2012备考高考教学案立体几何单元教师版全套

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考纲导读 立体几何初步 ‎1．理解平面的基本性质，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图、能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能根据图形想象它们的位置关系． ‎2．了解空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系． ‎3．掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握三垂线定理及其逆定理． ‎4．掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念；掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理． ‎5．了解多面体、凸多面体、正多面体的概念． ‎6．了解棱柱，棱锥的概念；了解棱柱，棱锥的性质；会画其直观图． ‎7．了解球的概念；掌握球的性质；掌握球的表面积、体积公式． 知识网络 直线、平面、简单几何体 三个公理、三个推论 平面 平行直线 异面直线 相交直线 公理4及等角定理 异面直线所成的角 异面直线间的距离 直线在平面内 直线与平面平行 直线与平面相交 空间两条直线 概念、判定与性质 三垂线定理 垂直 斜交 直线与平面所成的角 空间直线 与平面 空间两个平面 棱柱 棱锥 球 两个平面平行 两个平面相交 距离 两个平面平行的判定与性质 两个平面垂直的判定与性质 二面角 定义及有关概念 性质 综合应用 多面体 面积公式 体积公式 正多面体 高考导航 本章的定义、定理、性质多，为了易于掌握，可把主要知识系统化．首先，归纳总结，理线串点，可分为四块：A、平面的三个基本性质，四种确定平面的条件；B、两个特殊的位置关系，即线线，线面，面面的平行与垂直．C、三个所成角；即线线、线面、面面所成角；D、四个距离，即两点距、两线距、线面距、面面距． 其次，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心中的核心，线面角、二面角、距离等均与线面垂直密切相关，把握其中的线面垂直，也就找到了解题的钥匙． 再次，要加强数学思想方法的学习，立体几何中蕴涵着丰富的思想方法，化空间图形为平面图形解决，化几何问题为坐标化解决，自觉地学习和运用数学思想方法去解题，常能收到事半功倍的效果． 第1课时 平面的基本性质 基础过关 公理1 如果一条直线上的 在同一个平面内，那么这条直线上的 都在这个平面内 (证明直线在平面内的依据)． 公理2 如果两个平面有 个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是 (证明多点共线的依据)． 公理3 经过不在 的三点，有且只有一个平面(确定平面的依据)． 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面． 推论2 经过两条 直线，有且只有一个平面． 推论3 经过两条 直线，有且只有一个平面． 典型例题 例1．正方体ABCD-A1B‎1C1D1中，对角线A‎1C与平面BDC1交于O，AC、BD交于点M． C O D A B M B1‎ C1‎ D1‎ A1‎ 求证：点C1、O、M共线． 证明： A‎1A∥CC1确定平面A‎1C A‎1C面A‎1C O∈面A‎1C O∈A‎1C 面BC1D∩直线A‎1C＝O O∈面BC1D O在面A‎1C与平面BC1D的交线C‎1M上 ‎∴C1、O、M共线 变式训练1：已知空间四点A、B、C、D不在同一平面内，求证：直线AB和CD既不相交也不平行． 提示：反证法． 例2. 已知直线与三条平行线a、b、c都相交．求证：与a、b、c共面． 证明：设a∩l＝A b∩l＝B c∩l＝C a∥b a、b确定平面α lβ ‎ A∈a, B∈b b∥cb、c确定平面β 同理可证lβ 所以α、β均过相交直线b、l α、β重合 cα a、b、c、l共面 R P Q α C B A 变式训练2：如图，△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线AB、BC、CA分别交平面α于P、Q、R点．求证：P、Q、R共线． 证明：设平面ABC∩α＝l，由于P＝AB∩α，即P＝平面ABC∩α＝l， 即点P在直线l上．同理可证点Q、R在直线l上． ‎∴P、Q、R共线，共线于直线l． 例3. 若△ABC所在的平面和△A1B‎1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证： (1) AB和A1B1、BC和B‎1C1分别在同一个平面内； ‎(2) 如果AB和A1B1，BC和B‎1C1分别相交，那么交点在同一条直线上．O C1‎ B1‎ A1‎ A B C 证明：(1) ∵AA1∩BB1＝0，∴AA1与BB1确定平面α，又∵A∈a，B∈α，A1∈α，B1∈α，∴ABα，A1B1α，∴AB、A1B1在同一个平面内 同理BC、B‎1C1、AC、A‎1C1分别在同一个平面内 ‎(2) 设AB∩A1B1＝X，BC∩B‎1C1＝Y，AC∩A‎1C1＝Z，则只需证明X、Y、Z三点都是平面A1B‎1C1与ABC的公共点即可． 变式训练3：如图，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E为AB中点，F为AA1中点， A B E C D F A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ 求证：(1) E、C．D1、F四点共面； ‎(2) CE、D‎1F、DA三线共点． 证明(1) 连结A1B 则EF∥A1B A1B∥D‎1C ‎∴EF∥D‎1C ∴E、F、D1、C四点共面 ‎(2) 面D‎1A∩面CA＝DA ‎∴EF∥D‎1C 且EF＝D‎1C ‎∴D‎1F与CE相交 又D‎1F面D‎1A，CE面AC ‎∴D‎1F与CE的交点必在DA上 ‎∴CE、D‎1F、DA三线共点． 例4.求证：两两相交且不通过同一点的四条直线必在同一平面内． 证明：(1) 若a、b、c三线共点P，但点pd，由d和其外一点可确定一个平面α 又a∩d＝A ∴点A∈α ∴直线aα 同理可证：b、cα ∴a、b、c、d共面 ‎(2)若a、b、c、d两两相交但不过同一点 ‎∵a∩b＝Q ∴a与b可确定一个平面β 又c∩b＝E ∴E∈β 同理c∩a＝F ∴F∈β ‎∴直线c上有两点Ｅ、Ｆ在β上 ∴cβ 同理可证：dβ 故a、b、c、d共面 由(1) (2)知：两两相交而不过同一点的四条直线必共面 变式训练4：分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线，为什么? 解：假设AC、BD不异面，则它们都在某个平面内，则A、B、C、D.由公理1知,.这与已知AB与CD异面矛盾，所以假设不成立,即AC、BD一定是异面直线。 小结归纳 ‎1．证明若干点共线问题，只需证明这些点同在两个相交平面． ‎2．证明点、线共面问题有两种基本方法：①先假定部分点、线确定一个平面，再证余下的点、线在此平面内；②分别用部分点、线确定两个(或多个)平面，再证这些平面重合． ‎3．证明多线共点，只需证明其中两线相交，再证其余的直线也过交点． 基础过关 第2课时 空间直线 基础过关 ‎1．空间两条直线的位置关系为 、 、 ． ‎2．相交直线 一个公共点，平行直线 没有公共点， 异面直线：不同在任 平面，没有公共点． ‎3．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 ． ‎4．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两角 ． ‎5．异面直线的判定定理 过平面外一点与平面内一点的直线和平面内 的直线是异面直线(作用：判定两条直线是异面直线) ‎6．异面直线的距离：和两条异面直线 的直线称为异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线在 的长度，叫两异面直线的距离． 典型例题 例1. 如图，在空间四边形ABCD中，AD＝AC＝BC＝BD＝a，AB＝CD＝b，E、F分别是AB、CD的中点． ‎(1) 求证：EF是AB和CD的公垂线； A E B C F D ‎(2) 求AB和CD间的距离． 证明：(1) 连结CE、DE ‎ AB⊥面CDE ‎∴AB⊥EF 同理CD⊥EF ‎∴EF是AB和CD的公垂线 ‎(2) △ECD中，EC＝＝ED ‎∴EF＝ 变式训练1：在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别为AB、CD的中点，EF＝，求AD、BC所成角的大小． 解：设BD的中点G，连接FG，EG。在△EFG中 EF＝ FG＝EG＝1 B M A N C S ‎∴∠EGF＝120° ∴AD与BC成60°的角。 例2. S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC， 且ASB＝BSC＝CSA＝，M、N分别是AB和SC的中点． 求异面直线SM与BN所成的角．