【数学】2018届一轮复习人教A版第一部分层级一45分的基础送分题练中自检,无须挖潜学案
送分专题(一) 集合与常用逻辑用语
[全国卷 3 年考情分析]
年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析
卷Ⅰ 集合的基本运算、指数不等式的解法·T1
卷Ⅱ 集合的交集、一元二次方程的根·T22017
卷Ⅲ 集合的表示、集合的交集运算·T1
卷Ⅰ 集合的交集运算、一元二次不等式的解法·T1
卷Ⅱ 集合的并集运算、一元二次不等式的解法·T22016
卷Ⅲ 集合的交集运算、一元二次不等式的解法·T1
卷Ⅰ 特称命题的否定·T3
2015
卷Ⅱ
集合的交集运算、一元二次不等式的解法·T1
1.集合作为高考必考内容，多
年来命题较稳定，多以选择题形
式在前 3 题的位置进行考查，难
度较小．命题的热点依然会集中
在集合的运算方面，常与简单的
一元二次不等式结合命题．
2.高考对常用逻辑用语考查的频
率较低，且命题点分散，其中含
有量词的命题的否定、充分必要
条件的判断需要关注，多结合函
数、平面向量、三角函数、不等
式、数列等内容命题.
集合的概念及运算
[题点·考法·全练]
1．(2017·全国卷Ⅱ)设集合 A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若 A∩B＝{1}，则 B＝( )
A．{1，－3} B．{1,0}
C．{1,3} D．{1,5}
解析：选 C 因为 A∩B＝{1}，所以 1∈B，所以 1 是方程 x2－4x＋m＝0 的根，所以 1－
4＋m＝0，m＝3，方程为 x2－4x＋3＝0，解得 x＝1 或 x＝3，所以 B＝{1,3}．
2．(2018 届高三·安徽名校阶段测试)设 A＝{x|x 2－4x＋3≤0}，B＝
{x|ln(3－2x)<0}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A.Error! B.Error!
C.Error! D.Error!
解析：选 B A＝{x|x2－4x＋3≤0}＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|ln(3－2x)<0}＝{x|0<3－2x<1}＝
Error!，结合 Venn 图知，图中阴影部分表示的集合为 A∩B＝Error!.
3．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合 A＝{(x，y)|x 2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则 A∩B 中元
素的个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选 B 因为 A 表示圆 x2＋y2＝1 上的点的集合，B 表示直线 y＝x 上的点的集合，
直线 y＝x 与圆 x2＋y2＝1 有两个交点，所以 A∩B 中元素的个数为 2.
4．已知集合 P＝{n|n＝2k－1，k∈N*，k≤50}，Q＝{2,3,5}，则集合 T＝{xy|x∈P，y∈
Q}中元素的个数为( )
A．147 B．140
C．130 D．117
解析：选 B 由题意得，y 的取值一共有 3 种情况，当 y＝2 时，xy 是偶数，与 y＝3，y
＝5 时，没有相同的元素，当 y＝3，x＝5,15,25，…，95 时，与 y＝5，x＝3,9,15，…，57
时有相同的元素，共 10 个，故所求元素个数为 3×50－10＝140.
5．已知集合 A＝{－1，1
2}，B＝{x|mx－1＝0，m∈R}，若 A∩B＝B，则所有符合条件
的实数 m 组成的集合是( )
A．{－1,0,2} B.{－1
2，0，1}
C．{－1,2} D.{－1，0，1
2}
解析：选 A 因为 A∩B＝B，所以 B⊆A.若 B 为∅，则 m＝0；若 B≠∅，则－m－1＝0
或 1
2m－1＝0，解得 m＝－1 或 2.综上，m∈{－1,0,2}．
[准解·快解·悟通]
快审题 1.看到集合中的元素，想到代表元素的意义；
看到点集，想到其对应的几何意义．
2.看到数集中元素取值连续时，想到借助数
轴求解交、并、补集等；看到 M⊆N，想到集
合 M 可能为空集．
准 解 题
1.记牢集合的运算性质及重要结论
(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U.
(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
2.活用集合运算中的常用方法
(1)数轴法：若已知的集合是不等式的解集，
用数轴法求解．
(2)图象法：若已知的集合是点集，用图象法
求解．
(3)Venn 图法：若已知的集合是抽象集合，用
Venn 图法求解．
避误区
1.在求集合的子集时，易忽视空集．
2.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集
合中元素的互异性，否则很可能会因为不满
足“互异性”而导致解题错误.
充分与必要条件的判断
[题点·考法·全练]
1．(2017·天津高考)设 x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 B 由 2－x≥0，得 x≤2，
由|x－1|≤1，得 0≤x≤2.
∵0≤x≤2⇒x≤2，x≤2⇒/ 0≤x≤2，
故“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．
2．(2017·惠州三调)设函数 y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|是偶函数”是“y＝f(x)的图象关
于原点对称”的( )
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 C 设 f(x)＝x2，y＝|f(x)|是偶函数，但是不能推出 y＝f(x)的图象关于原点对
称．反之，若 y＝f(x)的图象关于原点对称，则 y＝f(x)是奇函数，这时 y＝|f(x)|是偶函数，故
选 C.
3．(2017·浙江高考)已知等差数列{a n}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则“d>0”是“S4＋
S6>2S5”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 C 因为{an}为等差数列，所以 S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d,2S5＝
10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以 d>0⇔S4＋S6>2S5.
4．已知“x>k”是“ 3
x＋1<1”的充分不必要条件，则 k 的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－1]
解析：选 A 由 3
x＋1<1，可得 3
x＋1－1＝
－x＋2
x＋1 <0，所以 x<－1 或 x>2，因为“x>k”是
“ 3
x＋1<1”的充分不必要条件，所以 k≥2.
5．已知条件 p：x＋y≠－2，条件 q：x，y 不都是－1，则 p 是 q 的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 A 因为 p：x＋y≠－2，q：x≠－1 或 y≠－1，
所以綈 p：x＋y＝－2，綈 q：x＝－1 且 y＝－1，
因为綈 q⇒綈 p 但綈 p ⇒/ 綈 q，所以綈 q 是綈 p 的充分不必要条件，即 p 是 q 的充分
不必要条件．
[准解·快解·悟通]
快审题
看到充分与必要条件的判断，想到定条件，找推式(即判定命题“条件⇒
结论”和“结论⇒条件”的真假)，下结论(若“条件⇒结论”为真，且“结
论⇒条件”为假，则为充分不必要条件).
用妙法
等价转化法妙解充分与必要条件判定题
根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题
进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是
“x≠1 或 y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1 且 y＝1”是“xy
＝1”的某种条件．
避误区
“A 的充分不必要条件是 B”是指 B 能推出 A，且 A 不能推出 B；而“A
是 B 的充分不必要条件”则是指 A 能推出 B，且 B 不能推出 A.
命题真假的判定与命题的否定
[题点·考法·全练]
1．下列命题中为真命题的是( )
A．命题“若 x＞1，则 x2＞1”的否命题
B．命题“若 x＞y，则 x＞|y|”的逆命题
C．命题“若 x＝1，则 x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若 tan x＝ 3，则 x＝π
3”的逆否命题
解析：选 B 对于选项 A，命题“若 x＞1，则 x 2＞1”的否命题为“若 x≤1，则
x2≤1”，易知当 x＝－2 时，x2＝4＞1，故选项 A 为假命题；对于选项 B，命题“若 x＞y，
则 x＞|y|”的逆命题为“若 x＞|y|，则 x＞y”，分析可知选项 B 为真命题；对于选项 C，命
题“若 x＝1，则 x2＋x－2＝0”的否命题为“若 x≠1，则 x2＋x－2≠0”，易知当 x＝－2 时，
x2＋x－2＝0，故选项 C 为假命题；对于选项 D，命题“若 tan x＝ 3，则 x＝π
3”为假命题，
故其逆否命题为假命题，综上可知，选 B.
2．(2015·全国卷Ⅰ)设命题 p：∃n∈N，n 2>2n，则綈 p 为( )
A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
解析：选 C 因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈 p(x)”，所以命题“∃n∈
N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．
3．(2017·山东高考)已知命题 p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题 q：若 a>b，则 a2>b2.下列命
题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧綈 q
C．綈 p∧q D．綈 p∧綈 q
解析：选 B 当 x>0 时，x＋1>1，因此 ln(x＋1)>0，即 p 为真命题；取 a＝1，b＝－2，
这时满足 a>b，显然 a2>b2 不成立，因此 q 为假命题．由复合命题的真假性，知 B 为真命
题．
[准解·快解·悟通]
快
审
题
1.看到命题真假的判断，想到利用反例和命题的等价性．
2.看到命题形式的改写，想到各种命题的结构，尤其是特称命题、全称命题的否定，要
改变的两个地方．
3.看到含逻辑联结词的命题的真假判断，想到联结词的含义．
准
解
题
掌握判定命题真假的 4 种方法
(1)一般命题 p 的真假由涉及的相关知识辨别．
(2)四种命题真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命
题的真假无关．
(3)形如 p∨q，p∧q，綈 p 命题的真假根据真值表判定．
(4)全称命题与特称命题的真假的判定：
①全称命题：要判定一个全称命题为真命题，必须对限定集合 M 中的每一个元素 x 验
证 p(x)成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可；
②特称命题：要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合 M 中至少能找到一个元
素 x0，使得 p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题.
[专题过关检测]
一、选择题
1．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合 A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)·(x－2)<0，x∈Z}，则 A∪B＝( )
A．{1} B．{1,2}
C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
解析：选 C 因为 B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1
b，则 a＋c>b＋c”的否命题是( )
A．若 a≤b，则 a＋c≤b＋c B．若 a＋c≤b＋c，则 a≤b
C．若 a＋c>b＋c，则 a>b D．若 a>b，则 a＋c≤b＋c
解析：选 A 命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为
“若 a≤b，则 a＋c≤b＋c”．
3．(2017·广西三市第一次联考)设集合 A＝{x|8＋2x－x2>0}，集合 B＝{x|x＝2n－1，n∈
N*}，则 A∩B 等于( )
A．{－1,1} B．{－1,3}
C．{1,3} D．{3,1，－1}
解析：选 C ∵A＝{x|－2－2}，∁UB＝{x|x≥1 或 x≤－2}，A⊆∁UB，∁UA＝{x|x<1}，B⊆∁UA，故选 A.
8．若 x∈A，则1
x∈A，就称 A 是伙伴关系集合，集合 M＝{－1，0，1
3，1
2，1，2，3，4}
的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为( )
A．15 B．16
C．28 D．25
解析：选 A 本题关键看清－1 和 1 本身也具备这种运算，这样所求集合即由－1,1,3 和
1
3，2 和1
2这“四大”元素所能组成的集合．所以满足条件的集合的个数为 24－1＝15.
9．(2017·郑州第一次质量预测)已知命题 p：1
a>1
4，命题 q：∀x∈R，ax2＋ax＋1>0，则
p 成立是 q 成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 A 命题 p 等价于 00，必有 a＝0 或Error!
