2013-2014学年山东省济南一中高三(上)期中数学试卷(理科)

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2013-2014学年山东省济南一中高三(上)期中数学试卷(理科)

‎2013-2014学年山东省济南一中高三(上)期中数学试卷(理科)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎ ‎ ‎1. 已知全集U={0, 1, 2, 3, 4}‎,集合A={1, 2, 3}‎,B={2, 4}‎,则‎(‎∁‎UA)∪B为‎(‎        ‎)‎ ‎ A.‎{1, 2, 4}‎ B.‎{2, 3, 4}‎ C.‎{0, 2, 4}‎ D.‎‎{0, 2, 3, 4}‎ ‎ ‎ ‎2. 设x∈R,则x=1‎是x‎2‎‎=1‎的( ) ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ ‎ ‎ ‎3. 已知函数f(x)‎为奇函数,且当x>0‎时,f(x)=x‎2‎+‎‎1‎x,则f(−1)=‎(        ) ‎ A.‎−2‎ B.‎0‎ C.‎1‎ D.‎‎2‎ ‎ ‎ ‎4. 函数y=‎xln|x|‎‎|x|‎的图象可能是( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ ‎5. 已知数列‎{an}‎的前n项和为Sn,且Sn‎=2an−2‎,则a‎2‎等于( ) ‎ A.‎−2‎ B.‎2‎ C.‎1‎ D.‎‎4‎ ‎ ‎ ‎6. 为了得到函数y=sin2x的图象,可将函数y=sin(2x+π‎6‎)‎的图象( ) ‎ A.向左平移π‎12‎个长度单位 B.向左平移π‎6‎个长度单位 C.向右平移π‎6‎个长度单位 D.向右平移π‎12‎个长度单位 ‎ ‎ ‎ ‎7. 已知各项均为正数的等比数列‎{an}‎,a‎1‎a‎2‎a‎3‎=‎5‎,a‎7‎a‎8‎a‎9‎=‎10‎,则a‎4‎a‎5‎a‎6‎=( ) ‎ A.‎5‎‎2‎ B.‎7‎ C.‎6‎ D.‎‎4‎‎2‎ ‎ ‎ ‎8. 已知角α的终边上一点的坐标为‎(sin‎5π‎6‎,cos‎5π‎6‎)‎,则角α的最小正值为( ) ‎ A.‎5π‎6‎ B.‎2π‎3‎ C.‎5π‎3‎ D.‎‎11π‎6‎ ‎ ‎ ‎9. 设a=log‎3‎6‎,b=log‎5‎10‎,c=log‎7‎14‎,则(        ) ‎ A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.‎a>b>c ‎ ‎ ‎10. 已知向量a‎→‎‎+b‎→‎=(2, −8)‎,a‎→‎‎−b‎→‎=(−8, 16)‎,则a‎→‎与b‎→‎夹角的余弦值为( ) ‎ A.‎63‎‎65‎ B.‎−‎‎63‎‎65‎ C.‎±‎‎63‎‎65‎ D.‎‎5‎‎13‎ ‎ ‎ ‎11. 若S‎1‎‎=‎1‎‎2‎x‎2‎dx,S‎2‎‎=‎1‎‎2‎‎1‎xdx,S‎3‎‎=‎1‎‎2‎exdx,则S‎1‎,S‎2‎,S‎3‎的大小关系为‎(‎        ‎)‎ ‎ A.S‎1‎‎0‎,对一切x∈R恒成立,命题q:指数函数f(x)=(3−2a‎)‎x是增函数,若p∨q为真,p∧q为假,求实数a的取值范围. ‎ ‎ ‎ ‎ 设递增等差数列‎{an}‎的前n项和为Sn,已知a‎3‎‎=1‎,a‎4‎是a‎3‎和a‎7‎的等比中项, ‎ ‎(1)求数列‎{an}‎的通项公式;‎ ‎ ‎ ‎(2)求数列‎{an}‎的前n项和Sn.