中考数学折叠专项训练试题含答案

中考数学折叠专项训练试题含答案

中考数学折叠专项训练试题附参考答案 一．选择题（共9小题）‎ ‎1．（2013•贵港）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论：①DF=CF；②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S△BEF=3S△DEF．其中，将正确结论的序号全部选对的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎①②③‎ B．‎ ‎①②④‎ C．‎ ‎②③④‎ D．‎ ‎①②③④‎ 考点：‎ 翻折变换（折叠问题）；等边三角形的判定；矩形的性质．4946047‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得CF=FM=DF；‎ 易求得∠BFE=∠BFN，则可得BF⊥EN；‎ 易证得△BEN是等腰三角形，但无法判定是等边三角形；‎ 易求得BM=2EM=2DE，即可得EB=3EM，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠D=∠BCD=90°，DF=MF，‎ 由折叠的性质可得：∠EMF=∠D=90°，‎ 即FM⊥BE，CF⊥BC，‎ ‎∵BF平分∠EBC，‎ ‎∴CF=MF，‎ ‎∴DF=CF；故①正确；‎ ‎∵∠BFM=90°﹣∠EBF，∠BFC=90°﹣∠CBF，‎ ‎∴∠BFM=∠BFC，‎ ‎∵∠MFE=∠DFE=∠CFN，‎ ‎∴∠BFE=∠BFN，‎ ‎∵∠BFE+∠BFN=180°，‎ ‎∴∠BFE=90°，‎ 即BF⊥EN，故②正确；‎ ‎∵在△DEF和△CNF中，‎ ‎，‎ ‎∴△DEF≌△CNF（ASA），‎ ‎∴EF=FN，‎ ‎∴BE=BN，‎ 但无法求得△BEN各角的度数，‎ ‎∴△BEN不一定是等边三角形；故③错误；‎ ‎∵∠BFM=∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，‎ ‎∴BM=BC=AD=2DE=2EM，‎ ‎∴BE=3EM，‎ ‎∴S△BEF=3S△EMF=3S△DEF；‎ 故④正确．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎2．如图，将矩形ABCD的一个角翻折，使得点D恰好落在BC边上的点G处，折痕为EF，若EB为∠AEG的平分线，EF和BC的延长线交于点H．下列结论中：‎ ‎①∠BEF=90°；②DE=CH；③BE=EF；‎ ‎④△BEG和△HEG的面积相等；‎ ‎⑤若，则．‎ 以上命题，正确的有（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2个 B．‎ ‎3个 C．‎ ‎4个 D．‎ ‎5个 考点：‎ 翻折变换（折叠问题）．4946047‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎①根据平角的定义，折叠的性质和角平分线的性质即可作出判断；‎ ‎②根据折叠的性质和等腰三角形的性质可知DE≠CH；‎ ‎③无法证明BE=EF；‎ ‎④根据角平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形中线的性质可得△BEG和△HEG的面积相等；‎ ‎⑤过E点作EK⊥BC，垂足为K．在RT△EKG中利用勾股定理可即可作出判断．‎ 解答：‎ 解：①由折叠的性质可知∠DEF=∠GEF，∵EB为∠AEG的平分线，∴∠AEB=∠GEB，∵∠AED=180°，∴∠BEF=90°，故正确；‎ ‎②可证△EDF∽△HCF，DF＞CF，故DE≠CH，故错误；‎ ‎③只可证△EDF∽△BAE，无法证明BE=EF，故错误；‎ ‎④可证△GEB，△GEH是等腰三角形，则G是BH边的中线，∴△BEG和△HEG的面积相等，故正确；‎ ‎⑤过E点作EK⊥BC，垂足为K．设BK=x，AB=y，则有y2+（2y﹣2x）2=（2y﹣x）2，解得x1=y（不合题意舍去），x2=y．则，故正确．‎ 故正确的有3个．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了翻折变换，解答过程中涉及了矩形的性质、勾股定理，属于综合性题目，解答本题的关键是根据翻折变换的性质得出对应角、对应边分别相等，然后分别判断每个结论，难度较大，注意细心判断．‎ ‎　‎ ‎3．（2012•遵义）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎2‎ D．‎ ‎2‎ 考点：‎ 翻折变换（折叠问题）．4946047‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 首先过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，易证得△ENG≌△BNM（AAS），MN是△BCF的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得GN=MN，由折叠的性质，可得BG=3，继而求得BF的值，又由勾股定理，即可求得BC的长．‎ 解答：‎ 解：过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，‎ ‎∵∠EMB=90°，‎ ‎∴四边形ABME是矩形，‎ ‎∴AE=BM，‎ 由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，‎ ‎∴EG=BM，‎ ‎∵∠ENG=∠BNM，‎ ‎∴△ENG≌△BNM（AAS），‎ ‎∴NG=NM，‎ ‎∴CM=DE，‎ ‎∵E是AD的中点，‎ ‎∴AE=ED=BM=CM，‎ ‎∵EM∥CD，‎ ‎∴BN：NF=BM：CM，‎ ‎∴BN=NF，‎ ‎∴NM=CF=，‎ ‎∴NG=，‎ ‎∵BG=AB=CD=CF+DF=3，‎ ‎∴BN=BG﹣NG=3﹣=，‎ ‎∴BF=2BN=5，‎ ‎∴BC===2．