2012备考高考教学案立体几何单元教师版全套

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文档介绍

2012备考高考教学案立体几何单元教师版全套

考纲导读 立体几何初步 ‎1.理解平面的基本性质,会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图、能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形,能根据图形想象它们的位置关系. ‎2.了解空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系. ‎3.掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理;理解直线和平面垂直的概念;掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理;掌握三垂线定理及其逆定理. ‎4.掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念;掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理. ‎5.了解多面体、凸多面体、正多面体的概念. ‎6.了解棱柱,棱锥的概念;了解棱柱,棱锥的性质;会画其直观图. ‎7.了解球的概念;掌握球的性质;掌握球的表面积、体积公式. 知识网络 直线、平面、简单几何体 三个公理、三个推论 平面 平行直线 异面直线 相交直线 公理4及等角定理 异面直线所成的角 异面直线间的距离 直线在平面内 直线与平面平行 直线与平面相交 空间两条直线 概念、判定与性质 三垂线定理 垂直 斜交 直线与平面所成的角 空间直线 与平面 空间两个平面 棱柱 棱锥 球 两个平面平行 两个平面相交 距离 两个平面平行的判定与性质 两个平面垂直的判定与性质 二面角 定义及有关概念 性质 综合应用 多面体 面积公式 体积公式 正多面体 高考导航 本章的定义、定理、性质多,为了易于掌握,可把主要知识系统化.首先,归纳总结,理线串点,可分为四块:A、平面的三个基本性质,四种确定平面的条件;B、两个特殊的位置关系,即线线,线面,面面的平行与垂直.C、三个所成角;即线线、线面、面面所成角;D、四个距离,即两点距、两线距、线面距、面面距. 其次,平行和垂直是位置关系的核心,而线面垂直又是核心中的核心,线面角、二面角、距离等均与线面垂直密切相关,把握其中的线面垂直,也就找到了解题的钥匙. 再次,要加强数学思想方法的学习,立体几何中蕴涵着丰富的思想方法,化空间图形为平面图形解决,化几何问题为坐标化解决,自觉地学习和运用数学思想方法去解题,常能收到事半功倍的效果. 第1课时 平面的基本性质 基础过关 公理1 如果一条直线上的 在同一个平面内,那么这条直线上的 都在这个平面内 (证明直线在平面内的依据). 公理2 如果两个平面有 个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是 (证明多点共线的依据). 公理3 经过不在 的三点,有且只有一个平面(确定平面的依据). 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面. 推论2 经过两条 直线,有且只有一个平面. 推论3 经过两条 直线,有且只有一个平面. 典型例题 例1.正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,对角线A‎1C与平面BDC1交于O,AC、BD交于点M. C O D A B M B1‎ C1‎ D1‎ A1‎ 求证:点C1、O、M共线. 证明: A‎1A∥CC1确定平面A‎1C A‎1C面A‎1C O∈面A‎1C O∈A‎1C 面BC1D∩直线A‎1C=O O∈面BC1D O在面A‎1C与平面BC1D的交线C‎1M上 ‎∴C1、O、M共线 变式训练1:已知空间四点A、B、C、D不在同一平面内,求证:直线AB和CD既不相交也不平行. 提示:反证法. 例2. 已知直线与三条平行线a、b、c都相交.求证:与a、b、c共面. 证明:设a∩l=A b∩l=B c∩l=C a∥b a、b确定平面α lβ ‎ A∈a, B∈b b∥cb、c确定平面β 同理可证lβ 所以α、β均过相交直线b、l α、β重合 cα a、b、c、l共面 R P Q α C B A 变式训练2:如图,△ABC在平面α外,它的三条边所在的直线AB、BC、CA分别交平面α于P、Q、R点.求证:P、Q、R共线. 证明:设平面ABC∩α=l,由于P=AB∩α,即P=平面ABC∩α=l, 即点P在直线l上.同理可证点Q、R在直线l上. ‎∴P、Q、R共线,共线于直线l. 例3. 若△ABC所在的平面和△A1B‎1C1所在平面相交,并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O,求证: (1) AB和A1B1、BC和B‎1C1分别在同一个平面内; ‎(2) 如果AB和A1B1,BC和B‎1C1分别相交,那么交点在同一条直线上.O C1‎ B1‎ A1‎ A B C 证明:(1) ∵AA1∩BB1=0,∴AA1与BB1确定平面α,又∵A∈a,B∈α,A1∈α,B1∈α,∴ABα,A1B1α,∴AB、A1B1在同一个平面内 同理BC、B‎1C1、AC、A‎1C1分别在同一个平面内 ‎(2) 设AB∩A1B1=X,BC∩B‎1C1=Y,AC∩A‎1C1=Z,则只需证明X、Y、Z三点都是平面A1B‎1C1与ABC的公共点即可. 变式训练3:如图,在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,E为AB中点,F为AA1中点, A B E C D F A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ 求证:(1) E、C.D1、F四点共面; ‎(2) CE、D‎1F、DA三线共点. 证明(1) 连结A1B 则EF∥A1B A1B∥D‎1C ‎∴EF∥D‎1C ∴E、F、D1、C四点共面 ‎(2) 面D‎1A∩面CA=DA ‎∴EF∥D‎1C 且EF=D‎1C ‎∴D‎1F与CE相交 又D‎1F面D‎1A,CE面AC ‎∴D‎1F与CE的交点必在DA上 ‎∴CE、D‎1F、DA三线共点. 例4.求证:两两相交且不通过同一点的四条直线必在同一平面内. 证明:(1) 若a、b、c三线共点P,但点pd,由d和其外一点可确定一个平面α 又a∩d=A ∴点A∈α ∴直线aα 同理可证:b、cα ∴a、b、c、d共面 ‎(2)若a、b、c、d两两相交但不过同一点 ‎∵a∩b=Q ∴a与b可确定一个平面β 又c∩b=E ∴E∈β 同理c∩a=F ∴F∈β ‎∴直线c上有两点E、F在β上 ∴cβ 同理可证:dβ 故a、b、c、d共面 由(1) (2)知:两两相交而不过同一点的四条直线必共面 变式训练4:分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线,为什么? 解:假设AC、BD不异面,则它们都在某个平面内,则A、B、C、D.由公理1知,.这与已知AB与CD异面矛盾,所以假设不成立,即AC、BD一定是异面直线。 小结归纳 ‎1.证明若干点共线问题,只需证明这些点同在两个相交平面. ‎2.证明点、线共面问题有两种基本方法:①先假定部分点、线确定一个平面,再证余下的点、线在此平面内;②分别用部分点、线确定两个(或多个)平面,再证这些平面重合. ‎3.证明多线共点,只需证明其中两线相交,再证其余的直线也过交点. 基础过关 第2课时 空间直线 基础过关 ‎1.空间两条直线的位置关系为 、 、 . ‎2.相交直线 一个公共点,平行直线 没有公共点, 异面直线:不同在任 平面,没有公共点. ‎3.公理4:平行于同一条直线的两条直线互相 . ‎4.等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两角 . ‎5.异面直线的判定定理 过平面外一点与平面内一点的直线和平面内 的直线是异面直线(作用:判定两条直线是异面直线) ‎6.异面直线的距离:和两条异面直线 的直线称为异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在 的长度,叫两异面直线的距离. 典型例题 例1. 如图,在空间四边形ABCD中,AD=AC=BC=BD=a,AB=CD=b,E、F分别是AB、CD的中点. ‎(1) 求证:EF是AB和CD的公垂线; A E B C F D ‎(2) 求AB和CD间的距离. 证明:(1) 连结CE、DE ‎ AB⊥面CDE ‎∴AB⊥EF 同理CD⊥EF ‎∴EF是AB和CD的公垂线 ‎(2) △ECD中,EC==ED ‎∴EF= 变式训练1:在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别为AB、CD的中点,EF=,求AD、BC所成角的大小. 解:设BD的中点G,连接FG,EG。在△EFG中 EF= FG=EG=1 B M A N C S ‎∴∠EGF=120° ∴AD与BC成60°的角。 例2. S是正三角形ABC所在平面外的一点,如图SA=SB=SC, 且ASB=BSC=CSA=,M、N分别是AB和SC的中点. 