2020届二轮复习加法原理与乘法原理学案（全国通用）

2020届二轮复习加法原理与乘法原理学案（全国通用）

加法原理与乘法原理 · 分类加法计数原理 做一件事，完成它有 ‎ n ‎ 类办法，在第一类办法中有 ‎ m‎1‎ ‎ 种不同的方法，在第二类办法中有 ‎ m‎2‎ ‎ 种不同的方法 ‎⋯⋯‎ 在第 ‎ n ‎ 类办法中有 ‎ mn ‎ 种不同的方法．那么完成这件事共有 ‎ N=m‎1‎+m‎2‎+⋯+‎mn 种不同的方法．‎ · 分步乘法计数原理 做一件事，完成它需要分成 ‎ n ‎ 个步骤，做第一个步骤有 ‎ ‎m‎1‎ 种不同的方法，做第二个步骤有 ‎ m‎2‎ ‎ 种不同的方法 ‎⋯⋯‎ 做第 ‎ n ‎ 个步骤有 ‎ mn ‎ 种不同的方法．那么完成这件事共有 ‎ N=m‎1‎×m‎2‎×⋯×‎mn 种不同的方法．‎ 精选例题 加法原理与乘法原理 ‎ 1. 教学大楼共有 ‎5‎ 层，每层均有两个楼梯，则由一层到五层（只由下到上，不重复走）的走法有  种．‎ ‎【答案】    ‎‎16‎ ‎ 2. 集合 A 有 m 个元素，集合 B 有 n 个元素，从两个集合中各取出不同的 ‎1‎ 个元素组成新的集合 C，则集合 C 最多有  个．‎ ‎【答案】     mn ‎ ‎ 3. 某地汽车牌照的号码为两个英文字母后加 ‎4‎ 个数字，且第一个字母为 M，第二个字母不能为 O 和 I，则该地的汽车牌照的号码共有  个．‎ ‎【答案】    ‎‎240000‎ ‎ 4. 房间里有 ‎4‎ 盏电灯，分别由 ‎4‎ 个开关控制，至少开 ‎1‎ 盏灯用以照明，则不同的照明方式为   种．‎ ‎【答案】     ‎15‎ ‎ ‎ 5. 电视台在"欢乐今宵"节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有 ‎30‎ 封，乙信箱中有 ‎20‎ 封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先从所有来信中确定一名幸运之星，再从两信箱中剩下的来信中各确定一名幸运伙伴，有   种不同的结果．‎ ‎【答案】     ‎28800‎ ‎ ‎【分析】    根据幸运之星的位置分类即可．‎ ‎ 6. 在一宝宝“抓周”的仪式上，他面前摆着 ‎4‎ 件学习用品， ‎3‎ 件生活用品， ‎4‎ 件娱乐用品，若他只抓其中的一件物品，则他抓的结果有  种．‎ ‎【答案】     ‎11‎ ‎ ‎ 7. 整数 ‎630‎ 的正约数（包括 ‎1‎ 和 ‎630‎ ）共有  个．‎ ‎【答案】     ‎24‎ ‎ ‎ 8. 小明上楼梯每步可以登一级或两级台阶，若小明上有五级台阶的楼梯，则有   种不同的走法．‎ ‎【答案】     ‎8‎ ‎ ‎【分析】    ①逐级上，有 ‎1‎ 种走法；‎ ‎②上一个台阶和上二个台阶合用，那么有 ‎2,1,1,1‎；‎1,2,1,1‎；‎1,1,2,1‎；‎1,1,1,2‎；‎1,2,2‎；‎2,2,1‎；‎2,1,2‎ 共有 ‎7‎ 种走法．‎ 综上，可知共 ‎8‎ 种走法．‎ ‎ 9. 从 ‎1‎，‎2‎，‎3‎，‎4‎，‎7‎，‎9‎ 中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到  个不同的对数值．‎ ‎【答案】     ‎17‎ ‎ ‎【分析】    因为对数的底数不能是 ‎1‎，所以底数可以是 ‎2‎，‎3‎，‎4‎，‎7‎，‎9‎ 中的某一个数，真数可以是 ‎1‎，‎2‎，‎3‎，‎4‎，‎7‎，‎9‎ 中的某一个数，因此，从形式上可以组成 ‎5×6=30‎ 个对数．