2020届二轮复习解析几何综合问题作业

2020届二轮复习解析几何综合问题作业

题型练7　大题专项(五)　解析几何综合问题 ‎　题型练第61页　 ‎ ‎1.(2019全国Ⅰ,理19)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为‎3‎‎2‎的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.‎ ‎(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;‎ ‎(2)若AP=3PB,求|AB|.‎ 解:设直线l:y=‎3‎‎2‎x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).‎ ‎(1)由题设得F‎3‎‎4‎‎,0‎,‎ 故|AF|+|BF|=x1+x2+‎3‎‎2‎,由题设可得x1+x2=‎5‎‎2‎.‎ 由y=‎3‎‎2‎x+t,‎y‎2‎‎=3x,‎可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,‎ 则x1+x2=-‎12(t-1)‎‎9‎.‎ 从而-‎12(t-1)‎‎9‎‎=‎‎5‎‎2‎,得t=-‎7‎‎8‎.‎ 所以l的方程为y=‎3‎‎2‎x-‎7‎‎8‎.‎ ‎(2)由AP=3PB可得y1=-3y2.‎ 由y=‎3‎‎2‎x+t,‎y‎2‎‎=3x,‎可得y2-2y+2t=0.‎ 所以y1+y2=2.‎ 从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.‎ 代入C的方程得x1=3,x2=‎1‎‎3‎.‎ 故|AB|=‎1+‎‎3‎‎2‎‎2‎‎×‎3-‎‎1‎‎3‎=‎‎4‎‎13‎‎3‎.‎ ‎2.设椭圆E的方程为x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为‎5‎‎10‎.‎ ‎(1)求E的离心率e;‎ ‎(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为‎7‎‎2‎,求E的方程.‎ 解:(1)由题设条件知,点M的坐标为‎2‎‎3‎a,‎1‎‎3‎b,‎ 又kOM=‎5‎‎10‎,从而b‎2a‎=‎‎5‎‎10‎,‎ 进而得a=‎5‎b,c=a‎2‎‎-‎b‎2‎=2b,‎ 故e=ca‎=‎‎2‎‎5‎‎5‎.‎ ‎(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB的方程为x‎5‎b‎+‎yb=1,点N的坐标为‎5‎‎2‎b,-‎1‎‎2‎b.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为x‎1‎‎,‎‎7‎‎2‎,则线段NS的中点T的坐标为‎5‎‎4‎b+x‎1‎‎2‎,-‎1‎‎4‎b+‎7‎‎4‎.‎ 又点T在直线AB上,且kNS·kAB=-1,‎ 从而有‎5‎‎4‎b+‎x‎1‎‎2‎‎5‎b‎+‎-‎1‎‎4‎b+‎‎7‎‎4‎b=1,‎‎7‎‎2‎‎+‎1‎‎2‎bx‎1‎‎-‎5‎‎2‎b‎=‎5‎,‎解得b=3.‎ 所以a=3‎5‎,故椭圆E的方程为x‎2‎‎45‎‎+‎y‎2‎‎9‎=1.‎ ‎3.设椭圆x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎‎3‎=1(a>‎3‎)的右焦点为F,右顶点为A.已知‎1‎‎|OF|‎‎+‎1‎‎|OA|‎=‎‎3e‎|FA|‎,其中O为原点,e为椭圆的离心率.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直线l的斜率的取值范围.‎ 解:(1)设F(c,0),由‎1‎‎|OF|‎‎+‎1‎‎|OA|‎=‎‎3e‎|FA|‎,‎ 即‎1‎c‎+‎1‎a=‎‎3ca(a-c)‎,可得a2-c2=3c2,‎ 又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.‎ 所以,椭圆的方程为x‎2‎‎4‎‎+‎y‎2‎‎3‎=1.‎ ‎(2)设直线l的斜率为k(k≠0),‎ 则直线l的方程为y=k(x-2).