‎ 证明：连结CM，设Q为CM的中点，连结QN 则QN∥SM ‎∴∠QNB是SM与BN所成的角或其补角 连结BQ，设SC＝a，在△BQN中 BN＝ NQ＝SM＝a BQ＝‎ ‎∴COS∠QNB＝‎ ‎∴∠QNB＝arc cos 变式训练2：正ABC的边长为a，S为ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC＝a，E，F分别是SC和AB的中点．‎ ‎(1) 求异面直线SC和AB的距离；‎ ‎(2) 求异面直线SA和EF所成角．‎ 答案：(1) (2) 45°‎ P C1‎ D1‎ M B1‎ A1‎ D N C B A 例3. 如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，M、N、P 分别为A1B1、BB1、CC1的中点．‎ ‎(1) 求异面直线D1P与AM，CN与AM所成角；‎ ‎(2) 判断D1P与AM是否为异面直线？若是，求其距离．‎ 解：(1) D1P与AM成90°的角 CN与AM所成角为arc cos.‎ ‎(2) 是．NP是其公垂线段, D1P与AN的距离为1.‎ 变式训练3：如图，在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，‎ ‎∠BCA＝90°，M、N分别是A1B1和A‎1C1的中点，‎A C B N M A1‎ C1‎ B1‎ 若BC＝CA＝CC1，求NM与AN所成的角．‎ 解：连接MN，作NG∥BM交BC于G，连接AG，‎ 易证∠GNA就是BM与AN所成的角．‎ 设：BC＝CA＝CC1＝2，则AG＝AN＝，GN＝B‎1M＝，‎ cos∠GNA＝。‎ 例4．如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底 C D B E F A M P 面ABCD，AE⊥PD，EF∥CD，AM＝EF．‎ ‎(1) 证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；‎ ‎(2) 若PA＝3AB，求直线AC与平面EAM所成角的正弦值．‎ ‎（1）证明：∵EF∥CD AM∥CD ‎∴ AM∥EF，又AM＝EF ∴ AMFE为平行四边形 ‎∵ AB⊥PA，AB⊥AD ∴ AB⊥面PAD ‎∴ AB⊥AE，又AE∥MF，∴ AB⊥MF 又∵AE⊥PD CD⊥AE ∴ AE⊥面PCD ‎∴ AE⊥PC ∴ MF⊥PC ∴ MF为AB与PC的公垂线．‎ ‎(2) 设AB＝1，则PA＝3，建立如图所示坐标系．由已知得＝(0，，)，‎ ‎＝(1，0，0)‎ 面MFEA的法向量为＝(0，1，－3)，＝(1，1，0)，cos<，>＝．∴ AC与面EAM所成的角为－arc cos，其正弦值为．‎ 变式训练4：如图，在正方体中，‎ E、F分别是、CD的中点．‎ ‎（１）证明；‎ ‎（２）求与所成的角。‎ ‎（1）证明：因为AC1是正方体，所以AD⊥面DC1‎ ‎ 又DF1DC1，所以AD⊥D‎1F. ‎ ‎（2）取AB中点G，连结A‎1G，FG， ‎ ‎ 因为F是CD的中点，所以GF∥AD，‎ 又A1D1∥AD，所以GF∥A1D1，‎ 故四边形GFD‎1A1是平行四边形，A‎1G∥D‎1F。‎ 设A‎1G与AE相交于H，则∠A‎1HA是AE与D‎1F所成的角。‎ 因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌△ABE, ∠GA‎1A=∠GAH,从而∠A‎1HA=90°,‎ 即直线AE与D‎1F所成的角为直角。‎ 小结归纳 ‎1．求两条异面直线所成角的步骤：(1)找出或作出有关角的图形；(2)证明它符合定义；‎ ‎(3)求角．‎ ‎2．证明两条直线异面的常用方法：反证法、定义法(排除相交或平行)、定理法．‎ ‎3．求异面直线间距离的方法：作出公垂线段，向量法．‎ 基础过关 第3课时 直线和平面平行 ‎1．直线和平面的位置关系 、 、 ．‎ 直线在平面内，有 公共点．‎ 直线和平面相交，有 公共点．‎ 直线和平面平行，有 公共点．‎ 直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外．‎ ‎2．直线和平面平行的判定定理 如果平面外 和这个平面内 平行，那么这条直线和这个平面平行．‎ ‎(记忆口诀：线线平行 线面平行)‎ ‎3．直线和平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面 ，经过 平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．(记忆口诀：线面平行 线线平行)‎ B C A P M 典型例题 例1．如图，P是ABC所在平面外一点，MPB，‎ 试过AM作一平面平行于BC，并说明画法的理论依据．‎ 解：在平面PBC内过M点作MN∥BC，交PC于N点，‎ 连AN则平面AMN为所求 根据线面平行的性质定理及判定定理 变式训练1：在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，M、N分别是A1B和AC上的点，且A‎1M＝AN．‎ 求证：MN∥平面BB‎1C1C．‎ 证明：在面BA1内作MM1∥A1B1交BB1于M1‎ 在面AC内作NN1∥AB交BC于N1‎ 易证MM1 NN1即可 例2. 设直线a∥，P为内任意一点，求证：过P且平行a的直线必在平面内．‎ 证明：设a与p确定平面β，且α∩β＝a' ，则a'∥a 又a∥l l∩a'＝p ‎∴a与a'重合 ∴lα 变式训练2：求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．‎ 解：已知α∩β＝l a∥α a∥β 求证：a∥l 证明：过a作平面γ交平面α于b，交平面β于C，‎ ‎∵a∥α，∴a∥b 同理，∵a∥β ∴a∥c ∴b∥c 又∵bβ 且cβ ∴b∥β 又平面α经过b交β于l ‎∴b∥l且a∥b ∴a∥l 例3. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧菱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．‎ B A D C E P ‎( 1 ) 证明：PA∥平面EDB；‎ ‎( 2 ) 求EB与底面ABCD所成的角的正切值．‎ ‎ (1 ) 证明：提示，连结AC交BD于点O，连结EO．‎ ‎( 2) 解：作EF⊥DC交DC于F，连结BF．‎ 设正方形ABCD的边长为a．∵ PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DC．‎ ‎∴ EF∥PD，F为DC的中点．∴EF⊥底面ABCD，‎ BF为BE在底面ABCD内的射影，‎ ‎∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角．‎ A E F B H G C D 在Rt△BCF中，BF＝‎ ‎∵ EF＝PD＝，∴ 在Rt△EFB中，‎ tan∠EBF＝．所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为．‎ 变式训练3：如图，在四面体中截面EFGH平行于对棱 AB和CD，试问：截面在什么位置时，其截面的面积最大？‎ 解：易证截面EFGH是平行四边形 设AB＝a CD＝b ∠FGH＝α(a、b为定值，α为异面直线AB与CD所成的角)‎ 又设FG＝x GH＝y 由平几得 ‎ ‎∴＝1 ∴y＝(a－x)‎ ‎∴S□ EFGH＝FG·GH·sinα＝x·(a－x)sinα ‎＝x(a－x)‎ ‎∵x＞‎0 a－x＞0 且x＋(a－x)＝a为定值 ‎∴当且仅当 x＝a－x 即x＝时(S□ EFGH)max＝‎ 例4．已知：ABC中，ACB＝90°，D、E分别为AC、AB的中点，沿DE将ADE折起使A到A'的位置，若平面A'DE⊥面BCDE，M是A'B的中点，求证：ME∥面A'CD．‎ 证明：取A'C的中点N，连MN、DN，‎ 则MN BC，DE BC ‎∴MN DE ∴ME∥ND 又ME面A'CD ND面A'CD ‎∴ME∥面A'CD 变式训练4： (2005年北京)如图，在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．‎ ‎( 1 ) 求证：AC⊥BC1；‎ ‎(2) 求证：AC1∥平面CDB1；‎A D B B1‎ C1‎ A1‎ C ‎(3) 求异面直线AC1与B‎1C所成角的余弦值．‎ 解：（1）直三棱柱ABC－A1B‎1C1，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5．‎ ‎∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1；‎ ‎（2）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1‎ ‎∴DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1；‎ ‎（3）∵DE∥AC1，∴CED为AC1与B‎1C所成的角，在△CED中，ED＝AC1＝，CD＝AB＝，CE＝CB1＝2，∴cos∠CED = ‎ ‎∴异面直线AC1与B‎1C所成角的余弦值为．‎ 小结归纳 ‎1．证明直线和平面平行的方法有：(1)依定义采用反证法；(2)判定定理；(3)面面平行性质；(4)向量法．‎ ‎2．辅助线(面)是解、证有关线面问题的关键，要充分发挥在化空间问题为平面问题的转化作用．‎ 基础过关 第4课时 直线和平面垂直 ‎1．直线和平面垂直的定义 如果一条直线和一个平面的 直线垂直，那么这条直线和这个平面互相垂直．‎ ‎2．