2020届二轮复习直线与圆学案（全国通用）

2020届二轮复习直线与圆学案（全国通用）

第 1 讲 直线与圆 [做真题] 题型一 圆的方程 1．(2016·高考全国卷Ⅱ)圆 x2＋y2－2x－8y＋13＝0 的圆心到直线 ax＋y－1＝0 的距离 为 1，则 a＝( ) A．－4 3 B．－3 4 C． 3 D．2 解析：选 A．由题可知，圆心为(1，4)，结合题意得|a＋4－1| a2＋1 ＝1，解得 a＝－4 3 . 2．(2015·高考全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x2 16 ＋y2 4 ＝1 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴 上，则该圆的标准方程为________． 解析：由题意知 a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0，2)，(0，－2)，右顶点的坐 标为(4，0)．由圆心在 x 轴的正半轴上知圆过点(0，2)，(0，－2)，(4，0)三点．设圆的标 准方程为(x－m)2＋y2＝r2(0＜m＜4，r＞0)，则 m2＋4＝r2， (4－m)2＝r2， 解得 m＝3 2 ， r2＝25 4 . 所以圆的标准方程 为(x－3 2 )2＋y2＝25 4 . 答案：(x－3 2 )2＋y2＝25 4 3．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k>0)的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|＝8. (1)求 l 的方程； (2)求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程． 解：(1)由题意得 F(1，0)，l 的方程为 y＝k(x－1)(k＞0)． 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由 y＝k(x－1)， y2＝4x 得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. Δ＝16k2＋16＞0，故 x1＋x2＝2k2＋4 k2 . 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝4k2＋4 k2 . 由题设知4k2＋4 k2 ＝8，解得 k＝－1(舍去)，k＝1.因此 l 的方程为 y＝x－1. (2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3，2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y－2＝－(x－3)，即 y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则 y0＝－x0＋5， (x0＋1)2＝(y0－x0＋1)2 2 ＋16， 解得 x0＝3， y0＝2 或 x0＝11， y0＝－6. 因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16 或(x－11)2＋(y＋6)2＝144. 题型二 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．(2018·高考全国卷Ⅲ)直线 x＋y＋2＝0 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆(x －2)2＋y2＝2 上，则△ABP 面积的取值范围是( ) A．[2，6] B．[4，8] C．[ 2，3 2] D．[2 2，3 2] 解析：选 A．圆心(2，0)到直线的距离 d＝|2＋0＋2| 2 ＝2 2，所以点 P 到直线的距离 d1 ∈[ 2，3 2]．根据直线的方程可知 A，B 两点的坐标分别为 A(－2，0)，B(0，－2)，所以|AB| ＝2 2，所以△ABP 的面积 S＝1 2 |AB|d1＝ 2d1.因为 d1∈[ 2，3 2]，所以 S∈[2，6]，即△ABP 面积的取值范围是[2，6]． 2．(2015·高考全国卷Ⅱ)过三点 A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交 y 轴于 M，N 两点， 则|MN|＝( ) A．2 6 B．8 C．4 6 D．10 解析：选 C．设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则 D＋3E＋F＋10＝0， 4D＋2E＋F＋20＝0， D－7E＋F＋50＝0. 解得 D＝－2， E＝4， F＝－20. 所以圆的方程为 x2＋y2－2x＋4y－20＝0. 令 x＝0，得 y＝－2＋2 6或 y＝－2－2 6， 所以 M(0，－2＋2 6)，N(0，－2－2 6)或 M(0，－2－2 6)，N(0，－2＋2 6)，所以|MN| ＝4 6，故选 C． 3．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知直线 l：mx＋y＋3m－ 3＝0 与圆 x2＋y2＝12 交于 A，B 两 点，过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点．