‎ 减去底数，真数相同的 ‎5‎ 个数；‎ ‎ ‎1‎ 为真数的数有 ‎5‎ 个，值均为 ‎0‎，应减去 ‎4‎ 个；‎ 此外，log‎2‎‎4=log‎3‎9=2‎；‎ ‎ log‎4‎‎2=log‎9‎3=‎‎1‎‎2‎，log‎4‎‎9=log‎2‎3‎，log‎9‎‎4=log‎3‎2‎ 应减去重复的 ‎4‎ 个．‎ 所以，不同的对数值为 ‎30-‎5+4+4‎=17‎（个）．‎ ‎10. 设 A=‎a,b,c,d,e，B=‎x,y,z，从 A 到 B 共有  个不同映射．‎ ‎【答案】     ‎243‎ ‎ ‎【分析】    分 ‎5‎ 步，先选 a 的象，有 ‎3‎ 种可能；再选 b 的象也是 ‎3‎ 种可能；‎⋯‎；选 f 的象也有 ‎3‎ 种可能，由乘法原理知，共有 ‎3‎‎5‎‎=243‎ 种不同映射．‎ ‎11. 已知集合 M=‎‎-3,-2,-1,0,1,2‎，若 a，b∈M，平面直角坐标系内点 P 的坐标是 a,b，那么 ‎    (1)点 P 可以表示多少个不同的点？‎ ‎【解】        确定平面上的点 Pa,b 可分两步完成：‎ ‎    第一步确定 a 的值，共有 ‎6‎ 种确定方法；‎ ‎    第二步确定 b 的值，也有 ‎6‎ 种确定方法．根据分步乘法计数原理，得到平面上的点数是 ‎6×6=36‎．‎ ‎    (2)点 P 可以表示多少个第二象限内的点？‎ ‎【解】        确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定 a，‎ ‎    由于 a<0‎，所以有 ‎3‎ 种确定方法；‎ ‎    第二步确定 b，由于 b>0‎，所以有 ‎2‎ 种确定方法．‎ ‎    由分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数是 ‎3×2=6‎．‎ ‎    (3)点 P 可以表示多少个不在直线 y=x 上的点？‎ ‎【解】        点 Pa,b 在直线 y=x 上的充要条件是 a=b．‎ ‎    因此 a 和 b 必须在集合 M 中取同一元素，共有 ‎6‎ 种取法，即在直线 y=x 上的点有 ‎6‎ 个．‎ ‎    结合（1）得不在直线 y=x 上的点共有 ‎36-6=30‎（个）．‎ ‎    ‎ ‎    ‎ ‎12. 甲、乙、丙、丁 ‎4‎ 个人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己写的贺卡，共有多少种不同取法？‎ ‎【解】        甲取得乙卡时，人、卡分配方案如下表，有 ‎3‎ 种分配方案，同理可得甲取丙卡、丁卡时也各有 ‎3‎ 种分配方案，所以共有 ‎3+3+3=9‎（种）不同取法．‎ ‎    ‎ ‎13. 集合 A=‎a,b,c,d，B=‎‎1,2,3,4,5‎．‎ ‎    (1)从集合 A 到集合 B 可以建立多少个不同映射？‎ ‎【答案】        从集合 A 到集合 B 可以建立 ‎625‎ 个不同映射．‎ ‎【解】        由映射的定义和分步乘法计数原理得：‎ ‎    完成这件事需要 ‎4‎ 个步骤：第一步安排元素 a 的对应元素有 ‎5‎ 种方法，‎ ‎    同理安排元素 b，c，d 的对应元素各有 ‎5‎ 种方法．‎ ‎    故共有 ‎5×5×5×5=‎‎5‎‎4‎（个）不同的映射．‎ ‎    (2)从集合 A 到集合 B 中，若要求集合 A 中元素的象不同，这样的映射有多少个？‎ ‎【答案】        这样的映射有 ‎120‎ 个．‎ ‎【解】        因为 A 中元素的象不同，故第一步安排元素 a 的对应元素有 ‎5‎ 种方法，第二步安排元素 b 的对应元素有 ‎4‎ 种方法，依次类推，共有 ‎5×4×3×2=120‎（种）不同的映射．‎ ‎14. 