直线和平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的 直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．‎ ‎3．直线和平面垂直性质 若a⊥，b则 ‎ 若a⊥，b⊥则 ‎ 若a⊥，a⊥则 ‎ 过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．‎ ‎4．点到平面距离 过一点作平面的垂线 叫做点到平面的距离．‎ ‎5．直线到平面的距离 一条直线与一个平面平行时，这条直线上 到这个平面的距离叫做直线到平面距离．‎ 典型例题 例1. OA、OB、OC两两互相垂直，G为ABC的垂心．求证：OG平面ABC．‎ B A C O G 证明：∵OA、OB、OC两两互相垂直 ‎∵OA⊥平面OBC ∴OA⊥BC 又G为△ABC的垂心 ‎ ‎∴ AG⊥BC, ∴ BC⊥面OAG ‎∴BC⊥OG 同理可证：AC⊥OG 又BC∩AC＝C ‎∴OG⊥平面ABC S A B C F E 变式训练1：如图SA⊥面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥SB，且SB∩AE＝E，AF⊥SC，且AF∩SC＝F，求证：(1) BC⊥面SAB；(2) AE⊥面SBC；(3) SC⊥EF．‎ 证明：(1) BC⊥面SAB ‎(2) 由(1)有AE⊥面SBC ‎(3) 由(2)有SC⊥面AEFSC⊥EF 例2 如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC中点．‎ ‎(1) 求证：MN⊥CD；‎ ‎(2) 若PDA＝45°，求证：MN⊥面PCD．‎ P M B C D A N 证明：(1) 连AC取中点O，连NO、MO，并且MO交CD于R ‎∵N为PC中点 ∴NO为△PAC的中位线 NO∥PA 而PA⊥平面ABCD ∴NO⊥平面ABCD ‎∴MN在平面ABCD的射影为MO，又ABCD是矩形 M为AB中点，O为AC中点 ∴MO⊥CD ‎∴CD⊥MN ‎(2) 连NR，则∠NRM＝45°＝∠PDA 又O为MR的中点，且NO⊥MR ‎∴△MNR为等腰三角形 且∠NRM＝∠NMR＝45°‎ ‎∴∠MNR＝90° ∴MN⊥NR 又MN⊥CD ‎∴MN⊥平面PCD 变式训练2：PD垂直于平面ABCD所在平面，PB⊥AC，PA⊥AB．‎ ‎ 求证：① ABCD是正方形；② PC⊥BC．‎ 证明：略 P D A B C F E 例3．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E、F分别为CD、PB的中点．‎ ‎(1) 求证：EF⊥平面PAB；‎ ‎(2) 设AB＝BC，求AC与平面AEF所成的角的大小．‎ (1) 证明：连结EP．∵PD⊥底面ABCD，DE在 平面ABCD中，∴PD⊥DE，又CE＝ED，PD＝AD＝BC，‎ ‎∴Rt△BCE≌Rt△PDE，∴PE＝BE ‎∵F为PB中点，∴EF⊥PB．‎ 由垂线定理得PA⊥AB，∴在Rt△PAB中，PF＝AF，又PE＝BE＝EA，∴△EFP≌△EFA，‎ ‎∴EF⊥FA．‎ ‎∵ PB、FA为平面PAB内的相交直线，∴EF⊥平面PAB．‎ ‎(2) 解：不防设BC＝1，则AD＝PD＝1，AB＝，PA＝，AC＝．∴△PAB为等腰直角三角形．且PB＝2，Ｆ是其斜边中点，BF＝1，且AF⊥PB．∵PB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直．∴PB⊥平面AEF．连结BE交AC于G，作GH∥BP交EF于H，则GH⊥平面AEF．‎ ‎∠GAH为AC与平面AEF所成的角．‎ 由△EGC∽△BGA可知EG＝GB，EG＝EB，AG＝AC＝．‎ 由△EGH∽△BGF可知GH＝BF＝‎ ‎∴sin∠GAH＝‎ ‎∴AC与面AEF所成的角为arc sin．‎ 变式训练3：如图，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，BAD＝BDC＝90°，AB＝AD＝3，BC＝2CD．求：‎ ‎(1) 求AC的长；‎ ‎(2) 求证：平面ABC⊥平面ACD；‎ ‎(3) 求D点到平面ABC的距离d．‎ A B D C 解：(1) (2)略．‎ ‎(3)因VA－DBC＝(DC×BD)×OA＝6，‎ 又VD－ABC＝(AB×AC)×d＝d，‎ VA－BCD＝VD－ABC，则d＝6，解得d＝.‎ 例4：如图，棱长为4的正方体AC1，O是正方形A1B‎1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1＝4CP．‎ A1‎ C1‎ D1‎ A B C D P H O B1‎ ‎(1) 求直线AP与平面BCC1B1所成角的大小；‎ ‎(2) 设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1HAP；‎ ‎(3) 求点P到平面ABD1的距离．‎ 答案： (1) ∠APB＝arctan ‎(2) AP在面AC上的射影为AC 又AC⊥BD ‎∴PA⊥BD 而BD∥B1D1 ∴B1D1⊥AP 而B1D1在平面D1AP上的射影为D1H ∴D1H⊥AP ‎(3) 面ABD1⊥面BC1 过P作PM⊥BC1于M 则PM＝‎ 变式训练4：三棱锥V－ABC的三条侧棱VA、VC两两垂直，顶点V在底面内的射影是H．‎ ‎(1) 求证H是△ABC的垂心；‎ ‎(2) ．‎V E H A C B D ‎(1) 证明：连结AH交BC于D点，连接CH交AB于E点，‎ ‎∵VA⊥VB，VA⊥VC，VB∩VC＝V，‎ ‎∴VA⊥VBC面，又BCVBC面，∴BC⊥VA．‎ ‎∵VH⊥ABC面，BCABC面，‎ ‎∴BC⊥VH，又VA∩VH＝A，∴BC⊥VHA面．‎ 又ADVHA面，∴AD⊥BC，同理可得CE⊥AB，‎ ‎∴H是△ABC的垂心．‎ ‎(2) 连接VE，在Rt△VEC中，VE2＝EH×EC AB2×VE2＝AB2×EH×EC，‎ 即．‎ 小结归纳 线面垂直的判定方法：(1) 线面垂直的定义； (2)判定定理；‎ ‎(3) 面面垂直的性质； (4) 面面平行的性质：若∥，a⊥则a ⊥‎ 基础过关 第5课时 三垂线定理 基础过关 ‎1．和一个平面相交，但不和这个平面 ‎ 的直线叫做平面的斜线，斜线和平面的交点叫做 ．‎ ‎2．射影(1) 平面外一点向平面引垂线的 叫做点在平面内的射影；‎ ‎(2) 过垂足和斜足的直线叫斜线在平面内的 ．‎ 斜线上任意一点在平面上的射影一定在 ．‎ 垂线在平面上的射影只是 ．‎ 直线和平面平行时，直线在平面上的射影是和该直线 的一条直线．‎ C O B A ‎3．如图，AO是平面斜线，A为斜足，OB⊥，B 为垂足，AC，∠OAB＝，BAC＝，‎ ‎∠OAC＝，则cos＝ ．‎ ‎4．直线和平面所成的角 平面的斜线和它在这个平面内的 所成 的 叫做这条直线和平面所成角．‎ 斜线和平面所成角，是这条斜线和平面内任一条直线所成角中 ．‎ ‎5．三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的 垂直，那么它也和 垂直．‎ 逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 垂直，那么它也和这条 垂直．‎ 典型例题 例1. 已知RtABC的斜边BC在平面内，A到的距离2，两条直角边和平面所成角分别是45°和30°．求：(1) 斜边上的高AD和平面所成的角；‎ ‎(2) 点A在内的射影到BC的距离．‎ 答案：(1) 60° (2)‎ 变式训练1：如图，道旁有一条河，河对岸有电塔AB，塔顶A到道路距离为AC，且测得∠BCA＝30°，在道路上取一点D，又测得CD＝‎30m，∠CDB＝45°．求电塔AB的高度．‎ D A B C 解：BC＝30，AB＝BC tan30°＝10‎ 例2．如图，矩形纸片A‎1A2A3A4，B、C、B1、C1‎ 分别为A‎1 A4、A‎2A3的三等分点，将矩形片沿 B1‎ A1 B C A4‎ A1‎ A2 B‎1 C1 A3‎ A2‎ C1‎ C B BB1，CC1折成三棱柱，若面对角线A1B1BC1；‎ 求证：A2CA1B1．‎ 解：取A2B1中点D1 ∵A‎2C1＝B‎1C1 ∴C1D1⊥A2B1‎ 又A‎1A2⊥面A2B‎1C1 ∴C1D1⊥A‎1A2‎ ‎∴C1D1⊥面A‎1A2B1B ∴BD1是BC1在面A2B上的射影 由A1B1⊥BC1 ∴BD1⊥A1B1‎ 取A1B中点D 同理可证A2D是A‎2C在面A2B上的射影 ‎∵A2DBD1 ∴A2DBD1是平行四边形 由BD1⊥A1B1 ∴A1B1⊥A2D ‎∴A‎2C⊥A1B1 ‎ A1‎ C1‎ B1‎ M N C P B A 变式训练2：如图，在正三棱柱ABC－A1B‎1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长，设这条最短路线与CC1交点N，求：‎ ‎(1) PC和NC的长；‎ ‎(2) 平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)大小．