2015高考数学（文）（函数与导数）一轮专题练习题
压轴题目突破练——函数与导数
A组 专项基础训练
(时间：35分钟，满分：57分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1． 与直线2x－6y＋1＝0垂直，且与曲线f(x)＝x3＋3x2－1相切的直线方程是 ( )
A．3x＋y＋2＝0 B．3x－y＋2＝0
C．x＋3y＋2＝0 D．x－3y－2＝0
答案 A
解析 设切点的坐标为(x0，x＋3x－1)，
则由切线与直线2x－6y＋1＝0垂直，
可得切线的斜率为－3，
又f′(x)＝3x2＋6x，故3x＋6x0＝－3，
解得x0＝－1，于是切点坐标为(－1,1)，
从而得切线的方程为3x＋y＋2＝0.
2． 设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)>g′(x)，则当a
g(x)
B．f(x)g(x)＋f(a)
D．f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b)
答案 C
解析 ∵f′(x)－g′(x)>0，∴(f(x)－g(x))′>0，
∴f(x)－g(x)在[a，b]上是增函数，
∴当af(a)－g(a)，
∴f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)．
3． 三次函数f(x)＝mx3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是 ( )
A．m<0 B．m<1 C．m≤0 D．m≤1
答案 A
解析 f′(x)＝3mx2－1，依题可得m<0.
4． 点P是曲线x2－y－2ln＝0上任意一点，则点P到直线4x＋4y＋1＝0的最短距离是
( )
A.(1－ln 2) B.(1＋ln 2)
C. D.(1＋ln 2)
答案 B
解析 将直线4x＋4y＋1＝0平移后得直线l：4x＋4y＋b＝0，使直线l与曲线切于点P(x0，y0)，
由x2－y－2ln＝0得y′＝2x－，
∴直线l的斜率k＝2x0－＝－1
⇒x0＝或x0＝－1(舍去)，
∴P，
所求的最短距离即为点P到直线4x＋4y＋1＝0的距离d＝＝(1＋ln 2)．
5． 函数f(x)在定义域内的图象如图所示，记f(x)的导函数为f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为 ( )
A.∪[1,2)
B.∪
C.∪[2,3)
D.∪∪
答案 C
解析 不等式f′(x)≤0的解集即为函数f(x)的单调递减区间，从图象中可以看出函数f(x)在和[2,3)上是单调递减的，所以不等式f′(x)≤0的解集为∪[2,3)，答案选C.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6． 设函数f(x)＝x3＋·x2＋tan θ，其中θ∈，则导数f′(1)的取值范围是________．
答案 [，2]
解析 ∵f′(x)＝sin θ·x2＋cos θ·x，
∴f′(1)＝sin θ＋cos θ＝2sin.
∵θ∈，∴θ＋∈，
∴sin∈.∴f′(1)∈[，2]．
7．已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f(－4)，f()，f(－)的大小关系为________(用“<”连接)．
答案 f()0)，
f′(x)＝x－5＋＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.
当03时，f′(x)>0，
故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；
当20)．
∴f(x)在区间[－1,4]上的最大值是f(－1)＝6a.
由已知，得6a＝12，∴a＝2，
∴f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x(x∈R)．
(2)方程f(x)＋＝0等价于方程2x3－10x2＋37＝0
设h(x)＝2x3－10x2＋37，
则h′(x)＝6x2－20x＝2x(3x－10)．
当x∈时，h′(x)<0，h(x)是减函数；
当x∈时，h′(x)>0，h(x)是增函数．
∵h(3)＝1>0，h＝－<0，h(4)＝5>0，
∴方程h(x)＝0在区间，内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根，
∴存在唯一的自然数m＝3，使得方程f(x)＋＝0在区间(m，m＋1)内有且只有两个不等 的实数根．
B组 专项能力提升
(时间：25分钟，满分：43分)
一、选择题(每小题5分，共15分)
1． 已知函数f(x)(x∈R)的图象上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x－1)(x－x0)，那么函数f(x)的单调减区间是 ( )
A．[－1，＋∞) B．(－∞，2]
C．(－∞，－1)，(1,2) D．[2，＋∞)
答案 C
解析 根据函数f(x)(x∈R)的图象上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)
(x－1)(x－x0)，可知其导数f′(x)＝(x－2)(x2－1)＝(x＋1)(x－1)(x－2)，令f′(x)<0得x<－1或10在上恒成立，故此函数不是凸函数．
二、填空题(每小题5分，共15分)
3． 函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．
答案 21
解析 因为y′＝2x，所以过点(ak，a)处的切线方程为y－a＝2ak(x－ak)．又该切线与x轴的交点为(ak＋1,0)，
所以ak＋1＝ak，即数列{ak}是等比数列，
首项a1＝16，其公比q＝，
所以a3＝4，a5＝1.所以a1＋a3＋a5＝21.
4． 设函数f(x)＝，g(x)＝，对任意x1、x2∈(0，＋∞)，不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是________．
答案 [1，＋∞)
解析 因为对任意x1、x2∈(0，＋∞)，
不等式≤恒成立，所以≥max.
因为g(x)＝，
所以g′(x)＝(xe2－x)′＝e2－x＋xe2－x·(－1)＝e2－x(1－x)．
当00；当x>1时，g′(x)<0，
所以g(x)在(0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．
所以当x＝1时，g(x)取到最大值，即g(x)max＝g(1)＝e；
因为f(x)＝，当x∈(0，＋∞)时，
f(x)＝e2x＋≥2e，当且仅当e2x＝，
即x＝时取等号，故f(x)min＝2e.
所以max＝＝.
所以≥.又因为k为正数，所以k≥1.
三、解答题
5． (13分)(2012·辽宁)设f(x)＝ln x＋－1，证明：
(1)当x>1时，f(x)<(x－1)；
(2)当11时，g′(x)＝＋－<0.
又g(1)＝0，所以有g(x)<0，即f(x)<(x－1)．
方法二 当x>1时，21时，f(x)<(x－1)．
(2)证明 方法一 记h(x)＝f(x)－，
由(1)得h′(x)＝＋－
＝－<－
＝.
令G(x)＝(x＋5)3－216x，则当1
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