求异面直线SM与BN所成的角.‎ 证明:连结CM,设Q为CM的中点,连结QN 则QN∥SM ‎∴∠QNB是SM与BN所成的角或其补角 连结BQ,设SC=a,在△BQN中 BN= NQ=SM=a BQ=‎ ‎∴COS∠QNB=‎ ‎∴∠QNB=arc cos 变式训练2:正ABC的边长为a,S为ABC所在平面外的一点,SA=SB=SC=a,E,F分别是SC和AB的中点.‎ ‎(1) 求异面直线SC和AB的距离;‎ ‎(2) 求异面直线SA和EF所成角.‎ 答案:(1) (2) 45°‎ P C1‎ D1‎ M B1‎ A1‎ D N C B A 例3. 如图,棱长为1的正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,M、N、P 分别为A1B1、BB1、CC1的中点.‎ ‎(1) 求异面直线D1P与AM,CN与AM所成角;‎ ‎(2) 判断D1P与AM是否为异面直线?若是,求其距离.‎ 解:(1) D1P与AM成90°的角 CN与AM所成角为arc cos.‎ ‎(2) 是.NP是其公垂线段, D1P与AN的距离为1.‎ 变式训练3:如图,在直三棱柱ABC-A1B‎1C1中,‎ ‎∠BCA=90°,M、N分别是A1B1和A‎1C1的中点,‎A C B N M A1‎ C1‎ B1‎ 若BC=CA=CC1,求NM与AN所成的角.‎ 解:连接MN,作NG∥BM交BC于G,连接AG,‎ 易证∠GNA就是BM与AN所成的角.‎ 设:BC=CA=CC1=2,则AG=AN=,GN=B‎1M=,‎ cos∠GNA=。‎ 例4.如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底 C D B E F A M P 面ABCD,AE⊥PD,EF∥CD,AM=EF.‎ ‎(1) 证明MF是异面直线AB与PC的公垂线;‎ ‎(2) 若PA=3AB,求直线AC与平面EAM所成角的正弦值.‎ ‎(1)证明:∵EF∥CD AM∥CD ‎∴ AM∥EF,又AM=EF ∴ AMFE为平行四边形 ‎∵ AB⊥PA,AB⊥AD ∴ AB⊥面PAD ‎∴ AB⊥AE,又AE∥MF,∴ AB⊥MF 又∵AE⊥PD CD⊥AE ∴ AE⊥面PCD ‎∴ AE⊥PC ∴ MF⊥PC ∴ MF为AB与PC的公垂线.‎ ‎(2) 设AB=1,则PA=3,建立如图所示坐标系.由已知得=(0,,),‎ ‎=(1,0,0)‎ 面MFEA的法向量为=(0,1,-3),=(1,1,0),cos<,>=.∴ AC与面EAM所成的角为-arc cos,其正弦值为.‎ 变式训练4:如图,在正方体中,‎ E、F分别是、CD的中点.‎ ‎(1)证明;‎ ‎(2)求与所成的角。‎ ‎(1)证明:因为AC1是正方体,所以AD⊥面DC1‎ ‎ 又DF1DC1,所以AD⊥D‎1F. ‎ ‎(2)取AB中点G,连结A‎1G,FG, ‎ ‎ 因为F是CD的中点,所以GF∥AD,‎ 又A1D1∥AD,所以GF∥A1D1,‎ 故四边形GFD‎1A1是平行四边形,A‎1G∥D‎1F。‎ 设A‎1G与AE相交于H,则∠A‎1HA是AE与D‎1F所成的角。‎ 因为E是BB1的中点,所以Rt△A1AG≌△ABE, ∠GA‎1A=∠GAH,从而∠A‎1HA=90°,‎ 即直线AE与D‎1F所成的角为直角。‎ 小结归纳 ‎1.求两条异面直线所成角的步骤:(1)找出或作出有关角的图形;(2)证明它符合定义;‎ ‎(3)求角.‎ ‎2.证明两条直线异面的常用方法:反证法、定义法(排除相交或平行)、定理法.‎ ‎3.求异面直线间距离的方法:作出公垂线段,向量法.‎ 基础过关 第3课时 直线和平面平行 ‎1.直线和平面的位置关系 、 、 .‎ 直线在平面内,有 公共点.‎ 直线和平面相交,有 公共点.‎ 直线和平面平行,有 公共点.‎ 直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外.‎ ‎2.直线和平面平行的判定定理 如果平面外 和这个平面内 平行,那么这条直线和这个平面平行.‎ ‎(记忆口诀:线线平行 线面平行)‎ ‎3.直线和平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面 ,经过 平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.(记忆口诀:线面平行 线线平行)‎ B C A P M 典型例题 例1.如图,P是ABC所在平面外一点,MPB,‎ 试过AM作一平面平行于BC,并说明画法的理论依据.‎ 解:在平面PBC内过M点作MN∥BC,交PC于N点,‎ 连AN则平面AMN为所求 根据线面平行的性质定理及判定定理 变式训练1:在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,M、N分别是A1B和AC上的点,且A‎1M=AN.‎ 求证:MN∥平面BB‎1C1C.‎ 证明:在面BA1内作MM1∥A1B1交BB1于M1‎ 在面AC内作NN1∥AB交BC于N1‎ 易证MM1 NN1即可 例2. 设直线a∥,P为内任意一点,求证:过P且平行a的直线必在平面内.‎ 证明:设a与p确定平面β,且α∩β=a' ,则a'∥a 又a∥l l∩a'=p ‎∴a与a'重合 ∴lα 变式训练2:求证:如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线和它们的交线平行.‎ 解:已知α∩β=l a∥α a∥β 求证:a∥l 证明:过a作平面γ交平面α于b,交平面β于C,‎ ‎∵a∥α,∴a∥b 同理,∵a∥β ∴a∥c ∴b∥c 又∵bβ 且cβ ∴b∥β 又平面α经过b交β于l ‎∴b∥l且a∥b ∴a∥l 例3. 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧菱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.‎ B A D C E P ‎( 1 ) 证明:PA∥平面EDB;‎ ‎( 2 ) 求EB与底面ABCD所成的角的正切值.‎ ‎ (1 ) 证明:提示,连结AC交BD于点O,连结EO.‎ ‎( 2) 解:作EF⊥DC交DC于F,连结BF.‎ 设正方形ABCD的边长为a.∵ PD⊥底面ABCD,∴PD⊥DC.‎ ‎∴ EF∥PD,F为DC的中点.∴EF⊥底面ABCD,‎ BF为BE在底面ABCD内的射影,‎ ‎∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角.‎ A E F B H G C D 在Rt△BCF中,BF=‎ ‎∵ EF=PD=,∴ 在Rt△EFB中,‎ tan∠EBF=.所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为.‎ 变式训练3:如图,在四面体中截面EFGH平行于对棱 AB和CD,试问:截面在什么位置时,其截面的面积最大?‎ 解:易证截面EFGH是平行四边形 设AB=a CD=b ∠FGH=α(a、b为定值,α为异面直线AB与CD所成的角)‎ 又设FG=x GH=y 由平几得 ‎ ‎∴=1 ∴y=(a-x)‎ ‎∴S□ EFGH=FG·GH·sinα=x·(a-x)sinα ‎=x(a-x)‎ ‎∵x>‎0 a-x>0 且x+(a-x)=a为定值 ‎∴当且仅当 x=a-x 即x=时(S□ EFGH)max=‎ 例4.已知:ABC中,ACB=90°,D、E分别为AC、AB的中点,沿DE将ADE折起使A到A'的位置,若平面A'DE⊥面BCDE,M是A'B的中点,求证:ME∥面A'CD.‎ 证明:取A'C的中点N,连MN、DN,‎ 则MN BC,DE BC ‎∴MN DE ∴ME∥ND 又ME面A'CD ND面A'CD ‎∴ME∥面A'CD 变式训练4: (2005年北京)如图,在直三棱柱ABC-A1B‎1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.‎ ‎( 1 ) 求证:AC⊥BC1;‎ ‎(2) 求证:AC1∥平面CDB1;‎A D B B1‎ C1‎ A1‎ C ‎(3) 求异面直线AC1与B‎1C所成角的余弦值.‎ 解:(1)直三棱柱ABC-A1B‎1C1,底面三边长AC=3,BC=4,AB=5.‎ ‎∴AC⊥BC,且BC1在平面ABC内的射影为BC,∴AC⊥BC1;‎ ‎(2)设CB1与C1B的交点为E,连结DE,∵D是AB的中点,E是BC1的中点,∴DE∥AC1‎ ‎∴DE平面CDB1,AC1平面CDB1,∴AC1∥平面CDB1;‎ ‎(3)∵DE∥AC1,∴CED为AC1与B‎1C所成的角,在△CED中,ED=AC1=,CD=AB=,CE=CB1=2,∴cos∠CED = ‎ ‎∴异面直线AC1与B‎1C所成角的余弦值为.‎ 小结归纳 ‎1.证明直线和平面平行的方法有:(1)依定义采用反证法;(2)判定定理;(3)面面平行性质;(4)向量法.‎ ‎2.辅助线(面)是解、证有关线面问题的关键,要充分发挥在化空间问题为平面问题的转化作用.‎ 基础过关 第4课时 直线和平面垂直 ‎1.直线和平面垂直的定义 如果一条直线和一个平面的 直线垂直,那么这条直线和这个平面互相垂直.‎ ‎2.