甲、乙、丙、丁四人传球，第一次甲传给乙、丙、丁、三人中任一人，第二次由持球者再传给其他三人中任一人，这样共传了 ‎4‎ 次，求第4次仍传回到甲的方法共有多少种？‎ ‎【解】        解：第一步甲传给其他三人共有 ‎3‎ 种方法；‎ ‎    第二步由持球者再传给其他三人可分两类：‎ ‎    第一类由持球者传给甲，此时第三步由甲传给其他三人，有 ‎3‎ 种方法；第四步由持球者再传给甲；‎ ‎    第二类由持球者传给甲以外的另两人有两种方法，此时第三步由持球者传给甲以外的另两人(因为第三步不能传给甲，否则第四步不能传给甲)，有两种方法；‎ ‎    故共有传球方法 ‎3×‎1×3×1+2×2×1‎=21‎ (种)．‎ ‎15. 设有 ‎5‎ 幅不同的国画，‎2‎ 幅不同的油画，‎7‎ 幅不同的水彩画．‎ ‎    (1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？‎ ‎【解】        分为三类：从国画中选，有 ‎5‎ 种不同选法；从油画中选，有 ‎2‎ 种不同选法；从水彩画中选，有 ‎7‎ 种不同的选法，根据分类加法计数原理，共有 ‎5+2+7=14‎ 种选法．‎ ‎    (2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？‎ ‎【解】        分为三步：国画、油画、水彩画各有 ‎5,2,7‎ 种不同选法．根据分步计数原理，共有 ‎5×2×7=70‎ 种选法．‎ ‎    (3)从这些画中选出两幅不同种的画布置房间，有几种不同的选法？‎ ‎【解】        分为三类：‎1‎ 幅选自国画，‎1‎ 幅选自油画，有 ‎5×2=10‎ 种选法；‎1‎ 幅选自国画，‎1‎ 幅选自水彩画，有 ‎5×7=35‎ 种选法；‎1‎ 幅选自油画，‎1‎ 幅选自水彩画，有 ‎2×7=14‎ 种选法．再根据分类加法计数原理，共有 ‎10+35+14=59‎ 种不同选法．‎ ‎16. 已知集合 X=‎‎1,2,3‎，Yn‎=‎‎1,2,3,⋯,n（n∈‎N‎*‎），设 Sn‎=‎a,b‎∣a整除b或b整除a,a∈X,b∈‎Yn，令 fn 表示集合 Sn 所含元素的个数．‎ ‎    (1)写出 f‎6‎ 的值；‎ ‎【答案】        f‎6‎=13‎．‎ ‎【分析】        当 n=6‎ 时，可组出的数对有 ‎3×6=18‎ 个，依次筛选出符合题意的数对，继而得到 f(6)‎．‎ ‎【解】        Y‎6‎‎=‎‎1,2,3,4,5,6‎，S‎6‎ 中的元素 a,b 满足：‎ ‎    若 a=1‎，则 b=1,2,3,4,5,6‎；若 a=2‎，则 b=1,2,4,6‎；若 a=3‎，则 b=1,3,6‎．‎ ‎    所以 f‎6‎=13‎ ．‎ ‎    (2)当 n⩾6‎ 时，写出 fn 的表达式，并用数学归纳法证明．‎ ‎【答案】        当 n⩾6‎ 时，‎ ‎     fn=‎n+2+n‎2‎‎+‎n‎3‎,‎n=6t,‎n+2+n-1‎‎2‎‎+‎n-1‎‎3‎,‎n=6t+1,‎n+2+n‎2‎‎+‎n-2‎‎3‎,‎n=6t+2,‎n+2+n-1‎‎2‎‎+‎n‎3‎,‎n=6t+3,‎n+2+n‎2‎‎+‎n-1‎‎3‎,‎n=6t+4,‎n+2+n-1‎‎2‎‎+‎n-2‎‎3‎,‎n=6t+5,‎t∈‎N‎*‎．‎ ‎【分析】        依次分析 a=1,2,3‎ 时的情况，并按 n=6t,6t+1,⋯,6t+5‎ 六种情况分别进行讨论．‎ ‎【解】        组成 Sn 的元素分三种：‎ ‎    ① a=1‎ 时，b 可以是 Yn‎=‎‎1,2,3,⋯,n 中的任意一个数，此时符合题意的数对 a,b 有 n 个；‎ ‎    ② a=2‎ 时，b 需能被 ‎2‎ 整除或能整除 ‎2‎，所以 b=1,2,4,⋯‎．