广东省佛山市高考数学一模试卷理科
2018年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 复数z1=1−2i2+i 5的实部为( )
A. −0 B. 0 C. 1 D. 2
2. 已知全集U=R，集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x2−2x>0}，则图1中阴影部分表示的集合为( )
A. {0，1，2} B. {1，2} C. {3，4} D. {0，3，4}
3. 若变量x，y满足约束条件y≤0x−2y−1≥0x−4y−3≤0，则z=3x−2y的最小值为( )
A. −1 B. 0 C. 3 D. 9
4. 已知x∈R，则“x2=x+2”是“x=x+2”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 把曲线C1：y=2sin(x−π6)上所有点向右平移π6个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的12，得到曲线C2，则C2( )
A. 关于直线x=π4对称 B. 关于直线x=5π12对称
C. 关于点(π12，0)对称 D. 关于点(π，0)对称
6. 已知tanθ+1tanθ=4，则cos2(θ+π4)=( )
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
7. 当m=5，n=2时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )
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A. 20 B. 42 C. 60 D. 180
1. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. 212 B. 15 C. 332 D. 18
2. 已知f(x)=2x+a2x为奇函数，g(x)=bx−log2(4x+1)为偶函数，则f(ab)=( )
A. 174 B. 52 C. −154 D. −32
3. △ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=5，B=π3，cosA=1114，则△ABC的面积S=( )
A. 1033 B. 10 C. 103 D. 203
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1. 已知三棱锥P−ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，∠BAC=90∘，AB=AC=4，PA=10，PC=2，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为( )
A. 24π B. 28π C. 32π D. 36π
2. 设函数f(x)=x3−3x2+2x，若x1，x2(x1
2，则f(x1)0，(ax−1)4(x+2)展开式中x2的系数为1，则a的值为______．
5. 设袋子中装有3个红球，2个黄球，1个篮球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个篮球得3分，现从该袋子中任取(有放回，且每球取得的机会均等)2个球，则取出此2球所得分数之和为3分的概率为______．
6. 双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左右焦点分别为F1，F2，焦距2c，以右顶点A为圆心，半径为a+c2的圆过F1的直线l相切与点N，设l与C交点为P，Q，若PQ=2PN，则双曲线C的离心率为______．
三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）
7. 已知各项均不为零的等差数列{an}的前n项和Sn.且满足2Sn=an2+λn，λ∈R．
(1)求λ的值；
(2)求数列{1a2n−1a2n+1}的前n项和Tn．
8. 有甲乙两家公司都愿意聘用某求职者，这两家公式的具体聘用信息如下：
甲公司
职位
A
B
C
D
月薪/元
6000
7000
8000
9000
获得相应职位概率
0.4
0.3
0.2
0.1
乙公司
职位
A
B
C
D
月薪/元
5000
7000
9000
11000
获得相应职位概率
0.4
0.3
0.2
0.1
(1)根据以上信息，如果你是该求职者，你会选择哪一家公司？说明理由；
(2)某课外实习作业小组调查了1000名职场人士，就选择这两家公司的意愿作了统计，得到如下数据分布：
人员结构
40岁以上(含
40岁以上(含
40岁以下男性
40岁以下女性
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选择意愿
40岁)男性
40岁)女性
选择甲公司
110
120
140
80
选择乙公司
150
90
200
110
若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的K2的观测值为k1=5.5513，测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析，选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k)
0.050
0.025
0.010
0.005
k
3.841
5.024
6.635
7.879
1. 如图，已知四棱锥P−ABCD中，AB//CD，AB⊥AD，AB=3，CD=4，AD=AP=4，∠PAB=∠PAD=60∘．
(1)证明：顶点P在底面ABCD的射影在∠BAD的平分线上；
(2)求二面角B−PD−C的余弦值．
2.