直线和平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的 直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.‎ ‎3.直线和平面垂直性质 若a⊥,b则 ‎ 若a⊥,b⊥则 ‎ 若a⊥,a⊥则 ‎ 过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.‎ ‎4.点到平面距离 过一点作平面的垂线 叫做点到平面的距离.‎ ‎5.直线到平面的距离 一条直线与一个平面平行时,这条直线上 到这个平面的距离叫做直线到平面距离.‎ 典型例题 例1. OA、OB、OC两两互相垂直,G为ABC的垂心.求证:OG平面ABC.‎ B A C O G 证明:∵OA、OB、OC两两互相垂直 ‎∵OA⊥平面OBC ∴OA⊥BC 又G为△ABC的垂心 ‎ ‎∴ AG⊥BC, ∴ BC⊥面OAG ‎∴BC⊥OG 同理可证:AC⊥OG 又BC∩AC=C ‎∴OG⊥平面ABC S A B C F E 变式训练1:如图SA⊥面ABC,∠ABC=90°,AE⊥SB,且SB∩AE=E,AF⊥SC,且AF∩SC=F,求证:(1) BC⊥面SAB;(2) AE⊥面SBC;(3) SC⊥EF.‎ 证明:(1) BC⊥面SAB ‎(2) 由(1)有AE⊥面SBC ‎(3) 由(2)有SC⊥面AEFSC⊥EF 例2 如图,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分别是AB、PC中点.‎ ‎(1) 求证:MN⊥CD;‎ ‎(2) 若PDA=45°,求证:MN⊥面PCD.‎ P M B C D A N 证明:(1) 连AC取中点O,连NO、MO,并且MO交CD于R ‎∵N为PC中点 ∴NO为△PAC的中位线 NO∥PA 而PA⊥平面ABCD ∴NO⊥平面ABCD ‎∴MN在平面ABCD的射影为MO,又ABCD是矩形 M为AB中点,O为AC中点 ∴MO⊥CD ‎∴CD⊥MN ‎(2) 连NR,则∠NRM=45°=∠PDA 又O为MR的中点,且NO⊥MR ‎∴△MNR为等腰三角形 且∠NRM=∠NMR=45°‎ ‎∴∠MNR=90° ∴MN⊥NR 又MN⊥CD ‎∴MN⊥平面PCD 变式训练2:PD垂直于平面ABCD所在平面,PB⊥AC,PA⊥AB.‎ ‎ 求证:① ABCD是正方形;② PC⊥BC.‎ 证明:略 P D A B C F E 例3.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD,E、F分别为CD、PB的中点.‎ ‎(1) 求证:EF⊥平面PAB;‎ ‎(2) 设AB=BC,求AC与平面AEF所成的角的大小.‎ (1) 证明:连结EP.∵PD⊥底面ABCD,DE在 平面ABCD中,∴PD⊥DE,又CE=ED,PD=AD=BC,‎ ‎∴Rt△BCE≌Rt△PDE,∴PE=BE ‎∵F为PB中点,∴EF⊥PB.‎ 由垂线定理得PA⊥AB,∴在Rt△PAB中,PF=AF,又PE=BE=EA,∴△EFP≌△EFA,‎ ‎∴EF⊥FA.‎ ‎∵ PB、FA为平面PAB内的相交直线,∴EF⊥平面PAB.‎ ‎(2) 解:不防设BC=1,则AD=PD=1,AB=,PA=,AC=.∴△PAB为等腰直角三角形.且PB=2,F是其斜边中点,BF=1,且AF⊥PB.∵PB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直.∴PB⊥平面AEF.连结BE交AC于G,作GH∥BP交EF于H,则GH⊥平面AEF.‎ ‎∠GAH为AC与平面AEF所成的角.‎ 由△EGC∽△BGA可知EG=GB,EG=EB,AG=AC=.‎ 由△EGH∽△BGF可知GH=BF=‎ ‎∴sin∠GAH=‎ ‎∴AC与面AEF所成的角为arc sin.‎ 变式训练3:如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,BAD=BDC=90°,AB=AD=3,BC=2CD.求:‎ ‎(1) 求AC的长;‎ ‎(2) 求证:平面ABC⊥平面ACD;‎ ‎(3) 求D点到平面ABC的距离d.‎ A B D C 解:(1) (2)略.‎ ‎(3)因VA-DBC=(DC×BD)×OA=6,‎ 又VD-ABC=(AB×AC)×d=d,‎ VA-BCD=VD-ABC,则d=6,解得d=.‎ 例4:如图,棱长为4的正方体AC1,O是正方形A1B‎1C1D1的中心,点P在棱CC1上,且CC1=4CP.‎ A1‎ C1‎ D1‎ A B C D P H O B1‎ ‎(1) 求直线AP与平面BCC1B1所成角的大小;‎ ‎(2) 设O点在平面D1AP上的射影是H,求证:D1HAP;‎ ‎(3) 求点P到平面ABD1的距离.‎ 答案: (1) ∠APB=arctan ‎(2) AP在面AC上的射影为AC 又AC⊥BD ‎∴PA⊥BD 而BD∥B1D1 ∴B1D1⊥AP 而B1D1在平面D1AP上的射影为D1H ∴D1H⊥AP ‎(3) 面ABD1⊥面BC1 过P作PM⊥BC1于M 则PM=‎ 变式训练4:三棱锥V-ABC的三条侧棱VA、VC两两垂直,顶点V在底面内的射影是H.‎ ‎(1) 求证H是△ABC的垂心;‎ ‎(2) .‎V E H A C B D ‎(1) 证明:连结AH交BC于D点,连接CH交AB于E点,‎ ‎∵VA⊥VB,VA⊥VC,VB∩VC=V,‎ ‎∴VA⊥VBC面,又BCVBC面,∴BC⊥VA.‎ ‎∵VH⊥ABC面,BCABC面,‎ ‎∴BC⊥VH,又VA∩VH=A,∴BC⊥VHA面.‎ 又ADVHA面,∴AD⊥BC,同理可得CE⊥AB,‎ ‎∴H是△ABC的垂心.‎ ‎(2) 连接VE,在Rt△VEC中,VE2=EH×EC AB2×VE2=AB2×EH×EC,‎ 即.‎ 小结归纳 线面垂直的判定方法:(1) 线面垂直的定义; (2)判定定理;‎ ‎(3) 面面垂直的性质; (4) 面面平行的性质:若∥,a⊥则a ⊥‎ 基础过关 第5课时 三垂线定理 基础过关 ‎1.和一个平面相交,但不和这个平面 ‎ 的直线叫做平面的斜线,斜线和平面的交点叫做 .‎ ‎2.射影(1) 平面外一点向平面引垂线的 叫做点在平面内的射影;‎ ‎(2) 过垂足和斜足的直线叫斜线在平面内的 .‎ 斜线上任意一点在平面上的射影一定在 .‎ 垂线在平面上的射影只是 .‎ 直线和平面平行时,直线在平面上的射影是和该直线 的一条直线.‎ C O B A ‎3.如图,AO是平面斜线,A为斜足,OB⊥,B 为垂足,AC,∠OAB=,BAC=,‎ ‎∠OAC=,则cos= .‎ ‎4.直线和平面所成的角 平面的斜线和它在这个平面内的 所成 的 叫做这条直线和平面所成角.‎ 斜线和平面所成角,是这条斜线和平面内任一条直线所成角中 .‎ ‎5.三垂线定理:在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的 垂直,那么它也和 垂直.‎ 逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条 垂直,那么它也和这条 垂直.‎ 典型例题 例1. 已知RtABC的斜边BC在平面内,A到的距离2,两条直角边和平面所成角分别是45°和30°.求:(1) 斜边上的高AD和平面所成的角;‎ ‎(2) 点A在内的射影到BC的距离.‎ 答案:(1) 60° (2)‎ 变式训练1:如图,道旁有一条河,河对岸有电塔AB,塔顶A到道路距离为AC,且测得∠BCA=30°,在道路上取一点D,又测得CD=‎30m,∠CDB=45°.求电塔AB的高度.‎ D A B C 解:BC=30,AB=BC tan30°=10‎ 例2.如图,矩形纸片A‎1A2A3A4,B、C、B1、C1‎ 分别为A‎1 A4、A‎2A3的三等分点,将矩形片沿 B1‎ A1 B C A4‎ A1‎ A2 B‎1 C1 A3‎ A2‎ C1‎ C B BB1,CC1折成三棱柱,若面对角线A1B1BC1;‎ 求证:A2CA1B1.‎ 解:取A2B1中点D1 ∵A‎2C1=B‎1C1 ∴C1D1⊥A2B1‎ 又A‎1A2⊥面A2B‎1C1 ∴C1D1⊥A‎1A2‎ ‎∴C1D1⊥面A‎1A2B1B ∴BD1是BC1在面A2B上的射影 由A1B1⊥BC1 ∴BD1⊥A1B1‎ 取A1B中点D 同理可证A2D是A‎2C在面A2B上的射影 ‎∵A2DBD1 ∴A2DBD1是平行四边形 由BD1⊥A1B1 ∴A1B1⊥A2D ‎∴A‎2C⊥A1B1 ‎ A1‎ C1‎ B1‎ M N C P B A 变式训练2:如图,在正三棱柱ABC-A1B‎1C1中,AB=3,AA1=4,M为AA1中点,P是BC上一点,且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长,设这条最短路线与CC1交点N,求:‎ ‎(1) PC和NC的长;‎ ‎(2) 平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)大小.