调增函数,所以有f(x)≥f(0)=1,当x<0时,f(x)=-x2-1是单调增 函数,所以有f(x)<-1,所以函数f(x)是R上的增函数.‎ 因为a=0.7-0.5>0.70=1,0=log0.511,0b>c,而函数f(x)是R上的增函数,所以f(a),f(b),f(c)的大小关系为f(a)>f(b)>f(c).‎ 答案:f(a)>f(b)>f(c)‎ - 8 -‎