高考真题重庆卷数学文

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高考真题重庆卷数学文

绝密★启用前 解密时间:2007年6月7日17:00 (考试时间:6月7日15:00—17:00)‎ ‎2007年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)‎ 数学试题卷(文史类)‎ 共5页,满分150分,考试时间120分钟 注意事项:‎ ‎1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。‎ ‎2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。‎ ‎3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色铅字笔,将答案书写在答案卡规定的位置上。‎ ‎4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。‎ ‎5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回。‎ 参考公式:‎ 如果事件A、B互斥,那么 如果事件A、B相互独立,那么 如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.在等比数列{an}中,a2=8,a1=64,,则公比q为 A.2 B.‎3 ‎ C.4 D.8‎ ‎2.设全集U={a、b、c、d},A={a、c|,B=|b},则A∩()=‎ A. B.{a} C.{c} D.{a,c}‎ ‎3.垂直于同一平面的两条直线 A.平行 B.垂直 C.相交 D.异面 ‎4.(2x-1)2展开式中x2的系数为 A.15 B.‎60 ‎ C.120 D.240‎ ‎5.“-1<x<‎1”‎是“x2<‎1”‎的 A.充分必要条件 B.充分但不必要条件 C.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎6.下列各式中,值为的是 A. B.‎ C. D.‎ ‎7.从5张100元,3张200元,2张300元的奥运预赛门票中任取3张,则所取3张中至少有2张价格相同的概率为 A. B. C. D.‎ ‎8.若直线与圆相交于P、Q两点,且∠POQ=120°(其中O为原点),则k的值为 A. B. C. D.‎ ‎9.已知响亮OA=(4,6),=(3,5),且,,则向量OC=‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.设P(3,1)为二次函数的图象与其反函数的图象的一个交点,则 A. B.‎ C. D.‎ ‎11.设的等比中项,则a+3b的最大值为 A.1 B.‎2 ‎ C.3 D.4‎ ‎12.已知以F1(2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为 A. B. C. D.‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填写在答题卡相应位置上。‎ ‎13.在△ABC中,AB=1,BC=2,B=60°,则AC= 。‎ ‎14.已知的最大值为 。‎ ‎15.要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表,要求数学课排在前3节,英语课不排在第6节,则不同的排法种数为 。(以数字作答)‎ ‎16.函数的最小值为 。‎ 三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.(本小题满分13分,(1)小问5分,(2)小问8分)‎ 设甲乙两人每次射击命中目标的概率分别为,且各次射击相互独立。‎ ‎(1)若甲、乙各射击一次,求甲命中但乙未命中目标的概率;‎ ‎(2)若甲、乙各射击两次,求两命中目标的次数相等的概率。‎ ‎18.(本小题满分13分,(1)小问4分,(2)小问9分)‎ 已知函数。‎ ‎(1)求f(x)的定义域;‎ ‎(2)若角α在第一象限且 ‎19.(本小题满分12分,(1)小问6分,(2)小问6分。)‎ 如题(19)图,在直三棱柱ABC-A1B‎1C1中,∠ABC=90°,AB=1,BC=,AA1=2;点D在棱BB1上,BD=BB1;B1E⊥A1D,垂足为E,求:‎ ‎(1)异面直线A1D与B‎1C1的距离;‎ ‎(2)四棱锥C-ABDE的体积。‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 用长为‎18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?‎ ‎21.(本小题满分12分,(1)小问4分,(2)小问8分)‎ 如题(21)图,倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F,且与抛物线交于A、B两点。‎ ‎(1)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程;‎ ‎(2)若a为锐角,作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P,证明|FP|-|FP|cos‎2a为定值,并求此定值。