‎ ‎ ‎ ‎ 已知函数f(x)=cos(π‎3‎+x)cos(π‎3‎−x)−sinxcosx+‎‎1‎‎4‎ ‎ ‎(1)求函数f(x)‎的最小正周期和最大值;‎ ‎ ‎ ‎(2)求函数f(x)‎在‎[0, π]‎上的单调递减区间.‎ ‎ ‎ ‎ 已知定义域为R的函数f(x)=‎‎−‎3‎x+b‎3‎x+1‎‎+a是奇函数. ‎ ‎(1)求a,b的值;‎ ‎ ‎ ‎(2)证明函数f(x)‎的单调性.‎ ‎ ‎ ‎ 已知m‎→‎‎=(sinωx+cosωx, ‎3‎cosωx)‎,n‎→‎‎=(cosωx−sinωx, 2sinωx)‎,其中ω>0‎,若函数f(x)=m‎→‎⋅‎n‎→‎,且函数f(x)‎的图象与直线y=2‎两相邻公共点间的距离为π. ‎(l)‎求ω的值; ‎(2)‎在‎△ABC中,以a,b,c(分别是角A,B,C的对边,且a=‎‎3‎,f(A)=1‎,求‎△ABC周长的取值范围. ‎ ‎ ‎ ‎ 设函数f(x)‎=ax−lnx,g(x)‎=ex‎−ax,其中a为正实数. ‎(l)‎若x=‎0‎是函数g(x)‎的极值点,讨论函数f(x)‎的单调性; ‎ 若f(x)‎在‎(1, +∞)‎上无最小值,且g(x)‎在‎(1, +∞)‎上是单调增函数,求a的取值范围;并由此判断曲线g(x)‎与曲线y=‎1‎‎2‎ax‎2‎−ax在‎(1, +∞)‎交点个数.‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 参考答案与试题解析 ‎2013-2014学年山东省济南一中高三(上)期中数学试卷(理科)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 交、并、补集的混合运算 ‎【解析】‎ 找出全集U中不属于A的元素,求出A的补集,找出既属于A补集又属于B的元素,确定出所求的集合.‎ ‎【解答】‎ 解:∵ 全集U={0, 1, 2, 3, 4}‎,集合A={1, 2, 3}‎, ∴ ‎∁‎UA={0, 4}‎,又B={2, 4}‎, 则‎(‎∁‎UA)∪B={0, 2, 4}‎. 故选C.‎ ‎2.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 必要条件、充分条件与充要条件的判断 ‎【解析】‎ 由x=1‎可推出x‎2‎‎=1‎,但由x‎2‎‎=1‎推不出x=1‎;所以x=1‎是x‎2‎‎=1‎的充分不必要条件.‎ ‎【解答】‎ 解:由x=1‎可推出x‎2‎‎=1‎,但由x‎2‎‎=1‎推不出x=1‎;所以x=1‎是x‎2‎‎=1‎的充分不必要条件.故选A.‎ ‎3.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 函数的求值 ‎【解析】‎ 利用奇函数的性质,f(−1)=−f(1)‎,即可求得答案.‎ ‎【解答】‎ 解:∵ 函数f(x)‎为奇函数,x>0‎时,f(x)=x‎2‎+‎‎1‎x, ∴ f(−1)=−f(1)=−2‎. 故选A.‎ ‎4.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 函数的图象 ‎【解析】‎ 当x>0‎时,y=xln|x|‎‎|x|‎=xlnxx=lnx,当x<0‎时,y=xln|x|‎‎|x|‎=xln(−x)‎‎−x=−ln(−x)‎,作出函数图象为B.