若|AB|＝2 3，则|CD|＝________． 解析：设圆心到直线 l：mx＋y＋3m－ 3＝0 的距离为 d，则弦长|AB|＝2 12－d2＝2 3， 得 d＝3，即|3m－ 3| m2＋1 ＝3，解得 m＝－ 3 3 ，则直线 l：x－ 3y＋6＝0，数形结合可得|CD|＝ |AB| cos 30° ＝4. 答案：4 [明考情] 1．近两年圆的方程成为高考全国卷命题的热点，需重点关注．此类试题难度中等偏下， 多以选择题或填空题形式考查． 2．直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压轴题的 位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上． 直线的方程 [考法全练] 1．若平面内三点 A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则 a＝( ) A．1± 2或 0 B．2－ 5 2 或 0 C．2± 5 2 D．2＋ 5 2 或 0 解析：选 A．因为平面内三点 A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，所以 kAB＝kAC，即a2＋a 2－1 ＝a3＋a 3－1 ，即 a(a2－2a－1)＝0，解得 a＝0 或 a＝1± 2.故选 A． 2．若直线 mx＋2y＋m＝0 与直线 3mx＋(m－1)y＋7＝0 平行，则 m 的值为( ) A．7 B．0 或 7 C．0 D．4 解析：选 B．因为直线 mx＋2y＋m＝0 与直线 3mx＋(m－1)y＋7＝0 平行，所以 m(m－1)＝ 3m×2，所以 m＝0 或 7，经检验，都符合题意．故选 B． 3．已知点 A(1，2)，B(2，11)，若直线 y＝ m－6 m x＋1(m≠0)与线段 AB 相交，则实数 m 的取值范围是( ) A．[－2，0)∪[3，＋∞) B．(－∞，－1]∪(0，6] C．[－2，－1]∪[3，6] D．[－2，0)∪(0，6] 解析：选 C．由题意得，两点 A(1，2)，B(2，11)分布在直线 y＝ m－6 m x＋1(m≠0)的两 侧(或其中一点在直线上)，所以 m－6 m －2＋1 2 m－6 m －11＋1 ≤0，解得－2≤m≤－1 或 3≤m≤6，故选 C． 4．已知直线 l 过直线 l1：x－2y＋3＝0 与直线 l2：2x＋3y－8＝0 的交点，且点 P(0，4) 到直线 l 的距离为 2，则直线 l 的方程为__________________． 解析：由 x－2y＋3＝0， 2x＋3y－8＝0， 得 x＝1， y＝2， 所以直线 l1 与 l2 的交点为(1，2)．显然直线 x＝1 不 符合，即所求直线的斜率存在，设所求直线的方程为 y－2＝k(x－1)，即 kx－y＋2－k＝0， 因为 P(0，4)到直线 l 的距离为 2，所以|－4＋2－k| 1＋k2 ＝2，所以 k＝0 或 k＝4 3 .所以直线 l 的方 程为 y＝2 或 4x－3y＋2＝0. 答案：y＝2 或 4x－3y＋2＝0 5．(一题多解)已知直线 l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线 l2 与 l1 关于直线 l 对 称，则直线 l2 的方程是________． 解析：法一：l1 与 l2 关于 l 对称，则 l1 上任意一点关于 l 的对称点都在 l2 上，故 l 与 l1 的交点(1，0)在 l2 上． 又易知(0，－2)为 l1 上的一点，设其关于 l 的对称点为(x，y)，则 x 2 －y－2 2 －1＝0， y＋2 x ×1＝－1 ，解得 x＝－1， y＝－1. 即(1，0)，(－1，－1)为 l2 上两点，故可得 l2 的方程为 x－2y－1＝0. 法二：设 l2 上任一点为(x，y)，其关于 l 的对称点为(x1，y1)，则由对称性可知 x＋x1 2 －y＋y1 2 －1＝0， y－y1 x－x1 ×1＝－1， 解得 x1＝y＋1， y1＝x－1. 因为(x1，y1)在 l1 上， 所以 2(y＋1)－(x－1)－2＝0，即 l2 的方程为 x－2y－1＝0. 答案：x－2y－1＝0 (1)两直线的位置关系问题的解题策略 求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件， 即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结 合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断． (2)轴对称问题的两种类型及求解方法 点关于 直线的 对称 若两点 P1(x1，y1)与 P2(x2，y2)关于直线 l：Ax＋By＋C＝0 对称，则线段 P1P2 的中 点在对称轴 l 上，而且连接 P1，P2 的直线垂直于对称轴 l.