‎ 解:将侧面BB‎1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面 AA‎1C1C在同一平面上,点P运动到点P1的位置,‎ 连接MP1,则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线 设PC=x,则P‎1C=x,在Rt△MAP1中,由勾股定理得x=2‎ ‎∴PC=P‎1C=2 ∵ ∴NC=‎ ‎(2) 连接PP1,则PP1就是平面NMP与平面ABC的交线,作NH⊥PP1于H,又CC1⊥平面ABC,连结CH,由三垂线定理得CH⊥PP1‎ ‎∴∠NHC就是平面NMP与平面ABC所成的平面角(锐角)‎ 在Rt△PHC中 ∵∠PCH=∠PCP1=60° ‎ ‎∴CH==1‎ D1‎ C1‎ B1‎ A1‎ B A D F C E 在Rt△PHC中 tanNHC=‎ 故平面NMP与平面ABC所成二面角大小为arctan 例3.如图在棱长为1的正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,‎ 点E是棱BC的中点,点F是棱CD上的动点.‎ ‎(1) 试确定点F的位置,使得D1E面AB‎1F;‎ ‎(2) 当D1E面AB‎1F时,求二面角C1-EF-A大小.‎ 解:(1) 连结A1B,则A1B是D1E在面ABB‎1A1内的射影 ‎∵AB1⊥A1B ∴D1E⊥AB1‎ 于是D1E⊥平面AB‎1F D1E⊥AF 连结DE,则DE是D1E在底面ABCD内的射影 ‎∴D1E⊥AFDE⊥AF ‎∵ABCD是正方形,E是BC的中点 ‎∴当且仅当F是CD的中点时,DE⊥AF 即当点F是CD的中点时,D1E⊥面AB‎1F ‎(2) 当D1E⊥平面AB‎1F时,由(1) 知点F是CD的中点,又已知点E是BC的中点,连结EF,则EF∥BD连AC,设AC与EF交点H,则CH⊥EF,连C1H,则CH是C1H在底面ABCD内的射影 ‎∴C1H⊥EF ‎ 即∠C1HC是二面角C1-EF-C的平面角 在Rt△C1HC中 ∵C‎1C=1 CH=AC=‎ ‎∴tan∠C1HC= ‎ ‎∴∠C1HC=arctan 2‎ ‎∴∠AHC1=π-arctan2‎ 变式训练3:正方体ABCD-A1B‎1C1D1中棱长a,点P在AC上,Q在BC1上,AP=BQ=a,‎ ‎(1) 求直线PQ与平面ABCD所成角的正切值;‎ ‎(2) 求证:PQ⊥AD.‎ ‎(1) 解:过Q作QM∥CC1交BC于M 则QM⊥面ABCD ∴∠QPM就是所求角 ‎∵即 ∴‎ ‎ ∴ ∴PM∥AB 在Rt△PQM中 PM= QM=‎ ‎∴tan∠QPM===+1‎ ‎(2) 由(1) 可知PM⊥BC PQ在面ABCD内的射影是PM.‎ ‎∴PQ⊥BC 又AD∥BC ∴PQ⊥AD 例4.如图,在长方体ABCD-A1B‎1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动.‎ ‎(1) 证明:D1E⊥A1D;‎ ‎(2) 当E为AB的中点时,求点E到面ACD1的距离;‎A A1‎ C1‎ D1‎ B C E D B1‎ ‎(3) AE等于何值时,二面角D1-EC-D的大小为.‎ ‎ ‎ ‎ (1) 证明:∵ AE⊥平面AA1DD1,A1D⊥AD1,∴A1D⊥D1E.‎ ‎(2) 设点E到面ACD1的距离为h,在△ACD1中,AC=CD1=,AD1=,=··=,而=·AE·BC=.‎ ‎∴=·DD1=·h ‎∴×1=×h, ∴h=‎ ‎(3) 过D作DH⊥CE于H,连D1H、DE,则D1H⊥CE,∴∠DHD1为二面角D1-EC-D的平面角.设AE=x,则BE=2-x 在Rt△D1DH中,∵∠DHD1=,∴DH=1‎ ‎∵在Rt△ADE中,DE=,∴在Rt△DHE中,EH=x,在Rt△DHC中,CH=,CE=,则x+=,解得x=2-.‎ 即当x=2-时,二面角为D1-EC-D的大小为.‎ P A B C D 变式训练4:如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,且PD=a,PA=PC=a.‎ ‎(1) 求证:PD⊥面ABCD;‎ ‎(2) 求直线PB与AC所成角;‎ ‎(3) 求二面角A-PB-D大小.‎ 证明:(1) ∵PC=a PD=DC=a ‎ ‎∴PD2+DC2=PC2‎ ‎∴△PDC是直角三角形 ∴PD⊥DC 同理PD⊥DA 又∵DA∩DC=D ‎∴PD⊥平面ABCD ‎(2) 连BD ∵ABCD是正方形 ∴AC⊥BD 又∵PD⊥平面ABCD AC⊥PB(三垂线定理)‎ ‎∴PB与AC所成角为90°‎ ‎(3) 设AC∩BD=0 作AE⊥PB于E,连OE ‎∵AC⊥BD PD⊥平面ABCD AC面ABCD ‎∴PD⊥AC ∴AC⊥平面PDB 又∵OE是AE在平面PDB内的射影 ‎∴OE⊥PB ‎ ‎∴∠AEO就是二面角A-PB-O的平面角 又∵AB=a PA= PB=‎ ‎∵PD⊥面ABCD DA⊥AB ∴ PA⊥AB 在Rt△PAB中 AE·PB=PA·AB ‎ ‎∴AE= AO=‎ 小结归纳 ‎∴sin∠AEO= ∴∠AEO=60°‎ ‎1.求直线和平面所成的角的一般步骤是一找(作),二证,三算.寻找直线在平面内的射影是关键,基本原理是将空间几何问题转化为平面几何问题,主要转化到一个三角形内,通过解三角形来解决.‎ ‎2.三垂线定理及逆定理,是判定两条线互相垂直的重要方法,利用它解题时要抓住如下几个环节:一抓住斜线,二作出垂线,三确定射影.‎ ‎3.证明线线垂直的重要方法:三垂线定理及逆定理;线⊥面线⊥线;向量法.‎ 基础过关 第6课时 平面与平面平行 基础过关 ‎1.两个平面的位置关系: ‎ ‎2.两个平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条 直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行.‎ ‎(记忆口诀:线面平行,则面面平行)‎ ‎3、两个平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它所有的 平行.‎ ‎(记忆口诀:面面平行,则线线平行)‎ ‎4.两个平行平面距离 和两个平行平面同时 的直线,叫做两个平面的公垂线,公垂线夹在平行平面间的部分叫做两个平面的 ,两个平行面的公垂线段的 ,叫做两个平行平面的距离.‎ 典型例题 A1‎ A B C B1‎ C1‎ E F M N D1‎ D 例1.如图,正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B‎1C1、C1D1中点.‎ ‎(1) 求证:平面AMN∥平面EFDB;‎ ‎(2) 求异面直线AM、BD所成角的余弦值.‎ 解:(1) 易证EF∥B1D1 MN∥B1D1 ∴EF∥MN AN∥BE 又MN∩AN=N EF∩BE=E ‎∴面AMN∥面EFDB ‎(2) 易证MN∥BD ∴∠AMN为AM与BD所成角 易求得 cos∠AMN=‎ B D β α A C O 变式训练1:如图,∥,AB交、于A、B,‎ CD交、 于C、D,ABCD=O,O在两平面之间,‎ AO=5,BO=8,CO=6.求CD.‎ 解:依题意有AC∥DB 即 ‎∴OD= ∴CD=+6=‎ 例2 . 已知平面∥平面,AB、CD是夹在平面和平面间的两条线段,点E、F分别在AB、CD上,且.求证:EF∥∥.‎ 证明:1°若AB与CD共面,设AB与CD确定平面γ,则α∩γ=AC β∩γ=BD ‎∵α∥β ∴AC∥BD 又∵‎ ‎∴EF∥AC∥BD ∴EF∥α∥β ‎2°若AB与CD异面,过A作AA'∥CD 在AA'截点O,使 ‎ ‎∴EO∥BA' OF∥A'D ‎∴平面EOF∥α∥β ∴EF与α、β无公共点 ‎∴EF∥α∥β 变式训练2:在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,M、N、P分别是CC1、B‎1C1、C1D1的中点.‎ 求证:(1) APMN;‎ ‎(2) 平面MNP∥平面A1BD.‎ 证明:(1) 连BC1 易知AP在BCC1B1内射影是BC1‎ BC1⊥MN ∴AP⊥MN ‎(2) ∵面MNP∥面A1BD 例3.已知a和b是两条异面直线.‎ ‎(1) 求证:过a和b分别存在平面α和β,使α∥β;‎ ‎(2) 求证:a、b间的距离等于平面α与β的距离.‎ ‎(1) 在直线a上任取一点P,过P作b'∥b,在直线b上取一点Q 过Q作a'∥a 设a, b'确定一个平面α a', b确定平面β a'∥a aα ∴a'∥α 同理b∥α 又a'、bβ ∴α∥β 因此,过a和b分别存在两个平面α、β ‎(2) 设AB是a和b的公垂线,则AB⊥b,AB⊥a ∴AB⊥a'‎ a'和b是β内的相交直线,∴AB⊥β 同理AB⊥α 因此,a, b间的距离等于α与β间的距离.‎ 变式训练3:如图,已知平面α∥平面β,线段PQ、PF、QC分别交平面α于A、B、C、点,交平面β于D、F、E点,PA=9,AD=12,DQ=16,△ABC的面积是72,试求△DEF的面积.‎ Q F D E C A B α β P 解:平面α∥平面β,∴AB∥DF,AC∥DE,‎ ‎∴∠CAB=∠EDF.在△PDF中,AB∥DF,DF=AB=AB,同理DE=AC.‎ S△DEF=DF·DE sin∠EDF=S△ABC=96.‎ 例4.如图,平面∥平面,ABC.A1B‎1C1分别在、内,线段AA1、BB1、CC1交于点O,O在、之间,若AB=‎2AC=2,∠BAC=60°,OA:OA1=3:2.‎ B1‎ A1‎ C1‎ β α B C A O 求A1B‎1C1的面积.