2011-2017新课标高考立体几何分类汇编文

2011-2017新课标高考立体几何分类汇编文

‎2011-2017新课标立体几何分类汇编（文科）‎ 一、选填题 ‎【2011新课标】8. 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】由正视图和俯视图可以判断此几何体前部分是一个的三棱锥，后面是一个圆锥，选D.‎ ‎【2011新课标】16. 已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 .‎ ‎【解析】由圆锥底面面积是这个球面面积的，得 所以，则小圆锥的高为，大圆锥的高为，所以比值为.‎ ‎【2012新课标】7．如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）‎ A．6 B．9 C．12 D．18‎ ‎【解析】由三视图知，其对应几何体为三棱锥，其底面为一边长为6，这边上高为3，棱锥的高为3，故其体积为=9，故选B.‎ ‎【2012新课标】8．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（ ） ‎ A．π B．4π C．4π D．6π ‎【解析】设求圆O的半径为R，则，.选B ‎【2013新课标1】11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)．‎ A．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π ‎【解析】该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．‎ V半圆柱＝π×22×4＝8π，V长方体＝4×2×2＝16.所以所求体积为16＋8π.故选A.‎ ‎【2013新课标1】15. 已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为______．‎ ‎【解析】如图，设球O的半径为R，‎ 则AH＝，OH＝. 又∵π·EH2＝π，∴EH＝1.‎ ‎∵在Rt△OEH中，R2＝，∴R2＝. ∴S球＝4πR2＝.‎ ‎【2013新课标2】9. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为(　　)．‎ ‎【解析】如图所示，该四面体在空间直角坐标系O－xyz的图像为下图：‎ 则它在平面zOx的投影即正视图为，故选A.‎ ‎【2013新课标2】15. 已知正四棱锥O－ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为__________．‎ ‎【解析】如图所示，在正四棱锥O－ABCD中，‎ VO－ABCD＝×S正方形ABCD·|OO1|＝××|OO1|＝，‎ ‎∴|OO1|＝，|AO1|＝，在Rt△OO1A中，‎ OA＝＝，‎ 即，∴S球＝4πR2＝24π.‎ ‎【2014新课标1】8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）‎ A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 ‎【解析】：根据所给三视图易知，对应的几何体是一个横放着的三棱柱. 选B ‎【2014新课标2】6. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6c m的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ C ）‎ ‎（A） （B） （C） (D) ‎ ‎【2014新课标2】7. 正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥的体积为（ C ）‎ ‎（A）3 （B） （C）1 （D）‎ ‎【2015新课标1】11. 圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r=（ B ）‎ ‎（A）1 (B) 2 (C) 4 (D) 8‎ ‎【2015新课标1】6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ B ）‎ A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 ‎【2015新课标2】6. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【解析】如图所示，选D.‎ ‎【2015新课标2】10. 已知A,B是球O的球面上两点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ）‎ A. 36π B. 64π C. 144π D.256π ‎【解析】因为A,B都在球面上，又所以三棱锥的体积的最大值为，所以R=6，所以球的表面积为S=π，故选C.‎ ‎【2016新课标1】7. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（ A ）‎ ‎（A）17π （B）18π （C）20π （D）28π ‎ ‎【2016新课标1】11. 平面过正文体ABCD—A1B1C1D1的顶点A，，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m，n所成角的正弦值为（ A ）‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎【2016新课标2】7. 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 A． B． C． D．‎ ‎【解析】因为正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为，所以正方体的外接球的半径为，所以球面的表面积为，故选A.‎ ‎【2016新课标2】4．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 A． B． C． D．‎ ‎【解析】因为原几何体由同底面一个圆柱和一个圆锥构成，所以其表面积为，故选C.‎ ‎【2016新课标3】（10）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ B ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C）90 （D）81‎ ‎【2016新课标3】（11）在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（ B ）‎ ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎【2017新课标1】6．