‎ ‎【解答】‎ 函数y=‎xln|x|‎‎|x|‎的定义域为‎(−∞, 0)∪(0, +∞)‎关于原点对称. 当x>0‎时,y=xln|x|‎‎|x|‎=xlnxx=lnx, 当x<0‎时,y=xln|x|‎‎|x|‎=xln(−x)‎‎−x=−ln(−x)‎,此时函数图象与当x>0‎时函数y=xln|x|‎‎|x|‎=xlnxx=lnx的图象关于原点对称.‎ ‎5.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 数列递推式 ‎【解析】‎ 利用Sn‎=2an−2‎,n分别取‎1‎,‎2‎,则可求a‎2‎的值.‎ ‎【解答】‎ 解:n=1‎时,S‎1‎‎=2a‎1‎−2‎,∴ a‎1‎‎=2‎, n=2‎时,S‎2‎‎=2a‎2‎−2‎,∴ a‎2‎‎=a‎1‎+2=4‎. 故选D.‎ ‎6.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 ‎【解析】‎ 利用函数y=sin(2x+π‎6‎)‎的图象变换即可求得答案.‎ ‎【解答】‎ 令y=f(x)‎=sin(2x+π‎6‎)‎, 则f(x−π‎12‎)‎=sin[2(x−π‎12‎)+π‎6‎]‎=sin2x, ∴ 为了得到函数y=sin 2x的图象,可将函数y=sin(2x+π‎6‎)‎的图象向右平移π‎12‎个单位.‎ ‎7.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 等比数列的性质 ‎【解析】‎ 由数列‎{an}‎是等比数列,则有a‎1‎a‎2‎a‎3‎=‎5⇒‎a‎2‎‎3‎=‎5‎;a‎7‎a‎8‎a‎9‎=‎10⇒‎a‎8‎‎3‎=‎10‎.‎ ‎【解答】‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 a‎1‎a‎2‎a‎3‎‎=‎5⇒‎a‎2‎‎3‎=‎5‎; a‎7‎a‎8‎a‎9‎=‎10⇒‎a‎8‎‎3‎=‎10‎, a‎5‎‎2‎=a‎2‎a‎8‎, ∴ a‎5‎‎6‎‎=a‎2‎‎3‎a‎8‎‎3‎=50‎,∴ a‎4‎a‎5‎a‎6‎‎=a‎5‎‎3‎=5‎‎2‎,‎ ‎8.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 终边相同的角 ‎【解析】‎ 先确定此点的坐标,判断此点的终边所在的象限,并求出此角的正切值,从而得到此角的最小值.‎ ‎【解答】‎ 解:角α的终边上一点的坐标为‎(sin‎5π‎6‎,cos‎5π‎6‎)‎,即‎(‎1‎‎2‎, −‎3‎‎2‎)‎, 此点到原点的距离为‎1‎,此点在第四象限,tanα=−‎‎3‎, 故角α的最小值为 ‎5π‎3‎, 故选:C.‎ ‎9.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 对数值大小的比较 ‎【解析】‎ 利用loga‎(xy)=logax+logay(x、y>0)‎,化简a,b,c然后比较log‎3‎‎2‎,log‎5‎‎2‎,log‎7‎‎2‎大小即可.‎ ‎【解答】‎ 解:因为a=log‎3‎6=1+log‎3‎2‎,b=log‎5‎10=1+log‎5‎2‎,c=log‎7‎14=1+log‎7‎2‎, 因为y=log‎2‎x是增函数, 所以log‎2‎‎7>log‎2‎5>log‎2‎3‎. 