则 0≤a<4，所以命题 p 是命题 q 的充分不必要条件．
10．已知 f(x)＝3sin x－πx，命题 p：∀x∈(0，π
2 )，f(x)<0，则( )
A．p 是假命题，綈 p：∀x∈(0，π
2 )，f(x)≥0
B．p 是假命题，綈 p：∃x0∈(0，π
2 )，f(x0)≥0
C．p 是真命题，綈 p：∃x0∈(0，π
2 )，f(x0)≥0
D．p 是真命题，綈 p：∀x∈(0，π
2 )，f(x)>0
解析：选 C 因为 f′(x)＝3cos x－π，所以当 x∈(0，π
2 )
时，f′(x)<0，函数 f(x)单调递减，即对∀x∈(0，π
2 )，f(x)1；对命
题 q，令 2－a<0，即 a>2，则綈 q 对应的 a 的范围是(－∞，2]．因为 p 且綈 q 为真命题，
所以实数 a 的取值范围是(1,2]．
12．在下列结论中，正确的个数是( )
①命题 p：“∃x0∈R，x20－2≥0”的否定形式为綈 p：“∀x∈R，x2－2<0”；
②O 是△ABC 所在平面上一点，若 OA
―→
· OB
―→
＝ OB
―→
· OC
―→
＝ OC
―→
· OA
―→
，则 O 是△
ABC 的垂心；
③“M>N”是“(2
3 )M>(2
3 )N”的充分不必要条件；
④命题“若 x2－3x－4＝0，则 x＝4”的逆否命题为“若 x≠4，则 x2－3x－4≠0”．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选 C 由特称(存在性)命题与全称命题的关系可知①正确．
∵ OA
―→
· OB
―→
＝ OB
―→
· OC
―→
，
∴ OB
―→
·( OA
―→
－ OC
―→
)＝0，即 OB
―→
· CA
―→
＝0，
∴ OB
―→
⊥ CA
―→
.
同理可知 OA
―→
⊥ BC
―→
， OC
―→
⊥ BA
―→
，故点 O 是△ABC 的垂心，∴②正确．
∵y＝(2
3 )x 是减函数，
∴当 M >N 时，(2
3 )M<(2
3 )N，当 (2
3 )M>(2
3 )N 时，MN”是“(2
3 )M>(2
3 )N”的既不充分也不必要条件，∴③错误．
由逆否命题的写法可知，④正确．
∴正确的结论有 3 个．
二、填空题
13 ． 设 命 题 p ： ∀ a>0 ， a≠1 ， 函 数 f(x) ＝ ax － x － a 有 零 点 ， 则 綈 p ：
________________________.
解析：全称命题的否定为特称(存在性)命题，綈 p：∃a0>0，a0≠1，函数 f(x)＝ax0－x－
a0 没有零点．
答案：∃a0>0，a0≠1，函数 f(x)＝ax0－x－a0 没有零点
14．设全集 U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合 M＝Error!，P＝{(x，y)|y≠x＋1}，则∁U(M
∪P)＝________.
解析：集合 M＝{(x，y)|y＝x＋1，且 x≠2，y≠3}，
所以 M∪P＝{(x，y)|x∈R，y∈R，且 x≠2，y≠3}．
则∁U(M∪P)＝{(2,3)}．
答案：{(2,3)}
15．已知命题 p：不等式 x
x－1＜0 的解集为{x|0＜x＜1}；命题 q：在△ABC 中，“A＞
B”是“sin A＞sin B”成立的必要不充分条件．有下列四个结论：①p 真 q 假；②“p∧q”
为真；③“p∨q”为真；④p 假 q 真，其中正确结论的序号是________．
解析：解不等式知，命题 p 是真命题，在△ABC 中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的充
要条件，所以命题 q 是假命题，所以①③正确．
答案：①③
16．a，b，c 为三个人，命题 A：“如果 b 的年龄不是最大，那么 a 的年龄最小”和命
题 B：“如果 c 不是年龄最小，那么 a 的年龄最大”都是真命题，则 a，b，c 的年龄由小到
大依次是________．
解析：显然命题 A 和 B 的原命题的结论是矛盾的，因此我们应该从它们的逆否命题来
看．
由命题 A 可知，当 b 不是最大时，则 a 是最小，所以 c 最大，即 c>b>a；而它的逆否命
题也为真，即“若 a 的年龄不是最小，则 b 的年龄是最大”为真，即 b>a>c.
同理，由命题 B 为真可得 a>c>b 或 b>a>c.
故由 A 与 B 均为真可知 b>a>c，所以 a，b，c 三人的年龄大小顺序是：b 最大，a 次之，
c 最小．
答案：c，a，b
送分专题(二) 函数的图象与性质
[全国卷 3 年考情分析]
年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析
卷Ⅰ
利用函数的单调性、奇偶性求
解不等式·T5
2017
卷Ⅲ
分 段 函 数 与 不 等 式 的 解
法·T15
2016 卷Ⅰ 函数图象的判断·T7
卷Ⅰ 偶函数的定义·T13
分段函数求值·T5
2015
卷Ⅱ
函数图象的判断·T10
1.高考对此部分内容的命题多集中于函
数的概念、函数的性质及分段函数等方面，
多以选择、填空题形式考查，一般出现在
第 5～10 或第 13～15 题的位置上，难度
一般．主要考查函数的定义域，分段函数
求值或分段函数中参数的求解及函数图
象的判断．
2.此部分内容有时出现在选择、填空题压
轴题的位置，多与导数、不等式、创新性
问题结合命题，难度较大.
函数及其表示
[题点·考法·全练]
1．(2017·广州综合测试)已知函数 f(x)＝Error!
则 f(f(－3))＝( )
A.4
3 B．2
3
C．－4
3 D．3
解析：选 D 因为 f(－3)＝2－2＝1
4，
所以 f(f(－3))＝f(1
4 )＝1－log2
1
4＝3.
2．函数 y＝ 1－x2
2x2－3x－2的定义域为( )
A．(－∞，1] B．[－1,1]
C．[1,2)∪(2，＋∞) D.[－1，－1
2)∪(－1
2，1]
解析：选 D 要使函数 y＝ 1－x2
2x2－3x－2有意义，
则Error!解得Error!
即－1≤x≤1 且 x≠－1
2，
所以该函数的定义域为[－1，－1
2)∪(－1
2，1].
3．(2017·全国卷Ⅲ)设函数 f(x)＝Error!则满足 f(x)＋f (x－1
2 )>1 的 x 的取值范围是
________．
解析：由题意知，可对不等式分 x≤0,01
2讨论．
当 x≤0 时，原不等式为 x＋1＋x＋1
2>1，解得 x>－1
4，
∴－1
41，显然成立．
当 x>1
2时，原不等式为 2x＋2x－1
2>1，显然成立．
综上可知，x 的取值范围是(－1
4，＋∞).
答案：(－1
4，＋∞)
4．若函数 f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数 a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，2]，则
该函数的解析式为________．
解析：由题意知：a≠0，f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2 是偶函数，则其图
象关于 y 轴对称，所以 2a＋ab＝0，b＝－2.所以 f(x)＝－2x2＋2a2，因为它的值域为(－∞，
2]，所以 2a2＝2.所以 f(x)＝－2x2＋2.
答案：f(x)＝－2x2＋2
5．已知函数 f(x)＝Error!的值域为 R，则实数 a 的取值范围是________．
解析：当 x≥1 时，f(x)＝2x－1≥1，
∵函数 f(x)＝Error!的值域为 R，
∴当 x<1 时，y＝(1－2a)x＋3a 必须取遍(－∞，1]内的所有实数，则Error!解得 0≤a＜
1
2.
答案：[0，1
2 )
[准解·快解·悟通]
快审题 1.看到求定义域，想到解析式中自变量的限制条件．
2.看到分段函数，想到在不同的定义区间上的对应关系不同．
准 解 题
掌握分段函数问题的 5 种常见类型及解题策略
(1)求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”
的函数值，要从最内层逐层往外计算．
(2)求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．
(3)解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式
求解，但要注意取值范围是大前提．
(4)求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程．
(5)奇偶性：利用奇函数(偶函数)的定义判断.
函数的图象及应用
[题点·考法·全练]
1．(2018 届高三·安徽名校阶段性测试)函数 y＝x2ln|x|
|x| 的图象大致是( )
解析：选 D 易知函数 y＝x2ln|x|
|x| 是偶函数，可排除 B，当 x>0 时，y＝xln x，y′＝ln x
＋1，令 y′>0，得 x>e－1，所以当 x>0 时，函数在(e－1，＋∞)上单调递增，结合图象可知 D
正确，故选 D.
2．已知函数 f(x－1)是定义在 R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则函数 f(x)的
图象可能是( )
解析：选 B 函数 f(x－1)的图象向左平移 1 个单位，即可得到函数 f(x)的图象，因为函
数 f(x－1)是定义在 R 上的奇函数，所以函数 f(x－1)的图象关于原点对称，所以函数 f(x)的
图象关于点(－1,0)对称，排除 A、C、D，选 B.
3．设函数 f(x)＝Error!的图象过点(1,1)，函数 g(x)是二次函数，若函数 f(g(x))的值域
是[0，＋∞)，则函数 g(x)的值域是( )
A．(－∞，－1]∪[1，＋∞) B．(－∞，－1]∪[0，＋∞)
C．[0，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选 C 因为函数 f(x)＝Error!的图象过点(1,1)，所以 m＋1＝1，
解得 m＝0，所以 f(x)＝Error!画出函数 y＝f(x)的图象(如图所示)，由于函
数 g(x)是二次函数，值域不会是选项 A、B，易知，当 g(x)的值域是[0，＋∞)
时，f(g(x))的值域是[0，＋∞)．
[准解·快解·悟通]
快审题 看到图象问题，想到函数的性质及特殊点(值).
准 解 题
巧用识别函数图象的 4 种方法
(1)特例排除法：其中用特殊点法破解函数图象问题需寻找特殊的点，即根据
已知函数的图象或已知函数的解析式，取特殊点，判断各选项的图象是否经
过该特殊点．
(2)性质验证法：根据函数的单调性，判断图象的变化趋势；根据函数的奇偶
性，判断图象的对称性；根据周期性，判断图象的循环往复．
(3)图象变换法：有关函数 y＝f(x)与函数 y＝af(bx＋c)＋h 的图象问题的判断，
熟练掌握图象的平移变换(左加右减，上加下减)、对称变换、伸缩变换等，便
可顺利破解此类问题．
(4)导数法：判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求
导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要
注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数的定义域会有所
不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．
用妙法
数形结合法妙解函数有关问题
对于函数中值域问题、零点问题、参数范围问题常利用数形结合法．在解题
过程中，可以先根据题意作出草图，然后参照草图的形状、位置、性质，综
合图象的特征得出结论.
函数的性质及应用
[题点·考法·全练]
1．下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)，且 x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0”的
是( )
A．f(x)＝1
x－x B．f(x)＝x3
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝2x
解析：选 A “∀x1，x2∈(0，＋∞)，且 x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”等价于 f(x)
在(0，＋∞)上为减函数，易判断 f(x)＝1
x－x 满足条件．
2．(2017·广西三市第一次联考)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上
单调递增，若实数 a 满足 f(2log3a)>f(－ 2)，则 a 的取值范围是( )
A．(－∞， 3) B．(0， 3)
C．( 3，＋∞) D．(1， 3)
解析：选 B ∵f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，∴f(x)在
区 间 [0 ， ＋ ∞) 上 单 调 递 减 ． 根 据 函 数 的 对 称 性 ， 可 得 f( － 2) ＝ f( 2) ， ∴
f(2log3a)>f( 2)．∵2log3a>0，f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，∴0<2log3a< 2⇒log3a<1
2⇒
00 时，函数 f(x)为增函数，所
以函数 f(x)在 R 上为增函数，所以 f(2x＋1)≥f(－1)等价于 2x＋1≥－1，解得 x≥－1.
