2017年高考天津理科数学试题及答案(word解析版)

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2017年高考天津理科数学试题及答案(word解析版)

‎2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)‎ 数学(理科)‎ 参考公式:‎ ‎ 如果事件,互斥,那么;‎ ‎ 如果事件,相互独立,那么;‎ ‎ 柱体的体积公式,其中表示柱体的底面面积,表示柱体的高;‎ ‎ 锥体体积公式,其中表示锥体的底面面积,表示锥体的高.‎ 第Ⅰ卷(共40分)‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎(1)【2017年天津,理1,5分】设集合,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎【解析】,故选B.‎ ‎(2)【2017年天津,理2,5分】设变量满足约束条件则目标函数的最大值为( )‎ ‎(A) (B)1 (C) (D)3‎ ‎【答案】D ‎【解析】目标函数为四边形及其内部,其中,所以直线过点B时取最大值3,故选D. ‎ ‎(3)【2017年天津,理3,5分】阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入的值为 ‎24,则输出的值为( )‎ ‎(A)0 (B)1 (C)2 (D)3‎ ‎【答案】C ‎【解析】依次为 ,,输出,故选C.‎ ‎(4)【2017年天津,理4,5分】设,则“”是“”的( )‎ ‎ (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】,,,不满足,所以 是充分不必要条件,故选A.‎ ‎(5)【2017年天津,理5,5分】已知双曲线的左焦点为,离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得,故选B.‎ ‎(6)【2017年天津,理6,5分】已知奇函数在R上是增函数,.若,,,则a,b,c的大小关系为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为是奇函数且在上是增函数,所以在时,,从而是上的偶函数,且在上是增函数,,,又,,所以即,,所以,故选C.‎ ‎(7)【2017年天津,理7,5分】设函数,,其中,.若,,且的最小正周期大于,则( )‎ ‎(A), (B), (C), (D),‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意,其中,所以,又,所以,所以,,由得,故选A.‎ ‎(8)【2017年天津,理8,5分】已知函数设,若关于x的不等式在R上恒成立,则a的取值范围是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】不等式为,当时,式即为,‎ ‎,又(时取等号),‎ ‎(时取等号),所以,当,式为 ‎,,又(当时取等 号),(当时取等号),所以,综上,故选A.‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎(9)【2017年天津,理9,5分】已知,i为虚数单位,若为实数,则a的值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】为实数,则.‎ ‎(10)【2017年天津,理10,5分】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设正方体边长为 ,则,外接球直径为.‎ ‎(11)【2017年天津,理11,5分】在极坐标系中,直线与圆的公共点的个数为 .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】直线为 ,圆为 ,因为 ,所以有两个交点.‎ ‎(12)【2017年天津,理12,5分】若,,则的最小值为 .‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】 ,当且仅当时取等号.‎ ‎(13)【2017年天津,理13,5分】在中,,,.若,,且,则的值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,,则 ‎.‎ ‎(14)【2017年天津,理14,5分】用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有 个.(用数字作答)‎ ‎【答案】1080‎ ‎【解析】.‎ 三、解答题:本大题共6题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎(15)【2017年天津,理15,13分】在中,内角所对的边分别为.已知,,‎ ‎. ‎(1)求和的值;‎ ‎(2)求的值.‎ 解:(1)在中,,故由,可得.由已知及余弦定理,,‎ 所以.由正弦定理,得.所以值为,的值为.‎ ‎ (2)由(1)及,得,所以,.‎ 故.‎ ‎(16)【2017年天津,理16,13分】从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为.‎ ‎(1)设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量的分布列和数学期望;‎ ‎(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.‎ 解:(1)随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.,‎ ‎,‎ ‎,.‎ 所以,随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 随机变量的数学期望.‎ ‎(2)设表示第一辆车遇到红灯的个数,表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为.‎ 所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为.‎ ‎(17)【2017年天津,理17,13分】如图,在三棱锥中,底面,.点分别为棱的中点,是线段的中点,,.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求二面角的正弦值;‎ ‎(3)已知点在棱上,且直线与直线所成角的余弦值为,求线段的长.‎ 解:如图,以为原点,分别以,,方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标 系.依题意可得,,,,,,,‎ ‎.‎ ‎(1),.设,为平面的法向量,则,‎ 即.不妨设,可得.又,可得.‎ 因为平面,所以平面.‎ ‎(2)易知为平面的一个法向量.设为平面的法向量,则,‎ 因为,,所以.不妨设,可得.‎ 因此有,于是.二面角的正弦值为.‎ ‎(3)依题意,设(),则,进而可得,.由已知,‎ 得,整理得,解得,或.‎ 所以,线段的长为或.‎ ‎(18)【2017年天津,理18,13分】已知为等差数列,前项和为,是首项为2‎ 的等比数列,且公比大于0,,,.‎ ‎(1)求和的通项公式;‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ 解:(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为.由,得,而,‎ 所以.又因为,解得.所以,.由,可得①.‎ 由,可得②,联立①②,解得,,由此可得.‎ 所以,数列的通项公式为,数列的通项公式为.‎ ‎(2)设数列的前项和为,由,,有,‎ 故,,‎ 上述两式相减,得 得.所以,数列的前项和为.‎ ‎(19)【2017年天津,理19,14分】设椭圆的左焦点为,右顶点为,离心率为.已知是抛物线的焦点,到抛物线的准线的距离为.‎ ‎(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;‎ ‎(2)设上两点,关于轴对称,直线与椭圆相交于点(异于点),直线与轴相交于点.若的面积为,求直线的方程;‎ 解:(1)设的坐标为.依题意,,,,解得,,,.‎ 所以,椭圆的方程为,抛物线的方程为.‎ ‎(2)设直线的方程为,与直线的方程联立,可得点,故.‎ 将与联立,消去,整理得,解得,或.‎ 由点异于点,可得点.由,可得直线的方程为 ‎,令,解得,故.‎ 所以.又因为的面积为,故,整理得 ‎,,.直线的方程为,或.‎ ‎(20)【2017年天津,理20,14分】设,已知定义在R上的函数在区间 内有一个零点,为的导函数.‎ ‎(1)求的单调区间;‎ ‎(2)设,函数,求证:;‎ ‎(3)求证:存在大于0的常数,使得对于任意的正整数,且 满足.‎ 解:(1)由,可得,可得.‎ 令,解得,或.当x变化时,的变化情况如下表:‎ x ‎+‎ ‎-‎ ‎+‎ ‎↗‎ ‎↘‎ ‎↗‎ 所以,的单调递增区间是,,单调递减区间是.‎ ‎(2)由,得,.‎ 令函数,则.由(1)知,当时,,‎ 故当时,,单调递减;当时,,单调递增.‎ 因此,当时,,可得,.‎ 令函数,则.由(1)知,在上单调递增,‎ 故当时,,单调递增;当时,,单调递减.‎ 因此,当时,,可得,. 所以,.‎ ‎(3)对于任意的正整数,,且,令,函数.‎ 由(2)知,当时,在区间内有零点;当时在区间内有零点.‎ 所以在内至少有一个零点,不妨设为,则.‎ 由(1)知在上单调递增,故,‎ 于是.因为当时,,‎ 故在上单调递增,所以在区间上除外没有其他的零点,而,故.‎ 又因为,,均为整数,所以是正整数,‎ 从而..只要取,就有.‎
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