由方程组 A·x1＋x2 2 ＋B·y1＋y2 2 ＋C ＝0. y2－y1 x2－x1 · －A B ＝－1， 可得到点 P1 关于 l 对称的点 P2 的坐标(x2，y2)(其 中 B≠0，x1≠x2) 直线关 于直线 的对称 有两种情况，一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．一般转 化为点关于直线的对称来解决 圆的方程 [典型例题] 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与 x 轴交于不同的两点 A， B，曲线Γ与 y 轴交于点 C. (1)是否存在以 AB 为直径的圆过点 C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由． (2)求证：过 A，B，C 三点的圆过定点． 【解】 由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令 y＝0，得 x2－mx＋2m＝0. 设 A(x1，0)，B(x2，0)，则可得Δ＝m2－8m>0，x1＋x2＝m，x1x2＝2m. 令 x＝0，得 y＝2m，即 C(0，2m)． (1)若存在以 AB 为直径的圆过点 C，则AC→·BC→＝0，得 x1x2＋4m2＝0，即 2m＋4m2＝0，所以 m＝0 或 m＝－1 2 . 由Δ>0 得 m<0 或 m>8，所以 m＝－1 2 ， 此时 C(0，－1)，AB 的中点 M －1 4 ，0 即圆心，半径 r＝|CM|＝ 17 4 ， 故所求圆的方程为 x＋1 4 2 ＋y2＝17 16 . (2)证明：设过 A，B 两点的圆的方程为 x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0， 将点 C(0，2m)代入可得 E＝－1－2m， 所以过 A，B，C 三点的圆的方程为 x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0， 整理得 x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0. 令 x2＋y2－y＝0， x＋2y－2＝0， 可得 x＝0， y＝1 或 x＝2 5 ， y＝4 5 ， 故过 A，B，C 三点的圆过定点(0，1)和 2 5 ，4 5 . 求圆的方程的 2 种方法 几何法 通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程 代数法 用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程 [对点训练] 1．若方程 x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0 表示圆，则实数 a 的取值范围是( ) A．(－∞，－2) B． －2 3 ，0 C．(－2，0) D． －2，2 3 解析：选 D．若方程表示圆，则 a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，化简得 3a2＋4a－4<0，解得 －20， 又圆 C 与 y 轴相切， 所以圆 C 的半径 r＝a， 所以圆 C 的方程为(x－a)2＋y2＝a2. 因为点 M(1， 3)在圆 C 上， 所以(1－a)2＋( 3)2＝a2，解得 a＝2. 所以圆 C 的方程为(x－2)2＋y2＝4. (2)记直线 OA 的斜率为 k(k≠0)， 则其方程为 y＝kx. 联立 (x－2)2＋y2＝4， y＝kx， 消去 y，得(k2＋1)x2－4x＝0， 解得 x1＝0，x2＝ 4 k2＋1 . 所以 A 4 k2＋1 ， 4k k2＋1 . 由 k·kOB＝－2，得 kOB＝－2 k ，直线 OB 的方程为 y＝－2 k x， 在点 A 的坐标中用－2 k 代替 k，得 B 4k2 k2＋4 ，－8k k2＋4 . 当直线 l 的斜率不存在时， 4 k2＋1 ＝ 4k2 k2＋4 ，得 k2＝2，此时直线 l 的方程为 x＝4 3 . 当直线 l 的斜率存在时， 4 k2＋1 ≠ 4k2 k2＋4 ，即 k2≠2. 则直线 l 的斜率为 4k k2＋1 －－8k k2＋4 4 k2＋1 － 4k2 k2＋4 ＝ 4k(k2＋4)＋8k(k2＋1) 4(k2＋4)－4k2(k2＋1) ＝3k(k2＋2) 4－k4 ＝ 3k 2－k2. 故直线 l 的方程为 y－ 4k k2＋1 ＝ 3k 2－k2 x－ 4 k2＋1 . 即 y＝ 3k 2－k2 x－4 3 ，所以直线 l 过定点 4 3 ，0 . 综上，直线 l 恒过定点，定点坐标为 4 3 ，0 . 一、选择题 1．已知直线 l1 过点(－2，0)且倾斜角为 30°，直线 l2 过点(2，0)且与直线 l1 垂直，则 直线 l1 与直线 l2 的交点坐标为( ) A．(3， 3) B．(2， 3) C．(1， 3) D． 1， 3 2 解析：选 C．直线 l1 的斜率 k1＝tan 30°＝ 3 3 ，因为直线 l2 与直线 l1 垂直，所以直线 l2 的斜率 k2＝－1 k1 ＝－ 3，所以直线 l1 的方程为 y＝ 3 3 (x＋2)，直线 l2 的方程为 y＝－ 3(x－ 2)，联立 y＝ 3 3 (x＋2)， y＝－ 3(x－2)， 解得 x＝1， y＝ 3， 即直线 l1 与直线 l2 的交点坐标为(1， 3)． 