此时符合题意的数对个数为 n‎2‎‎+1,‎n=6tn-1‎‎2‎‎+1,‎n=6t+1‎n‎2‎‎+1,‎n=6t+2‎n-1‎‎2‎‎+1,‎n=6t+3‎n‎2‎‎+1,‎n=6t+4‎n-1‎‎2‎‎+1,‎n=6t+5.‎t∈‎N‎*‎‎.‎ ‎③ a=3‎ 时，b 需能被 ‎3‎ 整除或能整除 ‎3‎，所以 b=1,3,6,⋯‎．此时符合题意的数对个数为 ‎ n‎3‎‎+1,‎n=6tn-1‎‎3‎‎+1,‎n=6t+1‎n-2‎‎3‎‎+1,‎n=6t+2‎n‎3‎‎+1,‎n=6t+3‎n-1‎‎3‎‎+1,‎n=6t+4‎n-2‎‎3‎‎+1,‎n=6t+5.‎t∈‎N‎*‎‎.‎ ‎ 所以 Sn 中的个数为这三种情况的和，即当 n⩾6‎ 时，‎ fn=n+2+n‎2‎‎+‎n‎3‎,‎n=6t,‎n+2+n-1‎‎2‎‎+‎n-1‎‎3‎,‎n=6t+1,‎n+2+n‎2‎‎+‎n-2‎‎3‎,‎n=6t+2,‎n+2+n-1‎‎2‎‎+‎n‎3‎,‎n=6t+3,‎n+2+n‎2‎‎+‎n-1‎‎3‎,‎n=6t+4,‎n+2+n-1‎‎2‎‎+‎n-2‎‎3‎,‎n=6t+5,‎t∈‎N‎*‎.‎ ‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎    ① 当 n=6‎ 时，f‎6‎=6+2+‎6‎‎2‎+‎6‎‎3‎=13‎，结论成立．‎ ‎    ② 假设 n=kk⩾6‎ 时结论成立，那么 n=k+1‎ 时，Sk+1‎ 在 Sk 的基础上所增加的元素在 ‎1,k+1‎，‎2,k+1‎，‎3,k+1‎ 中产生，分以下情形讨论：‎ ‎    a．若 k+1=6t，则 k=6t-1‎+5‎，此时有 fk+1‎=fk+3=k+2+k-1‎‎2‎+k-2‎‎3‎+3=k+1‎+2+k+1‎‎2‎+‎k+1‎‎3‎，结论成立；‎ ‎    b．若 k+1=6t+1‎，则 k=6t，此时有 fk+1‎=fk+1=k+2+k‎2‎+k‎3‎+1=k+1‎+2+k+1‎‎-1‎‎2‎+‎k+1‎‎-1‎‎3‎，结论成立；‎ ‎    c．若 k+1=6t+2‎，则 k=6t+1‎，此时有 fk+1‎=fk+2=k+2+k-1‎‎2‎+k-1‎‎3‎+2=k+1‎+2+k+1‎‎2‎+‎k+1‎‎-2‎‎3‎，结论成立；‎ ‎    d．若 k+1=6t+3‎，则 k=6t+2‎，此时有 fk+1‎=fk+2=k+2+k‎2‎+k-2‎‎3‎+2=k+1‎+2+k+1‎‎-1‎‎2‎+‎k+1‎‎3‎，结论成立；‎ ‎    e．若 k+1=6t+4‎，则 k=6t+3‎，此时有 fk+1‎=fk+2=k+2+k-1‎‎2‎+k‎3‎+2=k+1‎+2+k+1‎‎2‎+‎k+1‎‎-1‎‎3‎，结论成立；‎ ‎    f．若 k+1=6t+5‎，则 k=6t+4‎，此时有 fk+1‎=fk+1=k+2+k‎2‎+k-1‎‎3‎+1=k+1‎+2+k+1‎‎-1‎‎2‎+‎k+1‎‎-2‎‎3‎，结论成立．‎ ‎    综上所述，结论对满足 n⩾6‎ 的自然数 n 均成立．‎ ‎17. 已知 a∈‎‎3,4,6‎，b∈‎‎1,2,7,8‎，r∈‎‎8,9‎ ，则方程 x-a‎2‎‎+y-b‎2‎=‎r‎2‎ 可表示不同的圆有多少个？‎ ‎【解】        圆的方程由三个量 a，b，r 分别有 ‎3‎ 种， ‎4‎ 种， ‎2‎ 种选法，十位与个位数字均有 ‎10‎ 种选法，所以不同的三位数共有 ‎9×10×10=900‎ (个)．‎ ‎18. 