‎ 解:∵α∥β AA1∩BB1=O ∴AB∥A1B1‎ 同理AC∥A‎1C1 BC∥B‎1C1‎ ‎∴△ABC∽△A1B‎1C1 S△ABC=AB·AC·sin60°= ‎ ‎ ∴‎ ‎∴=‎ D E A C B P 变式训练4:如图,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=a,点E是PD的中点.‎ ‎(1)证明:PA⊥平面ABCD,PB∥平面EAC;‎ ‎(2)求以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角θ的正切值.‎ ‎(1)证:因为底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,‎ 所以AB=AD=AC=a,‎ 在△PAB中,由PA2+AB2=‎2a2=PB2知PA⊥AB,‎ 同理,PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD.‎ 因为=++=2++‎ ‎=(+)+(+)=+‎ ‎∴ 、、共面.‎ PB平面EAC,所以PB∥平面EAC.‎ ‎(2) 解:作EG∥PA交AD于G,由PA∥平面ABCD,知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H,连结EH,则EH⊥AC,∠EHG即为二面角θ的平面角.‎ 又E是PD的中点,从而G是AD的中点,EG=a,AG=a,GH=AG sin 60°=a,‎ 小结归纳 所以tanθ=.‎ ‎1.判定两个平面平行的方法:(1)定义法;(2)判定定理.‎ ‎2.正确运用两平面平行的性质.‎ ‎3.注意线线平行,线面平行,面面平行的相互转化:线∥线线∥面面∥面.‎ 基础过关 第7课时 两个平面垂直 ‎1.两个平面垂直的定义:如果两个平面相交所成二面角为 二面角,则这两个平面互相垂直.‎ ‎2.两个平面垂直的判定:如果一个平面 有一条直线 另一个平面,则这两个平面互相垂直.‎ ‎3.两个平面垂直的性质:如果两个平面垂直,那么一个平面 的垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面.‎ ‎4.异面直线上两点间的距离公式:EF=,其中:d是异面直线a、b的 ,θ为a、b ,m、n分别是a、b上的点E、F到 AA'与a、b的交点A,A'的距离.‎ 例1 如图所示,在四面体S-ABC中,SA=SB=SC,∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°.‎ 求证:平面ABC⊥平面BSC.‎C A S D B 证明:略 变式训练1:如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC.‎ A S B C ‎ ⑴ 求证:AB⊥BC;‎ ‎⑵ 若设二面角S-BC-A为45°,‎ SA=BC,求二面角A-SC-B的大小.‎ 证明:(1) 作AH⊥SB于H,则AH⊥平面SBC ‎∴AH⊥BC, 又SA⊥BC ‎∴BC⊥平面SAB ∴BC⊥AB ‎(2) ∠SBA是二面角S-BC-A的平面角,∠SBA=45°,作AE⊥SC于E,连结EH,EH⊥SC,∠AEH为所求二面角的平面角,∠AEH=60°‎ 例2.在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内,分别有点A和点B,已知点A和点B到棱a的距离分别是2和4,且线段AB=10,求:‎ ‎(1) 直线AB和棱a所成的角;‎ ‎(2) 直线AB和平面Q所成的角.‎ 答案:(1) arc sin (2) arc sin 变式训练2:已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面ABCD,PD=AD,点E为AB中点,点F为PD中点.‎ ‎(1) 证明:平面PED⊥平面PAB;‎ ‎(2) 求二面角P-AB-F的平面角的余弦值.‎ ‎(1)证明:连BD.∵AB=AD,∠DAB=60°,‎ ‎∴△ADB为等边三角形,∴E是AB中点.∴AB⊥DE,∵PD⊥面ABCD,AB面ABCD,∴AB⊥PD.‎ ‎∵DE面PED,PD面PED,DE∩PD=D,‎ ‎∴AB⊥面PED,∵AB面PAB.∴面PED⊥面PAB.‎ ‎(2)解:∵AB⊥平面PED,PE面PED,∴AB⊥PE.连结EF,∵ EF面PED,∴AB⊥EF.‎ ‎∴ ∠PEF为二面角P-AB-F的平面角.‎ 设AD=2,那么PF=FD=1,DE=.‎ 在△PEF中,PE=,EF=2,PF=1‎ ‎∴cos∠PEF=‎ 即二面角P-AB-F的平面角的余弦值为.‎ C B D F P A E 例3.如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB、PD的中点,又二面角P-CD-B为45°.‎ ‎⑴ 求证:AF∥平面PEC;‎ ‎⑵ 求证:平面PEC⊥平面PCD;‎ ‎⑶ 设AD=2,CD=2,求点A到面PEC的距离.‎ 证明:(1) 取PC的中点G,易证EG∥AF,从而AF∥平面PEC ‎(2) 可证EG⊥平面PCD ‎(3) 点A到平面PEC的距离即F到平面PEC的距离,考虑到平面PEC⊥平面PCD,过F作FH⊥PC于H,则FH即为所求,由△PFH~△PCD得FH=1‎ 变式训练3:如图,在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD 是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD.‎ C B A V D ‎ ⑴ 证明:AB⊥平面VAD;‎ ‎⑵ 求面VAD与面VDB所成的二面角的大小.‎ ‎(1)证明:‎ 平面VAD⊥平面ABCD AB⊥AD AB⊥平面VAD AB平面ABCD AD=平面VAD∩平面ABCD ‎(2)解:取VD的中点E,连结AE、BE.‎ ‎∵△VAD是正三角形,∴AE⊥VD,AE=AD.‎ ‎∵AB⊥平面VAD,∴AB⊥AE.‎ 又由三垂线定理知BE⊥VD.‎ 于是tan ∠AEB==,‎ 即得所求二面角的大小为arc tan B C A A1‎ B1‎ C1‎ 例4.如图,在三棱柱ABC-A1B‎1C1中,四边形A1ABB1是菱形,四边形BCC1B1是矩形,AB⊥BC,CB=3,AB=4,∠A1AB=60°.‎ ‎⑴ 求证:平面CA1B⊥平面A1ABB1;‎ ‎⑵ 求直线A‎1C与平面BCC1B1所成角的正切值;‎ ‎(3) 求点C1到平面A1CB的距离.‎ 证( 1) 因为四边形BCC1B1是矩形,‎ 又∵AB⊥BC,∴BC⊥平面A1ABB1.‎ ‎(2)过A1作A1D⊥B1B于D,连结DC,‎ ‎∵BC⊥平面A1ABB1,∴BC⊥A1D.‎ ‎∴ A1D⊥平面BCC1B1,‎ 故∠A1CD为直线A‎1C与平面BCC1B1所成的角,‎ 在矩形BCC1B1中,DC=,因为四边形A1ABB1是菱形.‎ ‎∠A1AB=60°,CB=3,AB=4,∴ A1D=2‎ ‎∴ tan∠A1CD=.‎ ‎(3)∵ B‎1C1∥BC,∴B‎1C1∥平面A1BC.‎ ‎∴ C1到平面A1BC的距离即为B1到平面A1BC的距离.‎ 连结AB1,AB1与A1B交于点O,∵四边形A1ABB1是菱形,∴B1O⊥A1B.‎ ‎∵ 平面CA1B⊥平面A1ABB1,∴B1O⊥平面A1BC,‎ ‎∴ B1O即为C1到平面A1BC的距离.‎ ‎∵B1O=2 ∴ C1到平面A1BC的距离为2.‎ 变式训练4:如果在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°,且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.‎ A C B P G D ‎⑴ 若G为AD边的中点,求证BG⊥平面PAD;‎ ‎⑵ 求证AD⊥PB;‎ ‎⑶ 求二面角A-BC-P的大小;‎ ‎⑷ 若E为BC边的中点,能否在棱PC上找到一点F,‎ 使平面DEF⊥平面ABCD,并证明你的结论.‎ 答案 (1) 略 (2) 略 (3) 45° (4) F为PC的中点 小结归纳 在证明两平面垂直时,一般方法是从现有的直线中寻找平面的垂线;若没有这样的直线,则可通过作辅助线来解决,而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明,不能随意添加,在有平面垂直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后再转化为线线垂直.“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化是解决这类问题的关键.‎ 第8课时 空间的角 基础过关 ‎1.两异面直线所成的角:直线a、b是异面直线,经过空间一点O分别引直线a' a,b' b,把直线a'和b'所成的 或 叫做两条异面直线a、b所成的角,其范围是 .‎ ‎2.直线和平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面上的 所成的 角,叫做这条斜线和平面所成的角.‎ 规定: ① 一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是 角;② 一条直线与平面平行或在平面内,我们说它们所成的角是 角.‎ 其范围是 .‎ 公式:cosθ=cosθ1cosθ2,其中,θ1是 ,θ2是 ,θ是 .