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是（ A）‎ ‎【2017新课标1】16．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径。若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________。‎ ‎【2017新课标2】6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ B ） A.90 B.63 C.42 D.36 ‎ ‎【解析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，V=π•32×10﹣•π•32×6=63π，故选：B。‎ ‎【2017新课标2】15.长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 14π 。‎ ‎【解析】长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，可知长方体的对角线的长就是球的直径，所以球的半径为：=．‎ 则球O的表面积为：4×=14π，故答案为：14π。‎ ‎【2017新课标3】9. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 ( B )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】圆柱的高h=1,设圆柱的底面圆半径为r，则 。‎ ‎【2017新课标3】10. 在正方体中，为棱的中点，则（　C　）‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】平面 ,又,平面,又平面. ‎ 二、解答题 ‎【2011新课标】18．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD.‎ ‎（1）证明：PA⊥BD；‎ ‎（2）若PD=AD=1，求棱锥 D-PBC的高.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）因为∠DAB=60º，AB=2AD，由余弦定理得BD=3AD，从而BD2+AD2= AB2，故BD⊥AD，又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD，所以BD⊥平面PAD. 故PA⊥BD.‎ ‎（2）过D作DE⊥PB于E，由（I）知BC⊥BD，又PD⊥底面ABCD，所以BC⊥平面PBD，而DE平面PBD，故DE⊥BC,所以DE⊥平面PBC，由题设知PD=1，则BD=, PB=2，由DE·PB=PD·BD得DE=，即棱锥D-PBC的高为.‎ B A C D B1‎ C1‎ A1‎ ‎【2012新课标】19．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，，D是棱AA1的中点。‎ ‎（1） 证明：平面BDC1⊥平面BDC；‎ ‎（2）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C,∴BC⊥面ACC1A1，又∵DC1面ACC1A1，‎ ‎∴DC1⊥BC，由题设知∠A1DC1=∠ADC =45º，∴∠CDC1=90º,即DC1⊥DC，又∵DC∩BC=C, ‎ ‎∴DC1⊥面BDC，∵DC1面BDC1，∴面BDC⊥面BDC1 .‎ ‎（2）设棱锥B-DACC1的体积为，=1，由题意得，，由三棱柱ABC-A1B1C1的体积，∴，∴平面BDC1分此棱柱为两部分体积之比为1:1.‎ ‎【2013新课标1】19. 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.‎ ‎(1)证明：AB⊥A1C；‎ ‎(2)若AB＝CB＝2，A1C＝，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．‎ ‎【解析】‎ ‎(1)取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.‎ 因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，‎ 故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.‎ 因为OC∩OA1＝O，所以 AB⊥平面OA1C.‎ 又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.‎ ‎(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，‎ 所以OC＝OA1＝. 又A1C＝，则A1C2＝OC2＋，故OA1⊥OC.‎ 因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．‎ 又△ABC的面积S△ABC＝，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA1＝3.‎ ‎【2013新课标2】18. 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点。‎ ‎（1）证明：BC1∥平面A1CD ‎（2）求三棱锥C-A1DE的体积。‎ ‎【解析】‎ ‎(1)连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．‎ 又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF.‎ 因为DF⊂平面A1CD，BC1平面A1CD，‎ 所以BC1∥平面A1CD ‎(2)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.‎ 由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.‎ 又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1‎ 由AA1＝AC＝CB＝2，得∠ACB＝90°，，，，A1E＝3，‎ 故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D 所以VC－A1DE＝＝1‎ ‎【2014新课标1】19. 如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面.‎ ‎（1）证明：‎ ‎（2）若,求三棱柱的高.