‎ 解：将侧面BB‎1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面 AA‎1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，‎ 连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线 设PC＝x，则P‎1C＝x，在Rt△MAP1中，由勾股定理得x＝2‎ ‎∴PC＝P‎1C＝2 ∵ ∴NC＝‎ ‎(2) 连接PP1，则PP1就是平面NMP与平面ABC的交线，作NH⊥PP1于H，又CC1⊥平面ABC，连结CH，由三垂线定理得CH⊥PP1‎ ‎∴∠NHC就是平面NMP与平面ABC所成的平面角(锐角)‎ 在Rt△PHC中 ∵∠PCH＝∠PCP1＝60° ‎ ‎∴CH＝＝1‎ D1‎ C1‎ B1‎ A1‎ B A D F C E 在Rt△PHC中 tanNHC＝‎ 故平面NMP与平面ABC所成二面角大小为arctan 例3.如图在棱长为1的正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，‎ 点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．‎ ‎(1) 试确定点F的位置，使得D1E面AB‎1F；‎ ‎(2) 当D1E面AB‎1F时，求二面角C1－EF－A大小．‎ 解：(1) 连结A1B，则A1B是D1E在面ABB‎1A1内的射影 ‎∵AB1⊥A1B ∴D1E⊥AB1‎ 于是D1E⊥平面AB‎1F D1E⊥AF 连结DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影 ‎∴D1E⊥AFDE⊥AF ‎∵ABCD是正方形，E是BC的中点 ‎∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF 即当点F是CD的中点时，D1E⊥面AB‎1F ‎(2) 当D1E⊥平面AB‎1F时，由(1) 知点F是CD的中点，又已知点E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD连AC，设AC与EF交点H，则CH⊥EF，连C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影 ‎∴C1H⊥EF ‎ 即∠C1HC是二面角C1－EF－C的平面角 在Rt△C1HC中 ∵C‎1C＝1 CH＝AC＝‎ ‎∴tan∠C1HC＝ ‎ ‎∴∠C1HC＝arctan 2‎ ‎∴∠AHC1＝π－arctan2‎ 变式训练3：正方体ABCD－A1B‎1C1D1中棱长a，点P在AC上，Q在BC1上，AP＝BQ＝a，‎ ‎(1) 求直线PQ与平面ABCD所成角的正切值；‎ ‎(2) 求证：PQ⊥AD．‎ ‎(1) 解：过Q作QM∥CC1交BC于M 则QM⊥面ABCD ∴∠QPM就是所求角 ‎∵即 ∴‎ ‎ ∴ ∴PM∥AB 在Rt△PQM中 PM＝ QM＝‎ ‎∴tan∠QPM＝＝＝＋1‎ ‎(2) 由(1) 可知PM⊥BC PQ在面ABCD内的射影是PM.‎ ‎∴PQ⊥BC 又AD∥BC ∴PQ⊥AD 例4．如图，在长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．‎ ‎(1) 证明：D1E⊥A1D；‎ ‎(2) 当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；‎A A1‎ C1‎ D1‎ B C E D B1‎ ‎(3) AE等于何值时，二面角D1－EC－D的大小为．‎ ‎ ‎ ‎ (1) 证明：∵ AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E．‎ ‎(2) 设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC＝CD1＝，AD1＝，＝··＝，而＝·AE·BC＝．‎ ‎∴＝·DD1＝·h ‎∴×1＝×h， ∴h＝‎ ‎(3) 过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角D1－EC－D的平面角．设AE＝x，则BE＝2－x 在Rt△D1DH中，∵∠DHD1＝，∴DH＝1‎ ‎∵在Rt△ADE中，DE＝，∴在Rt△DHE中，EH＝x，在Rt△DHC中，CH＝，CE＝，则x＋＝，解得x＝2－．‎ 即当x＝2－时，二面角为D1－EC－D的大小为．‎ P A B C D 变式训练4：如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，且PD＝a，PA＝PC＝a．‎ ‎(1) 求证：PD⊥面ABCD；‎ ‎(2) 求直线PB与AC所成角；‎ ‎(3) 求二面角A－PB－D大小．‎ 证明：(1) ∵PC＝a PD＝DC＝a ‎ ‎∴PD2＋DC2＝PC2‎ ‎∴△PDC是直角三角形 ∴PD⊥DC 同理PD⊥DA 又∵DA∩DC＝D ‎∴PD⊥平面ABCD ‎(2) 连BD ∵ABCD是正方形 ∴AC⊥BD 又∵PD⊥平面ABCD AC⊥PB(三垂线定理)‎ ‎∴PB与AC所成角为90°‎ ‎(3) 设AC∩BD＝0 作AE⊥PB于E，连OE ‎∵AC⊥BD PD⊥平面ABCD AC面ABCD ‎∴PD⊥AC ∴AC⊥平面PDB 又∵OE是AE在平面PDB内的射影 ‎∴OE⊥PB ‎ ‎∴∠AEO就是二面角A－PB－O的平面角 又∵AB＝a PA＝ PB＝‎ ‎∵PD⊥面ABCD DA⊥AB ∴ PA⊥AB 在Rt△PAB中 AE·PB＝PA·AB ‎ ‎∴AE＝ AO＝‎ 小结归纳 ‎∴sin∠AEO＝ ∴∠AEO＝60°‎ ‎1．求直线和平面所成的角的一般步骤是一找(作)，二证，三算．寻找直线在平面内的射影是关键，基本原理是将空间几何问题转化为平面几何问题，主要转化到一个三角形内，通过解三角形来解决．‎ ‎2．三垂线定理及逆定理，是判定两条线互相垂直的重要方法，利用它解题时要抓住如下几个环节：一抓住斜线，二作出垂线，三确定射影．‎ ‎３．证明线线垂直的重要方法：三垂线定理及逆定理；线⊥面线⊥线；向量法．‎ 基础过关 第6课时 平面与平面平行 基础过关 ‎1．两个平面的位置关系： ‎ ‎2．两个平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条 直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行．‎ ‎(记忆口诀：线面平行，则面面平行)‎ ‎3、两个平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它所有的 平行．‎ ‎(记忆口诀：面面平行，则线线平行)‎ ‎4．两个平行平面距离 和两个平行平面同时 的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分叫做两个平面的 ，两个平行面的公垂线段的 ，叫做两个平行平面的距离．‎ 典型例题 A1‎ A B C B1‎ C1‎ E F M N D1‎ D 例1．如图，正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B‎1C1、C1D1中点．‎ ‎(1) 求证：平面AMN∥平面EFDB；‎ ‎(2) 求异面直线AM、BD所成角的余弦值．‎ 解：(1) 易证EF∥B1D1 MN∥B1D1 ∴EF∥MN AN∥BE 又MN∩AN＝N EF∩BE＝E ‎∴面AMN∥面EFDB ‎(2) 易证MN∥BD ∴∠AMN为AM与BD所成角 易求得 cos∠AMN＝‎ B D β α A C O 变式训练1：如图，∥，AB交、于A、B，‎ CD交、 于C、D，ABCD＝O，O在两平面之间，‎ AO＝5，BO＝8，CO＝6．求CD．‎ 解：依题意有AC∥DB 即 ‎∴OD＝ ∴CD＝＋6＝‎ 例2 . 已知平面∥平面，AB、CD是夹在平面和平面间的两条线段，点E、F分别在AB、CD上，且．求证：EF∥∥．‎ 证明：1°若AB与CD共面，设AB与CD确定平面γ，则α∩γ＝AC β∩γ＝BD ‎∵α∥β ∴AC∥BD 又∵‎ ‎∴EF∥AC∥BD ∴EF∥α∥β ‎2°若AB与CD异面，过A作AA'∥CD 在AA'截点O，使 ‎ ‎∴EO∥BA' OF∥A'D ‎∴平面EOF∥α∥β ∴EF与α、β无公共点 ‎∴EF∥α∥β 变式训练2：在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B‎1C1、C1D1的中点．‎ 求证：(1) APMN；‎ ‎(2) 平面MNP∥平面A1BD．‎ 证明：(1) 连BC1 易知AP在BCC1B1内射影是BC1‎ BC1⊥MN ∴AP⊥MN ‎(2) ∵面MNP∥面A1BD 例3.已知a和b是两条异面直线．‎ ‎(1) 求证：过a和b分别存在平面α和β，使α∥β；‎ ‎(2) 求证：a、b间的距离等于平面α与β的距离．‎ ‎(1) 在直线a上任取一点P，过P作b'∥b，在直线b上取一点Q 过Q作a'∥a 设a, b'确定一个平面α a', b确定平面β a'∥a aα ∴a'∥α 同理b∥α 又a'、bβ ∴α∥β 因此，过a和b分别存在两个平面α、β ‎(2) 设AB是a和b的公垂线，则AB⊥b，AB⊥a ∴AB⊥a'‎ a'和b是β内的相交直线，∴AB⊥β 同理AB⊥α 因此，a, b间的距离等于α与β间的距离．‎ 变式训练3：如图，已知平面α∥平面β，线段PQ、PF、QC分别交平面α于A、B、C、点，交平面β于D、F、E点，PA＝9，AD＝12，DQ＝16，△ABC的面积是72，试求△DEF的面积．‎ Q F D E C A B α β P 解：平面α∥平面β，∴AB∥DF，AC∥DE，‎ ‎∴∠CAB＝∠EDF．在△PDF中，AB∥DF，DF＝AB＝AB，同理DE＝AC．‎ S△DEF＝DF·DE sin∠EDF＝S△ABC＝96．