‎ ‎3.二面角:从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角.‎ P B E F D C A ‎4.二面角的平面角:以二面角的棱上 一点为端点,在两个面内分别作 棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角,其范围是 .‎ 典型例题 例1. 如图,已知矩形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB、PC的中点.‎ ‎(1)求EF与平面PAD所成角的大小;‎ A1‎ B1‎ D1‎ C1‎ D A B C ‎(2)求EF与CD所成角的大小;‎ ‎(3)若∠PDA=45°,求:二面角F—AB—D的大小.‎ 解:(1)易知EF∥平面PAD,故EF与平面PAD成角为0°;‎ ‎(2)易知EF⊥CD,故EF与CD成角为90°;‎ ‎(3)取AC中点为0,则∠FEO为所求二面角的平面角,易求得∠FEO=45°.‎ 变式训练1:如图,ABCD—A1B‎1C1D1是正四棱柱,若二面角C1‎ ‎—BD—C的大小为60°,求异面直线BC1与AC所成 的角的大小.‎ 答案:arccos 例2. 在等腰梯形ABCD中,AB=20,CD=12,它的高为2,以底边的中垂线MN为折痕,将梯形MBCN折至MB‎1C1N位置,使折叠后的图形成120°的二面角,求:‎ C D A B B1‎ M N C1‎ ‎⑴ AC1的长;‎ ‎⑵ AC1与MN所成的角;‎ ‎⑶ AC1与平面ADMN所成的角.‎ 答案:(1) 16 (2) arcsin (3) arcsin A B O C D S 变式训练2:已知四边形ABCD内接于半径为R的⊙O,AC为⊙O的直径,点S为平面ABCD外一点,且SA⊥平面ABCD,若∠DAC=∠ACB=∠SCA=30°,求:‎ ‎⑴ 二面角S-CB-A的大小;‎ ‎⑵ 直线SC与AB所成角的大小.‎ 答案:(1) arctan (2) arccos 例3. △ABC和△DBC所在平面互相垂直,且AB=BC=BD,∠ABC=∠DBC=120°.求:‎ ‎⑴ AD与平面DBC所成的角;‎ A B D C ‎⑵ 二面角A-BD-C的正切值.‎ 解:(1) 作AE⊥BC交BC的延长线于E,‎ 由面ABC⊥面BCD知AE⊥向BCD,∠ADE即为所求,求得∠ADE=45°‎ ‎(2) 作EF⊥BO于F,∠AFE即为所求,求得tan∠AFE=2‎ 变式训练3:正三棱柱ABC-A1B‎1C1中,E是AC中点.‎ B B1‎ A E C C1‎ A1‎ ‎⑴ 求证:平面BEC1⊥平面ACC‎1A1;‎ ‎⑵ 求证:AB1∥平面BEC1;‎ ‎⑶ 若,求二面角E-BC1-C的大小.‎ 答案:(1) 略 (2) 略 (3) 45°‎ 例4: 已知直三棱柱ABC-A1B‎1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=a,AA1=2AB,M为CC1上的点.(1) 当M在C‎1C上的什么位置时,B‎1M与平面AA‎1C1C所成的角为30°;‎ ‎(2) 在(1)的条件下,求AM与A1B所成的角.‎ A C M A1‎ B1‎ C1‎ B 解(1) 取A‎1C1的中点N1,连结B1N1,N‎1M,‎ 由已知易知B1N1⊥平面A‎1C1CA. ‎ ‎∴∠B1MN1为B‎1M与平面A‎1C1CA所成的角,‎ 设C‎1M=x,B1N1=a.‎ B E A D F C sin < B1MN1=, 解得x=a,‎ 则C‎1M=C‎1C, ∴M为C‎1C的中点.‎ ‎(2) arccos 变式训练4:已知正方形ABCD,E、F分别是边AB、‎ CD的中点,将△ADE沿DE折起,如图所示,记二 A E F B C D 面角A—DE—C的大小为,若△ACD ‎ 为正三角形,试判断点A在平面BCDE内的射影G ‎ 是否在直线EF上,证明你的结论,并求角的余弦值.‎ 解:点A在平面BCDE内的射影在直线EF上,‎ 过点A作AG⊥平面BCDE,垂足为G,‎ 连结GC、GD.‎ ‎∵△ACD为正三角形,‎ ‎∴AC=AD,∴GC=GD,‎ ‎∴G在CD的垂直平分线上,又∵EF是CD的垂直平分线,‎ ‎∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,过G作GH⊥ED,垂足为H,连结AH,则AH⊥DE.∴∠AHG是二面角A—DE—C的平面角,即∠AHG=,‎ 设原正方形ABCD的边长为‎2a,由直角三角形的射影定理,‎ 可得AH=,GH=,‎ ‎∴.‎ 小结归纳 ‎1.两异面直线所成角的作法:‎ ‎① 平移法:在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”,作另一条直线的平行线,常常利用中位线或成比例线段引平行线;‎ ‎② 补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的是容易作出两条异面直线所成的角.‎ ‎2.作出直线和平面所成角的关键是作垂线,找射影.‎ ‎3.平面角的作法:‎ ‎① 定义法;② 三垂线法;③ 垂面法.‎ ‎4.二面角计算,一般是作出平面角后,通过解三角形求出其大小,也可考虑利用射影面积公式 S'=Scosθ来求.‎ ‎5.空间角的计算有时也可以利用向量的求角公式完成.‎ 第9课时 空间距离 基础过关 ‎1.点与点的距离:两点间 的长.‎ ‎2.点与线的距离:点到直线的 的长.‎ ‎3.平行线间的距离:从两条平行线中一条上 一点向另一条引垂线,这点到 之间的线段长.‎ ‎4.点与面的距离:点到平面的 的长.‎ ‎5.平行于平面的直线与平面的距离:直线上 一点到平面的 的长.‎ ‎6.两个平行平面间的距离:从其中一个平面上 一点向另一个平面引垂线,这点到 之间的线段长.‎ ‎7.两条异面直线的距离:与两条异面直线都 的直线夹在两 间线段的长.‎ 典型例题 例1. 已知正六边形ABCDEF的边长为a,PA⊥平面AC,PA=a.求:‎ ‎⑴ P到直线BC的距离;‎ ‎⑵ P到直线CD的距离.‎ 答案:(1) (2) ‎‎2a 变式训练1: 已知平面外不共线的三点A、B、C到α的距离相 A C B D l 等.求证:存在△ABC的一条中位线平行α或在α内.‎ 提示:分A、B、C在的同侧与异侧讨论 例2.如图, 直线l上有两定点A、B, 线段AC⊥l,BD⊥l,‎ AC=BD=a,且AC与BD成120°角,求AB与CD间的距离.‎ 解:在面ABC内过B作BE⊥l于B,且BE=AC,‎ 则ABEC为矩形.‎ ‎∴AB∥CE,∴AB∥平面CDE.‎ 则AB与CD的距离即为B到DE的距离.‎ 过B作BF⊥DE于F,易求得BF=,∴AB与CD的距离为.‎ A N M B O D C 变式训练2:ABCD是边长为a的正方形,M、N分别为DA、BC边上的点,且MN∥AB交AC于O点,沿MN折成直二面角.‎ ‎⑴ 求证:不论MN怎样平行移动(AB∥MN),∠AOC的大小不变;‎ ‎⑵ 当MN在怎样的位置时,点M到平面ACD的距离最大?‎ 并求出这个最大值.‎ 解(1) 120°;‎ ‎(2) 当且仅当MA=MD时,点M到平面ACD的距离最大,最大值为a.‎ 设MD=x,M到AD的距离h即是M到平面ACD的距离:‎ h=≤=≤a(当x=时两不等式同取等号)‎ A E B C G D F 例3. 已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC⊥平面ABCD,GC=2,求点B到平面EFG的距离.‎ 解:连结AC、BD、AC∩BD=0,‎ ‎∵E、F分别是AB、AD的中点,‎ ‎∴EF∥BD,‎ ‎∴B到平面EFG的距离即0到平面EFG的距离,AC∩EF=K,连结KG,‎ ‎∵EF⊥KC,∴EF⊥平面KGC,过O作OH⊥KG于H,则OH⊥平面EFG,‎ A B C D A1‎ C1‎ D1‎ B1‎ E F ‎∴OH即为O到平面EFG的距离,KC=AC=3,KG=,OK=AC=,由Rt△OHK∽Rt△CKG得OH=.‎ 变式训练3:正方体ABCD-A1B‎1C1D1的棱长为a,E、F分别是BB1、CD的中点.‎ ‎⑴ 求证:AD⊥D‎1F;‎ ‎⑵ 求证:AE与D‎1F所成的角;‎ ‎⑶ 求点F到平面A1D1E的距离.‎ 答案:(1) 略 (2) 90° ‎ ‎ (3)将F移至AB中点研究.‎ F C D E G B A 北 南 ‎30°‎ ‎30°‎ ‎30°‎ 例4.在正北方向的一条公路上,一辆汽车由南向北行驶,速度为‎100千米/小时,一架飞机在一定高度上的一条直线上飞行,速度为100千米/小时,从汽车里看飞机,在某个时刻看见飞机在正西方向,仰角为30°,在36秒后,又看见飞机在北偏西30°、仰角为30°处,求飞机飞行的高度.‎ 解:如图A、C分别是汽车、飞机开始时的位置,‎ B、D分别是经过36秒后的位置,ABEF是水平面,‎ CFED是矩形,且CD=×100=(千米),‎ AB=×100=‎1千米,CF(或DE)则为飞机的飞行高度,设其为x千米,在Rt△CFA中,AF=x;在Rt△DEB中,BE=x. 作EG⊥AB于G,EH⊥AF于H,则EG=AH=x,EH=AG=1+,FH=x. 在Rt△FHE中,EF2=FH2+EH2,即()2=(x) 2+(1+)2,∴ x=1. 故飞机飞行的高度为‎1千米.