某电脑用户计划使用不超过 ‎500‎ 元的资金购买单价分别为 ‎60‎ 元、 ‎70‎ 元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买 ‎3‎ 片，磁盘至少买 ‎2‎ 盒，则不同的选购方式共有多少种？‎ ‎【解】        设买 x 片软件，y 盒磁盘．‎ ‎    依题意 ‎60x+70y⩽500‎，且 x⩾3‎，y⩾2‎，x,y∈N．‎ ‎     x=3‎ 时，y⩽‎‎32‎‎7‎，‎∴y=2,3,4‎．‎ ‎     x=4‎ 时，y⩽‎‎26‎‎7‎，y=2‎，‎3‎．‎ ‎     x=5‎ 时，y⩽‎‎20‎‎7‎，y=2‎．‎ ‎     x=6‎ 时，y⩽2‎，y=2‎．‎ ‎     x=7‎ 时，不合题意．‎ ‎    综上，共有 ‎7‎ 种购买方案．‎ ‎19. 有一项活动，需在 ‎3‎ 名教师、 ‎8‎ 名男生和 ‎5‎ 名女生中选人参加．‎ ‎    (1)若只需一人参加，有多少种不同选法？‎ ‎【解】        分三类：选教师有 ‎3‎ 种选法，选男生有 ‎8‎ 种选法，选女生有 ‎5‎ 种选法，故共有 ‎3+8+5=16‎ 种选法．‎ ‎    (2)若需教师、男生、女生各一人参加，有多少种不同的选法？‎ ‎【解】        分三步：第一步选教师，有 ‎3‎ 种；第二步选男生，有 ‎8‎ 种选法；第三步选女生，有 ‎5‎ 种选法．故共有 ‎3×8×5=120‎ 种选法．‎ ‎    (3)若需一名教师、一名学生参加，有多少种不同的选法？‎ ‎【解】        分两步：第一步选教师，有 ‎3‎ 种选法；第二步选学生．对第二步，又分为两类：第一类选男生，有 ‎8‎ 种选法；第二类选女生，有 ‎5‎ 种选法．故共有 ‎3×‎8+5‎=39‎ 种选法．‎ ‎20. 如图所示三组平行线分别有 m，n，k 条，在此图形中，‎ ‎    (1)共有多少个三角形？‎ ‎【解】        每个三角形与从三组平行线中各取一条的取法是一一对应的，由分步计数原理知共可构成 m⋅n⋅k 个三角形．‎ ‎    (2)共有多少个平行四边形？‎ ‎【解】        每个平行四边形与从两组平行线中各取两条的取法是一一对应的，由分类和分步计数原理知共可构成 Cm‎2‎Cn‎2‎‎+Cn‎2‎Ck‎2‎+‎Ck‎2‎Cm‎2‎ 个平行四边形．‎ 课后练习 ‎ 1. 一个密码保险柜的密码由 ‎6‎ 个数字组成，每个数字都是 ‎0∼9‎ 这十个数字中的一个，王叔叔忘记了其中最后面的两个数字，那么他一次就能打开保险柜的概率是  ．‎ ‎ 2. 沿着长方体的棱，从一个顶点到它相对的另一个顶点的最近路线共有   条．‎ ‎ 3. A 点从原点出发，每步走一个单位，方向为向上或向右，则走三步时，所有可能终点的横坐标的和为  ；走 n 步时，所有可能终点的横坐标的和为  ．‎ ‎ 4. 某电子器件是由 ‎2‎ 个电阻组成的回路，其中共有四个焊接点 A，B，C，D，如果某个焊接点脱落，整个电路就不会通，现在发现电路不通了，那么焊接点脱落的可能性共有  种．‎ ‎ 5. 如图所示的街道上，从 A 到 B 不走回头路，有   种不同的走法．‎ ‎ 6. 已知 m∈‎‎-2,-1,0,1,2,3‎，n∈‎‎-3,-2,-1,0,1,2‎，方程 x‎2‎m‎+y‎2‎n=1‎ 表示双曲线，则不同的双曲线共有   条．‎ ‎ 7. 乘积 a+b+c+dp+q+rm+n 的展开式共  项．‎ ‎ 8. 四名大学毕业生各自任意选择三个公司应聘，则应聘的情况有  种．‎ ‎ 9. 如图，从 A→C ，有  种不同走法．‎ ‎10. 凸五边形有  条对角线；凸 nn=4,5,6⋯‎ 边形有  条对角线．‎ ‎11. 从 a，b，c，d 四个元素中任取两个放在甲乙两个不同的盒子中，有多少种不同的放法？‎ ‎12. 