因为log‎2‎‎7=‎‎1‎log‎7‎‎2‎,log‎2‎‎5=‎‎1‎log‎5‎‎2‎,log‎2‎‎3=‎‎1‎log‎3‎‎2‎, 所以log‎3‎‎2>log‎5‎2>log‎7‎2‎, 所以a>b>c. 故选D.‎ ‎10.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 数量积表示两个向量的夹角 ‎【解析】‎ 利用向量坐标关系,求出a‎→‎‎=(−3, 4)‎,b‎→‎‎=(5, −12)‎,再利用cosθ=‎a‎→‎‎⋅‎b‎→‎‎|a‎→‎|⋅|b‎→‎|‎求解即可.‎ ‎【解答】‎ 由向量a‎→‎‎+b‎→‎=(2,−8)‎,a‎→‎‎−b‎→‎=(−8,16)‎, 得a‎→‎‎=(−3, 4)‎,b‎→‎‎=(5, −12)‎, 所以‎|a‎→‎|‎=‎5‎,‎|b‎→‎|‎=‎13‎,a‎→‎‎⋅b‎→‎=−63‎, 即a‎→‎与b‎→‎夹角的余弦值cosθ=a‎→‎‎⋅‎b‎→‎‎|a‎→‎|⋅|b‎→‎|‎=−‎‎63‎‎65‎.‎ ‎11.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 微积分基本定理 ‎【解析】‎ 先利用积分基本定理计算三个定积分,再比较它们的大小即可.‎ ‎【解答】‎ 解:由于S‎1‎‎=‎1‎‎2‎x‎2‎dx‎=‎‎1‎‎3‎x‎3‎‎|‎‎1‎‎2‎‎=‎‎7‎‎3‎, S‎2‎‎=‎1‎‎2‎‎1‎xdx‎=lnx‎|‎‎1‎‎2‎‎=ln2‎, S‎3‎‎=‎1‎‎2‎exdx‎=‎ex‎|‎‎1‎‎2‎‎=e‎2‎−e. 且ln2<‎7‎‎3‎0‎,函数在‎[0, 1]‎上是增函数 又由当x∈[0, 1]‎时,‎0≤f(x)≤1‎, 则f(0)=0‎,f(1)=1‎. 而y=lg|x|‎是偶函数,当x>0‎时,其图象为y=lgx的图象,即函数为增函数, 由于x=10‎时,y=lg10=1‎, ∴ 其图象与f(x)‎的图象在‎[0, 2]‎上有一个交点,在每个周期上各有两个交点, ∴ 在y轴右侧共有‎9‎个交点. ∵ y=lg|x|‎是偶函数,其图象关于y轴对称, ∴ 在y轴左侧也有‎9‎个交点 ∴ 两函数图象共有‎18‎个交点. 故选:C.‎ 二、填空题(每题4分,满分16分,将答案填在答题纸上)‎ ‎【答案】‎ ‎(−2, −4)‎ ‎【考点】‎ 平面向量的坐标运算 ‎【解析】‎ BC‎→‎‎=BA‎→‎−‎CA‎→‎‎,再利用坐标运算求解.‎ ‎【解答】‎ 解:BC‎→‎‎=BA‎→‎−CA‎→‎=(2, 3)−(4, 7)=(−2, −4)‎ 故答案为:‎‎(−2, −4)‎ ‎【答案】‎ ‎4‎n−1‎ ‎【考点】‎ 等比数列的通项公式 ‎【解析】‎ 根据等比数列的通项公式,把q代入前‎3‎项的和,进而求得a‎1‎则数列的通项公式可得.‎ ‎【解答】‎ 由题意知a‎1‎‎+4a‎1‎+16‎a‎1‎=‎21‎, 解得a‎1‎=‎1‎, 所以通项an=‎4‎n−1‎.‎ ‎【答案】‎ ‎2‎ ‎【考点】‎ 子集与交集、并集运算的转换 ‎【解析】‎ 由题意得 ‎5‎在全集中,故a‎2‎‎+2a−3=5‎,‎|2a−1|‎在全集中,且不是‎2‎和‎5‎,故‎|2a−1|=3‎.‎ ‎【解答】‎ 解:由题意得‎|2a−1|=3‎,且a‎2‎‎+2a−3=5‎, 解得a=2‎, 故答案为‎2‎.