初中数学专项突破 专题五 解直角三角形

初中数学专项突破 专题五 解直角三角形

第 1 页 共 18 页 初中数学专项突破 专题五 解直角三角形 （2017 湖南株洲第 23 题）如图示一架水平飞行的无人机 AB 的尾端点 A 测得正前方的桥的 左端点 P 的俯角为α其中 tanα=2 3 ，无人机的飞行高度 AH 为 500 3 米，桥的长度为 1255 米． ①求点 H 到桥左端点 P 的距离； ②若无人机前端点 B 测得正前方的桥的右端点 Q 的俯角为 30°，求这架无人机的长度 AB． 【答案】①求点 H 到桥左端点 P 的距离为 250 米；②无人机的长度 AB 为 5 米． ②设 BC⊥HQ 于 C． 在 Rt△BCQ 中，∵BC=AH=500 3 ，∠BQC=30°， ∴CQ= tan30 BC  =1500 米，∵PQ=1255 米，∴CP=245 米， ∵HP=250 米，∴AB=HC=250﹣245=5 米．[来源:学科网 ZXXK] 答：这架无人机的长度 AB 为 5 米．. 第 2 页 共 18 页 考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． （2017 内蒙古通辽第 22 题）如图，物理老师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在 OA 的位置时俯角 030 EOA ，在 OB 的位置时俯角 060FOB .若 EFOC  ，点 A 比 点 B 高 cm7 . 求（1）单摆的长度（ 7.13  ）； （2）从点 A 摆动到点 B 经过的路径长（ 1.3 ）. 【答案】（1）单摆的长度约为 18.9cm（2）从点 A 摆动到点 B 经过的路径长为 29.295cm 第 3 页 共 18 页 则在 Rt△AOP 中，OP=OAcos∠AOP= 1 2 x， 在 Rt△BOQ 中，OQ=OBcos∠BOQ= 3 2 x， 由 PQ=OQ﹣OP 可得 3 2 x﹣ 1 2 x=7， 解得：x=7+7 3 ≈18.9（cm），. 答：单摆的长度约为 18.9cm； （2）由（1）知，∠AOP=60°、∠BOQ=30°，且 OA=OB=7+7 3 ， ∴∠AOB=90°， 则从点 A 摆动到点 B 经过的路径长为 90 7+7 3 180  （ ）≈29.295， 答：从点 A 摆动到点 B 经过的路径长为 29.295cm． 考点：1、解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；2、轨迹 . 第 4 页 共 18 页 （2017 湖南张家界第 19 题）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜 像．铜像由像体 AD 和底座 CD 两部分组成．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=70.5°，在 Rt△DBC 中，∠DBC=45°，且 CD=2.3 米，求像体 AD 的高度（最后结果精确到 0.1 米，参考数据： sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824） 【答案】4.2m． 考点：解直角三角形的应用． （2017 海南第 22 题）为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专 家提供的方案是：水坝加高 2 米（即 CD=2米），背水坡 DE 的坡度 i=1：1（即 DB：EB=1： 1），如图所示，已知 AE=4 米，∠EAC=130°，求水坝原来的高度 BC． （参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2） 第 5 页 共 18 页 【答案】水坝原来的高度为 12 米．. 考点：解直角三角形的应用，坡度. （2017 新疆乌鲁木齐第 21 题）一艘渔船位于港口 A 的北偏东 60 方向，距离港口 20 海里 B 处，它沿北偏西37 方向航行至C 处突然出现故障，在C 处等待救援， ,B C 之间的距离为10 海里，救援船从港口 A 出发 20 分钟到达C 处，求救援的艇的航行速 度. (sin37 0.6,cos37 0.8, 3 1.732    ，结果取整数） 【答案】救援的艇的航行速度大约是 64 海里/小时． 【解析】 试题分析：辅助线如图所示：BD⊥AD，BE⊥CE，CF⊥AF，在 Rt△ABD 中，根据勾股定理 可求 AD，在 Rt△BCE 中，根据三角函数可求 CE，EB，在 Rt△AFC 中，根据勾股定理可求 AC， 再根据路程÷时间=速度求解即可． 试题解析：辅助线如图所示： 第 6 页 共 18 页 答：救援的艇的航行速度大约是 64 海里/小时． 考点：解直角三角形的应用﹣方向角问题 （2017 浙江省绍兴市）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口 C 测 得教学楼顶部 D 的仰角为 18°，教学楼底部 B 的俯角为 20°，量得实验楼与教学楼之间的距 离 AB=30m． 