答案：{x|x≥－1}
[准解·快解·悟通]
快审题
1.看到比较大小、求函数最值、解不等式问题，想到利用函数的单调性．
2.看到函数是周期函数，想到转化函数解析式、图象和性质，把不在已知区间上
的问题，转化到已知区间上求解．
3.看到求参数范围，想到转化为关于参数的不等关系．
准 解
题
1.掌握判断函数单调性的常用方法
数形结合法、结论法(“增＋增”得增、“减＋减”得减及复合函数的“同增异
减”)、定义法和导数法.
2.熟知函数奇偶性的 3 个特点
(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称．
(2)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．
(3)对于偶函数而言，有 f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
3.记牢函数周期性的 3 个常用结论
对 f(x)定义域内任一自变量的值 x：
(1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a；
(2)若 f(x＋a)＝ 1
f(x)，则 T＝2a；
(3)若 f(x＋a)＝－ 1
f(x)，则 T＝2a.(a>0)
避误区
函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连
接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替.
[专题过关检测]
一、选择题
1．函数 f(x)＝ 1
x－1＋ x的定义域为( )
A．[0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[0,1)∪(1，＋∞) D．[0,1)
解析：选 C 由题意知Error!
∴f(x)的定义域为[0,1)∪(1，＋∞)．
2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝1
x B．y＝|x|－1
C．y＝lg x D．y＝(1
2 )|x|
解析：选 B A 中函数 y＝1
x不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故 A 错误；B 中函
数满足题意，故 B 正确；C 中函数不是偶函数，故 C 错误；D 中函数不满足在(0，＋∞)上
单调递增，故选 B.
3．已知函数 f(x)＝2 × 4x－a
2x 的图象关于原点对称，g(x)＝ln(ex＋1)－bx 是偶函数，则
logab＝( )
A．1 B．－1
C．－1
2 D．1
4
解析：选 B 由题意得 f(0)＝0，∴a＝2.
∵g(1)＝g(－1)，∴ln(e＋1)－b＝ln(1
e＋1 )＋b，
∴b＝1
2，∴log2
1
2＝－1.
4．若函数 f(x)＝Error!的图象如图所示，则 f(－3)等于( )
A．－1
2 B．－5
4
C．－1 D．－2
解析：选 C 由图象可得 a(－1)＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，∴a＝2，b＝
5，∴f(x)＝Error!
故 f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1.
5．已知函数 f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，若 f(x＋2 017)＝Error!则 f(2 017＋π
4)·f(－7
983)＝( )
A．2 016 B.1
4
C．4 D. 1
2 016
解析：选 C 由题意得，f(2 017＋π
4)＝ 2sinπ
4＝1，
f(－7 983)＝f(2 017－10 000)＝lg 10 000＝4，
∴f(2 017＋π
4)·f(－7 983)＝4.
6．函数 y＝sin x
x ，x∈(－π，0)∪(0，π)的图象大致是( )
解析：选 A 函数 y＝sin x
x ，x∈(－π，0)∪(0，π)为偶函数，所以图象关于 y 轴对称，
排除 B、C，又当 x 趋近于 π 时，y＝sin x
x 趋近于 0，故选 A.
7．(2016·山东高考)已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x＜0 时，f(x)＝x 3－1；当－1≤x≤1
时，f(－x)＝－f(x)；当 x＞1
2时，f(x＋1
2 )＝f(x－1
2 )，则 f(6)＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．2
解析：选 D 由题意知，当 x＞1
2时，f(x＋1
2 )＝fx－1
2，则 f(x＋1)＝f(x)．
又当－1≤x≤1 时，f(－x)＝－f(x)，
∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)．
又当 x＜0 时，f(x)＝x3－1，
∴f(－1)＝－2，∴f(6)＝2.
8．如图，动点 P 在正方体 ABCDA1B1C1D1 的体对角线 BD1 上．过
点 P 作垂直于平面 BB1D1D 的直线，与正方体的表面相交于 M，N 两
点．设 BP＝x，MN＝y，则函数 y＝f(x)的图象大致是( )
解析：选 B 设正方体的棱长为 1，显然，当 P 移动到体对角线 BD1 的中点 E 时，函
数 y＝MN＝AC＝ 2取得唯一的最大值，所以排除 A、C；当 P 在 BE 上时，分别过 M，
N，P 作底面的垂线，垂足分别为 M1，N1，P1，则 y＝MN＝M1N1＝2BP1＝2xcos∠D1BD＝2 6
3
x，是一次函数，所以排除 D.故选 B.
9．(2017·贵阳模拟)定义新运算⊕：当 a≥b 时，a⊕b＝a；当 a＜b 时，a⊕b＝b 2，则函
数 f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]的最大值等于( )
A．－1 B．1
C．6 D．12
解析：选 C 由已知得当－2≤x≤1 时，f(x)＝x－2，
当 1＜x≤2 时，f(x)＝x3－2.
∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2 在定义域内都为增函数．
∴f(x)的最大值为 f(2)＝23－2＝6.
10．函数 f(x)＝ ax＋b
(x＋c)2
的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A．a>0，b>0，c<0
B．a<0，b>0，c>0
C．a<0，b>0，c<0
D．a<0，b<0，c<0
解析：选 C ∵f(x)＝ ax＋b
(x＋c)2
的图象与 x 轴，y 轴分别交于 N，M，且点 M 的纵坐标与
点 N 的横坐标均为正，
∴x＝－b
a>0，y＝ b
c2>0，故 a<0，b>0，又函数图象间断点的横坐标为正，∴－c>0，
c<0，故选 C.
11．定义在 R 上的函数 f(x)对任意 00 的解集是( )
A．(－2,0)∪(0,2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(0,2) D．(－2,0)∪(2，＋∞)
解析：选 C (转化法)由f(x1)－f(x2)
x1－x2 <1，可得[f(x1)－x1]－[f(x2)－x2]
x1－x2 <0.令 F(x)＝f(x)－x，
由题意知 F(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，且是奇函数，F(2)＝0，F(－2)＝0，所
以结合图象，令 F(x)>0，得 x<－2 或 00，又 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x<0 时，f(x)＝2x，所
以 f(log49)＝f(log23)＝－2－log23＝－2log2
1
3＝－1
3.
答案：－1
3
15．若当 x∈(1,2)时，函数 y＝(x－1)2 的图象始终在函数 y＝logax 的图象的下方，则实
数 a 的取值范围是________．
解析：如图，在同一平面直角坐标系中画出函数 y＝(x－1)2 和 y＝
logax 的图象，由于当 x ∈(1,2) 时，函数 y ＝(x －1)2 的图象恒在函数 y
＝logax 的图象的下方，则Error!解得 10 且 a，b 不共线．由 a·b＝2＋k>0 得 k>－2，又 k≠1
2，
即实数 k 的取值范围是(－2，1
2)∪(1
2，＋∞)，选 B.
4．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量 a，b 的夹角为 60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
解析：法一：易知|a＋2b|＝ |a|2＋4a·b＋4|b|2＝ 4＋4 × 2 × 1 × 1
2＋4＝2 3.
法二：(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2，知以 a 与 2b 为邻边可作出边
长为 2 的菱形 OACB，如图，则|a＋2b|＝| OC
―→
|.又∠AOB＝60°，所以|a
＋2b|＝2 3.
答案：2 3
5．(2017·山东高考)已知 e 1，e2 是互相垂直的单位向量．若 3e1－e2 与 e1＋λe2 的夹角
为 60°，则实数 λ 的值是________．
解析：因为
( 3e1－e2)·(e1＋λe2)
| 3e1－e2|·|e1＋λe2|
＝ 3－λ
2 1＋λ2，
故 3－λ
2 1＋λ2＝1
2，解得 λ＝ 3
3 .
答案： 3
3
[准解·快解·悟通]
快审题 1.看到向量垂直，想到其数量积为零．
2.看到向量的模与夹角，想到向量数量积的有关性质和公式．
避误区
两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个
向量夹角可能是 0 或 π 的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要
求其数量积小于零，还要求不能反向共线.
平面向量在几何中的应用
[题点·考法·全练]
1．在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝6，点 D 在边 AC 上，且 2 AD
―→
＝ DC
―→
，则
BA
―→
· BD
―→
的值是( )
A．48 B．24
C．12 D．6
解析：选 B 法一：由题意得， BA
―→
· BC
―→
＝0， BA
―→
· CA
―→
＝ BA
―→
·( BA
―→
－ BC
―→
)＝
| BA
―→
|2＝36，∴ BA
―→
· BD
―→
＝ BA
―→
·( BC
―→
＋ CD
―→
)＝ BA
―→
·(＋2
3 )＝0＋2
3×36＝24.
法二：(特例法)若△ABC 为等腰直角三角形，建立如图所示的平面
直角坐标系，则 A(6,0)，C(0,6)．
由 2 AD
―→
＝ DC
―→
，得 D(4,2)．
∴ BA
―→
· BD
―→
＝(6,0)·(4,2)＝24.
2.如图所示，已知点 G 是△ABC 的重心，过点 G 作直线与 AB，AC
两边分别交于 M，N 两点，且AM
―→
＝x AB
―→
， AN
―→
＝y AC
―→
，则 x＋2y 的
最小值为( )
A．2 B.1
3
C.3＋2 2
3 D.3
4
解析：选 C 由已知可得 AG
―→
＝2
3×1
2( AB
―→
＋ AC
―→
)＝1
3 AB
―→
＋1
3 AC
―→
＝ 1
3x AM
―→
＋ 1
3y
AN
―→
，又 M，G，N 三点共线，故1
3x＋ 1
3y＝1，∴1
x＋1
y＝3，则 x＋2y＝(x＋2y)·(1
x＋1
y )·1
3＝1
3
(3＋2y
x ＋x
y)≥3＋2 2
3 (当且仅当 x＝ 2y 时取等号)．
3．(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则
PA
―→
·( PB
―→
＋ PC
―→
)的最小值是( )
A．－2 B．－3
2
C．－4
3 D．－1
解析：选 B 如图，以等边三角形 ABC 的底边 BC 所在直线为 x
轴，以 BC 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0， 3)，
B(－1,0)，C(1,0)，设 P(x，y)，则 PA
―→
＝(－x, 3－y)， PB
―→
＝(－1－
x，－y)， PC
―→
＝(1－x，－y)，所以 PA
―→
·( PB
―→
＋ PC
―→
)＝(－x， 3－
y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2(y－ 3
2 )2－3
2，当 x＝0，y＝ 3
2 时， PA
―→
·( PB
―→
＋ PC
―→
)取得最小
值，为－3
2.
4．如图，已知△ABC 中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，点 P 在线段 BC
上运动，且满足 CP
―→
＝λ CB
―→
，当 PA
―→
· PC
―→
取到最小值时，λ 的值为
( )
A.1
4 B.1
5
C.1
6 D.1
8
解析：选 D 如图所示，建立平面直角坐标系．不妨设 BC＝4，
P(x,0)(0≤x≤4)，则 A(3， 3)，C(4,0)，∴ PA
―→
· PC
―→
＝(3－x， 3)·(4
－x,0)＝(3－x)(4－x)＝x 2－7x＋12＝(x－7
2 )2－1
4.
当 x＝7
2时， PA
―→
· PC
―→
取得最小值－1
4.