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已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点与抛物线C2：y2=82x的焦点F重合，且椭圆C1的右顶点P到F的距离为3−22；
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设直线l与椭圆C1交于A，B两点，且满足PA⊥PB，求△PAB面积的最大值．
1. 已知函数f(x)=(x−a)lnx+12x，(其中a∈R)
(1)若曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y=12x，求a的值；
(2)若12e0．
2. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=tcosαy=2+tsinα(t为参数，0≤α<π)，曲线C的参数方程为x=2cosβy=2+2cosβ(β为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)设C与l交于M，N两点(异于原点)，求|OM|+|ON|的最大值．
3. 已知函数f(x)=x|x−a|，a∈R．
(1)若f(1)+f(−1)>1，求a的取值范围；
(2)若a>0，对∀x，y∈(−∞，a]，都有不等式f(x)≤|y+54|+|y−a|恒成立，求a的取值范围．
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答案和解析
【答案】
1. B 2. A 3. A 4. B 5. B 6. C 7. C
8. C 9. D 10. C 11. D 12. B
13. −5
14. 12
15. 13
16. 2
17. 解：(1)因为数列{an}为等差数列，设an=An+B，
因为{an}的公差不为零，则Sn=(A+B+An+B)n2，所以2Sn=An2+(A+2B)n，
因为2Sn=an2+λn，λ∈R，所以An2+(A+2B)n=A2n2+(2AB+λ)n+B2，
所以A=A2A+2B=2AB+λB2=0A≠0⇒A=1B=0λ=1．
(2)由(1)知an=n，
所以1a2n−1a2n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，
所以Tn=12[(1−13)+(13−15)+…+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)=n2n+1．
18. 解：(1)设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量X，Y，
则E(X)=6000×0.4+7000×0.3+8000×0.2+9000×0.1=7000，
E(Y)=5000×0.4+7000×0.3+9000×0.2+11000×0.1=7000，
D(X)=(6000−7000)2×0.4+(7000−7000)2×0.3+(8000−7000)2×0.2+(9000−7000)2×0.1
=10002，
D(Y)=(5000−7000)2×0.4+(7000−7000)2×0.3+(9000−7000)2×0.2+(11000−7000)2×0.1
=20002，
则E(X)=E(Y)，D(X)5.024，根据表中对应值，
得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是0.025，
由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的2×2列联表如下：
选择甲公司
选择乙公司
总计
男
250
350
600
女
200
200
400
总计
450
550
1000
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计算K2=1000×(250×200−350×200)2600×400×450×550=2000297≈6.734，
且K2=6.734>6.635，
对照临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为0.01，
由0.01<0.025，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大．
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19. 解：(1)证明：设点O为点P在底面ABCD的射影，连接PA，AO，则PO⊥底面ABCD，
分别作OM⊥AB，ON⊥AD，垂直分别为M，N，连接PM，PN，
因为PO⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，所以PO⊥AB，
又OM⊥AB，OM∩OP=O，所以AB⊥平面OPM，PM⊂平面OPM，
所以AB⊥PM，
同理AD⊥PN，即∠AMP=∠ANP=90∘，
又∠PAB=∠PAD，PA=PA，所以△AMP≌△ANP，
所以AM=AN，又AO=AO，所以Rt△AMO≌Rt△ANP，
所以∠OAM=∠OAN，所以AO为∠BAD的平分线．
(2)以O为原点，分别以OM，ON，OP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，
因为PA=4，所以AM=2，因为AB⊥AD，AO为∠BAD的平分线，
所以∠OAM=450，OM=AM=2，AO=22，所以PO=PA2−AO2=22，
则B(2，1，0)，P(0，0，22)，D(−2，−2，0)，C(−2，4，0)，
所以DB=(4，3，0)，DP=(2，2，22)，DC=(0，6，0)
设平面BPD的一个法向量为n1=(x1，y1，z1)，
则n1⋅DB=4x1+3y1=0n1⋅DP=2x1+2y1+2z1=0，可取n1=(32，−42，1)，
设平面PDC的一个法向量为n2=(x2，y2，z2)，
则由n2⋅Dc=6y2=0n2⋅DP=2x1+2y1+22z1=0，可取n2=(2，0，−1)，
所以cos〈n1，n2>=n1⋅n2|n1|⋅|n2|=6−118+32+12+1=51751，
所以二面角B−PD−C的余弦值为51751．
20. 解：(1)设椭圆C1的半焦距为c，依题意，可得a>b，