某校高一年级 ‎4‎ 个班学生中的 ‎34‎ 人自愿组成数学课外小组，其中一、二、三、四班的学生数分别为 ‎7‎ 人、 ‎8‎ 人、 ‎9‎ 人、 ‎10‎ 人，求：‎ ‎    (1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？‎ ‎    (2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？‎ ‎    (3)推选二人做中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？‎ ‎13. 平面内有 ‎12‎ 个点，其中有 ‎4‎ 点共线，此外再无三点共线，以这些点为顶点可得到多少个不同的三角形？‎ ‎14. 一个口袋里有 ‎5‎ 封信，另一个口袋里有 ‎4‎ 封信，各封信内容均不相同．‎ ‎    (1)从两个口袋中任取一封信，有多少种不同的取法？‎ ‎    (2)从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？‎ ‎    (3)把这两个口袋里的 ‎9‎ 封信，分别投入 ‎4‎ 个邮筒，有多少种不同的投法？‎ ‎15. 将 ‎4‎ 封信投入 ‎3‎ 个邮筒，有多少种不同的投法？‎ ‎16. ‎5‎ 名学生报名参加数学、生物、计算机三项比赛．‎ ‎    (1)若每人限报一项，报名方法有多少种？‎ ‎    (2)若他们争夺这三项的比赛冠军，获冠军的可能性有多少种？‎ ‎17. 中央电视台"开心辞典"节目的现场观众来自四个不同的单位，分别在右图中的 A 、 B 、 C 、 D 四个区域落座．现有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同色服装，且相邻区域不能同色，不相邻区域是否同色不受限制，则不同的着装方法共有多少种？‎ ‎18. 某学生填报高考志愿，有 mm⩾3‎ 个不同的志愿可供选择，若只能按第一、二、三志愿依次填写 ‎3‎ 个不同的志愿，求该生填写志愿的方式的种数．‎ ‎19. 某小组有 ‎10‎ 人，每人至少会英语和日语中的一门，其中 ‎8‎ 人会英语，‎5‎ 人会日语，‎ ‎    (1)从中任选一个只会一门外语的人有多少种选法？‎ ‎    (2)从中选出会英语与会日语的各 ‎1‎ 人，有多少种不同的选法？‎ ‎20. ‎3‎ 张 ‎1‎ 元币，‎4‎ 张 ‎1‎ 角币，‎1‎ 张 ‎5‎ 分币，‎2‎ 张 ‎2‎ 分币，可组成多种不同的币值（‎1‎ 张不取，即 ‎0‎ 元 ‎0‎ 角 ‎0‎ 分不计在内）？‎ 加法原理与乘法原理-出门考 姓名                                                                 成绩                                  ‎ ‎ 1. 若直线方程 ax+by=0‎，其中 a，b 可在 ‎0‎，‎1‎，‎2‎，‎3‎ 中任取两个不同的数，共得到直线   条．‎ ‎ 2. ‎5‎ 名同学去听同时进行的 ‎4‎ 个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的 ‎1‎ 个讲座，则不同选法的种数是  ．‎ ‎ 3. 同时扔大小相等的两个玩具骰子，则向上的面上的数字之积不小于 ‎20‎ 的情形有  种．‎ ‎ 4. 已知集合 M=‎‎1,-2,3‎，N=‎‎-4,5,6,7‎，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是  ．‎ ‎ 5. 中国象棋中规定：马每走一步只能按日字格（也可以是横日）的对角线走．例如马从方格中心点 O 走一步，会有 ‎8‎ 种走法．