∵ CP
―→
＝λ CB
―→
，∴(－1
2，0)＝λ(－4,0)，
∴－4λ＝－1
2，解得 λ＝1
8.故选 D.
5.如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB＝8，AD＝5， CP
―→
＝
3 PD
―→
， AP
―→
· BP
―→
＝2，则 AB
―→
· AD
―→
的值是________．
解析：因为 AP
―→
＝ AD
―→
＋ DP
―→
＝ AD
―→
＋1
4 AB
―→
，
BP
―→
＝ BC
―→
＋ CP
―→
＝ AD
―→
－3
4 AB
―→
，
所以 AP
―→
· BP
―→
＝(＋1
4 )·(－3
4 )＝
| AD
―→
|2－ 3
16| AB
―→
|2－1
2 AD
―→
· AB
―→
＝2，
将 AB＝8，AD＝5 代入解得 AB
―→
· AD
―→
＝22.
答案：22
[准解·快解·悟通]
快审题 看到有关几何图形问题，想到选取合理基底，想到建立适当的坐标系.
准 解
题
1.记牢 2 个常用结论
(1)△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，则 AD
―→
＝1
2( AB
―→
＋ AC
―→
)．
(2)△ABC 中，O 是△ABC 内一点，若 OA
―→
＋ OB
―→
＋ OC
―→
＝0，则 O 是△ABC 的重
心．
2.掌握用向量解决平面几何问题的方法
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题
转化为向量问题．
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直和距离、夹角等问题．
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
用妙法
特例法妙解图形中平面向量数量积问题
解答有关图形中的平面向量数量积问题，常采用特例法，如取直角三角形、矩形，再
建立平面直角坐标系，求得相关点坐标计算求解.
[专题过关检测]
一、选择题
1．设 a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若 b⊥c，则实数 k 的值等于( )
A．－3
2 B．－5
3
C.5
3 D．3
2
解析：选 A 因为 c＝a＋kb＝(1＋k,2＋k)，又 b⊥c，所以 1×(1＋k)＋1×(2＋k)＝0，
解得 k＝－3
2.
2．(2017·贵州适应性考试)已知向量 a＝(2,4)，b＝(－1，1)，c＝(2,3)，若 a＋λb 与 c 共
线，则实数 λ＝( )
A.2
5 B．－2
5
C.3
5 D．－3
5
解析：选 B 法一：a＋λb＝(2－λ，4＋λ)，c＝(2,3)，因为 a＋λb 与 c 共线，所以必定
存在唯一实数 μ，使得 a＋λb＝μc，所以Error!解得Error!
法二：a＋λb＝(2－λ，4＋λ)，c＝(2,3)，由 a＋λb 与 c 共线可知2－λ
2 ＝4＋λ
3 ，解得 λ＝－
2
5.
3．(2018 届高三·云南 11 校跨区调研)已知平面向量 a 与 b 的夹角为 45°，a＝(1,1)，|b|＝
2，则|3a＋b|等于( )
A．13＋6 2 B．2 5
C. 30 D． 34
解析：选 D 依题意得 a 2 ＝2，a·b＝ 2×2×cos 45°＝2，|3a＋b|＝ (3a＋b)2＝
9a2＋6a·b＋b2＝ 18＋12＋4＝ 34.
4．在等腰梯形 ABCD 中， AB
―→
＝－2 CD
―→
CD
―→
，M 为 BC 的中点，则 AM
―→
＝( )
A.1
2 AB
―→
＋1
2 AD
―→
B.3
4 AB
―→
＋1
2 AD
―→
C.3
4 AB
―→
＋1
4 AD
―→
D.1
2 AB
―→
＋3
4 AD
―→
解析：选 B 因为 AB
―→
＝－2 CD
―→
，所以 AB
―→
＝2 DC
―→
.又 M 是 BC 的中点，所以 AM
―→
＝1
2( AB
―→
＋ AC
―→
)＝1
2( AB
―→
＋ AD
―→
＋ DC
―→
)＝1
2(＋＋1
2)＝3
4 AB
―→
＋1
2 AD
―→
.
5．(2017·成都二诊)已知平面向量 a，b 的夹角为π
3，且|a|＝1，|b|＝1
2，则 a＋2b 与 b 的
夹角是( )
A.π
6 B.5π
6
C.π
4 D.3π
4
解析：选 A 法一：因为|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋1＋4×1×1
2×cos π
3＝3，所以|a
＋2b|＝ 3，
又(a＋2b)·b＝a·b＋2|b| 2
＝1×1
2×cos π
3＋2×1
4＝1
4＋1
2＝3
4，
所以 cos〈a＋2b，b〉＝
(a＋2b)·b
|a＋2b||b|＝
3
4
3 × 1
2
＝ 3
2 ，
所以 a＋2b 与 b 的夹角为π
6.
法 二 ： ( 特 例 法 ) 设 a ＝ (1,0) ， b ＝ (1
2cos π
3，1
2sin π
3)＝ (1
4， 3
4 )， 则 (a ＋ 2b)·b ＝
(3
2， 3
2 )·(1
4， 3
4 )＝3
4，|a＋2b|＝ (3
2 )2＋( 3
2 )2＝ 3，所以 cos〈a＋2b，b〉＝
(a＋2b)·b
|a＋2b||b|＝
3
4
3 × 1
2
＝ 3
2 ，所以 a＋2b 与 b 的夹角为π
6.
6．已知点 A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量 AB
―→
在 CD
―→
方向上的投影
为( )
A.3 2
2 B．3 15
2
C．－3 2
2 D．－3 15
2
解析：选 A 由题意知 AB
―→
＝(2,1)， CD
―→
＝(5,5)，
则 AB
―→
在 CD
―→
方向上的投影为| AB
―→
|·cos〈 AB
―→
，CD
―→
〉＝·
||＝3 2
2 .
7．(2017·安徽二校联考)在边长为 1 的正三角形 ABC 中，D，E 是边 BC 的两个三等分
点(D 靠近点 B)，则 AD
―→
· AE
―→
等于( )
A.1
6 B.2
9
C.13
18 D.1
3
解析：选 C 法一：因为 D，E 是边 BC 的两个三等分点，所以 BD＝DE＝CE＝1
3，
在△ABD 中，
AD2＝BD2＋AB2－2BD·AB·cos 60°
＝(1
3 )2＋12－2×1
3×1×1
2＝7
9，
即 AD＝ 7
3 ，同理可得 AE＝ 7
3 ，
在△ADE 中，由余弦定理得
cos∠DAE＝AD2＋AE2－DE2
2AD·AE
＝
7
9＋7
9－(1
3 )2
2 × 7
3 × 7
3
＝13
14，
所以 AD
―→
· AE
―→
＝| AD
―→
|·| AE
―→
|cos∠DAE
＝ 7
3 × 7
3 ×13
14＝13
18.
法二：如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得 A
(0， 3
2 )，D(－1
6，0)，E(1
6，0 )，所以 AD
―→
＝(－1
6，－ 3
2 )， AE
―→
＝
(1
6，－ 3
2 )， 所 以 AD
―→
· AE
―→
＝(－1
6，－ 3
2 )·(1
6，－ 3
2 )＝ － 1
36＋3
4
＝13
18.
8．(2017·东北四市模拟)已知向量 OA
―→
＝(3,1)， OB
―→
＝(－1,3)， OC
―→
＝m OA
―→
－n
OB
―→
(m>0，n>0)，若 m＋n＝1，则| OC
―→
|的最小值为( )
A.
5
2 B.
10
2
C. 5 D. 10
解析：选 C 由 OA
―→
＝(3,1)， OB
―→
＝(－1,3)，得 OC
―→
＝m OA
―→
－n OB
―→
＝(3m＋n，m
－3n)，因为 m＋n＝1(m>0，n>0)，
所以 n＝1－m 且 0y>0，m>n，则下列不等式正确的是( )
A．xm>ym B．x－m≥y－n
C.x
n> y
m D．x> xy
解析：选 D A 不正确，因为同向同正不等式相乘，不等号方向不变，m 可能为 0 或负
数；B 不正确，因为同向不等式相减，不等号方向不确定；C 不正确，因为 m，n 的正负不
确定．故选 D.
3．(2017·云南第一次统一检测)已知函数 f(x)＝Error!则不等式 f(x－1)≤0 的解集为
( )
A．{x|0≤x≤2} B．{x|0≤x≤3}
C．{x|1≤x≤2} D．{x|1≤x≤3}
解析：选 D 由题意，得 f(x－1)＝Error!当 x≥2 时，由 2x－2－2≤0，解得 2≤x≤3；
当 x<2 时 ， 由 22 － x － 2≤0 ， 解 得 1≤x<2. 综 上 所 述 ， 不 等 式 f(x － 1)≤0 的 解 集 为
{x|1≤x≤3}．
4．已知 x∈(－∞，1]，不等式 1＋2x＋(a－a2)·4x>0 恒成立，则实数 a 的取值范围为( )
A.(－2，1
4) B．(－∞，1
4]
C.(－1
2，3
2) D．(－∞，6]
解析：选 C 根据题意，由于 1＋2x＋(a－a2)·4x>0 对于一切的 x∈(－∞，1]恒成立，
令 2x＝t(00⇔a－a2>－1＋t
t2 ，故只要求解 h(t)＝－1＋t
t2 (0＜t≤2)
的最大值即可，h(t)＝－1
t2－1
t＝－(1
t＋1
2 )2＋1
4，又1
t≥1
2，结合二次函数图象知，当1
t＝1
2，
即 t＝2 时，h(x)取得最大值－3
4，即 a－a2>－3
4，所以 4a2－4a－3<0，解得－1
20(a>0)，再结合相应二次
方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．
(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式
不等式求解．
2.掌握不等式恒成立问题的解题方法
(1)f(x)>a 对一切 x∈I 恒成立⇔f(x)min>a；
f(x)g(x)对一切 x∈I 恒成立⇔f(x)的图象在 g(x)的图象的上方．
(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是
参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．利
用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等．
避误区
解形如一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0 时，易忽视系数 a 的讨论导致漏解或
错解，要注意分 a>0，a<0 进行讨论.
基本不等式及其应用
[题点·考法·全练]
1．设 x>0，则函数 y＝x＋ 2
2x＋1－3
2的最小值为________．
解析：y＝x＋ 2
2x＋1－3
2＝(x＋1
2 )＋ 1
x＋1
2
－2≥2－2＝0.当且仅当 x＋1
2＝ 1
x＋1
2
，即 x＝1
2
时等号成立．
答案：0
2．(2017·石家庄质检)已知直线 l：ax＋by－ab＝0(a>0，b>0)经过点(2,3)，则 a＋b 的最
小值为________．
解析：因为直线 l 经过点(2,3)，
所以 2a＋3b－ab＝0，
即3
a＋2
b＝1，
所以 a＋b＝(a＋b)(3
a＋2
b )＝5＋3b
a ＋2a
b ≥5＋2 6，当且仅当3b
a ＝2a
b ，即 a＝3＋ 6，b
＝2＋ 6时等号成立．
答案：5＋2 6
3．(2017·天津高考)若 a，b∈R，ab>0，则a4＋4b4＋1
ab 的最小值为________．
解析：因为 ab>0，所以a4＋4b4＋1
ab ≥2 4a4b4＋1
ab ＝4a2b2＋1
ab ＝4ab＋ 1
ab≥2 4ab· 1
ab＝4，
当且仅当Error!时取等号，故a4＋4b4＋1
ab 的最小值是 4.