第 7 页 共 18 页 （1）求∠BCD 的度数． （2）求教学楼的高 BD．（结果精确到 0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32） 【答案】（1）38°；（2）20.4m． 【解析】 试题分析：（1）过点 C 作 CE 与 BD 垂直，根据题意确定出所求角度数即可； （2）在直角三角形 CBE 中，利用锐角三角函数定义求出 BE 的长，在直角三角形 CDE 中， 利用锐角三角函数定义求出 DE 的长，由 BE+DE 求出 BD 的长，即为教学楼的高． 试 题 解 析 ： （ 1 ） 过 点 C 作 CE⊥BD ， 则 有 ∠DCE=18° ， ∠BCE=20° ， ∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=18°+20°=38°； （2）由题意得：CE=AB=30m，在 Rt△CBE 中，BE=CE•tan20°≈1 0.80m，在 Rt△CDE 中， DE=CD•tan18°≈9.60m，∴教学楼的高 BD=BE+DE=10.80+9.60≈20.4m，则教学楼的高约为 20.4m． 考点：1．解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；2．应用题；3．等腰三角形与直角三角形． （2016·湖北随州·8 分）某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕 像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为 30°，山高 857.5 尺，组员从山脚 D 处沿山坡向着 雕像方向前进 1620 尺到达 E 点，在点 E 处测得雕像顶端 A 的仰角为 60°，求雕像 AB 的高 度． 第 8 页 共 18 页 解：如图， 过点 E 作 EF⊥AC，EG⊥CD， 在 Rt△DEG 中，∵DE=1620，∠D=30°， ∴EG=DEsin∠D=1620× =810， ∵BC=857.5，CF=EG， ∴BF=BC﹣CF=47.5， 在 Rt△BEF 中，tan∠BEF= ， ∴EF= BF， 在 Rt△AEF 中，∠AEF=60°，设 AB=x， ∵tan∠AEF= ， ∴AF=EF×tan∠AEF，[来源:学科网] ∴x+47.5=3×47.5， ∴x=95， 答：雕像 AB 的高度为 95 尺． 2. （2016·吉林·7 分）如图，某飞机于空中 A 处探测到目标 C，此时飞行高度 AC=1200m， 从飞机上看地平面指挥台 B 的俯角α=43°，求飞机 A 与指挥台 B 的距离（结果取整数） （参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93） 第 9 页 共 18 页 解：如图，∠B=α=43°， 在 Rt△ABC 中，∵sinB= ， ∴AB= ≈1765（m）． 答：飞机 A 与指挥台 B 的距离为 1765m． 3. （2016·江西·8 分）如图 1 是一副创意卡通圆规，图 2 是其平面示意图，OA 是支撑臂， OB 是旋转臂，使用时，以点 A 为支撑点，铅笔芯端点 B 可绕点 A 旋转作出圆．已知 OA=OB=10cm． （1）当∠AOB=18°时，求所作圆的半径；（结果精确到 0.01cm） （2）保持∠AOB=18°不变，在旋转臂 OB 末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与 （1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．（结果精确到 0.01cm） （参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算 器） 解：（1）作 OC⊥AB 于点 C，如右图 2 所示， 由题意可得，OA=OB=10cm，∠OCB=90°，∠AOB=18°， 第 10 页 共 18 页 ∴∠BOC=9° ∴AB=2BC=2OB•sin9°≈2×10×0.1564≈3.13cm， 即所作圆的半径约为 3.13cm； （2）作 AD⊥OB 于点 D，作 AE=AB，如下图 3 所示， ∵保持∠AOB=18°不变，在旋转臂 OB 末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1） 中所作圆的大小相等， ∴折断的部分为 BE， ∵∠AOB=18°，OA=OB，∠ODA=90°， ∴∠OAB=81°，∠OAD=72°， ∴∠BAD=9°， ∴BE=2BD=2AB•sin9°≈2×3.13×0.1564≈0.98cm， 即铅笔芯折断部分的长度是 0.98cm． 