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎4．如图，两个正方形ABCD和AEFG共顶点A，连BE，DG，CF，AE，BG，K，M分别为DG和CF的中点，KA的延长线交BE于H，MN⊥BE于N．则下列结论：①BG=DE且BG⊥DE；②△ADG和△ABE的面积相等；③BN=EN，④四边形AKMN为平行四边形．其中正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎③④‎ B．‎ ‎①②③‎ C．‎ ‎①②④‎ D．‎ ‎①②③④‎ 考点：‎ 正方形的性质；全等三角形的判定；平行四边形的判定．4946047‎ 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ 充分利用三角形的全等，正方形的性质，平行四边形的性质依次判断所给选项的正误即可．‎ 解答：‎ 解：由两个正方形的性质易证△AED≌△AGB，‎ ‎∴BG=DE，∠ADE=∠ABG，‎ ‎∴可得BG与DE相交的角为90°，‎ ‎∴BG⊥DE．①正确；‎ 如图，延长AK，使AK=KQ，连接DQ、QG，‎ ‎∴四边形ADQG是平行四边形；‎ 作CW⊥BE于点W，FJ⊥BE于点J，‎ ‎∴四边形CWJF是直角梯形；‎ ‎∵AB=DA，AE=DQ，∠BAE=∠ADQ，‎ ‎∴△ABE≌△DAQ，‎ ‎∴∠ABE=∠DAQ，‎ ‎∴∠ABE+∠BAH=∠DAQ+∠BAH=90°．‎ ‎∴△ABH是直角三角形．‎ 易证：△CWB≌△BHA，△EJF≌△AHE；‎ ‎∴WB=AH，AH=EJ，‎ ‎∴WB=EJ，‎ 又WN=NJ，‎ ‎∴WN﹣WB=NJ﹣EJ，‎ ‎∴BN=NE，③正确；‎ ‎∵MN是梯形WGFC的中位线，WB=BE=BH+HE，‎ ‎∴MN=（CW+FJ）=WC=（BH+HE）=BE；‎ 易证：△ABE≌△DAQ（SAS），∴AK=AQ=BE，‎ ‎∴MN∥AK且MN=AK；‎ 四边形AKMN为平行四边形，④正确．‎ S△ABE=S△ADQ=S△ADG=S▱ADQG，②正确．‎ 所以，①②③④都正确；‎ 故选D．‎ 点评：‎ 当出现两个正方形时，一般应出现全等三角形．图形较复杂，选项较多时，应用排除法求解．‎ ‎　‎ ‎5．（2012•资阳）如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC=6，NC=，则四边形MABN的面积是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 翻折变换（折叠问题）．4946047‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 首先连接CD，交MN于E，由将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，即可得MN⊥CD，且CE=DE，又由MN∥AB，易得△CMN∽△CAB，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比等于相似比，即可得，又由MC=6，NC=，即可求得四边形MABN的面积．‎ 解答：‎ 解：连接CD，交MN于E，‎ ‎∵将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，‎ ‎∴MN⊥CD，且CE=DE，‎ ‎∴CD=2CE，‎ ‎∵MN∥AB，‎ ‎∴CD⊥AB，‎ ‎∴△CMN∽△CAB，‎ ‎∴，‎ ‎∵在△CMN中，∠C=90°，MC=6，NC=，‎ ‎∴S△CMN=CM•CN=×6×2=6，‎ ‎∴S△CAB=4S△CMN=4×6=24，‎ ‎∴S四边形MABN=S△CAB﹣S△CMN=24﹣6=18．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 此题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，解此题的关键是注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎6．如图，D是△ABC的AC边上一点，AB=AC，BD=BC，将△BCD沿BD折叠，顶点C恰好落在AB边的C′处，则∠A′的大小是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎40°‎ B．‎ ‎36°‎ C．‎ ‎32°‎ D．‎ ‎30°‎ 考点：‎ 翻折变换（折叠问题）．4946047‎ 分析：‎ 连接C'D，根据AB=AC，BD=BC，可得∠ABC=∠ACB=∠BDC，然后根据折叠的性质可得∠BCD=∠BC'D，继而得出∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D，根据四边形的内角和求出各角的度数，最后可求得∠A的大小．‎ 解答：‎ 解：连接C'D，‎ ‎∵AB=AC，BD=BC，‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=∠BDC，‎ ‎∵△BCD沿BD折叠，顶点C恰好落在AB边的C′处，‎ ‎∴∠BCD=∠BC'D，‎ ‎∴∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D，‎ ‎∵四边形BCDC'的内角和为360°，‎ ‎∴∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D==72°，‎ ‎∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=36°．