答案：4
4．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，
一年的总存储费用为 4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是
________．
解析：由题意，一年购买600
x 次，则总运费与总存储费用之和为600
x ×6＋4x＝4(900
x ＋x)
≥8 900
x ·x＝240，当且仅当 x＝30 时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时 x 的值是 30.
答案：30
[准解·快解·悟通]
快审题 看到最值问题，想到“积定和最小”，“和定积最大”．
准 解
题
掌握基本不等式求最值的 3 种解题技巧
(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．
(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，
从而可利用基本不等式求最值．
(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将
式子分开，即化为 y＝m＋
A
g(x)＋Bg(x)(A>0，B>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后
运用基本不等式来求最值．
避误区
运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓
“一正”是指“正数”，“二定”指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三
相等”是指满足等号成立的条件．若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两
次等号成立的条件一致，否则最值取不到.
简单的线性规划问题
[题点·考法·全练]
1．(2017·全国卷Ⅲ)设 x，y 满足约束条件Error!则 z＝x－y 的取值范围是( )
A．[－3,0] B．[－3,2]
C．[0,2] D．[0,3]
解析：选 B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作
出直线 l0：y＝x，平移直线 l0，当直线 z＝x－y 过点 A(2,0)时，z 取得最
大值 2，
当直线 z＝x－y 过点 B(0,3)时，z 取得最小值－3，
所以 z＝x－y 的取值范围是[－3,2]．
2．(2017·郑州第二次质量预测)已知直线 y＝k(x＋1)与不等式组Error!表示的平面区域
有公共点，则 k 的取值范围为( )
A．[0，＋∞) B.[0，3
2 ]
C.(0，3
2 ] D.(3
2，＋∞)
解析：选 C 画出可行域如图中阴影(不含 x 轴)部分所示，直线 y＝
k(x＋1)过定点 M(－1,0)，
由Error!解得Error!过点 M(－1，0)与 A(1,3)的直线的斜率是3
2，根
据题意可知 0f(1)的解集是( )
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
解析：选 A 由题意知 f(1)＝3，故原不等式可化为Error!或Error!解得－33，所以原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．
2．若实数 a，b∈R 且 a＞b，则下列不等式恒成立的是( )
A．a2＞b2 B.a
b＞1
C．2a＞2b D．lg(a－b)＞0
解析：选 C 根据函数的图象与不等式的性质可知：当 a＞b 时，2a＞2b，故选 C.
3．(2017·兰州模拟)若变量 x，y 满足约束条件Error!则 z＝2x·(1
2 )y 的最大值为( )
A．16 B．8
C．4 D．3
解析：选 A 作出不等式组Error!表示的平面区域如图中阴影部分所示．又 z＝
2x·(1
2 )y＝2x－y，令 u＝x－y，则直线 u＝x－y 在点(4,0)处 u 取得最大
值，此时 z 取得最大值且 zmax＝24－0＝16.
4．已知 a∈R，不等式x－3
x＋a≥1 的解集为 p，且－2∉p，则 a 的取值范
围为( )
A．(－3，＋∞) B．(－3,2)
C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪[2，＋∞)
解析：选 D ∵－2∉p，∴
－2－3
－2＋a<1 或－2＋a＝0，解得 a≥2 或 a<－3.
5．若对任意正实数 x，不等式 1
x2＋1≤a
x恒成立，则实数 a 的最小值为( )
A．1 B. 2
C.1
2 D.
2
2
解析：选 C 因为 1
x2＋1≤a
x，即 a≥ x
x2＋1，而 x
x2＋1＝ 1
x＋1
x
≤1
2(当且仅当 x＝1 时取等
号)，所以 a≥1
2.
6．对于任意实数 a，b，c，d，有以下四个命题：
①若 ac2＞bc2，则 a＞b；
②若 a＞b，c＞d，则 a＋c＞b＋d；
③若 a＞b，c＞d，则 ac＞bd；
④若 a＞b，则1
a＞1
b.
其中正确的命题有( )
A．1 个 B．2 个
C．3 个 D．4 个
解析：选 B ①由 ac2＞bc2，得 c≠0，则 a＞b，①正确；
②由不等式的同向可加性可知②正确；
③错误，当 d2 ex0· 1
ex0＝2，即 a>1.
9．(2017·长沙模拟)若 1≤log 2(x－y＋1)≤2，|x－3|≤1，则 x－2y 的最大值与最小值之
和是( )
A．0 B．－2
C．2 D．6
解析：选 C 1≤log2(x－y＋1)≤2，|x－3|≤1，
即变量 x，y 满足约束条件Error!
即Error!
作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，可得 x－2y 在 A(2，－1)，C(4,3)处
取得最大值、最小值分别为 4，－2，其和为 2.
10.已知函数 f(x)(x∈R)的图象如图所示，f′(x)是 f(x)的导函数，
则不等式(x2－2x－3)f′(x)>0 的解集为( )
A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(1,2)
C．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)
解析：选 D 由 f(x)的图象可知，在(－∞，－1)，(1，＋∞)上，f′(x)>0，在(－1,1)上，
f′(x)<0.由(x2－2x－3)·f′(x)>0，得Error!或Error!即Error!或Error!所以不等式的解集为
(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．
11．(2017·九江模拟)已知点 P(x，y)满足Error!过点 P 的直线与圆 x 2＋y2＝14 相交于
A，B 两点，则|AB|的最小值为( )
A．2 B．2 6
C．2 5 D．4
解析：选 D 不等式组Error!
所表示的平面区域为△CDE 及其内部(如图)，其中 C(1,3)，
D(2，2)，E(1,1)，且点 C，D，E 均在圆 x2＋y2＝14 的内部，故要
使|AB|最小，则 AB⊥OC，因为|OC|＝ 10，所以|AB|＝2× 14－10
＝4，故选 D.
12．某企业生产甲、乙两种产品均需用 A，B 两种原料．已知生产 1 吨每种产品所需原
料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万
元，则该企业每天可获得最大利润为( )
甲 乙 原料限额
A(吨) 3 2 12
B(吨) 1 2 8
A．12 万元 B．16 万元
C．17 万元 D．18 万元
解析：选 D 根据题意，设每天生产甲 x 吨，乙 y 吨，
则Error!
目标函数为 z＝3x＋4y，作出不等式组所表示的平面区域
如图中阴影部分所示，作出直线 3x＋4y＝0 并平移，易知当直线经过点 A(2,3)时，z 取得最
大值且 zmax＝3×2＋4×3＝18，故该企业每天可获得最大利润为 18 万元，选 D.
二、填空题
13．(2017·全国卷Ⅰ)设 x，y 满足约束条件Error!则 z＝3x－2y 的最小值为________．
解析：
作出不等式组Error!
所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线 y＝3
2x－z
2过点 A 时，在 y
轴上的截距最大，此时 z 最小，由Error!解得Error!
∴zmin＝－5.
答案：－5
14．在 R 上定义运算：x*y＝x(1－y)，若不等式(x－a)*(x＋a)≤1 对任意的 x 恒成立，
则实数 a 的取值范围是________．
解析：由于(x－a)*(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，则不等式(x－a)*(x＋a)≤1 对任意的 x 恒
成立，即 x2－x－a2＋a＋1≥0 恒成立，所以 a2－a－1≤x2－x 恒成立，又 x2－x＝(x－1
2 )2－
1
4≥－1
4，则 a2－a－1≤－1
4，解得－1
2≤a≤3
2.
答案：[－1
2，3
2]
15．(2017·湖南五市十校联考)设 z＝kx＋y，其中实数 x，y 满足Error!若 z 的最大值为
12，则实数 k＝________.
解析：作出可行域，如图中阴影部分所示．
由图可知当 0≤－k<1
2时，直线 y＝－kx＋z 经过点 M(4,4)时 z 最
大，所以 4k＋4＝12，解得 k＝2(舍去)；当－k≥1
2时，直线 y＝－kx＋
z 经过点 B(0,2)时 z 最大，此时 z 的最大值为 2，不合题意；当－k<0
时，直线 y＝－kx＋z 经过点 M(4,4)时 z 最大，所以 4k＋4＝12，解得 k＝2，符合．综上可
知 k＝2.
答案：2
16 ． 记 min{a ， b} 为 a ， b 两 数 的 最 小 值 ． 当 正 数 x ， y 变 化 时 ， 令 t ＝
min{2x＋y， 2y
x2＋2y2}，则 t 的最大值为________．
解析：因为 x＞0，y＞0，所以问题转化为 t2≤(2x＋y)· 2y
x2＋2y2＝4xy＋2y2
x2＋2y2 ≤
4·x2＋y2
2 ＋2y2
x2＋2y2
＝2(x2＋2y2)
x2＋2y2 ＝2，当且仅当 x＝y 时等号成立，所以 0＜t≤ 2，所以 t 的最大值为 2.
答案： 2
送分专题(五) 空间几何体的三视图、表面积与体积
[全国卷 3 年考情分析]
年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析
卷Ⅰ
空间几何体的三视图与直观图、面积的计
算·T7
卷Ⅱ
空间几何体的三视图及组合体体积的计
算·T4
2017
卷Ⅲ 球的内接圆柱、圆柱的体积的计算·T 8
卷Ⅰ 有关球的三视图及表面积的计算·T6
卷Ⅱ
空间几何体的三视图及组合体表面积的
计算·T6
空间几何体的三视图及组合体表面积的
计算·T9
2016
卷Ⅲ
直三棱柱的体积最值问题·T10
锥体体积的计算·T6
卷Ⅰ 空间几何体的三视图及组合体表面积的
计算·T11
空间几何体的三视图及组合体体积的计
算·T6
2015
卷Ⅱ
三棱锥的体积、球的表面积、球与三棱锥
的结构特征·T9
1.“立体几何”在高考
中一般会以“两小一大”或
“一小一大”的命题形式出
现，这“两小”或“一小”
主要考查三视图，几何体的
表面积与体积，空间点、线、
面位置关系(特别是平行与
垂直)．
2．考查一个小题时，本小题
一般会出现在第 4～8 题的
位置上，难度一般；考查 2
个小题时，其中一个小题难
度一般，另一小题难度稍高，
一般会出现在第 10～16 题
的位置上，本小题虽然难度
稍高，主要体现在计算量上，
但仍是对基础知识、基本公
式的考查．
空间几何体的三视图
[题点·考法·全练]
1．已知长方体的底面是边长为 1 的正方形，高为 2，其俯视图是一个面积为 1 的正
方形，侧视图是一个面积为 2 的矩形，则该长方体的正视图的面积等于( )
A．1 B. 2
C．2 D．2 2
解析：选 C 依题意得，题中的长方体的正视图和侧视图的高都等于 2，正视图的长
是 2，因此相应的正视图的面积等于 2× 2＝2.
2.(2016·天津高考)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到
的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( )
解析：选 B 由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧(左)视图为图
②.
3．(2017·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )
A．3 2 B．2 3
C．2 2 D．2
解析：选 B 在正方体中还原该四棱锥如图所示，
从图中易得最长的棱为
AC1＝ AC2＋CC21＝ (22＋22)＋22＝2 3.
[准解·快解·悟通]
快审题 看到三视图，想到常见几何体的三视图，进而还原空间几何体．(注：三视图中的
正视图也叫主视图，侧视图也叫左视图)
准 解
题
明确三视图问题的常见类型及解题策略
(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意
看到的部分用实线，看不到的部分用虚线表示．
(2)由几何体的部分视图画出剩余的视图．先根据已知的一部分视图，还原、推测
直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也
可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．
(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确
三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图.