4. （2016·辽宁丹东·10 分）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物 AB 的高度．他们在 C 处仰望建筑物顶端，测得仰角为 48°，再往建筑物的方向前进 6 米到达 D 处，测得仰角为 64°，求建筑物的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到 0.1 米） （参考数据：sin48°≈ ，tan48°≈ ，sin64°≈ ，tan64°≈2） 解：根据题意，得∠ADB=64°，∠ACB=48° 在 Rt△ADB 中，tan64°= ， 第 11 页 共 18 页 则 BD= ≈ AB， 在 Rt△ACB 中，tan48°= ， 则 CB= ≈ AB， ∴CD=BC﹣BD 即 6= AB﹣ AB 解得：AB= ≈14.7（米）， ∴建筑物的高度约为 14.7 米． 5. （2016·四 川 宜 宾 ）如 图 ，CD 是 一 高 为 4 米 的 平 台 ，AB 是 与 CD 底 部 相 平 的 一 棵 树 ，在 平 台 顶 C 点 测 得 树 顶 A 点 的 仰 角 α=30°，从 平 台 底 部 向 树 的 方 向 水 平 前 进 3 米 到 达 点 E， 在 点 E 处 测 得 树 顶 A 点 的 仰 角 β=60°， 求 树 高 AB（ 结 果 保 留 根 号 ） 解 ： 作 CF⊥AB 于 点 F， 设 AF=x 米 ， 在 Rt△ACF 中 ， tan∠ACF= ， 则 CF= = = = x， 在 直 角 △ABE 中 ， AB=x+BF=4+x（ 米 ） ， 在 直 角 △ABF 中 ， tan∠AEB= ， 则 BE= = = （ x+4） 米 ． ∵CF﹣ BE=DE， 即 x﹣ （ x+4） =3． 解 得 ： x= ， 则 AB= +4= （ 米 ） ． 答 ： 树 高 AB 是 米 ． 第 12 页 共 18 页 6.（2016·湖北黄石·8 分）如图，为测量一座山峰 CF 的高度，将此山的某侧山坡划分为 AB 和 BC 两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长 AB=800 米，BC=200 米，坡角∠BAF=30°， ∠CBE=45°． （1）求 AB 段山坡的高度 EF； （2）求山峰的高度 CF．（ 1.414，CF 结果精确到米） 解：（1）作 BH⊥AF 于 H，如图， 在 Rt△ABF 中，∵sin∠BAH= ， ∴BH=800•sin30°=400， ∴EF=BH=400m； （2）在 Rt△CBE 中，∵sin∠CBE= ， ∴CE=200•sin45°=100 ≈141.4， ∴CF=CE+EF=141.4+400≈541（m）． 答：AB 段山坡高度为 400 米，山 CF 的高度约为 541 米． （2016·湖北荆门·6 分）如图，天星山山脚下西端 A 处与东端 B 处相距 800（1+ ）米，小 军和小明同时分别从 A 处和 B 处向山顶 C 匀速行走．已知山的西端的坡角是 45°，东端的坡 第 13 页 共 18 页 角是 30°，小军的行走速度为 米/秒．若小明与小军 同时到达山顶 C 处，则小明的行走速 度是多少？ 解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，设 AD=x 米，小明的行走速度是 a 米/秒， ∵∠A=45°，CD⊥AB，[来源:学#科#网 Z#X#X#K] ∴AD=CD=x 米， ∴AC= x． 在 Rt△BCD 中， ∵∠B=30°， ∴BC= = =2x， ∵小军的行走速度为 米/秒．若小明与小军同时到达山顶 C 处， ∴ = ，解得 a=1 米/秒． 答：小明的行走速度是 1 米/秒． 8.（2016·四川内江）(9 分)如图，禁渔期间，我渔政船在 A 处发现正北方向 B 处有一艘可疑 船只，测得 A，B 两处距离为 200 海里，可疑船只正沿南偏东 45°方向航行．我渔政船迅速 沿北偏东 30°方向前去拦截，经历 4 小时刚好在 C 处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的 平均速度(结果保留根号)． 第 14 页 共 18 页 北 C A B 30° 45° 北 C A B 30° 45° 答案图 H [考点]三角函数、解决实际问题。 解：如图，过点 C 作 CH⊥AB 于 H，则△BCH 是等腰直角三角形．设 CH＝x， 则 BH＝x，AH＝CH÷ tan 30°＝ 3 x．·······························································2 分 ∵AB＝200，∴x＋ 3 x＝200． ∴x＝ 200 3 1 ＝100( 3 －1)．·········································································· 4 分 ∴BC＝ 2 x＝100( 6 － 2 )．