‎ ‎【答案】‎ ‎[−1, 0]‎ ‎【考点】‎ 对数函数的图象与性质 ‎【解析】‎ 画出函数f(x)‎的图象,通过讨论①a=0‎,②a>0‎,③a<0‎时的情况,从而求出a的范围.‎ ‎【解答】‎ 解:∵ f(x)=‎‎−ln(x+1),(−10)‎, 令g(x)=ax, 画出函数f(x)‎和g(x)‎的图象, 如图示: , ①a=0‎,可以确定; ②a>0‎是不可能的,f(x)=ln(x+1)‎迟早会被g(x)=ax追上; ③a<0‎时,f′(x)=−‎‎1‎x+1‎,∴ f′0)=−1‎, ∴ a≥−1‎, 综上:‎−1≤a≤0‎, 故答案为:‎[−1, 0]‎.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎【答案】‎ 解:∵ p∨q为真,p∧q为假,∴ p为真,q为假,或p为假,q为真. ①当p为真,q为假时, ‎△=4a‎2‎−16<0‎‎0<3−2a<1‎,解得‎11‎,解得a≤−2‎ 综上,实数a的取值范围是‎{a|a≤−2或11‎,解得a≤−2‎ 综上,实数a的取值范围是‎{a|a≤−2或10‎, ∵ a‎4‎‎2‎‎=a‎3‎×‎a‎7‎a‎3‎‎=1‎, ∴ ‎(a‎1‎+3d‎)‎‎2‎=1×(a‎1‎+6d)‎a‎1‎‎+2d=1‎, 解得a‎1‎‎=−3‎d=2‎…. ∴ an‎=−3+(n−1)×2=2n−5‎.‎ ‎(2)由(1)知,在等差数列中,a‎1‎‎=−3‎d=2‎, ∴ Sn‎=n(−3+2n−5)‎‎2‎=n‎2‎−4n 故Sn‎=n‎2‎−4n…‎ ‎【考点】‎ 等差数列的前n项和 等差数列的通项公式 ‎【解析】‎ ‎(1)在递增等差数列‎{an}‎中,由a‎4‎‎2‎‎=a‎3‎×‎a‎7‎a‎3‎‎=1‎,解得a‎1‎‎=−3‎d=2‎,由此能求出an.   ‎ ‎(2)在等差数列中,由a‎1‎‎=−3‎d=2‎,能求出数列‎{an}‎的前n项和Sn.‎ ‎【解答】‎ 解:(1)在递增等差数列‎{an}‎中,设公差为d>0‎, ∵ a‎4‎‎2‎‎=a‎3‎×‎a‎7‎a‎3‎‎=1‎, ∴ ‎(a‎1‎+3d‎)‎‎2‎=1×(a‎1‎+6d)‎a‎1‎‎+2d=1‎, 解得a‎1‎‎=−3‎d=2‎…. ∴ an‎=−3+(n−1)×2=2n−5‎.‎ ‎(2)由(1)知,在等差数列中,a‎1‎‎=−3‎d=2‎, ∴ Sn‎=n(−3+2n−5)‎‎2‎=n‎2‎−4n 故Sn‎=n‎2‎−4n…‎ ‎【答案】‎ 解:(1)∵ f(x)=cos(π‎3‎+x)cos(π‎3‎−x)−‎1‎‎2‎sin2x+‎‎1‎‎4‎ ‎=(‎1‎‎2‎cosx−‎3‎‎2‎sinx)(‎1‎‎2‎cosx+‎3‎‎2‎sinx)−‎1‎‎2‎sin2x+‎1‎‎4‎=‎1‎‎4‎cos‎2‎x−‎3‎‎4‎sin‎2‎x−‎1‎‎2‎sin2x+‎‎1‎‎4‎ ‎=‎1+cos2x‎8‎−‎3−3cos2x‎8‎−‎1‎‎2‎sin2x+‎1‎‎4‎=‎1‎‎2‎(cos2x−sin2x)=‎2‎‎2‎cos(2x+π‎4‎)‎; ∴ 函数f(x)‎的最小正周期为 T=π,函数f(x)‎的最大值为‎2‎‎2‎;‎ ‎(2)设‎2kπ≤2x+π‎4‎≤2kπ+π(k∈z)‎,解得kπ−π‎8‎≤x≤kπ+‎3π‎8‎(k∈z)‎. ∴ 函数f(x)‎的单调递减区间是‎[kπ−π‎8‎,kπ+‎3π‎8‎](k∈z)‎; 又∵ x∈[0, π]‎, ∴ 分别取k=0‎和‎1‎,取交集可得f(x)‎在‎[0, π]‎上的单调递减区间为‎[0,‎3π‎8‎]‎和‎[‎7π‎8‎,π]‎.