且F(22，0)，c=22，a−c=3−22⇒a=3，b=1，
所以椭圆C1的方程为x29+y2=1．
(2)依题意，可设直线PA，PB的斜率存在且不为零，
不妨设直线PA：y=k(x−3)，则直线PB：y=−1k(x−3)，
联立：y=k(x−3)x29+y2=1得(1+9k2)x2−54k2x+(81k2−9)=0，
则|PA|=1+k2⋅61+9k2
同理可得：|PB|=1+1k2⋅61+9⋅1k2=1+k2⋅6k29+k2，
所以△PAB的面积为：S=12|PA||PB|=18(1+k2)k(1+9k2)(9+k2)=18(1+k2)k9(1+k2)2+64k2≤18(1+k2)k29(1+k2)2⋅64k2=38，
当且仅当3(k2+1)=8k，即k=4±73是面积取得最大值38．
21. 解：(1)f(x)的定义域为(0，+∞)，f′(x)=lnx−a2+32，
由题意知y0=12x0y0=(x0−a)lnx0+12x0lnx0−ax0+32=12，则(x0−a)lnx0=0lnx0−ax0+1=0，
解得x0=1，a=1或x0=a，a=1，所以a=1．
(2)令g(x)=f′(x)=lnx−ax+32，则g′(x)=1x+ax2，
因为12e0，即g(x)在(0，+∞)上递增，
以下证明在g(x)区间(a2，2a)上有唯一的零点x0，
事实上g(a2)=lna2−aa2+32=lna2−12，g(2a)=ln2a−a2a+32=ln2a+1，
因为12e单调递增，
故当x=x0时，f(x)取得最小值f(x0)=(x0−a)lnx0+12x0，
因为
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g(x0)=lnx0−ax0+32=0，即lnx0=ax0−32，
所以f(x0)=(x0−a)(ax0−32)+12x0=52x0−x0−a2x0，
即f(x0)=1x0(x0−a2)(2a−x0)>0．
∴f(x)>0．
22. 解：(1)∵曲线C的参数方程为x=2cosβy=2+2cosβ(β为参数)，
∴消去参数β，得曲线C的普通方程为x2+(y−2)2=4，
化简得x2+y2=4y，则ρ2=4ρsinθ，
所以曲线C的极坐标方程为ρ2=4ρsinθ．
(2)∵直线l的参数方程为x=tcosαy=2+tsinα(t为参数，0≤α<π)，
∴由直线l的参数方程可知，直线l必过点(0，2)，也就是圆C的圆心，则∠MON=π2，
不妨设M(ρ1，θ)，N(ρ2，θ+π2)，其中θ∈(0，π2)，
则|OM|+|ON|=ρ1+ρ2=4sinθ+4sin(θ+π2)=4(sinθ+cosθ)=42sin(θ+π4)，
所以当θ=π4，|OM|+|ON|取得最大值为42．
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23. 解：(1)f(1)+f(−1)=|1−a|−|1+a|>1，
若a≤−1，则1−a+1+a>1，得2>1，即a≤−1时恒成立，
若−11，得a<−12，即−11，得−2>1，即不等式无解，
综上所述，a的取值范围是(−∞，−12)．
(2)由题意知，要使得不等式恒成立，只需[f(x)]max≤[|y+54|+|y−a|]min，
当x∈(−∞，a]时，f(x)=−x2+ax，[f(x)]max=f(a2)=a24，
因为|y+54|+|y−a|≥|a+54|，所以当y∈[−54，a]时，[|y+54|+|y−a|]min=|a+54|=a+54，
即a24≤a+54，解得−1≤a≤5，结合a>0，所以a的取值范围是(0，5]．
【解析】
1. 解：z1=1−2i2+i 5=1−2i2+i=(1−2i)(2−i)(2+i)(2−i)=−5i5=−i，
∴复数z1=1+2i2+i的实部为0．
故选：B．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2. 解：∵全集U=R，集合A={0，1，2，3，4}，
B={x|x2−2x>0}={x|x>2或x<0}，
∴CUB={x|0≤x≤2}，
∴图中阴影部分表示的集合为A∩(CUB)={0，1，2}．
故选：A．
求出B={x|x2−2x>0}={x|x>2或x<0}，从而CUB={x|0≤x≤2}，图中阴影部分表示的集合为A∩(CUB)．
本题考查集合的求法，考查补集、并集及其运算、集合的包含关系判断及应用等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
3. 解：画出变量x，y满足约束条件y≤0x−2y−1≥0x−4y−3≤0可行域如图阴影区域：
目标函数z=3x−2y可看做y=32x−12z，即斜率为32，
截距为−12z的动直线，
数形结合可知，当动直线过点A时，z最小
由x−2y−1=0x−4y−3=0得A(−1，−1)
∴目标函数z=3x−2y的最小值为z=−3×0+2×1=−1．
故选：A．
先画出线性约束条件对应的可行域，再将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最小值．
本题主要考查了线性规划的思想方法和解题技巧，二元一次不等式组表示平面区域，数形结合的思想方法，属基础题
4. 解：“x2=x+2”，解得x=2或−1．
由“x=x+2”，解得x=2．
∴“x2=x+2”是“x=x+2”的必要不充分条件．
故选：B．
分别解出方程，即可判断出结论．
本题考查了方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
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5. 解：把曲线C1：y=2sin(x−π6)上所有点向右平移π6个单位长度，
可得y=2sin(x−π6−π6)=2sin(x−π3)的图象；
再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的12，得到曲线C2：y=2sin(2x−π3)的图象，
对于曲线C2：y=2sin(2x−π3)：
令x=π4，y=1，不是最值，故它的图象不关于直线x=π4对称，故A错误；
令x=5π12，y=2，为最值，故它的图象关于直线x=π4对称，故B正确；
令x=π12，y=−1，故它的图象不关于点(π12，0)对称，故C错误；
令x=π，y=−3，故它的图象不关于点(π，0)对称，故D错误，
故选：B．