2．圆 C 与 x 轴相切于 T(1，0)，与 y 轴正半轴交于 A、B 两点，且|AB|＝2，则圆 C 的标 准方程为( ) A．(x－1)2＋(y－ 2)2＝2 B．(x－1)2＋(y－2)2＝2 C．(x＋1)2＋(y＋ 2)2＝4 D．(x－1)2＋(y－ 2)2＝4 解析：选 A．由题意得，圆 C 的半径为 1＋1＝ 2，圆心坐标为(1， 2)，所以圆 C 的标 准方程为(x－1)2＋(y－ 2)2＝2，故选 A． 3．已知圆 M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线 x＋y＝0 所得线段的长度是 2 2，则圆 M 与圆 N： (x－1)2＋(y－1)2＝1 的位置关系是( ) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 解析：选 B．圆 M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)可化为 x2＋(y－a)2＝a2，由题意，M(0，a)到直 线 x＋y＝0 的距离 d＝ a 2 ，所以 a2＝a2 2 ＋2，解得 a＝2.所以圆 M：x2＋(y－2)2＝4，所以两圆 的圆心距为 2，半径和为 3，半径差为 1，故两圆相交． 4．(2019·皖南八校联考)圆 C 与直线 2x＋y－11＝0 相切，且圆心 C 的坐标为(2，2)， 设点 P 的坐标为(－1，y0)．若在圆 C 上存在一点 Q，使得∠CPQ＝30°，则 y0 的取值范围是 ( ) A．[－1 2 ，9 2 ] B．[－1，5] C．[2－ 11，2＋ 11] D．[2－2 3，2＋2 3] 解析：选 C．由点 C(2，2)到直线 2x＋y－11＝0 的距离为|4＋2－11| 5 ＝ 5，可得圆 C 的 方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.若存在这样的点 Q，当 PQ 与圆 C 相切时，∠CPQ≥30°，可得 sin ∠CPQ＝CQ CP ＝ 5 CP ≥sin 30°，即 CP≤2 5，则 9＋(y0－2)2≤2 5，解得 2－ 11≤y0≤2＋ 11. 故选 C． 5．在平面直角坐标系内，过定点 P 的直线 l：ax＋y－1＝0 与过定点 Q 的直线 m：x－ay ＋3＝0 相交于点 M，则|MP|2＋|MQ|2＝( ) A． 10 2 B． 10 C．5 D．10 解析：选 D．由题意知 P(0，1)，Q(－3，0)，因为过定点 P 的直线 ax＋y－1＝0 与过定 点 Q 的直线 x－ay＋3＝0 垂直，所以 MP⊥MQ，所以|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝9＋1＝10，故选 D． 6．(一题多解)(2019·河南郑州模拟)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线 x－ky ＋1＝0 与圆 C：x2＋y2＝4 相交于 A，B 两点，OM→＝OA→＋OB→，若点 M 在圆 C 上，则实数 k 的值为 ( ) A．－2 B．－1 C．0 D．1 解析：选 C．法一：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 x－ky＋1＝0， x2＋y2＝4 得(k2＋1)y2－2ky－3＝0， 则Δ＝4k2＋12(k2＋1)>0，y1＋y2＝ 2k k2＋1 ，x1＋x2＝k(y1＋y2)－2＝－ 2 k2＋1 ，因为OM→＝OA→＋OB→， 故 M － 2 k2＋1 ， 2k k2＋1 ，又点 M 在圆 C 上，故 4 (k2＋1)2＋ 4k2 (k2＋1)2＝4，解得 k＝0. 法二：由直线与圆相交于 A，B 两点，OM→＝OA→＋OB→，且点 M 在圆 C 上，得圆心 C(0，0)到 直线 x－ky＋1＝0 的距离为半径的一半，为 1，即 d＝ 1 1＋k2 ＝1，解得 k＝0. 二、填空题 7．过点( 2，0)引直线 l 与曲线 y＝ 1－x2相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线 l 的斜率等于________． 解析：令 P( 2，0)，如图，易知|OA|＝|OB|＝1， 所以 S△AOB＝1 2 |OA|·|OB|·sin∠AOB＝1 2 sin∠AOB≤1 2 ， 当∠AOB＝90°时，△AOB 的面积取得最大值，此时过点 O 作 OH⊥AB 于点 H， 则|OH|＝ 2 2 ， 于是 sin∠OPH＝|OH| |OP| ＝ 2 2 2 ＝1 2 ，易知∠OPH 为锐角，所以∠OPH＝30°， 则直线 AB 的倾斜角为 150°，故直线 AB 的斜率为 tan 150°＝－ 3 3 . 答案：－ 3 3 8．已知圆 O：x2＋y2＝4 到直线 l：x＋y＝a 的距离等于 1 的点至少有 2 个，则实数 a 的 取值范围为________． 解析：由圆的方程可知圆心为(0，0)，半径为 2.因为圆 O 到直线 l 的距离等于 1 的点至 少有 2 个，所以圆心到直线 l 的距离 d

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