则从图中点 A 走到点 B，最少需  步，按最少的步数走，共有  种走法．‎ ‎ 6. 用 ‎1‎，‎2‎，‎3‎，‎4‎，‎5‎，这五个数字，可组成  个无重复数字的三位数，可组成  个无重复数字的三位偶数．‎ ‎ 7. 高中二年级一、二、三班中分别有 ‎7‎ 名、 ‎8‎ 名、 ‎9‎ 名同学自愿参加数学课外小组．‎ ‎①从中选一名年级负责人，有  种不同的选法；‎ ‎②每班选一名组成一个小分组，有  种不同的选法．‎ ‎ 8. 某班第一组有男同学 ‎8‎ 人、女同学 ‎7‎ 人，第二组有男同学 ‎6‎ 人、女同学 ‎10‎ 人，若从两组中任选一位同学去完成一项任务，共有  种不同选法；若从这两组的女同学中各选一位共同完成一项任务，共有  种不同选法．‎ ‎ 9. 从甲地到乙地有 ‎2‎ 条路可通，从乙地到丙地有 ‎3‎ 条路可通；从甲地到丁地有 ‎4‎ 条路可通，从丁地到丙地有 ‎2‎ 条路可通；从甲地到丙地共有  种不同的走法．‎ ‎10. 为举办校园文化节，某班推荐 ‎2‎ 名男生、 ‎3‎ 名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分别为：乐器 ‎1‎ 人，舞蹈 ‎2‎ 人，演唱 ‎2‎ 人，每人只参加一个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加，则不同的推荐方案的种数为  ．‎ ‎11. 从集合 ‎1,2,3,4,5,6,7‎ 中任选出 ‎3‎ 个不同的数，使这 ‎3‎ 个数组成等差数列，这样的等差数列有多少个？‎ ‎12. 六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名结果？‎ ‎13. 一条铁路原有 n 个车站，为适应客运需要，新增了 m 个车站 m>1‎ ，则客运车票增加了 ‎62‎ 种，问原有多少个车站？现有多少个车站？‎ ‎14. 有一项活动，需要从 ‎3‎ 名老师，‎8‎ 名男同学和 ‎5‎ 名女同学中选若干人参加．‎ ‎    (1)若只需一人参加，有多少种不同方法？‎ ‎    (2)若需从老师、男同学、女同学中各选一人参加，有多少种不同选法？‎ ‎    (3)若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同选法？‎ ‎15. 若 a,b 是正整数，且 a+b⩽6‎，则以 a,b 为坐标的点共有多少个？‎ ‎16. 直角坐标系 xOy 平面上，平行直线 x=nn=0,1,2‎ 与平行直线 y=mm=0,1,2‎ 组成的图形中共有多少个矩形？‎ ‎17. 王华同学有课外参考书若干本，其中有 ‎5‎ 本不同的外语书，‎4‎ 本不同的数学书，‎3‎ 本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读．‎ ‎    (1)若他从这些参考书中带一本去图书馆，有多少种不同的带法？‎ ‎    (2)若带外语、数学、物理参考书各一本，有多少种不同的带法？‎ ‎    (3)若从这些参考书中选 ‎2‎ 本不同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法？‎ ‎18. 高二年级一班有女生 ‎18‎ 人，男生 ‎38‎ 人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．‎ ‎19. 在所有的三位数中，有且只有两个数字相同的三位数共有多少个？‎ ‎20. 已知直线 ax+by+c=0‎ 中的 a，b，c 是取自集合 ‎-7,-5,0,1,2,3‎ 中的 ‎3‎ 个不同的元素．‎ ‎    (1)这样的直线共有多少条？‎ ‎    (2)若直线的倾斜角为锐角，这样的直线共有多少条？‎