‎ 变式训练4:如图,四面体ABCD中,△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形.‎ ‎(1)若点D到平面ABC的距离不小于3,求二面角A—BC—D的取值范围;‎ ‎(2)当二面角A—BC—D的平面角为时,求点C到平面ABD的距离.‎ A B D C 解(1)(提示:D到平面ABC的距离d∈[3,] )‎ ‎(2)取BC中点E,连结EA、ED,则∠AED=‎ ‎∴AD=AE=‎ ‎∵‎ 又,设C到平面ABD的距离为h.‎ 则 小结归纳 ‎1.对于空间距离的重点是点到直线、点到平面的距离,对于两异面直线的距离一般只要求会求给出公垂线段时的距离.‎ ‎2、求点到平面的距离的方法:‎ ‎⑴ 确定点在平面射影的位置,要注意利用面面垂直求作线面垂直及某些特殊性质.‎ ‎⑵ 转化法.即化归为相关点到平面的距离或转化为线面距或转化为面面距来求.‎ ‎(3) 等体积法:利用三棱锥的体积公式,建立体积相等关系求出某底上的高,即点面距.‎ ‎3.距离问题有时也可以利用向量的模的计算解决.具体见第11节的小结4、5两点.‎ 基础过关 第10课时 棱柱 棱锥 基础过关 ‎ ‎ 一、棱柱 ‎1.定义:如果一个多面体有两个面互相 ,而其余每相邻两个面的交线互相 ,这样的多面体叫做棱柱,两个互相平行的面叫做棱柱的 ,其余各面叫做棱柱的 ,两侧面的公共边叫做棱柱的 ,两个底面所在平面的公垂线段,叫做棱柱的 .‎ ‎2.性质:① 侧棱 ,侧面是 ;② 两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的 多边形;③ 过不相邻的两条侧棱的截面是 四边形.‎ ‎3.分类:① 按底面边数可分为 ;② 按侧棱与底面是否垂直可分为:‎ 棱柱 ‎ ‎4.特殊的四棱柱:四棱柱→平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体.‎ ‎5.长方体对角线的性质:长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的 .‎ 二、棱锥 ‎1.定义:如果一个多面体的一个面是 ,其余各面是有一个公共顶点的 ,那么这个多面体叫做棱锥,有公共顶点的各三角形,叫做棱锥的 ;余下的那个多边形,叫做棱锥的 .两个相邻侧面的公共边,叫做棱锥的 ,各侧面的公共顶点,叫做棱锥的 ;由顶点到底面所在平面的垂线段,叫做棱锥的 .‎ ‎2.性质:如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面 ,截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 .‎ ‎3.正棱锥的定义:如果一个棱锥的底面是 多边形,且顶点在底面的射影是底面的 ,这样的棱锥叫做正棱锥.‎ ‎4.正棱锥的性质:‎ ‎① 正棱锥各侧棱 ,各侧面都是 的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高 (它叫做正棱锥的 );‎ A B C D A1‎ C1‎ D1‎ B1‎ E F ‎② 正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个 三角形,正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影组成一个 三角形.‎ 典型例题 例1.已知正四棱柱ABCD-A1B‎1C1D1,AB=1,AA1=2,‎ 点E为CC1的中点,点F为BD1的中点.‎ ‎⑴ 证明:EF为BD1与CC1的公垂线;‎ ‎⑵ 求点F到面BDE的距离. ‎ A A1‎ C1‎ B1‎ B C O 答案(1)略; (2) ‎ 变式训练1:三棱柱ABC-A1B‎1C1中,AB=a,‎ BC、AC、AA1长均为a,A1在底面ABC上的射影O在AC上.‎ ‎⑴ 求AB与侧面AC1所成的角;‎ ‎⑵ 若O点恰是AC的中点,求此三棱柱的侧面积.‎ P A C B E 答案(1) 45°;(2) ‎ 例2. 如图,正三棱锥P—ABC中,侧棱PA与底面ABC成60°角.‎ ‎(1)求侧PAB与底面ABC成角大小;‎ ‎(2)若E为PC中点,求AE与BC所成的角;‎ ‎(3)设AB=,求P到面ABC的距离.‎ 解:(1);‎ ‎(2)取PB中点F,连结EF,则∠AEF为所求的角,求得∠AEF=;‎ B E C O D A ‎(3)P到平面ABC的距离为.‎ 变式训练2: 四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,‎ CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=.‎ ‎(1)求证:AO⊥平面BCD;‎ ‎(2)求异面直线AB与CD所成的角;‎ ‎(3)求点E到平面ACD的距离.‎ 答案:(1)易证AO⊥BD,AO⊥OC,∴AO⊥平面BCD;‎ ‎(2);(3)用等体积法或向量法可求得点E到平面ACD的距离是.‎ A B C P D 例3. 四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,AB=2,CD=1,∠DAB=45°;侧面PAD是等腰直角三角形,AP=PD,且平面PAD⊥平面ABCD.‎ ‎⑴ 求证:PA⊥BD;‎ ‎⑵ 求PB与底面ABCD所成角的正切值;‎ ‎⑶ 求直线PD与BC所成的角.‎ 答案:(1)略;(2);(3)60°‎ 变式训练3:在所有棱长均为a的正三棱柱ABC-A1B‎1C1中,D为BC的中点.‎ A C D B C1‎ B1‎ A1‎ ‎ ⑴ 求证:AD⊥BC1;‎ ‎⑵ 求二面角A-BC1-D的大小;‎ ‎⑶ 求点C到平面ABC1的距离.‎ 提示:(1)证AD⊥平面BB‎1C1C;(2) arc tan;(3) a.‎ A1‎ B1‎ C1‎ C A M D B 例4.如图,在直三棱柱ABC—A1B‎1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=CC1=1,M为AB的中点,A1D=3DB1.‎ ‎(1)求证:平面CMD⊥平面ABB‎1A1;‎ ‎(2)求点A1到平面CMD的距离;‎ ‎(3)求MD与B‎1C1所成角的大小.‎ 提示(1)转证CM⊥平面A1B;‎ ‎(2)过A1作A1E⊥DM,易知A1E⊥平面CMD,∴求得A1E=1;‎ ‎(3)异面直线MD与B‎1C1所成的角为 变式训练4:在长方体ABCD-A1B‎1C1D1中,AA1=AD=1,AB=,O为对角线A‎1C的中点.‎ ‎⑴ 求OD与底面ABCD所成的角的大小;‎ ‎⑵ P为AB上一动点,当P在何处时,平面POD⊥平面A1CD?并证明你的结论.‎ 答案(1) 30°;(2) 当P为AB的中点时,平面POD⊥平面A1CD.‎ 小结归纳 柱体和锥体是高考立体几何命题的重要载体,因此,在学习时要注意以下三点.‎ ‎1.要准确理解棱柱、棱锥的有关概念,弄清楚直棱柱、正棱锥概念的内涵和外延.‎ ‎2.要从底面、侧面、棱(特别是侧棱)和截面(对角面及平行于底面的截面)四个方面掌握几何性质,能应用这些性质研究线面关系.‎ ‎3.在解正棱锥问题时,要注意利用四个直角三角形,其中分别含有九个元素(侧棱、高、侧棱与斜高在底面上的射影、侧棱与侧面与底面所成角、边心距以及底面边的一半)中的三个,已知两个可求另一个.‎ 第11课时 球 基础过关 ‎1.球:与定点的距离 或 定长的点的集合.‎ ‎2.球的性质 ‎(1) 用一个平面去截一个球,截面是 .‎ ‎(2)球心和截面圆心的连线 于截面.‎ ‎(3) 球心到截面的距离与球半径及截面的半径有以下关系: .‎ ‎(4) 球面被经过球心的平面截得的圆叫 .被不经过球心的平面截得的圆叫 .‎ ‎(5) 在球面上两点之间的最短连线的长度,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧长,这个弧长叫 .‎ ‎3.球的表面积公式和体积公式:设球的半径为R,则球的表面积S= ;球的体积V= .‎ 典型例题 例1. 如图,A、B、C是半径为1的球面上的三点,B、C两点间的球面距离为,点A与B、C两点的球面距离都为,O为球心,求:‎ ‎(1) 的大小; ‎ ‎(2) 球心O到截面ABC的距离.‎ 解:(1) 因为B、C两点的球面距离为,即B、C两点与球心连线所夹圆心角为,点A与B、C两点的球面距离都为,即均为直角,所以 ‎(2) 因为⊿BOC,⊿ABC都是等腰三角形,取BC的中点M,连OM,AM,过O作OH⊥AM于H,可证得OH即为O到截面ABC的距离.‎ 变式训练1: 球面上有三点A、B、C,A和B及A和C之间的球面距离是大圆周长的,B和C之间的球面距离是大圆周长的,且球心到截面ABC的距离是,求球的体积.‎ 解:设球心为O,由已知,易得∠AOB=∠AOC=,∠BOC=,过O作OD⊥BC于D,连AD,再过O作OE⊥AD于E,则OE⊥平面ABC于E,∴OE=. 在Rt△AOD中,由AD·OE=AO·ODOA=R=1.∴ V球=πR3=π.‎ 例2. 如图,四棱锥A-BCDE中,,且AC⊥BC,AE⊥BE.‎ ‎(1) 求证:A、B、C、D、E五点都在以AB为直径的同一球面上;‎ ‎(2) 若求B、D两点间的球面距离.‎ 解:(1) 因为AD⊥底面BCDE,所以AD⊥BC,AD⊥BE,又因为AC⊥BC,AE⊥BE,所以BC⊥CD,BE⊥ED.