利用y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得C2的方程，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．
本题主要考查y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
6. 解：由tanθ+1tanθ=4，
得sinθcosθ+cosθsinθ=4，即sin2θ+cos2θsinθcosθ=4，
∴sinθcosθ=14，
∴cos2(θ+π4)=1+cos(2θ+π2)2=1−sin2θ2
=1−2sinθcosθ2=1−2×142=14．
故选：C．
由已知求得sinθcosθ的值，再由二倍角的余弦及诱导公式求解cos2(θ+π4)的值．
本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．
7. 解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=5×4×3的值，
S=5×4×3=60．
故选：C．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键，属于基础题．
8. 解：由题意可知几何体的直观图为：多面体：A′B′C′−ABCD
几何体补成四棱柱，底面是直角梯形，底边长为3，高为3，
上底边长为1，
几何体的体积为：V棱柱−V棱锥=3×1+32×3−13×12×3×1×3=18−32
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=332．
故选：C．
画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．
本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．
9. 解：根据题意，f(x)=2x+a2x为奇函数，则有f(−x)+f(x)=0，
即(2x+a2−x)+(2x+a2−x)=0，解可得a=−1，
g(x)=bx−log2(4x+1)为偶函数，则g(x)=g(−x)，
即bx−log2(4x+1)=b(−x)−log2(4−x+1)，
解可得b=1，
则ab=−1，
f(ab)=f(−1)=2−1−12−1=−32；
故选：D．
根据题意，由于f(x)为奇函数，分析可得(2x+a2−x)+(2x+a2−x)=0，解可得a的值，又由g(x)为偶函数，分析可得bx−log2(4x+1)=b(−x)−log2(4−x+1)，解可得b的值，即可得ab的值，将ab的值代入函数f(x)的解析式，计算可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质与应用，关键是利用函数奇偶性的性质分析求出a、b的值．
10. 解：若a=5，B=π3，cosA=1114，
可得sinA=1−cos2A=5314，
由正弦定理可得b=asinBsinA=5×325314=7，
sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=5314×12+1114×32=437，
则△ABC的面积为S=12absinC=12×5×7×437=103．
故选C．
求得sinA，再由正弦定理可得b，运用两角和的正弦公式可得sinC，再由三角形的面积公式，计算可得所求值．
本题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查两角和的正弦公式，以及运算能力，属于基础题．
11. 解：取BC中点D，连结AD，过P作PE⊥平面ABC，交AC于E，过E作EF//BC，交AD于F，
以D为原点，DB为x轴，AD为y轴，过D作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则DA=DB=DC=1216+16=22，
AP2−AE2=AC2−CE2，即
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10−AE2=2−(4−AE)2，
解得AE=3，CE=1，PE=1，AF=EF=322，
则B(22，0，0)，P(−322，−22，1)，
设球心O(0，0，t)，则OB=OP，
∴(22−0)2+(0−t)2=(0+322)2+(0+22)2+(t−1)2，
解得t=−1，
∴三棱锥P−ABC外接球半径R=(22−0)2+(0+1)2=3，
∴三棱锥P−ABC外接球的表面积为：
S=4πR2=4π×9=36π．
故选：D．
取BC中点D，连结AD，过P作PE⊥平面ABC，交AC于E，过E作EF//BC，交AD于F，以D为原点，DB为x轴，AD为y轴，过D作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥P−ABC外接球半径，由此能求出三棱锥P−ABC外接球的表面积．
本题考查三棱锥外接球球的表面积的求法，考查向量法、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．
12. 解：函数g(x)=f(x)−λx，
∴g′(x)=f′(x)−λ，
令g′(x)=0，
∴f′(x)−λ=0，
即f′(x)=λ有两解x1，x2，(x1f(x2)；
②若0<λ<2，则f(x1)>f(x2)；
③若λ>2，则f(x1)0，即可．
本题考查函数的单调性以及函数的极值的求法，切线方程的应用，考查转化思想以及计算能力．
22. (1)曲线C的参数方程消去参数β，得曲线C的普通方程，由此能求出曲线C的极坐标方程．
(2)由直线l的参数方程可知，直线l必过圆C的圆心(0，2)，则∠MON=π2，设M(ρ1，θ)，N(ρ2，θ+π2)，则|OM|+|ON|=42sin(θ+π4)，当θ=π4，|OM|+|ON|取得最大值为42．
本小题考查曲线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．
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23. (1)利用f(1)+f(−1)=|1−a|−|1+a|>1，通过a≤−1，−1
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