‎ ‎【考点】‎ 三角函数的最值 三角函数的和差化积公式 余弦函数的单调性 三角函数的周期性及其求法 函数的单调性及单调区间 ‎【解析】‎ ‎(1)利用两角和与差的余弦公式、二倍角的三角函数公式和辅助角公式化简,得f(x)=‎2‎‎2‎cos(2x+π‎4‎)‎,由此可得函数f(x)‎的最小正周期和最大值;‎ ‎(2)根据三角函数的单调区间公式解不等式,得出f(x)‎的单调递减区间是‎[kπ−π‎8‎,kπ+‎3π‎8‎](k∈z)‎,再将此区间与‎[0, π]‎取交集,即可得到f(x)‎在‎[0, π]‎上的单调递减区间.‎ ‎【解答】‎ 解:(1)∵ f(x)=cos(π‎3‎+x)cos(π‎3‎−x)−‎1‎‎2‎sin2x+‎‎1‎‎4‎ ‎=(‎1‎‎2‎cosx−‎3‎‎2‎sinx)(‎1‎‎2‎cosx+‎3‎‎2‎sinx)−‎1‎‎2‎sin2x+‎1‎‎4‎=‎1‎‎4‎cos‎2‎x−‎3‎‎4‎sin‎2‎x−‎1‎‎2‎sin2x+‎‎1‎‎4‎ ‎=‎1+cos2x‎8‎−‎3−3cos2x‎8‎−‎1‎‎2‎sin2x+‎1‎‎4‎=‎1‎‎2‎(cos2x−sin2x)=‎2‎‎2‎cos(2x+π‎4‎)‎; ∴ 函数f(x)‎的最小正周期为 T=π,函数f(x)‎的最大值为‎2‎‎2‎;‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 ‎(2)设‎2kπ≤2x+π‎4‎≤2kπ+π(k∈z)‎,解得kπ−π‎8‎≤x≤kπ+‎3π‎8‎(k∈z)‎. ∴ 函数f(x)‎的单调递减区间是‎[kπ−π‎8‎,kπ+‎3π‎8‎](k∈z)‎; 又∵ x∈[0, π]‎, ∴ 分别取k=0‎和‎1‎,取交集可得f(x)‎在‎[0, π]‎上的单调递减区间为‎[0,‎3π‎8‎]‎和‎[‎7π‎8‎,π]‎.‎ ‎【答案】‎ 解:(1)因为f(x)‎是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0‎,即‎−1+b‎3+a‎=0‎,解得b=1‎.--- 从而有 f(x)=‎‎−‎3‎x+1‎‎3‎x+1‎‎+a又由f(1)=−f(−1)‎知‎−3+1‎‎9+a‎=−‎‎−‎1‎‎3‎+1‎‎1+a,解得a=3‎.---------- ∴ a=3‎,b=1‎.‎ ‎(2)由(1)知f(x)=‎−‎3‎x+1‎‎3‎x+1‎‎+3‎=−‎1‎‎3‎+‎2‎‎3(‎3‎x+1)‎−−−−−−−−−−−−−−−−‎ 对于任意的x‎1‎‎∈R,x‎2‎‎∈R且x‎1‎‎<‎x‎2‎,--------------- ∴ ‎△x=x‎2‎−x‎1‎>0‎, ∴ ‎△y=f(x‎2‎)−f(x‎1‎)‎ ‎=(−‎1‎‎3‎+‎2‎‎3(‎3‎x‎2‎+1)‎)−(−‎1‎‎3‎+‎2‎‎3(‎3‎x‎1‎+1)‎)‎ ‎=‎2(‎3‎x‎1‎−‎‎3‎x‎2‎‎)‎‎3(‎3‎x‎1‎+1)(‎3‎x‎2‎+1)‎<0‎ 所以函数f(x)‎在全体实数上为单调减函数.----------------‎ ‎【考点】‎ 函数奇偶性的性质 函数单调性的判断与证明 ‎【解析】‎ ‎(1)根据奇函数的性质f(0)=0‎和奇函数的性质求解;‎ ‎(2)利用函数单调性的定义进行证明.