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了折叠的性质，解答本题的关键是掌握翻折前后的对应角相等，注意本题的突破口在于得出∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D，根据四边形的内角和为360°求出每个角的度数．‎ ‎　‎ ‎7．（2012•舟山）如图，已知△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，点D在BC边上，把△ABC沿AD翻折使AB与AC重合，得△AB′D，则△ABC与△AB′D重叠部分的面积为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ ‎3﹣‎ D．‎ 考点：‎ 翻折变换（折叠问题）．4946047‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 首先过点D作DE⊥AB′于点E，过点C作CF⊥AB，由△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，利用等腰三角形的性质，即可求得AC的长，又由折叠的性质，易得∠CDB′=90°，∠B′=30°，B′C=AB′﹣AC=2﹣2，继而求得CD与B′D的长，然后求得高DE的长，继而求得答案．‎ 解答：‎ 解：过点D作DE⊥AB′于点E，过点C作CF⊥AB，‎ ‎∵△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，‎ ‎∴AC=BC，‎ ‎∴AF=AB=，‎ ‎∴AC===2，‎ 由折叠的性质得：AB′=AB=2，∠B′=∠B=30°，‎ ‎∵∠B′CD=∠CAB+∠B=60°，‎ ‎∴∠CDB′=90°，‎ ‎∵B′C=AB′﹣AC=2﹣2，‎ ‎∴CD=B′C=﹣1，B′D=B′C•cos∠B′=（2﹣2）×=3﹣，‎ ‎∴DE===，‎ ‎∴S阴影=AC•DE=×2×=．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 此题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．‎ ‎　‎ ‎8．（2013•定海区模拟）如图，已知△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=，点D在BC边上，把△ABC沿AD翻折，使AB与AC重合，得△AED，则BD的长度为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 翻折变换（折叠问题）．4946047‎ 分析：‎ 作CF⊥AB于点F，利用三线合一定理即可求得BF的长，然后证明△CDE是直角三角形，BD=x，则CD=DE=2﹣x，利用三角函数即可得到关于x的方程，解方程即可求解．‎ 解答：‎ 解：作CF⊥AB于点F．‎ ‎∵∠CAB=∠B ‎∴AC=BC，‎ ‎∴BF=AB=，‎ 在直角△BCF中，BC==2，‎ 在△CDE中，∠E=∠B=30°，∠ECD=∠CAB+∠B=60°，DE=BD，‎ ‎∴∠CDE=90°，‎ 设BD=x，则CD=DE=2﹣x，‎ 在直角△CDE中，tanE===tan30°=，‎ 解得：x=3﹣．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了图形的折叠，以及三线合一定理、三角函数，正确理解折叠的性质，找出图形中相等的线段、相等的角是关键．‎ ‎　‎ ‎9．（2013•绥化）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=1，D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 翻折变换（折叠问题）．4946047‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 先根据勾股定理计算出AB=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠BAC=30°，在根据折叠的性质得BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30°，DA=DE，由于AD⊥ED得BC∥DE，所以∠CBF=∠BED=30°，在Rt△BCF中可计算出CF=，BF=2CF=，则EF=2﹣，在Rt△DEF中计算出FD=1﹣，ED=﹣1，然后利用S△ABE=S△ABD+S△BED+S△ADE=2S△ABD+S△ADE计算即可．‎ 解答：‎ 解：∵∠C=90°，AC=，BC=1，‎ ‎∴AB==2，‎ ‎∴∠BAC=30°，‎ ‎∵△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，‎ ‎∴BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30°，DA=DE，‎ ‎∵AD⊥ED，‎ ‎∴BC∥DE，‎ ‎∴∠CBF=∠BED=30°，‎ 在Rt△BCF中，CF==，BF=2CF=，‎ ‎∴EF=2﹣，‎ 在Rt△DEF中，FD=EF=1﹣，ED=FD=﹣1，‎ ‎∴S△ABE=S△ABD+S△BED+S△ADE ‎=2S△ABD+S△ADE ‎=2×BC•AD+AD•ED ‎=2××1×（﹣1）+×（﹣1）（﹣1）‎ ‎=1．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系．‎