‎ 设B(xB,yB),由方程组x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1,‎y=k(x-2)‎ 消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.‎ 解得x=2或x=‎8k‎2‎-6‎‎4k‎2‎+3‎,‎ 由题意得xB=‎8k‎2‎-6‎‎4k‎2‎+3‎,从而yB=‎-12k‎4k‎2‎+3‎.‎ 由(1)知,F(1,0),设H(0,yH),有FH=(-1,yH),BF‎=‎‎9-4‎k‎2‎‎4k‎2‎+3‎‎,‎‎12k‎4k‎2‎+3‎.‎ 由BF⊥HF,得BF‎·‎FH=0,所以‎4k‎2‎-9‎‎4k‎2‎+3‎‎+‎‎12kyH‎4k‎2‎+3‎=0,‎ 解得yH=‎9-4‎k‎2‎‎12k.‎ 因此直线MH的方程为y=-‎1‎kx+‎9-4‎k‎2‎‎12k.‎ 设M(xM,yM),由方程组y=k(x-2),‎y=-‎1‎kx+‎‎9-4‎k‎2‎‎12k消去y,‎ 解得xM=‎20k‎2‎+9‎‎12(k‎2‎+1)‎.‎ 在△MAO中,∠MOA≤∠MAO⇔|MA|≤|MO|,‎ 即(xM-2)2+yM‎2‎‎≤xM‎2‎+‎yM‎2‎,化简得xM≥1,‎ 即‎20k‎2‎+9‎‎12(k‎2‎+1)‎≥1,解得k≤-‎6‎‎4‎或k≥‎6‎‎4‎.‎ 所以,直线l的斜率的取值范围为‎-∞,-‎‎6‎‎4‎‎∪‎‎6‎‎4‎‎,+∞‎.‎ ‎4.已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于点M,直线PB交y轴于点N.‎ ‎(1)求直线l的斜率的取值范围;‎ ‎(2)设O为原点,QM=λQO‎,‎QN=μQO,求证:‎1‎λ‎+‎‎1‎μ为定值.‎ ‎(1)解因为抛物线y2=2px经过点P(1,2),‎ 所以4=2p,解得p=2,‎ 所以抛物线的方程为y2=4x.‎ 由题意可知直线l的斜率存在且不为0,‎ 设直线l的方程为y=kx+1(k≠0).‎ 由y‎2‎‎=4x,‎y=kx+1,‎得k2x2+(2k-4)x+1=0.‎ 依题意,Δ=(2k-4)2-4×k2×1>0,‎ 解得k<0或00)上的一点,抛物线E在点M处的切线方程为y=x-1.‎ ‎(1)求E的方程.‎ ‎(2)已知过点(0,1)的两条不重合直线l1,l2的斜率之积为1,且直线l1,l2分别交抛物线E于A,B两点和C,D两点.是否存在常数λ使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|成立?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)(方法一)由y=x-1,‎x‎2‎‎=2py消y,‎ 得x2-2px+2p=0.‎ 由题意得Δ=4p2-8p=0.‎ 因为p>0,所以p=2.‎ 故抛物线E的方程为x2=4y.‎ ‎(方法二)设Px‎0‎‎,‎x‎0‎‎2‎‎2p.由x2=2py,得y=x‎2‎‎2p,y'=xp.‎ 由x‎0‎p‎=1,‎x‎0‎‎2‎‎2p‎=x‎0‎-1,‎ 解得p=2.‎ 故抛物线E的方程为x2=4y.‎ ‎(2)假设存在常数λ使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|成立,‎ 则λ=‎1‎‎|AB|‎‎+‎‎1‎‎|CD|‎.‎ 由题意知,l1,l2的斜率存在且均不为零.‎ 设l1的方程为y=kx+1(k≠0),‎ 则由y=kx+1,‎x‎2‎‎=4y,‎消去y得,x2-4kx-4=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1+x2=4k,x1·x2=-4.‎ 所以|AB|=‎1+‎k‎2‎‎(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-4‎x‎1‎x‎2‎‎=‎1+‎k‎2‎·‎‎16k‎2‎+16‎=4(1+k2).‎ 所以λ=‎1‎‎|AB|‎‎+‎1‎‎|CD|‎=‎1‎‎4(1+k‎2‎)‎+‎1‎‎4‎‎1+‎‎1‎k‎2‎=‎1+‎k‎2‎‎4(1+k‎2‎)‎=‎‎1‎‎4‎.‎ 所以,存在常数λ=‎1‎‎4‎,使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|成立.‎