‎ ‎【解答】‎ 解:(1)因为f(x)‎是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0‎,即‎−1+b‎3+a‎=0‎,解得b=1‎.--- 从而有 f(x)=‎‎−‎3‎x+1‎‎3‎x+1‎‎+a又由f(1)=−f(−1)‎知‎−3+1‎‎9+a‎=−‎‎−‎1‎‎3‎+1‎‎1+a,解得a=3‎.---------- ∴ a=3‎,b=1‎.‎ ‎(2)由(1)知f(x)=‎−‎3‎x+1‎‎3‎x+1‎‎+3‎=−‎1‎‎3‎+‎2‎‎3(‎3‎x+1)‎−−−−−−−−−−−−−−−−‎ 对于任意的x‎1‎‎∈R,x‎2‎‎∈R且x‎1‎‎<‎x‎2‎,--------------- ∴ ‎△x=x‎2‎−x‎1‎>0‎, ∴ ‎△y=f(x‎2‎)−f(x‎1‎)‎ ‎=(−‎1‎‎3‎+‎2‎‎3(‎3‎x‎2‎+1)‎)−(−‎1‎‎3‎+‎2‎‎3(‎3‎x‎1‎+1)‎)‎ ‎=‎2(‎3‎x‎1‎−‎‎3‎x‎2‎‎)‎‎3(‎3‎x‎1‎+1)(‎3‎x‎2‎+1)‎<0‎ 所以函数f(x)‎在全体实数上为单调减函数.----------------‎ ‎【答案】‎ 解:‎(1)‎∵ 函数f(x)=m‎→‎⋅n‎→‎=cos‎2‎ωx−sin‎2‎ωx+2‎3‎sinωxcosωx ‎=cos2ωx+‎3‎sin2ωx ‎=2sin(2ωx+π‎6‎)‎. 函数f(x)‎的图象与直线y=2‎两相邻公共点间的距离为π,ω>0‎. ∴ T=‎2π‎2ω=π,解得ω=1‎. ‎(2)‎由‎(1)‎可知:f(x)=2sin(2x+π‎6‎)‎, ∵ f(A)=1‎,∴ ‎2sin(2A+π‎6‎)=1‎.∴ sin(2A+π‎6‎)=‎‎1‎‎2‎, ∵ ‎00‎. ∴ T=‎2π‎2ω=π,解得ω=1‎. ‎(2)‎由‎(1)‎可知:f(x)=2sin(2x+π‎6‎)‎, ∵ f(A)=1‎,∴ ‎2sin(2A+π‎6‎)=1‎.∴ sin(2A+π‎6‎)=‎‎1‎‎2‎, ∵ ‎0e.故两曲线没有公共点.‎ ‎【考点】‎ 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的极值 ‎【解析】‎ ‎(1)求出g(x)‎的导数,令它为‎0‎,求出a=‎1‎,再求f(x)‎的导数,令它大于‎0‎或小于‎0‎,即可得到单调区间; (2)求出f(x)‎的导数,讨论a的范围,由条件得到a≥1‎,再由g(x)‎的导数不小于‎0‎在‎(1, +∞)‎上恒成立,求出a≤e,令g(x)=‎1‎‎2‎ax‎2‎−ax即a=‎‎2‎exx‎2‎,令h(x)=‎‎2‎exx‎2‎,求出导数,求出单调区间,判断极值与e的大小即可.‎ ‎【解答】‎ ‎(1)由g′(x)‎=ex‎−a, g′(0)‎=‎1−a=‎0‎得a=‎1‎,f(x)‎=x−lnx ∵ f(x)‎的定义域为:‎(0, +∞)‎,f‎​‎‎′‎‎(x)=1−‎‎1‎x, ∴ 函数f(x)‎的增区间为‎(1, +∞)‎,减区间为‎(0, 1)‎. (2)由f‎​‎‎′‎‎(x)=a−‎1‎x=‎ax−1‎x 若‎0e.故两曲线没有公共点.‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页
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