故B、C、D、E四点共圆,BD为此圆的直径.‎ 取BD的中点M,AB的中点N,连接BD、AB的中点MN,则MN∥AD,所以MN⊥底面BCDE,即N的射影是圆的圆心M,有AM=BM=CM=DM=EM,故五点共球且直径为AB.‎ ‎(2) 若∠CBE=90°,则底面四边形BCDE是一个矩形,连接DN,因为:‎ 所以B、D两点间的球面距离是.‎ 变式训练2:过半径为R的球面上一点M作三条两两互相垂直的弦MA、MB、MC.‎ ‎(1) 求证:MA2+MB2+MC2为定值;‎ ‎(2) 求△MAB,△MAC,△MBC面积之和的最大值.‎ 解:(1) 易求得MA2+MB2+MC2=4R2!‎ ‎(2) S△MAB+S△MAC+S△MBC=(MA·MB+MA·MC+MB·MC)≤(MA2+MB2+MC2)=2R2(当且仅当MA=MB=MC时取最大值).‎ 例3.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面(如图),则图中三角形(正四面体的截面)的面积是( )‎ A. ‎ B.‎ C. ‎ D.‎ 解:设正四面体为正四面体ABCD,分析截面图可知,截面经过正四面体的一条棱设为CD,又过球心,设截面与棱AB交于E点,则E为AB的中点,易求得截面三角形的面积为,‎ 故选(C).‎ 变式训练3:已知三棱锥P-ABC中,E、F分别是AC、AB的中点,△ABC,△PEF都是正三角形,PF⊥AB.‎ ‎(1) 证明:PC⊥平面PAB;‎ ‎(2) 求二面角P-AB-C的平面角的余弦值;‎ ‎(3) 若点P、A、B、C在一个表面积为12π的球面上,求△ABC的边长.‎ 解 (1) 连结CF,∵PE=EF=BC=AC ∴AP⊥PC ∵CF⊥AB, PF⊥AB, ∴AB⊥平面PCF ∵AC平面PCF ∴PC⊥AB ∴PC⊥平面PAB.‎ ‎(2) ∵AB⊥PF, AB⊥CF ∴∠PFC为所求二面角的平面角 设AB=a, 则PF=EF=, CF=,‎ ‎∴cos∠PFC=.‎ ‎(3) 设PA=x, 球半径为R ‎ ‎∵PC⊥平面PAB,PA⊥PB ‎ ‎∵4πR2=12π, ∴R=, 知△ ABC的外接圆为球之小圆,由x2=x·2R.‎ 得△ABC的边长为2.‎ 小结归纳 ‎1.因为“球”是“圆”在空间概念上的延伸,所以研究球的性质时,应注意与圆的性质类比.‎ ‎2.球的轴截面是大圆,它含有球的全部元素,所以有关球的计算,可作出球的一个大圆,化“球”为“圆”来解决问题.‎ ‎3.球心与小圆圆心的连线,垂直于小圆所在的平面,球的内部结构的计算也由此展开.‎ ‎4.计算球面上A、B两点的球面距离是一个难点,其关键是利用“AB既是小圆的弦,又是大圆的弦”这一事实,其一般步骤是:‎ ‎(1) 根据已知条件求出小圆的半径r和大圆的半径R,以及所对小圆圆心角;‎ ‎(2) 在小圆中,由r和圆心角求出AB;‎ ‎(3) 在大圆中,由AB和R求出大圆的圆心角;‎ ‎(4) 由圆心角和R,求出大圆弧长AB (即球面上A、B两点的距离).‎ 立体几何初步单元测试 ‎ 一、选择题 ‎1. 若直线a、b异面,直线b、c异面,则a、c的位置关系是 ( )‎ A.异面直线 B.相交直线 ‎ C.平行直线 D.以上都有可能 ‎2. 设l、m、n表示三条直线,α、β、r表示三个平面,则下面命题中不成立的是 ( )‎ A.若l⊥α,m⊥α,则l∥m B.若mβ,n是l在β内的射影,m⊥l,则m⊥n C.若mα,nα,m∥n,则n∥α D.若α⊥r,β⊥r,则α∥β ‎3. 在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点如果EF与HG交于点M,则( )‎ A.M一定在直线AC上 ‎ B.M一定在直线BD上 C.M可能在AC上,也可能在BD上 ‎ D.M不在AC上,也不在BD上 ‎4. 点P到ΔABC三边所在直线的距离相等,P在ΔABC内的射影为O,则O为ΔABC的( )‎ A.外心 B.重心 C.内心 D.以上都不对 B A D O C ‎5. 已知ABCD为四面体,O为△BCD内一点(如图),则是O为△BCD重心的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 ‎6. 已知△ABC中,AB=9,AC=15,∠BAC=120°,△ABC所在平面外一点P到此三角形三个顶点的距离都是14,则点P到平面ABC的距离是 ( )‎ A.7 B.‎9 C.11 D.13‎ ‎7. A、B两地在同一纬线上,这两地间的纬线长为pRcosa,(R是地球半径,a是两地的纬度数),则这两地间的球面距离为 ( )‎ A.pR B.pRcosa C.pR-2aR D.pR-aR ‎8. 在长方体ABCD-A1B‎1C1D1中,M、N分别是棱BB1,B‎1C1的中点,若∠CMN=90°,则异面直线AD1与DM所成的角为 ( )‎ A.30° B.45° C.60° D.90°‎ ‎9.空间四边形ABCD的各边与对角线的长都为1,点P在边AB上移动,点Q在CD上移动,则点P和Q的最短距离为 ( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎10.若四面体的一条棱长为x,其余棱长为1,体积为F(x),则函数F(x)在其定义域上 ( )‎ A.是增函数但无最大值 B.是增函数且有最大值 C.不是增函数且无最大值 ‎ D.不是增函数但有最大值 二、填空题 ‎11.在长方形ABCD-A1B‎1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1到截面AB1D1的距离是 .‎ ‎12.正四棱锥S-ABCD的侧棱长为,底面的边长为,E是SA的中点,则异面直线BE与SC所成的角为 .‎ ‎13.已知球的两个平行截面面积分别是5、8,它们位于球心的同侧,且相距为1,那么这个球的半径是 .‎ ‎14.已知PA、PB、PC两两垂直且PA=,PB=,PC=2,则过P、A、B、C四点的球的体积为 .‎ ‎15.已知正三棱柱ABC-A1B‎1C1的底面边长为‎2cm,高为‎4cm,过BC作一个截面,截面与底面ABC成60°角,则截面的面积是 .‎ 三、解答题 ‎16.设P、Q是单位正方体AC1的面AA1D1D、面A1B‎1C1D1的中心.‎ D A C B C1‎ A1‎ B1‎ D1‎ PO QO ‎(1) 证明:PQ∥平面AA1B1B;‎ ‎(2) 求线段PQ的长.‎ ‎17.在长方体ABCD-A1B‎1C1D1中,已知AA1=2,AB=3,AD=a,求 ‎(1) 异面直线与所成的角;‎ ‎(2) 当为何值时,使? ‎ A B C D M B1‎ C1‎ D1‎ A1‎ O ‎18.如图,正方体AC1中,已知O为AC与BD的交点,M为DD1的中点.‎ ‎(1) 求异面直线B1O与AM所成角的大小.‎ ‎(2) 求二面角B1-MA-C的正切值.‎ ‎19.底面为等腰直角三角形的直三棱柱,,D为上的点,且,求二面角的大小.‎ ‎20.如图,α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,点A在直线l上的射影为A1,点B在l上的射影为B1,已知AB=2,AA1=1,BB1=,求:‎ A A1‎ B1‎ B β α l ‎(1)直线AB与平面β所成角的大小;‎ ‎(2)二面角A1—AB—B1的大小.‎ ‎21.直四棱柱A1B‎1C1D1—ABCD底面是边长为1的菱形,侧棱长为 ‎(1) 求证:平面A1DC1⊥平面BB1DD1;‎ ‎(2) 若异面直线B1D与A1D1所成角为60°,求二面角A1-DB1-C1的平面角的余弦值;‎ A B C D D1‎ C1‎ B1‎ A1‎ ‎(3) 判断∠DB‎1C1能否为钝角?请说明理由.‎ 立体几何初步单元测试参考答案:‎ ‎1.D 2. D 3. D 4. C 5. C 6. A 7. C 8. D 9. B 10.D 11. 12. 13. 3 14. 15. . ‎ ‎16.(本题考查证明线面平行的方法)‎ ‎ ‎ 证法二:连结AD1,AB1,在△AB1D1中,显然P,Q分别是AD1,D1B的中点 ‎∴PQ∥AB1,且PQ=AB1‎ ‎∵ PQ面AA1B1B,AB1AA1B1B ‎∴ PQ∥面AA1B1B 证法三:取A1D1的中点R,则PR∥DD1∥BB1,OR∥A1B1,平面PQR∥平面AA1B1B,PQ∥平面AA1B1B ‎(2) 方法一:PQ=MN=‎ 方法二:PQ=AB1=‎ 评注:本题提供了两种解法,方法一,通过平行四边形的对边平行得到“线线平行”,从而证得“线面平行”;方法二,通过三角形的中位线与底边平行得到“线线平行”,从而证得“线面平行”.本题证法较多.‎ ‎17.解:以D为坐标原点,以DA为轴,DC为轴,为轴建立空间直角坐标系,则有:‎ 所以,.从而 所以异面直线与所成的角为.‎ ‎(2) 当时,.‎ ‎18.(1) ‎ 方法二:取AD中点N,连结A1N,则A1N是B1O在侧面ADD‎1A1上的射影.‎ 易证AM⊥A1N ‎∴AM⊥B1O(三垂线定理)‎ 方法三:建立空间真正坐标系(以A为原点,岔以AB、AD、AA为x轴、y轴、z轴,设正方体棱长为1)‎ 则A(0, 0, 0),M(0, 1, ),O(,,0),B1(1, 0, 1)‎
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