‎ 例4.如图，平面∥平面，ABC．A1B‎1C1分别在、内，线段AA1、BB1、CC1交于点O，O在、之间，若AB＝‎2AC＝2，∠BAC＝60°，OA:OA1＝3:2．‎ B1‎ A1‎ C1‎ β α B C A O 求A1B‎1C1的面积．‎ 解：∵α∥β AA1∩BB1＝O ∴AB∥A1B1‎ 同理AC∥A‎1C1 BC∥B‎1C1‎ ‎∴△ABC∽△A1B‎1C1 S△ABC＝AB·AC·sin60°＝ ‎ ‎ ∴‎ ‎∴＝‎ D E A C B P 变式训练4：如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E是PD的中点．‎ ‎（1）证明：PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；‎ ‎（2）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的正切值．‎ ‎（1）证：因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，‎ 所以AB＝AD＝AC＝a，‎ 在△PAB中，由PA2＋AB2＝‎2a2＝PB2知PA⊥AB，‎ 同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD．‎ 因为＝＋＋＝2＋＋‎ ‎＝(＋)＋(＋)＝＋‎ ‎∴ 、、共面．‎ PB平面EAC，所以PB∥平面EAC．‎ ‎（2） 解：作EG∥PA交AD于G，由PA∥平面ABCD，知EG⊥平面ABCD．作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角θ的平面角．‎ 又E是PD的中点，从而G是AD的中点，EG＝a，AG＝a，GH＝AG sin 60°＝a，‎ 小结归纳 所以tanθ＝．‎ ‎1．判定两个平面平行的方法：(1)定义法；(2)判定定理．‎ ‎2．正确运用两平面平行的性质．‎ ‎3．注意线线平行，线面平行，面面平行的相互转化：线∥线线∥面面∥面．‎ 基础过关 第7课时 两个平面垂直 ‎1．两个平面垂直的定义：如果两个平面相交所成二面角为 二面角，则这两个平面互相垂直．‎ ‎2．两个平面垂直的判定：如果一个平面 有一条直线 另一个平面，则这两个平面互相垂直．‎ ‎3．两个平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面 的垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面．‎ ‎4．异面直线上两点间的距离公式：EF＝，其中：d是异面直线a、b的 ，θ为a、b ，m、n分别是a、b上的点E、F到 AA'与a、b的交点A，A'的距离．‎ 例1 如图所示，在四面体S－ABC中，SA＝SB＝SC，∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°．‎ 求证：平面ABC⊥平面BSC．‎C A S D B 证明：略 变式训练1：如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．‎ A S B C ‎ ⑴ 求证：AB⊥BC；‎ ‎⑵ 若设二面角S－BC－A为45°，‎ SA＝BC，求二面角A－SC－B的大小．‎ 证明：(1) 作AH⊥SB于H，则AH⊥平面SBC ‎∴AH⊥BC， 又SA⊥BC ‎∴BC⊥平面SAB ∴BC⊥AB ‎(2) ∠SBA是二面角S－BC－A的平面角，∠SBA＝45°，作AE⊥SC于E，连结EH，EH⊥SC，∠AEH为所求二面角的平面角，∠AEH＝60°‎ 例2.在120°的二面角P－a－Q的两个面P和Q内，分别有点A和点B，已知点A和点B到棱a的距离分别是2和4，且线段AB＝10，求：‎ ‎(1) 直线AB和棱a所成的角；‎ ‎(2) 直线AB和平面Q所成的角．‎ 答案：(1) arc sin (2) arc sin 变式训练2：已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，点E为AB中点，点F为PD中点．‎ ‎（1） 证明：平面PED⊥平面PAB；‎ ‎（2） 求二面角P－AB－F的平面角的余弦值．‎ ‎（1）证明：连BD．∵AB＝AD，∠DAB＝60°，‎ ‎∴△ADB为等边三角形，∴E是AB中点．∴AB⊥DE，∵PD⊥面ABCD，AB面ABCD，∴AB⊥PD．‎ ‎∵DE面PED，PD面PED，DE∩PD＝D，‎ ‎∴AB⊥面PED，∵AB面PAB．∴面PED⊥面PAB．‎ ‎（2）解：∵AB⊥平面PED，PE面PED，∴AB⊥PE．连结EF，∵ EF面PED，∴AB⊥EF．‎ ‎∴ ∠PEF为二面角P－AB－F的平面角．‎ 设AD＝2，那么PF＝FD＝1，DE＝．‎ 在△PEF中，PE＝，EF＝2，PF＝1‎ ‎∴cos∠PEF＝‎ 即二面角P－AB－F的平面角的余弦值为．‎ C B D F P A E 例3.如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，又二面角P－CD－B为45°．‎ ‎⑴ 求证：AF∥平面PEC；‎ ‎⑵ 求证：平面PEC⊥平面PCD；‎ ‎⑶ 设AD＝2，CD＝2，求点A到面PEC的距离．‎ 证明：(1) 取PC的中点G，易证EG∥AF，从而AF∥平面PEC ‎(2) 可证EG⊥平面PCD ‎(3) 点A到平面PEC的距离即F到平面PEC的距离，考虑到平面PEC⊥平面PCD，过F作FH⊥PC于Ｈ，则FH即为所求，由△PFH～△PCD得FH＝1‎ 变式训练3：如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．‎ C B A V D ‎ ⑴ 证明：AB⊥平面VAD；‎ ‎⑵ 求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．‎ ‎（1）证明：‎ 平面VAD⊥平面ABCD AB⊥AD AB⊥平面VAD AB平面ABCD AD＝平面VAD∩平面ABCD ‎（2）解：取VD的中点E，连结AE、BE．‎ ‎∵△VAD是正三角形，∴AE⊥VD，AE＝AD．‎ ‎∵AB⊥平面VAD，∴AB⊥AE．‎ 又由三垂线定理知BE⊥VD．‎ 于是tan ∠AEB＝＝,‎ 即得所求二面角的大小为arc tan B C A A1‎ B1‎ C1‎ 例4．如图，在三棱柱ABC－A1B‎1C1中，四边形A1ABB1是菱形，四边形BCC1B1是矩形，AB⊥BC，CB＝3，AB＝4，∠A1AB＝60°.‎ ‎⑴ 求证：平面CA1B⊥平面A1ABB1；‎ ‎⑵ 求直线A‎1C与平面BCC1B1所成角的正切值；‎ ‎(3) 求点C1到平面A1CB的距离．‎ 证( 1) 因为四边形BCC1B1是矩形，‎ 又∵AB⊥BC，∴BC⊥平面A1ABB1．‎ ‎（2）过A1作A1D⊥B1B于D，连结DC，‎ ‎∵BC⊥平面A1ABB1，∴BC⊥A1D．‎ ‎∴ A1D⊥平面BCC1B1，‎ 故∠A1CD为直线A‎1C与平面BCC1B1所成的角，‎ 在矩形BCC1B1中，DC＝，因为四边形A1ABB1是菱形．‎ ‎∠A1AB＝60°，CB＝3，AB＝4，∴ A1D＝2‎ ‎∴ tan∠A1CD＝．‎ ‎（3）∵ B‎1C1∥BC，∴B‎1C1∥平面A1BC．‎ ‎∴ C1到平面A1BC的距离即为B1到平面A1BC的距离．‎ 连结AB1，AB1与A1B交于点O，∵四边形A1ABB1是菱形，∴B1O⊥A1B．‎ ‎∵ 平面CA1B⊥平面A1ABB1，∴B1O⊥平面A1BC，‎ ‎∴ B1O即为C1到平面A1BC的距离．‎ ‎∵B1O＝2 ∴ C1到平面A1BC的距离为2．‎ 变式训练4：如果在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°，且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．‎ A C B P G D ‎⑴ 若G为AD边的中点，求证BG⊥平面PAD；‎ ‎⑵ 求证AD⊥PB；‎ ‎⑶ 求二面角A－BC－P的大小；‎ ‎⑷ 若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，‎ 使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．‎ 答案 (1) 略 (2) 略 (3) 45° (4) F为PC的中点 小结归纳 在证明两平面垂直时，一般方法是从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加，在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后再转化为线线垂直．“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化是解决这类问题的关键．‎ 第8课时 空间的角 基础过关 ‎1．两异面直线所成的角：直线a、b是异面直线，经过空间一点O分别引直线a' a，b' b，把直线a'和b'所成的 或 叫做两条异面直线a、b所成的角，其范围是 ．‎ ‎2．直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的 所成的 角，叫做这条斜线和平面所成的角．‎ 规定： ① 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 角；② 一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是 角．