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）连结，则O为与的交点，因为侧面为菱形，所以^，又平面，故=平面，‎ 由于平面，故 ‎ ‎（2）作OD⊥BC,垂足为D,连结AD,作OH⊥AD,垂足为H,‎ 由于BC⊥AO,BC⊥OD,故BC⊥平面AOD,所以OH⊥BC.‎ 又OH⊥AD,所以OH⊥平面ABC.‎ 因为,所以△为等边三角形,又BC=1,可得OD=，由于，‎ 所以，由 OH·AD=OD·OA,且，得OH=‎ 又O为B1C的中点,所以点B1 到平面ABC 的距离为,故三棱柱ABC-A1B1C1 的高为。‎ ‎【2014新课标2】如图，四凌锥中，底面为矩形，面，为的中点。‎ ‎（1）证明：平面;‎ ‎（2）设置，，三棱锥的体积 ‎，求A到平面PBD的距离。‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设BD与AC的交点为，连接 因为ABCD为矩形，所以为BD的中点，‎ 又因为E为PD的中点，所以EO//PB 平面，平面，所以平面 ‎（2） ‎ 由题设知，可得，‎ 做交于 由题设知，所以，故，‎ 又 所以到平面的距离为。‎ ‎【2015新课标1】18. 如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.‎ ‎（1）证明：平面AEC⊥平面BED；‎ ‎（2）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥—ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积 ‎【解析】‎ ‎【2015新课标2】19. 如图,长方体中AB=16,BC=10,,点E,F分别在 上,过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.‎ ‎（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；‎ ‎（2）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）在AB上取点M,在DC上取点N，使得AM=DN=10,然后连接EM,MN,NF,即组成正方形EMNF，即平面α。‎ ‎（2）两部分几何体都是高为10的四棱柱，所以体积之比等于底面积之比，‎ 即 ‎【2016新课标1】18. 如图，在已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G。‎ ‎（1）证明G是AB的中点；‎ ‎（2）在答题卡第（18）题图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积。‎ ‎【解析】‎ ‎（1）因为在平面内的正投影为，所以 因为在平面内的正投影为，所以 所以平面，故 又由已知可得，，从而是的中点. ‎ ‎（2）在平面内，过点作的平行线交于点，即为在平面内的正投影.‎ 理由如下：由已知可得，，又,所以,因此平面，即点为在平面内的正投影. ‎ 连接，因为在平面内的正投影为，所以是正三角形的中心.‎ 由（1）知，是的中点，所以在上，故 由题设可得平面，平面，所以，因此 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且，可得 ‎ 在等腰直角三角形中，可得 ‎ ‎【2016新课标2】19. 如图，菱形的对角线与交于点，点，分别在，上，，交于点，将沿折到的位置．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，， ，，‎ 求五棱锥的体积．‎ ‎【试题分析】‎ ‎（1）先证，，再证平面，即可证；‎ ‎（2）先证，进而可证平面，再计算菱形和的面积，进而可得五棱锥的体积．‎ ‎【2016新课标3】（19） 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，‎ PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点. ‎ ‎（1）证明MN∥平面PAB;‎ ‎（2）求四面体N-BCM的体积.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由已知得，取的中点，‎ 连接，由为中点知 ‎. 又，故平行且等于，‎ 四边形为平行四边形，于是.‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）因为平面，为的中点，‎ 所以到平面的距离为. ‎ 取的中点，连结.由得，‎ 由得到的距离为，‎ 故 所以四面体的体积 ‎【2017新课标1】18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且 ‎（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎（2）若PA=PD=AB=DC,，且四棱锥P-ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积。‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由已知，得,‎ 由于，故，从而平面 又平面，所以平面平面 ‎（2）在平面内作，垂足为 由（1）知，平面，故，可得平面 设，则由已知可得，‎ 故四棱锥的体积，由题设得，故 从而，，‎ 可得四棱锥的侧面积为：‎ ‎【2017新课标2】18. 如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD, ∠BAD=∠ABC=90°。‎ ‎（1）证明：直线BC∥平面PAD；‎ ‎（2）若△PAD面积为2，求四棱锥P-ABCD的体积。‎ ‎【解析】‎ ‎（1）四棱锥P﹣ABCD中，∵∠BAD=∠ABC=90°‎ ‎∴BC∥AD，∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴直线BC∥平面PAD；‎ ‎（2）四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°。设AD=2x，则AB=BC=x，CD=，O是AD的中点，‎ 连接PO，OC，CD的中点为：E，连接OE，‎ 则OE=，PO=，PE==，‎ ‎△PCD面积为2，可得：=2，‎ 即：，解得x=2，PE=2，‎ 则V P﹣ABCD=×（BC+AD）×AB×PE==4。‎ ‎【2017新课标3】19. 如图，四面体中，是正三角形，‎ ‎（1）证明：‎ ‎（2）已知是直角三角形，,若为棱上与不重合的点，且，求四面体与四面体的体积比。‎ ‎【解析】‎ ‎（1）取中点，连接 ，‎ 且是中点。同理： ‎ 在平面中，‎ 又面， ‎ ‎（2）由题意，令，即 为中点，‎ 在直角中，，中有 又为中点 ‎