空间几何体的表面积与体积
[题点·考法·全练]
1.(2016·全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视
图，则该几何体的表面积为( )
A．20π B．24π
C．28π D．32π
解析：选 C 由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆
柱底面圆半径为 r，周长为 c，圆锥母线长为 l，圆柱高为 h.由图得 r＝
2，c＝2πr＝4π，h＝4，由勾股定理得：l＝ 22＋(2 3)2＝4，S 表＝πr2＋ch＋1
2cl＝4π＋16π
＋8π＝28π.
2．(2017·云南 11 校跨区调研)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
( )
A．1 B．2
C．3 D．6
解析：选 C 依题意，题中的几何体是一个直三棱柱(其底面左、右相对)，其中底面是
直角边长分别为 1,2 的直角三角形，侧棱长为 3，因此其体积为(1
2 × 1 × 2)×3＝3.
3．(2017·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：
cm3)是( )
A.π
2＋1 B.π
2＋3
C.3π
2 ＋1 D.3π
2 ＋3
解析：选 A 由几何体的三视图可得，该几何体是一个底面半径为 1，高为 3 的圆锥的
一半与一个底面为直角边长为 2的等腰直角三角形，高为 3 的三棱锥的组合体，故该几何
体的体积 V＝1
3×1
2π×12×3＋1
3×1
2× 2× 2×3＝π
2＋1.
4．若正三棱锥 ABCD 中，AB⊥AC，且 BC＝1，则三棱锥 ABCD 的高为( )
A.
6
6 B.
3
3
C.
2
2 D.
6
3
解析：选 A 设三棱锥 ABCD 的高为 h.依题意得 AB，AC，AD 两两垂直，且 AB＝AC
＝AD＝ 2
2 BC＝ 2
2 ，△BCD 的面积为 3
4 ×12＝ 3
4 .由 VABCD＝VBACD 得 1
3S△BCD·h＝1
3S△
ACD·AB，即 1
3× 3
4 ×h＝1
3×1
2×( 2
2 )2× 2
2 ，解得 h＝ 6
6 ，即三棱锥 ABCD 的高 h＝
6
6 .
5．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )
A．28＋6 5 B．60＋12 5
C．56＋12 5 D．30＋6 5
解析：选 D 如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，还原该三棱锥
PBCD ，易得 BD ＝PB ＝ 41，PD ＝2 5，∴S △ PBD ＝1
2×2 5×
( 41)2－(2 5
2 )2＝6 5，
又易得 S△BCD＝1
2×4×5＝10，S△BCP＝1
2×BC×PC＝10，S△PCD＝1
2×CD×CC1＝10，∴
该三棱锥的表面积是 30＋6 5.
[准解·快解·悟通]
快审
题
1.看到求规则图形的表面积(体积)，想到相应几何体的表面积(体积)公式．
2.看到求不规则图形的表面积，想到几何体的侧面展开图．
3.看到求不规则图形的体积，想到能否用割补思想、特殊值法等解决．
准
解
题
1.活用求几何体的表面积的方法
(1)求表面积问题的基本思路是将立体几何问题转化为平面几何问题，即空间图形平
面化，这是解决立体几何的主要出发点．
(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先
求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差得几何体的表面积．
2.活用求空间几何体体积的常用方法
(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．
(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容
易，或是求出一些体积比等．
(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当分割或补形，转化为易计算
体积的几何体.
多面体与球的切接问题
[题点·考法·全练]
1．(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的
球面上，则该圆柱的体积为( )
A．π B.3π
4
C.π
2 D.π
4
解析：选 B 设圆柱的底面半径为 r，则 r2＝12－(1
2 )2＝3
4，所以圆柱的体积 V＝3
4
π×1＝3π
4 .
2．(2017·贵阳检测)三棱锥 PABC 的四个顶点都在体积为500π
3 的球的表面上，底面 ABC
所在的小圆面积为 16π，则该三棱锥的高的最大值为( )
A．4 B．6
C．8 D．10
解析：选 C 依题意，设题中球的球心为 O、半径为 R，△ABC 的外接圆半径为 r，则
4πR3
3 ＝500π
3 ，解得 R＝5，由 πr2＝16π，解得 r＝4，又球心 O 到平面 ABC 的距离为 R2－r2
＝3，因此三棱锥 PABC 的高的最大值为 5＋3＝8.
3．半径为 2 的球 O 中有一内接正四棱柱(底面是正方形，侧棱垂直底面)．当该正四棱
柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是________．
解析：依题意，设球的内接正四棱柱的底面边长为 a、高为 h，则有 16＝2a2＋h2≥2 2
ah，即 4ah≤16 2，该正四棱柱的侧面积 S＝4ah≤16 2，当且仅当 h＝ 2a＝2 2时取
等号．因此，当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是
4π×22－16 2＝16(π－ 2)．
答案：16(π－ 2)
[准解·快解·悟通]
快审题 看到多面体与球的切接问题，想到是内切还是外接，想到球心位置和半径的大小．
准 解
题
掌握“切”“接”问题的处理方法
(1)“切”的处理：解决与球有关的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时要
先找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则多通过多面体过球心的对角
面来作截面．
(2)“接”的处理：把一个多面体的几个顶点放在球面上即球的外接问题．解决这类问题
的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.
[专题过关检测]
一、选择题
1．如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )
解析：选 D 先观察俯视图，由俯视图可知选项 B 和 D 中的一个正确，由正视图和侧
视图可知选项 D 正确．
2．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3，则正视图中的 x 的值是( )
A．2 B．9
2
C.3
2 D．3
解析：选 D 由三视图判断该几何体为四棱锥，且底面为梯形，高为 x，故该几何体的
体积 V＝1
3×1
2×(1＋2)×2×x＝3，解得 x＝3.
3．(2017·广州综合测试)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画
出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为
8
3，则该几何体的俯视图可以是( )
解析：选 D 由题意可得该几何体可能为四棱锥，如图所示，其高为 2，
其底面为正方形，面积为 2×2＝4，因为该几何体的体积为1
3×4×2＝8
3，满足
条件，所以俯视图可以为一个直角三角形．选 D.
4．(2017·新疆第二次适应性检测)球的体积为 4 3π，平面 α 截球 O 的球
面所得圆的半径为 1，则球心 O 到平面 α 的距离为( )
A．1 B. 2
C. 3 D. 6
解析：选 B 依题意，设该球的半径为 R，则有 4π
3 R3＝4 3π，由此解得 R＝ 3，因
此球心 O 到平面 α 的距离 d＝ R2－12＝ 2.
5．(2018 届高三·湖南十校联考)如图，小方格是边长为 1 的正
方形，一个几何体的三视图如图所示，则几何体的表面积为( )
A．4 5π＋96
B．(2 5＋6)π＋96
C．(4 5＋4)π＋64
D．(4 5＋4)π＋96
解析：选 D 几何体为一个圆锥和一个正方体的组合体，正方体的棱长为 4，圆锥的高
为 4，底面半径为 2，几何体的表面积为 S＝6×42＋π×22＋π×2× 42＋22＝(4 5＋4)π＋96.
6．(2018 届高三·西安八校联考)某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视
图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为( )
A.1
2 B.
2
4
C.
2
2 D.
3
2
解析：选 C 依题意得，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设其直角边长为
a，则斜边长为 2a，圆锥的底面半径为 2
2 a、母线长为 a，因此其俯视图中椭圆的长轴长
为 2a、短轴长为 a，其离心率 e＝ 1－( a
2a )2＝ 2
2 .
7．在棱长为 3 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，P 在线段 BD1 上，且 BP
PD1＝1
2，M 为线段
B1C1 上的动点，则三棱锥 MPBC 的体积为( )
A．1 B．3
2
C.9
2 D．与 M 点的位置有关
解析：选 B ∵BP
PD1＝1
2，∴点 P 到平面 BC1 的距离是 D1 到平面 BC1 距离的1
3，即为D1C1
3
＝1.M 为线段 B1C1 上的点，∴S△MBC＝1
2×3×3＝9
2，∴VMPBC＝VPMBC＝1
3×9
2×1＝3
2.
8．(2017·贵州适应性考试)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 P
是线段 A1C1 上的动点，则三棱锥 PBCD 的俯视图与正视图面积之比的
最大值为( )
A．1 B． 2
C． 3 D．2
解析：选 D 正视图，底面 B，C，D 三点，其中 D 与 C 重合，随着点 P 的变化，其正
视图均是三角形且点 P 在正视图中的位置在边 B1C1 上移动，由此可知，设正方体的棱长为
a，则 S 正视图＝1
2a2；设 A1C1 的中点为 O，随着点 P 的移动，在俯视图中，易知当点 P 在 OC1
上移动时，S 俯视图就是底面三角形 BCD 的面积，当点 P 在 OA1 上移动时，点 P 越靠近 A1，
俯视图的面积越大，当到达 A1 的位置时，俯视图为正方形，此时俯视图的面积最大，S 俯视
图＝a2，所以S俯视图
S正视图的最大值为 a2
1
2a2
＝2.
9．(2017·石家庄一模)祖暅是南北朝时期的伟大数学家，5 世纪末提出体积计算原理，
即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，
被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体
积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、
图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为( )
A．①② B．①③
C．②④ D．①④
解析：选 D 设截面与底面的距离为 h，则①中截面内圆的半径为 h，则截面圆环的面
积为 π(R2－h2)；②中截面圆的半径为 R－h，则截面圆的面积为 π(R－h)2；③中截面圆的半
径为 R－h
2，则截面圆的面积为 π(R－h
2 )2；④中截面圆的半径为 R2－h2，则截面圆的面积
为 π(R2－h2)．所以①④中截面的面积相等，故其体积相等，选 D.
10．等腰△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，将△ABC 沿 BC 边上的高 AD 折成直二面
角 BADC，则三棱锥 BACD 的外接球的表面积为( )
A．5π B．20
3 π
C．10π D．34π
解析：选 D 依题意，在三棱锥 BACD 中，AD，BD，CD 两两垂直，且 AD＝4，BD＝
CD＝3，因此可将三棱锥 BACD 补形成一个长方体，该长方体的长、宽、高分别为 3,3,4，
且其外接球的直径 2R＝ 32＋32＋42＝ 34，故三棱锥 BACD 的外接球的表面积为 4πR2＝
34π.
11．(2017·郑州第二次质量预测)将一个底面半径为 1，高为 2 的圆锥形工件切割成一个
圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为( )
A. π
27 B.8π
27
C.π
3 D.2π
9
解析：选 B 如图所示，设圆柱的半径为 r，高为 x，体积为 V，由题
意可得r
1＝2－x
2 ，所以 x＝2－2r，所以圆柱的体积 V＝πr 2(2－2r)＝2π(r 2－
r3)(01 000 的最小偶数 n，那么在◇和▭两个空白框中，可以分别填入
( )
A．A>1 000 和 n＝n＋1
B．A>1 000 和 n＝n＋2
C．A≤1 000 和 n＝n＋1
D．A≤1 000 和 n＝n＋2
解析：选 D 程序框图中 A＝3n－2n，且判断框内的条件不满足时输出 n，所以判断框
中应填入 A≤1 000，由于初始值 n＝0，要求满足 A＝3n－2n>1 000 的最小偶数，故执行框
中应填入 n＝n＋2.