‎ 其范围是 ．‎ 公式：cosθ＝cosθ1cosθ2，其中，θ1是 ，θ2是 ，θ是 ．‎ ‎3．二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角．‎ P B E F D C A ‎4．二面角的平面角：以二面角的棱上 一点为端点，在两个面内分别作 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，其范围是 ．‎ 典型例题 例1. 如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．‎ ‎（1）求EF与平面PAD所成角的大小；‎ A1‎ B1‎ D1‎ C1‎ D A B C ‎（2）求EF与CD所成角的大小；‎ ‎（3）若∠PDA＝45°，求：二面角F—AB—D的大小．‎ 解：(1)易知EF∥平面PAD，故EF与平面PAD成角为0°；‎ ‎(2)易知EF⊥CD，故EF与CD成角为90°；‎ ‎(3)取AC中点为0，则∠FEO为所求二面角的平面角，易求得∠FEO＝45°．‎ 变式训练1：如图，ABCD—A1B‎1C1D1是正四棱柱，若二面角C1‎ ‎—BD—C的大小为60°，求异面直线BC1与AC所成 的角的大小．‎ 答案：arccos 例2. 在等腰梯形ABCD中，AB＝20，CD＝12，它的高为2，以底边的中垂线MN为折痕，将梯形MBCN折至MB‎1C1N位置，使折叠后的图形成120°的二面角，求：‎ C D A B B1‎ M N C1‎ ‎⑴ AC1的长；‎ ‎⑵ AC1与MN所成的角；‎ ‎⑶ AC1与平面ADMN所成的角．‎ 答案：(1) 16 (2) arcsin (3) arcsin A B O C D S 变式训练2：已知四边形ABCD内接于半径为R的⊙O，AC为⊙O的直径，点S为平面ABCD外一点，且SA⊥平面ABCD，若∠DAC＝∠ACB＝∠SCA＝30°，求：‎ ‎⑴ 二面角S－CB－A的大小；‎ ‎⑵ 直线SC与AB所成角的大小．‎ 答案：(1) arctan (2) arccos 例3. △ABC和△DBC所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°．求：‎ ‎⑴ AD与平面DBC所成的角；‎ A B D C ‎⑵ 二面角A－BD－C的正切值．‎ 解：(1) 作AE⊥BC交BC的延长线于E，‎ 由面ABC⊥面BCD知AE⊥向BCD，∠ADE即为所求，求得∠ADE＝45°‎ ‎(2) 作EF⊥BO于F，∠AFE即为所求，求得tan∠AFE＝2‎ 变式训练3：正三棱柱ABC－A1B‎1C1中，E是AC中点．‎ B B1‎ A E C C1‎ A1‎ ‎⑴ 求证：平面BEC1⊥平面ACC‎1A1；‎ ‎⑵ 求证：AB1∥平面BEC1；‎ ‎⑶ 若，求二面角E－BC1－C的大小．‎ 答案：(1) 略 (2) 略 (3) 45°‎ 例4: 已知直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝a，AA1＝2AB，M为CC1上的点.(1) 当M在C‎1C上的什么位置时，B‎1M与平面AA‎1C1C所成的角为30°；‎ ‎(2) 在(1)的条件下，求AM与A1B所成的角.‎ A C M A1‎ B1‎ C1‎ B 解(1) 取A‎1C1的中点N1，连结B1N1，N‎1M，‎ 由已知易知B1N1⊥平面A‎1C1CA. ‎ ‎∴∠B1MN1为B‎1M与平面A‎1C1CA所成的角，‎ 设C‎1M＝x，B1N1＝a.‎ B E A D F C sin < B1MN1＝, 解得x＝a，‎ 则C‎1M＝C‎1C, ∴M为C‎1C的中点.‎ ‎(2) arccos 变式训练4：已知正方形ABCD，E、F分别是边AB、‎ CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图所示，记二 A E F B C D 面角A—DE—C的大小为，若△ACD ‎ 为正三角形，试判断点A在平面BCDE内的射影G ‎ 是否在直线EF上，证明你的结论，并求角的余弦值．‎ 解：点A在平面BCDE内的射影在直线EF上，‎ 过点A作AG⊥平面BCDE，垂足为G，‎ 连结GC、GD．‎ ‎∵△ACD为正三角形，‎ ‎∴AC＝AD，∴GC＝GD，‎ ‎∴G在CD的垂直平分线上，又∵EF是CD的垂直平分线，‎ ‎∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，过G作GH⊥ED，垂足为H，连结AH，则AH⊥DE．∴∠AHG是二面角A—DE—C的平面角，即∠AHG＝，‎ 设原正方形ABCD的边长为‎2a，由直角三角形的射影定理，‎ 可得AH＝，GH＝，‎ ‎∴．‎ 小结归纳 ‎1．两异面直线所成角的作法：‎ ‎① 平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，常常利用中位线或成比例线段引平行线；‎ ‎② 补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的是容易作出两条异面直线所成的角．‎ ‎2．作出直线和平面所成角的关键是作垂线，找射影．‎ ‎3．平面角的作法：‎ ‎① 定义法；② 三垂线法；③ 垂面法．‎ ‎4．二面角计算，一般是作出平面角后，通过解三角形求出其大小，也可考虑利用射影面积公式 S'＝Scosθ来求．‎ ‎5．空间角的计算有时也可以利用向量的求角公式完成．‎ 第9课时 空间距离 基础过关 ‎1．点与点的距离：两点间 的长．‎ ‎2．点与线的距离：点到直线的 的长．‎ ‎3．平行线间的距离：从两条平行线中一条上 一点向另一条引垂线，这点到 之间的线段长．‎ ‎4．点与面的距离：点到平面的 的长．‎ ‎5．平行于平面的直线与平面的距离：直线上 一点到平面的 的长．‎ ‎6．两个平行平面间的距离：从其中一个平面上 一点向另一个平面引垂线，这点到 之间的线段长．‎ ‎7．两条异面直线的距离：与两条异面直线都 的直线夹在两 间线段的长．‎ 典型例题 例1. 已知正六边形ABCDEF的边长为a，PA⊥平面AC，PA＝a．求：‎ ‎⑴ P到直线BC的距离；‎ ‎⑵ P到直线CD的距离．‎ 答案：(1) (2) ‎‎2a 变式训练1： 已知平面外不共线的三点A、B、C到α的距离相 A C B D l 等．求证：存在△ABC的一条中位线平行α或在α内．‎ 提示：分A、B、C在的同侧与异侧讨论 例2．如图， 直线l上有两定点A、B， 线段AC⊥l，BD⊥l，‎ AC＝BD＝a，且AC与BD成120°角，求AB与CD间的距离．‎ 解：在面ABC内过B作BE⊥l于B，且BE＝AC，‎ 则ABEC为矩形．‎ ‎∴AB∥CE，∴AB∥平面CDE．‎ 则AB与CD的距离即为B到DE的距离．‎ 过B作BF⊥DE于F，易求得BF＝，∴AB与CD的距离为．‎ A N M B O D C 变式训练2：ABCD是边长为a的正方形，M、N分别为DA、BC边上的点，且MN∥AB交AC于O点，沿MN折成直二面角．‎ ‎⑴ 求证：不论MN怎样平行移动(AB∥MN)，∠AOC的大小不变；‎ ‎⑵ 当MN在怎样的位置时，点M到平面ACD的距离最大？‎ 并求出这个最大值．‎ 解(1) 120°；‎ ‎(2) 当且仅当MA＝MD时，点M到平面ACD的距离最大，最大值为a．‎ 设MD＝x，M到AD的距离h即是M到平面ACD的距离：‎ h＝≤＝≤a(当x＝时两不等式同取等号)‎ A E B C G D F 例3. 已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，GC＝2，求点B到平面EFG的距离．‎ 解：连结AC、BD、AC∩BD＝0，‎ ‎∵E、F分别是AB、AD的中点，‎ ‎∴EF∥BD，‎ ‎∴B到平面EFG的距离即0到平面EFG的距离，AC∩EF＝K，连结KG，‎ ‎∵EF⊥KC，∴EF⊥平面KGC，过O作OH⊥KG于H，则OH⊥平面EFG，‎ Ａ B C D Ａ1‎ C1‎ D1‎ B1‎ E F ‎∴OH即为O到平面EFG的距离，KC＝AC＝3，KG＝，OK＝AC＝，由Rt△OHK∽Rt△CKG得OH＝．‎ 变式训练3：正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为a，Ｅ、F分别是BB1、CD的中点.‎ ‎⑴ 求证：AD⊥D‎1F；‎ ‎⑵ 求证：AE与D‎1F所成的角；‎ ‎⑶ 求点F到平面A1D1E的距离．‎ 答案：(1) 略 (2) 90° ‎ ‎ (3)将F移至AB中点研究．‎ F C D E G B A 北 南 ‎30°‎ ‎30°‎ ‎30°‎ 例4．在正北方向的一条公路上，一辆汽车由南向北行驶，速度为‎100千米/小时，一架飞机在一定高度上的一条直线上飞行，速度为100千米/小时，从汽车里看飞机，在某个时刻看见飞机在正西方向，仰角为30°，在36秒后，又看见飞机在北偏西30°、仰角为30°处，求飞机飞行的高度.‎ 解：如图A、C分别是汽车、飞机开始时的位置，‎ B、D分别是经过36秒后的位置，ABEF是水平面，‎ CFED是矩形，且CD＝×100＝(千米)，‎ AB＝×100＝‎1千米，CF(或DE)则为飞机的飞行高度，设其为x千米，在Rt△CFA中，AF＝x；在Rt△DEB中，BE＝x. 作EG⊥AB于G，EH⊥AF于H，则EG＝AH＝x，EH＝AG＝1＋，FH＝x. 在Rt△FHE中，EF2＝FH2＋EH2，即()2＝(x) 2＋(1＋)2，∴ x＝1. 