······································································ 6 分 ∵两船行驶 4 小时相遇， ∴可疑船只航行的平均速度＝100( 6 － 2 )÷4＝45( 6 － 2 )．·························· 8 分 答：可疑船只航行的平均速度是每小时 45( 6 － 2 )海里．································· 9 分 9．（2016·四 川 泸 州 ）如 图 ，为 了 测 量 出 楼 房 AC 的 高 度 ，从 距 离 楼 底 C 处 60 米 的 点 D（ 点 D 与 楼 底 C 在 同 一 水 平 面 上 ） 出 发 ， 沿 斜 面 坡 度 为 i=1： 的 斜 坡 DB 前 进 30 米 到 达 点 B，在 点 B 处 测 得 楼 顶 A 的 仰 角 为 53°，求 楼 房 AC 的 高 度 （ 参 考 数 据 ： sin53°≈0.8， cos53°≈0.6， tan53°≈ ， 计 算 结 果 用 根 号 表 示 ， 不 取 近 似 值 ） ． 解 ： 如 图 作 BN⊥CD 于 N， BM⊥AC 于 M． 在 RT△BDN 中 ， BD=30， BN： ND=1： ， ∴BN=15， DN=15 ， 第 15 页 共 18 页 ∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°， ∴四 边 形 CMBN 是 矩 形 ， ∴CM=BM=15， BM=CN=60 ﹣ 15 =45 ， [ 来 源 : Z # x x # k . C o m ] [ 来 源 : 学 | 科 | 网 Z | X | X | K ] 在 RT△ABM 中 ， tan∠ABM= = ， ∴AM=27 ， ∴AC=AM+CM=15+27 ． 10. （2016·云南省昆明市）如图，大楼 AB 右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼 DE，在小楼的顶端 D 处测得障碍物边缘点 C 的俯角为 30°，测得大楼顶端 A 的仰角为 45° （点 B，C，E 在同一水平直线上），已知 AB=80m，DE=10m，求障碍物 B，C 两点间的距 离（结果精确到 0.1m）（参考数据： ≈1.414， ≈1.732） 】解：如图，过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，过点 C 作 CH⊥DF 于点 H． 则 DE=BF=CH=10m， 在直角△ADF 中，∵AF=80m﹣10m=70m，∠ADF=45°， ∴DF=AF=70m． 在直角△CDE 中，∵DE=10m，∠DCE=30°， ∴CE= = =10 （m）， ∴BC=BE﹣CE=70﹣10 ≈70﹣17.32≈52.7（m）． 第 16 页 共 18 页 答：障碍物 B，C 两点间的距离约为 52.7m． 11. （2016·浙江省绍兴市·8 分）如图 1，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段 河的宽度，在河的南岸边点 A 处，测得河的北岸边点 B 在其北偏东 45°方向，然后向西走 60m 到达 C 点，测得点 B 在点 C 的北偏东 60°方向，如图 2． （1）求∠CBA 的度数． （2）求出这段河的宽（结果精确到 1m，备用数据 ≈1.41， ≈1.73）． 】解：（1）由题意得，∠BAD=45°，∠BCA=30°， ∴∠CBA=∠BAD﹣∠BCA=15°； （2）作 BD⊥CA 交 CA 的延长线于 D， 设 BD=xm， ∵∠BCA=30°， ∴CD= = x， ∵∠BAD=45°， ∴AD=BD=x， 则 x﹣x=60， 解得 x= ≈82， 答：这段河的宽约为 82m． 第 17 页 共 18 页 12．（2016 海南）如图，在大楼 AB 的正前方有一斜坡 CD，CD=4 米，坡角∠DCE=30°， 小红在斜坡下的点 C 处测得楼顶 B 的仰角为 60°，在斜坡上的点 D 处测得楼顶 B 的仰角为 45°，其中点 A、C、E 在同一直线上． （1）求斜坡 CD 的高度 DE； （2）求大楼 AB 的高度（结果保留根号） 解：（1）在 Rt△DCE 中，DC=4 米，∠DCE=30°，∠DEC=90°， ∴DE= DC=2 米； （2）过 D 作 DF⊥AB，交 AB 于点 F， ∵∠BFD=90°，∠BDF=45°， ∴∠BFD=45°，即△BFD 为等腰直角三角形， 设 BF=DF=x 米， ∵四边形 DEAF 为矩形， ∴AF=DE=2 米，即 AB=（x+2）米， 在 Rt△ABC 中，∠ABC=30°， ∴BC= = = = 米， BD= BF= x 米，DC=4 米， ∵∠DCE=30°，∠ACB=60°， ∴∠DCB=90°， 第 18 页 共 18 页 在 Rt△BCD 中，根据勾股定理得：2x2= +16， 解得：x=4+ 或 x=4﹣ ， 则 AB=（6+ ）米或（6﹣ ）米．