4．(2017·天津高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 24，
则输出 N 的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选 C 第一次循环，24 能被 3 整除，N＝24
3 ＝8>3；第二次循环，8 不能被 3 整
除，N＝8－1＝7>3；
第三次循环，7 不能被 3 整除，N＝7－1＝6>3；
第四次循环，6 能被 3 整除，N＝6
3＝2<3，结束循环，
故输出 N 的值为 2.
[准解·快解·悟通]
快
审
题
1.看到循环结构，想到循环体的构成；看到判断框，想到程序什么时候开始和终止．
2.看到根据程序框图判断程序执行的功能，想到依次执行 n 次循环体，根据结果判断．
3.看到求输入的值，想到利用程序框图得出其算法功能，找出输出值与输入值之间的关
系，逆推得输入值．
准
解
题
掌握程序框图 2 类常考问题的解题技巧
(1)求解程序框图的运行结果问题
先要找出控制循环的变量及其初值、终值．然后看循环体，若循环次数较少，可依次列
出即可得到答案；若循环次数较多，可先循环几次，找出规律．要特别注意最后输出的
是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误，尤其对于以累和为限定条件的问题，需
要逐次求出每次迭代的结果，并逐次判断是否满足终止条件．
(2)对于程序框图的填充问题
最常见的是要求补充循环结构的判断条件，解决此类问题的方法：创造参数的判断条件
为“i＞n？”或“i＜n？”，然后找出运算结果与条件的关系，反解出条件即可.
推理与证明
[题点·考法·全练]
1．(2017·郑州第二次质量预测)平面内凸四边形有 2 条对角线，凸五边形有 5 条对角线，
依次类推，凸十三边形的对角线条数为( )
A．42 B．65
C．143 D．169
解析：选 B 根据题设条件可以通过列表归纳分析得到：
凸多边形 四 五 六 七 八
对角线条数 2 2＋3 2＋3＋4 2＋3＋4＋5 2＋3＋4＋5＋6
所以凸 n 边形有 2＋3＋4＋…＋(n－2)＝n(n－3)
2 条对角线，所以凸十三边形的对角线条
数为13 × (13－3)
2 ＝65.
2．设△ABC 的三边长分别为 a，b，c，△ABC 的面积为 S，则△ABC 的内切圆半径为
r＝ 2S
a＋b＋c.将此结论类比到空间四面体：设四面体 S ABC 的四个面的面积分别为 S1，S2，
S3，S4，体积为 V，则四面体的内切球半径为( )
A. V
S1＋S2＋S3＋S4 B. 2V
S1＋S2＋S3＋S4
C. 3V
S1＋S2＋S3＋S4 D. 4V
S1＋S2＋S3＋S4
解析：选 C 设四面体的内切球的球心为 O，
则球心 O 到四个面的距离都是 r，
所以四面体的体积等于以 O 为顶点，分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和．
则四面体的体积为：V＝1
3(S1＋S2＋S3＋S4)r，
所以 r＝ 3V
S1＋S2＋S3＋S4.
3．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：
“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中
有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另
外两人说的是假话，且这四人中有一人是罪犯，由此可判断罪犯是________．
解析：由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么
甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三
人不是罪犯，显然两结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，
由甲、丙供述可得，乙是罪犯．
答案：乙
[准解·快解·悟通]
快审
题
看到由特殊到一般，想到归纳推理；看到由特殊到特殊，想到类比推理．
准
解
题
1.破解归纳推理题的思维 3 步骤
(1)发现共性：通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；
(2)归纳推理：把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)；
(3)检验，得结论：对所得的一般性命题进行检验，一般地，“求同存异”“逐步细
化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧．
2.破解类比推理题的 3 个关键
(1)会定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
(2)会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的猜想；
(3)会检验，即检验猜想的正确性．要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推
理中提高自己的观察、归纳、类比能力.
[专题过关检测]
一、选择题
1．(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)
C．(1＋i)2 D．i(1＋i)
解析：选 C A 项，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数；B 项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋
i，不是纯虚数；
C 项，(1＋i)2＝2i,2i 是纯虚数；
D 项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．
2．(2017·石家庄质检)在复平面内，复数 1
(1＋i)2＋1
＋i4 对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选 D 因为 1
(1＋i)2＋1
＋i4＝ 1
1＋2i＋1＝ 1－2i
(1＋2i)(1－2i)＋1＝6
5－2
5i，所以其在复平
面内对应的点为(6
5，－2
5)，位于第四象限．
3．(1)已知 a 是三角形一边的长，h 是该边上的高，则三角形的面积是 1
2ah，如果把扇
形的弧长 l，半径 r 分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为 1
2lr；
(2)由 1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到 1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2，则(1)(2)两个推理
过程分别属于( )
A．类比推理、归纳推理 B．类比推理、演绎推理
C．归纳推理、类比推理 D．归纳推理、演绎推理
解析：选 A (1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；(2)
由特殊到一般，此种推理为归纳推理．
4．(2017·成都一诊)执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为 0，那么输入的 x 为
( )
A.1
9 B．－1 或 1
C．1 D．－1
解析：选 B 当 x≤0 时，由－x2＋1＝0，得 x＝－1；当 x>0 时，第一次对 y 赋值为 3x
＋2，第二次对 y 赋值为－x2＋1，最后 y＝－x2＋1，于是由－x2＋1＝0，得 x＝1，综上知输
入的 x 值为－1 或 1.
5．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师
说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给
丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )
A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
解析：选 D 依题意，四人中有 2 位优秀，2 位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还
是不知道自己的成绩，则乙、丙必有 1 位优秀，1 位良好，甲、丁必有 1 位优秀，1 位良好，
因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，
因此选 D.
6．(2017·石家庄一模)若 z 是复数，z＝1－2i
1＋i ，则 z·z＝( )
A.
10
2 B.
5
2
C．1 D.5
2
解析：选 D 因为 z＝1－2i
1＋i ＝
(1－2i)(1－i)
(1＋i)(1－i) ＝－1
2－3
2i，所以z＝－1
2＋3
2i，
所以 z·z＝(－1
2－3
2i)(－1
2＋3
2i)＝5
2.
7．(2018 届高三·兰州诊断考试)图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著
《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入 a，b，i 的值分别为 6,8,0，则
输出的 i＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选 B 执行程序框图，可得 a＝6，b＝8，i＝0；i＝1，不满足 a>b，不满足 a＝
b，b＝8－6＝2；i＝2，满足 a>b，a＝6－2＝4；i＝3，满足 a>b，a＝4－2＝2；i＝4，不满
足 a>b，满足 a＝b，故输出的 a＝2，i＝4.
8．(2018 届高三·湖南十校联考)执行如图所示的程序框图，若输出 S 的值为－20，则判
断框内应填入( )
A．i>3? B．i<4?
C．i>4? D．i<5?
解析：选 D 由程序框图可得，第一次循环，S＝10－2＝8，i＝2；第二次循环，S＝8－
4＝4，i＝3；第三次循环，S＝4－8＝－4，i＝4；第四次循环，S＝－4－16＝－20，i＝5，
结束循环，故条件框内应填写“i<5？”．
9．给出下面四个类比结论：
①实数 a，b，若 ab＝0，则 a＝0 或 b＝0；类比复数 z1，z2，若 z1z2＝0，则 z1＝0 或 z2＝
0.
②实数 a，b，若 ab＝0，则 a＝0 或 b＝0；类比向量 a，b，若 a·b＝0，则 a＝0 或 b＝
0.
③实数 a，b，有 a2＋b2＝0，则 a＝b＝0；类比复数 z1，z2，有 z21＋z22＝0，则 z1＝z2＝
0.
④实数 a，b，有 a2＋b2＝0，则 a＝b＝0；类比向量 a，b，若 a2＋b2＝0，则 a＝b＝0.
其中类比结论正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选 C 对于①，显然是正确的；对于②，若向量 a，b 互相垂直，则 a·b＝0，所
以②错误；对于③，取 z1＝1，z2＝i，则 z21＋z22＝0，所以③错误；对于④，若 a2＋b2＝0，
则|a|＝|b|＝0，所以 a＝b＝0，故④是正确的．综上，类比结论正确的个数是 2.
10．(2017·福州质检)执行如图所示的程序框图，若输入的 m＝168，n＝112，则输出的
k，m 的值分别为( )
A．4,7 B．4,56
C．3,7 D．3,56
解析：选 C 执行程序，k＝1，m＝84，n＝56，m，n 均为偶数；k＝2，m＝42，n＝
28，m，n 均为偶数；k＝3，m＝21，n＝14，因为 m 不是偶数，所以执行否．又 m≠n，d＝
|21－14|＝7，m＝14，n＝7，m≠n；d＝|14－7|＝7，m＝7，n＝7，因为 m＝n，所以结束循
环，输出 k＝3，m＝7.
11．(2017·山东高考)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的 x 的值为 7，第二
次输入的 x 的值为 9，则第一次、第二次输出的 a 的值分别为( )
A．0,0 B．1,1
C．0,1 D．1,0
解析：选 D 当输入 x＝7 时，b＝2，因为 b2>x 不成立且 x 不能被 b 整除，故 b＝3，
这时 b2>x 成立，故 a＝1，输出 a 的值为 1.
当输入 x＝9 时，b＝2，因为 b2>x 不成立且 x 不能被 b 整除，故 b＝3，这时 b2>x 不成
立且 x 能被 b 整除，故 a＝0，输出 a 的值为 0.
12．如图所示的数阵中，用 A(m，n)表示第 m 行的第 n 个数，则依此规律 A(8,2)为( )
1
3
1
6 1
6
1
10 1
12 1
10
1
15 1
22 1
22 1
15
1
21 1
37 1
44 1
37 1
21
…
A. 1
45 B. 1
86
C. 1
122 D. 1
167
解析：选 C 由数阵知 A(3,2)＝ 1
6＋6，A(4,2)＝ 1
6＋6＋10，A(5,2)＝ 1
6＋6＋10＋15，…，
则 A(8,2)＝ 1
6＋6＋10＋15＋21＋28＋36＝ 1
122.
二、填空题
13．(2017·福建普通高中质量检查)已知复数 z＝1＋3i
2＋i ，则|z|＝________.
解析：法一：因为 z＝1＋3i
2＋i ＝
(1＋3i)(2－i)
(2＋i)(2－i) ＝5＋5i
5 ＝1＋i，所以|z|＝|1＋i|＝ 2.
法二：|z|＝|1＋3i
2＋i |＝|1＋3i|
|2＋i| ＝ 10
5
＝ 2.
答案： 2
14．(2017·长春质检)将 1,2,3,4，…这样的正整数按如图所示的方式
排成三角形数组，则第 10 行自左向右第 10 个数为________．
解析：由三角形数组可推断出，第 n 行共有 2n－1 个数，且最后一个
数为 n2，所以第 10 行共 19 个数，最后一个数为 100，自左向右第 10 个
数是 91.
答案：91
15．在平面几何中：在△ABC 中，∠C 的内角平分线 CE 分 AB 所成线段的比为AC
BC＝
AE
BE.把这个结论类比到空间：在三棱锥 ABCD 中(如图)，平面 DEC 平分二面角 ACDB 且
与 AB 相交于 E，则得到类比的结论是________．
解析：由类比推理的概念可知，平面中线段的比可转化为空间中面积的比，由此可得：
AE
EB＝S △ ACD
S △ BCD.