故飞机飞行的高度为‎1千米．‎ 变式训练4：如图，四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．‎ ‎（1）若点D到平面ABC的距离不小于3，求二面角A—BC—D的取值范围；‎ ‎（2）当二面角A—BC—D的平面角为时，求点C到平面ABD的距离．‎ A B D C 解(1)(提示：D到平面ABC的距离d∈[3，] )‎ ‎(2)取BC中点E，连结EA、ED，则∠AED＝‎ ‎∴AD＝AE＝‎ ‎∵‎ 又，设C到平面ABD的距离为h．‎ 则 小结归纳 ‎1．对于空间距离的重点是点到直线、点到平面的距离，对于两异面直线的距离一般只要求会求给出公垂线段时的距离．‎ ‎2、求点到平面的距离的方法：‎ ‎⑴ 确定点在平面射影的位置，要注意利用面面垂直求作线面垂直及某些特殊性质．‎ ‎⑵ 转化法．即化归为相关点到平面的距离或转化为线面距或转化为面面距来求.‎ ‎(3) 等体积法：利用三棱锥的体积公式，建立体积相等关系求出某底上的高，即点面距.‎ ‎3．距离问题有时也可以利用向量的模的计算解决．具体见第11节的小结4、5两点.‎ 基础过关 第10课时 棱柱 棱锥 基础过关 ‎ ‎ 一、棱柱 ‎1．定义：如果一个多面体有两个面互相 ，而其余每相邻两个面的交线互相 ，这样的多面体叫做棱柱，两个互相平行的面叫做棱柱的 ，其余各面叫做棱柱的 ，两侧面的公共边叫做棱柱的 ，两个底面所在平面的公垂线段，叫做棱柱的 ．‎ ‎2．性质：① 侧棱 ，侧面是 ；② 两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的 多边形；③ 过不相邻的两条侧棱的截面是 四边形．‎ ‎3．分类：① 按底面边数可分为 ；② 按侧棱与底面是否垂直可分为：‎ 棱柱 ‎ ‎4．特殊的四棱柱：四棱柱→平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体．‎ ‎5．长方体对角线的性质：长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的 ．‎ 二、棱锥 ‎1．定义：如果一个多面体的一个面是 ，其余各面是有一个公共顶点的 ，那么这个多面体叫做棱锥，有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的 ；余下的那个多边形，叫做棱锥的 ．两个相邻侧面的公共边，叫做棱锥的 ，各侧面的公共顶点，叫做棱锥的 ；由顶点到底面所在平面的垂线段，叫做棱锥的 ．‎ ‎2．性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面 ，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 ．‎ ‎3．正棱锥的定义：如果一个棱锥的底面是 多边形，且顶点在底面的射影是底面的 ，这样的棱锥叫做正棱锥．‎ ‎4．正棱锥的性质：‎ ‎① 正棱锥各侧棱 ，各侧面都是 的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高 （它叫做正棱锥的 ）；‎ A B C D A1‎ C1‎ D1‎ B1‎ E F ‎② 正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个 三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影组成一个 三角形．‎ 典型例题 例1．已知正四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1，AB＝1，AA1＝2，‎ 点E为CC1的中点，点F为BD1的中点.‎ ‎⑴ 证明：EF为BD1与CC1的公垂线；‎ ‎⑵ 求点F到面BDE的距离. ‎ A A1‎ C1‎ B1‎ B C O 答案(1)略； (2) ‎ 变式训练1：三棱柱ABC－A1B‎1C1中，AB＝a，‎ BC、AC、AA1长均为a，A1在底面ABC上的射影O在AC上．‎ ‎⑴ 求AB与侧面AC1所成的角；‎ ‎⑵ 若O点恰是AC的中点，求此三棱柱的侧面积．‎ P A C B E 答案(1) 45°；(2) ‎ 例2. 如图，正三棱锥P—ABC中，侧棱PA与底面ABC成60°角．‎ ‎（1）求侧PAB与底面ABC成角大小；‎ ‎（2）若E为PC中点，求AE与BC所成的角；‎ ‎（3）设AB＝，求P到面ABC的距离．‎ 解：(1)；‎ ‎(2)取PB中点F，连结EF，则∠AEF为所求的角，求得∠AEF＝；‎ B E C O D A ‎(3)P到平面ABC的距离为．‎ 变式训练2： 四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，‎ CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.‎ ‎（1）求证：AO⊥平面BCD；‎ ‎（2）求异面直线AB与CD所成的角；‎ ‎（3）求点E到平面ACD的距离．‎ 答案：(1)易证AO⊥BD，AO⊥OC，∴AO⊥平面BCD；‎ ‎(2)；(3)用等体积法或向量法可求得点E到平面ACD的距离是．‎ A B C P D 例3. 四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB＝2，CD＝1，∠DAB＝45°；侧面PAD是等腰直角三角形，AP＝PD，且平面PAD⊥平面ABCD．‎ ‎⑴ 求证：PA⊥BD；‎ ‎⑵ 求PB与底面ABCD所成角的正切值；‎ ‎⑶ 求直线PD与BC所成的角．‎ 答案：(1)略；(2)；(3)60°‎ 变式训练3：在所有棱长均为a的正三棱柱ABC－A1B‎1C1中，D为BC的中点．‎ A C D B C1‎ B1‎ A1‎ ‎ ⑴ 求证：AD⊥BC1；‎ ‎⑵ 求二面角A－BC1－D的大小；‎ ‎⑶ 求点C到平面ABC1的距离．‎ 提示：(1)证AD⊥平面BB‎1C1C；(2) arc tan；(3) a．‎ A1‎ B1‎ C1‎ C A M D B 例4．如图，在直三棱柱ABC—A1B‎1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC1＝1，M为AB的中点，A1D＝3DB1．‎ ‎（1）求证：平面CMD⊥平面ABB‎1A1；‎ ‎（2）求点A1到平面CMD的距离；‎ ‎（3）求MD与B‎1C1所成角的大小．‎ 提示(1)转证CM⊥平面A1B；‎ ‎(2)过A1作A1E⊥DM，易知A1E⊥平面CMD，∴求得A1E＝1；‎ ‎(3)异面直线MD与B‎1C1所成的角为 变式训练4：在长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，AA1＝AD＝1，AB＝，O为对角线A‎1C的中点．‎ ‎⑴ 求OD与底面ABCD所成的角的大小；‎ ‎⑵ P为AB上一动点，当P在何处时，平面POD⊥平面A1CD？并证明你的结论．‎ 答案(1) 30°；(2) 当P为AB的中点时，平面POD⊥平面A1CD．‎ 小结归纳 柱体和锥体是高考立体几何命题的重要载体，因此，在学习时要注意以下三点．‎ ‎1．要准确理解棱柱、棱锥的有关概念，弄清楚直棱柱、正棱锥概念的内涵和外延．‎ ‎2．要从底面、侧面、棱(特别是侧棱)和截面(对角面及平行于底面的截面)四个方面掌握几何性质，能应用这些性质研究线面关系．‎ ‎3．在解正棱锥问题时，要注意利用四个直角三角形，其中分别含有九个元素(侧棱、高、侧棱与斜高在底面上的射影、侧棱与侧面与底面所成角、边心距以及底面边的一半)中的三个，已知两个可求另一个．‎ 第11课时 球 基础过关 ‎1．球：与定点的距离 或 定长的点的集合．‎ ‎2．球的性质 ‎(1) 用一个平面去截一个球，截面是 ．‎ ‎(2)球心和截面圆心的连线 于截面．‎ ‎(3) 球心到截面的距离与球半径及截面的半径有以下关系： ．‎ ‎(4) 球面被经过球心的平面截得的圆叫 ．被不经过球心的平面截得的圆叫 ．‎ ‎(5) 在球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧长，这个弧长叫 ．‎ ‎3．球的表面积公式和体积公式：设球的半径为R，则球的表面积S＝ ；球的体积V＝ ．‎ 典型例题 例1. 如图，A、B、C是半径为1的球面上的三点，B、C两点间的球面距离为，点A与B、C两点的球面距离都为，O为球心，求：‎ ‎(1) 的大小； ‎ ‎(2) 球心O到截面ABC的距离．‎ 解：(1) 因为B、C两点的球面距离为，即B、C两点与球心连线所夹圆心角为，点A与B、C两点的球面距离都为，即均为直角，所以 ‎(2) 因为⊿BOC，⊿ABC都是等腰三角形，取BC的中点M，连OM，AM，过O作OH⊥AM于H，可证得OH即为O到截面ABC的距离．‎ 变式训练1： 球面上有三点A、B、C，A和B及A和C之间的球面距离是大圆周长的，B和C之间的球面距离是大圆周长的，且球心到截面ABC的距离是，求球的体积．‎ 解：设球心为O，由已知，易得∠AOB＝∠AOC＝，∠BOC＝，过O作OD⊥BC于D，连AD，再过O作OE⊥AD于E，则OE⊥平面ABC于E，∴OE＝. 在Rt△AOD中，由AD·OE＝AO·ODOA＝R＝1.∴ V球＝πR3＝π．‎ 例2. 如图，四棱锥A－BCDE中，，且AC⊥BC，AE⊥BE．‎ ‎(1) 求证：A、B、C、D、E五点都在以AB为直径的同一球面上；‎ ‎(2) 若求B、D两点间的球面距离．‎ 解：(1) 因为AD⊥底面BCDE，所以AD⊥BC，AD⊥BE，又因为AC⊥BC，AE⊥BE，所以BC⊥CD，BE⊥ED．