答案：AE
EB＝S △ ACD
S △ BCD
16．(2016·山东高考)观察下列等式：
(sin π
3 )－2＋(sin 2π
3 )－2＝4
3×1×2；
(sin π
5 )－2＋(sin 2π
5 )－2＋(sin 3π
5 )－2＋(sin 4π
5 )－2＝4
3×2×3；
(sin π
7 )－2＋(sin 2π
7 )－2＋(sin 3π
7 )－2＋…＋(sin 6π
7 )－2＝4
3×3×4；
(sin π
9 )－2＋(sin 2π
9 )－2＋(sin 3π
9 )－2＋…＋(sin 8π
9 )－2＝4
3×4×5；
……
照此规律，
(sin π
2n＋1)－2＋(sin 2π
2n＋1)－2＋(sin 3π
2n＋1)－2＋…＋(sin 2nπ
2n＋1)－2＝________.
解析：通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的4
3是个固定数，4
3后面第一个数是等
式左边最后一个数括号内角度值分子中 π 的系数的一半，4
3后面第二个数是第一个数的下一
个自然数，所以所求结果为4
3×n×(n＋1)，即 4
3n(n＋1)．
答案：4
3n(n＋1)
送分专题(七) 统计与统计案例
[全国卷 3 年考情分析]
年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析
2017 卷Ⅲ 折线图的识别与应用·T3
2016 卷Ⅲ 统计图表的应用·T4
2015 卷Ⅱ 条形图、两变量间的相关
统计与统计案例在选择或填空题中的命
题热点主要集中在随机抽样、用样本估计总体
以及变量间的相关性判断等，难度较低，常出
性·T3 现在 3～4 题的位置.
抽样方法
[题点·考法·全练]
1．(2017·南昌一模)某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一 1 000 人、
高二 1 200 人、高三 n 人中，抽取 81 人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为 30，那么
n＝( )
A．860 B．720
C．1 020 D．1 040
解析：选 D 根据分层抽样，得 1 200
1 000＋1 200＋n×81＝30，解得 n＝1 040.
2．高三某班有学生 56 人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容
量为 4 的样本，已知 5 号、33 号、47 号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为( )
A．13 B．17
C．19 D．21
解析：选 C 从 56 名学生中抽取 4 人，用系统抽样方法，则分段间隔为 14，若第一段
抽出的号码为 5，则其他段抽取的号码分别为：19,33,47.
3．将参加夏令营的 600 名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个
容量为 50 的样本，且随机抽得的号码为 003.这 600 名学生分住在三个营区，从 001 到 300
在 A 营区，从 301 到 495 在 B 营区，从 496 到 600 在 C 营区，三个营区被抽中的人数依次
为( )
A．26,16,8 B．25,17,8
C．25,16,9 D．24,17,9
解析：选 B 依题意及系统抽样的意义可知，将这 600 名学生按编号依次分成 50 组，
每一组各有 12 名学生，第 k(k∈N*)组抽中的号码是 3＋12(k－1)．
令 3＋12(k－1)≤300，得 k≤103
4 ，
因此 A 营区被抽中的人数是 25.
令 300<3＋12(k－1)≤495，得103
4 6.635，所以在犯错误的
概率不超过 1%的前提下，即有 99%以上的把握认为“爱好打篮球与性别有关”．
11．给出下列四个命题：
①某班级一共有 52 名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量
为 4 的样本，已知 7 号、33 号、46 号同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号为 23；
②一组数据 1,2,3,3,4,5 的平均数、众数、中位数都相同；
③若一组数据 a,0,1,2,3 的平均数为 1，则其标准差为 2；
④根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为y^
＝a^
＋b^
x，其
中a^
＝2，x＝1，y＝3，则b^
＝1.
其中真命题有( )
A．①②④ B．②④
C．②③④ D．③④
解析：选 B 在①中，由系统抽样知抽样的分段间隔为 52÷4＝13，故抽取的样本的编
号分别为 7 号、20 号、33 号、46 号，故①是假命题；在②中，数据 1,2,3,3,4,5 的平均数为1
6
(1＋2＋3＋3＋4＋5)＝3，中位数为 3，众数为 3，都相同，故②是真命题；在③中，因为样
本的平均数为 1，所以 a＋0＋1＋2＋3＝5，解得 a＝－1，故样本的方差为1
5[(－1－1)2＋(0－
1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，标准差为 2，故③是假命题；在④中，回归直线方程
为y^
＝b^
x＋2，又回归直线过点(x，y)，把(1,3)代入回归直线方程y^
＝b^
x＋2，得b^
＝1，故④是
真命题．
12．某中学为了普及奥运会知识和提高学生参加体育运动的积极性，举行了一次奥运
知识竞赛．随机抽取了 30 名学生的成绩，绘成如图所示的茎叶图．若规定成绩在 75 分以
上(包括 75 分)的学生为甲组，成绩在 75 分以下(不包括 75 分)的学生为乙组．
已知在这 30 名学生中，甲组学生中有男生 9 人，乙组学生中有女生 12 人，则认为“成
绩分在甲组或乙组与性别有关”的把握有( )
A．90% B．95%
C．99% D．99.9%
附：K2＝ n(ad－bc)2
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中 n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.01 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
解析：选 B 根据茎叶图的知识作出 2×2 列联表为
甲组 乙组 总计
男生 9 6 15
女生 3 12 15
总计 12 18 30
由列联表中的数据代入公式得 K2 的观测值 k＝ 30 × (9 × 12－3 × 6)2
12 × 18 × 15 × 15 ＝5，因为
5>3.841，故有 95%的把握认为“成绩分在甲组或乙组与性别有关”．
二、填空题
13．如图是某学校一名篮球运动员在 10 场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这 10
场比赛中得分的中位数为________．
解析：把 10 场比赛的所得分数按顺序排列：5,8,9,12,14,16,16,19,21,24，中间两个为 14
与 16，故中位数为14＋16
2 ＝15.
答案：15
14．为了研究雾霾天气的治理，某课题组对部分城市进行空气质量调查，按地域特点
把这些城市分成甲、乙、丙三组，已知三组城市的个数分别为 4，y，z 依次构成等差数列，
且 4，y，z＋4 成等比数列，若用分层抽样抽取 6 个城市，则乙组中应抽取的城市个数为
________．
解析：由题意可得Error!即Error!解得 z＝12，或 z＝－4(舍去)，故 y＝8.所以甲、乙、
丙三组城市的个数分别为 4,8,12.因为一共要抽取 6 个城市，所以抽样比为 6
4＋8＋12＝1
4.故乙
组城市应抽取的个数为 8×1
4＝2.
答案：2
15．(2017·惠州三调)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为
此进行了 5 次试验．根据收集到的数据(如下表)：
零件数 x/个 10 20 30 40 50
加工时间 y/分钟 62 68 75 81 89
由最小二乘法求得回归方程y^
＝0.67x＋a^
，则a^
的值为________．
解析：因为x＝10＋20＋30＋40＋50
5 ＝30，y＝62＋68＋75＋81＋89
5 ＝75，所以回归直线
一定过样本点的中心(30,75)，则由y^
＝0.67x＋a^
可得 75＝30×0.67＋a^
，求得a^
＝54.9.
答案：54.9
16．(2017·合肥质检)某同学在高三学年的五次阶段性考试中，数学成绩依次为
110,114,121,119,126，则这组数据的方差是________．
解析：因为对一组数据同时加上或减去同一个常数，方差不变，所以本题中可以先对这
5 个数据同时减去 110，得到新的数据分别为 0,4,11,9,16，其平均数为 8，根据方差公式可得
s2＝1
5[(0－8)2＋(4－8)2＋(11－8)2＋(9－8)2＋(16－8)2]＝30.8.
答案：30.8
送分专题(八) 排列与组合、二项式定理
[全国卷 3 年考情分析]
年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析
卷Ⅱ 计数原理、排列组合的应用·T6
2017
卷Ⅲ
二项式定理、二项展开式中特定
项的系数·T4
卷Ⅰ 二项式定理、特定项的系数·T14
2016
卷Ⅱ 计数原理、组合的应用·T5
卷Ⅰ
二项式定理、二项展开式特定项
的系数·T10
2015
卷Ⅱ
二项式定理、二项展开式的系数
和·T15
1.排列、组合在高中数学中占有特殊的
位置，是高考的必考内容，很少单独命
题，主要考查利用排列、组合知识计算
古典概型．
2.二项式定理仍以求二项展开式的特定
项、特定项的系数及二项式系数为主，
题目难度一般，多出现在第 9～10 或第
13～15 题的位置上.
排列、组合的应用
[题点·考法·全练]
1．(2016·全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位
于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18
C．12 D．9
解析：选 B 由题意可知 E→F 有 C 24种走法，F→G 有 C 13种走法，由分步乘法计数原
理知，共 C24·C13＝18 种走法．
2．一个五位自然数 a1a2a3a4a5，ai∈{0，1，2，3，4，5}，i＝1,2,3,4,5，当且仅当 a1>a2>a3，
a3Tn
B．SnTn
D．Sn＝Tn
解析：选 C 令 x＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋an＝2n＝Sn，令 x＝0，得 a0＝(－1)n，所以 Tn
＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝Sn－a0＝2n－(－1)n，所以当 n 为偶数时，Tn＝Sn－1Sn.
二、填空题
13．如图，用 4 种不同的颜色对图中 5 个区域涂色(4 种颜色全部使
用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同
的涂色方法有________种．
解析：若 1,3 不同色，则 1,2,3,4 必不同色，有 3A44＝72 种涂色法；若 1,3 同色，有 C14C
13A22＝24 种涂色法．根据分类加法计数原理可知，共有 72＋24＝96 种涂色法．
答案：96
14．(a＋x)(1＋x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a＝________.
解析：设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.
令 x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.①
令 x＝－1，得 0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②
①－②，得 16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32，∴a＝3.
答案：3
15．(2017·东北四市模拟)现将 5 张连号的电影票分给甲、乙等 5 个人，每人一张，若
甲、乙分得的电影票连号，则共有________种不同的分法．(用数字作答)
解析：电影票号码相邻只有 4 种情况，则甲、乙 2 人在这 4 种情况中选一种，共 C 14种
选法，2 张票分给甲、乙，共有 A 22种分法，其余 3 张票分给其他 3 个人，共有 A 33种分法，
根据分步乘法计数原理，可得共有 C14A22A33＝48 种分法．
答案：48
16．计算 C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋nC nn可采用以下方法：
构造等式：C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋C nnxn＝(1＋x) n，两边对 x 求导得 C1n＋2C2nx＋3C3nx2
＋…＋nCnnxn－1＝n(1＋x)n－1，在上式中令 x＝1 得 C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋nCnn＝n·2n－1，类比
上述计算方法计算 C1n＋22C2n＋32C3n＋…＋n2Cnn＝______________.
解析：由题意得，构造等式：C1n＋2C2nx＋3C3nx2＋…＋nCnnxn－1＝n(1＋x)n－1，两边同乘
以 x，得 C1nx＋2C2nx2＋3C3nx3＋…＋nCnnxn＝n·x·(1＋x) n－1，再两边对 x 求导，得到 C1n＋22C
2nx＋32C3nx2＋…＋n2Cnnxn－1＝n(1＋x)n－1＋n(n－1)x·(1＋x)n－2，在上式中，令 x＝1，得 C1n＋
22C2n＋32C3n＋…＋n2Cnn＝n(n＋1)2n－2.
答案：n(n＋1)2n－2