故B、C、D、E四点共圆，BD为此圆的直径．‎ 取BD的中点M，AB的中点N，连接BD、AB的中点MN，则MN∥AD，所以MN⊥底面BCDE，即N的射影是圆的圆心M，有AM＝BM＝CM＝DM＝EM，故五点共球且直径为AB．‎ ‎(2) 若∠CBE＝90°，则底面四边形BCDE是一个矩形，连接DN，因为：‎ 所以B、D两点间的球面距离是.‎ 变式训练2：过半径为R的球面上一点M作三条两两互相垂直的弦MA、MB、MC．‎ ‎(1) 求证：MA2＋MB2＋MC2为定值；‎ ‎(2) 求△MAB，△MAC，△MBC面积之和的最大值．‎ 解：(1) 易求得MA2＋MB2＋MC2＝4R2！‎ ‎(2) S△MAB＋S△MAC＋S△MBC＝(MA·MB＋MA·MC＋MB·MC)≤(MA2＋MB2＋MC2)＝2R2(当且仅当MA＝MB＝MC时取最大值).‎ 例3.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面（如图），则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（ ）‎ A． ‎ B．‎ C． ‎ D．‎ 解：设正四面体为正四面体ABCD，分析截面图可知，截面经过正四面体的一条棱设为CD，又过球心，设截面与棱AB交于E点，则E为AB的中点，易求得截面三角形的面积为，‎ 故选（C）．‎ 变式训练3：已知三棱锥P－ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB.‎ ‎(1) 证明：PC⊥平面PAB；‎ ‎(2) 求二面角P－AB－C的平面角的余弦值；‎ ‎(3) 若点P、A、B、C在一个表面积为12π的球面上，求△ABC的边长.‎ 解 (1) 连结CF，∵PE＝EF＝BC＝AC ∴AP⊥PC ∵CF⊥AB, PF⊥AB, ∴AB⊥平面PCF ∵AC平面PCF ∴PC⊥AB ∴PC⊥平面PAB.‎ ‎(2) ∵AB⊥PF, AB⊥CF ∴∠PFC为所求二面角的平面角 设AB＝a, 则PF＝EF＝, CF＝,‎ ‎∴cos∠PFC＝.‎ ‎(3) 设PA＝x, 球半径为R ‎ ‎∵PC⊥平面PAB，PA⊥PB ‎ ‎∵4πR2＝12π, ∴R＝, 知△ ABC的外接圆为球之小圆，由x2＝x·2R.‎ 得△ABC的边长为2.‎ 小结归纳 ‎1．因为“球”是“圆”在空间概念上的延伸，所以研究球的性质时，应注意与圆的性质类比．‎ ‎2．球的轴截面是大圆，它含有球的全部元素，所以有关球的计算，可作出球的一个大圆，化“球”为“圆”来解决问题．‎ ‎3．球心与小圆圆心的连线，垂直于小圆所在的平面，球的内部结构的计算也由此展开．‎ ‎4．计算球面上A、B两点的球面距离是一个难点，其关键是利用“AB既是小圆的弦，又是大圆的弦”这一事实，其一般步骤是：‎ ‎(1) 根据已知条件求出小圆的半径r和大圆的半径R，以及所对小圆圆心角；‎ ‎(2) 在小圆中，由r和圆心角求出AB；‎ ‎(3) 在大圆中，由AB和R求出大圆的圆心角；‎ ‎(4) 由圆心角和R，求出大圆弧长AB (即球面上A、B两点的距离)．‎ 立体几何初步单元测试 ‎ 一、选择题 ‎1． 若直线a、b异面，直线b、c异面，则a、c的位置关系是 （ ）‎ A．异面直线 B．相交直线 ‎ C．平行直线 D．以上都有可能 ‎2． 设l、m、n表示三条直线，α、β、r表示三个平面，则下面命题中不成立的是 （ ）‎ A．若l⊥α，m⊥α，则l∥m B．若mβ，n是l在β内的射影，m⊥l，则m⊥n C．若mα，nα，m∥n，则n∥α D．若α⊥r，β⊥r，则α∥β ‎3． 在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点如果EF与HG交于点M，则（ ）‎ A．M一定在直线AC上 ‎ B．M一定在直线BD上 C．M可能在AC上，也可能在BD上 ‎ D．M不在AC上，也不在BD上 ‎4． 点P到ΔABC三边所在直线的距离相等，P在ΔABC内的射影为O，则O为ΔABC的（ ）‎ A．外心 B．重心 C．内心 D．以上都不对 B A D O C ‎5． 已知ABCD为四面体，O为△BCD内一点（如图），则是O为△BCD重心的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎6． 已知△ABC中，AB＝9，AC＝15，∠BAC＝120°，△ABC所在平面外一点P到此三角形三个顶点的距离都是14，则点P到平面ABC的距离是 （ ）‎ A．7 B．‎9 C．11 D．13‎ ‎7． A、B两地在同一纬线上，这两地间的纬线长为pRcosa，（R是地球半径，a是两地的纬度数），则这两地间的球面距离为 （ ）‎ A．pR B．pRcosa C．pR-2aR D．pR-aR ‎8． 在长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，M、N分别是棱BB1，B‎1C1的中点，若∠CMN＝90°，则异面直线AD1与DM所成的角为 （ ）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎9．空间四边形ABCD的各边与对角线的长都为1，点P在边AB上移动，点Q在CD上移动，则点P和Q的最短距离为 （ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．若四面体的一条棱长为x，其余棱长为1，体积为F(x)，则函数F(x)在其定义域上 （ ）‎ A．是增函数但无最大值 B．是增函数且有最大值 C．不是增函数且无最大值 ‎ D．不是增函数但有最大值 二、填空题 ‎11．在长方形ABCD－A1B‎1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是 ．‎ ‎12．正四棱锥S－ABCD的侧棱长为，底面的边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角为 ．‎ ‎13．已知球的两个平行截面面积分别是5、8，它们位于球心的同侧，且相距为1，那么这个球的半径是 ．‎ ‎14．已知PA、PB、PC两两垂直且PA＝，PB＝，PC＝2，则过P、A、B、C四点的球的体积为 ．‎ ‎15．已知正三棱柱ABC－A1B‎1C1的底面边长为‎2cm，高为‎4cm，过BC作一个截面，截面与底面ABC成60°角，则截面的面积是 ．‎ 三、解答题 ‎16．设P、Q是单位正方体AC1的面AA1D1D、面A1B‎1C1D1的中心．‎ D A C B C1‎ A1‎ B1‎ D1‎ PO QO ‎(1) 证明：PQ∥平面AA1B1B；‎ ‎(2) 求线段PQ的长．‎ ‎17．在长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，已知AA1＝2，AB＝3，AD＝a，求 ‎(1) 异面直线与所成的角；‎ ‎(2) 当为何值时，使？ ‎ A B C D M B1‎ C1‎ D1‎ A1‎ O ‎18．如图，正方体AC1中，已知O为AC与BD的交点，M为DD1的中点．‎ ‎(1) 求异面直线B1O与AM所成角的大小．‎ ‎(2) 求二面角B1－MA－C的正切值．‎ ‎19．底面为等腰直角三角形的直三棱柱，，D为上的点，且，求二面角的大小．‎ ‎20．如图，α⊥β,α∩β＝l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A1，点B在l上的射影为B1，已知AB＝2，AA1＝1，BB1＝，求：‎ A A1‎ B1‎ B β α l ‎（1）直线AB与平面β所成角的大小；‎ ‎（2）二面角A1—AB—B1的大小．‎ ‎21．直四棱柱A1B‎1C1D1—ABCD底面是边长为1的菱形，侧棱长为 ‎(1) 求证：平面A1DC1⊥平面BB1DD1；‎ ‎(2) 若异面直线B1D与A1D1所成角为60°，求二面角A1－DB1－C1的平面角的余弦值；‎ A B C D D1‎ C1‎ B1‎ A1‎ ‎(3) 判断∠DB‎1C1能否为钝角？请说明理由.‎ 立体几何初步单元测试参考答案：‎ ‎1.D 2. D 3. D 4. C 5. C 6. A 7. C 8. D 9. B 10.D 11. 12. 13. 3 14. 15. . ‎ ‎16．（本题考查证明线面平行的方法）‎ ‎ ‎ 证法二：连结AD1，AB1，在△AB1D1中，显然P，Q分别是AD1，D1B的中点 ‎∴PQ∥AB1，且PQ＝AB1‎ ‎∵ PQ面AA1B1B，AB1AA1B1B ‎∴ PQ∥面AA1B1B 证法三：取A1D1的中点R，则PR∥DD1∥BB1，OR∥A1B1，平面PQR∥平面AA1B1B，PQ∥平面AA1B1B ‎(2) 方法一：PQ＝MN＝‎ 方法二：PQ＝AB1＝‎ 评注：本题提供了两种解法，方法一，通过平行四边形的对边平行得到“线线平行”，从而证得“线面平行”；方法二，通过三角形的中位线与底边平行得到“线线平行”，从而证得“线面平行”．本题证法较多．‎ ‎17．解：以D为坐标原点，以DA为轴，DC为轴，为轴建立空间直角坐标系，则有：‎ 所以，．从而 所以异面直线与所成的角为．‎ ‎(2) 当时，．‎ ‎18．(1) ‎ 方法二：取AD中点N，连结A1N，则A1N是B1O在侧面ADD‎1A1上的射影.‎ 易证AM⊥A1N ‎∴AM⊥B1O（三垂线定理）‎ 方法三：建立空间真正坐标系（以A为原点，岔以AB、AD、AA为x轴、y轴、z轴，设正方体棱长为1）‎ 则A(0, 0, 0)，M(0, 1, )，O(，，0)，B1(1, 0, 1)‎