‎ ‎22.(本小题满分12分,其中(1)小问5分,(2)小问7分)‎ 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足Sn>1,且 ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)设数列{bn}满足并记Tn为{bn}的前n项和,求证:‎ ‎2007年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)‎ 数学试题(文史类)答案 一、选择题:每小题5分,满分60分。‎ ‎1.A 2.D 3.A 4.B 5.A 6.B 7.C 8.A 9.D 10.C ‎11.B 12.C 二、填空题:每小题4分,满分16分。‎ ‎13. 14.9 15.288 16.1+2‎ 三、解答题:满分74分 解:(1)设A表示甲命中目标,B表示乙命中目标,则A、B相互独立,且PA.=,从而甲命中但乙未命中目标的概率为 ‎(2)设A1表示甲在两次射击中恰好命中k次,B1表示乙有两次射击中恰好命中l次。‎ 依题意有 由独立性知两人命中次数相等的概率为 ‎18.(本小题13分)‎ 解:(1)由 故f(x)的定义域为 ‎(2)由已知条件得 从而=‎ ‎==‎ ‎19.(本小题12分)‎ 解法一:(1)由直三棱柱的定义知B‎1C1⊥B1D,‎ 又因为∠ABC=90°,因此B‎1C1⊥A1B1,从而B‎1C1⊥平面A1B1D,得B‎1C1⊥B1E。‎ 又B1E⊥A1D,故B1E是异面直线B‎1C1与A1D的公垂线 由知 在Rt△A1B1D中,A2D=‎ 又因 故B1E=‎ ‎(2)由(1)知B‎1C1⊥平面A1B1D,‎ 又BC∥B‎1C1,故BC⊥平面ABDE,即BC为四棱锥C-ABDE的高。‎ 从而所求四棱锥的体积V为V=VC-ABDE=‎ 其中S为四边形ABDE的面积。‎ 如答(19)图1,过E作EF⊥BD,垂足为F。‎ 在Rt△B1ED中,ED=‎ 又因S△B1ED=‎ 故EF= 答(19)图 因△A1AE的边A‎1A上的高 故S△A1AE=‎ 又因为S△A1BD=‎ 从而S=S△A1AE-S△A1AE-S△A1B1D=2-‎ 所以 解法二:(1)如答(19)图2,以B点为坐标原点O建立空间直角坐标系O-xyz,则A(0,1,0),A1(0,1,2),B(0,0,0),B1(0,0,2),C1(,0,2),D(0,0, )‎ 因此 设E(,y0,z0),则,‎ 因此 又由题设B1E⊥A1D,故B1E是异面直线B‎1C1与A1D的公垂线。‎ 下面求点E的坐标。‎ 因B1E⊥A1D,即 又 联立(1)、(2),解得,,即,。‎ 所以.‎ ‎(2)由BC⊥AB,BC⊥DB,故BC⊥面ABDE.即BC为四棱锥C-ABDE的高.‎ 下面求四边形ABDE的面积。‎ 因为SABCD=SABE+ SADE,‎ 而SABE=SBDE=‎ 故SABCD=‎ 所以 ‎20.(本小题12分)‎ 解:设长方体的宽为x(m),则长为2x(m),高为.‎ 故长方体的体积为 从而 令V′(x)=0,解得x=0(舍去)或x=1,因此x=1.‎ 当0<x<1时,V′(x)>0;当1<x<时,V′(x)<0,‎ 故在x=1处V(x)取得极大值,并且这个极大值就是V(x)的最大值。‎ 从而最大体积V=V′(1)=9×12-6×13(m3),此时长方体的长为‎2 m,高为1.5 m.‎ 答:当长方体的长为‎2 m时,宽为‎1 m,高为1.5 m时,体积最大,最大体积为‎3 m3‎。‎ ‎21.(本小题12分)‎ ‎(1)解:设抛物线的标准方程为,则,从而 因此焦点的坐标为(2,0).‎ 又准线方程的一般式为。‎ 从而所求准线l的方程为。‎ ‎(2)解法一:如图(21)图作AC⊥l,BD⊥l,垂足为C、D,‎ 则由抛物线的定义知|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.‎ 记A、B的横坐标分别为xx、xz,‎ 则|FA|=|AC|=‎ 解得,‎ 类似地有,解得。‎ 记直线m与AB的交点为E,‎ 则 ‎ 所以。‎ 故。‎ 解法二:设,,直线AB的斜率为,‎ 则直线方程为。‎ 将此式代入,得,故。‎ 记直线m与AB的交点为,则 ‎,,‎ 故直线m的方程为.‎ 令y=0,得P的横坐标,故。‎ 从而为定值。‎ ‎22.(本小题12分)‎ ‎(1)解:由,解得a1=1或a1=2,‎ 由假设a1=S1>1,因此a1=2。‎ 又由an+1=Sn+1- Sn=,‎ 得an+1- an-3=0或an+1=-an 即an=1-an-3或an-1=-an 因an>0,故an+1=-an不成立,舍去。‎ 因此an+1- an=3。从而{an}是公差为3,首项为2的等差数列,‎ 故{an}的通项为an=3n-2.‎ ‎(2)证法一:由可解得;‎ 从而.‎ 因此.‎ 令,‎ 则.‎ 因,故.‎ 特别的。从而,‎ 即.‎ 证法二:同证法一求得bn及Tn。‎ 由二项式定理知当c>0时,不等式成立。‎ 由此不等式有 ‎=。‎ 证法三:同证法一求得bn及Tn。‎ 令An=,Bn=,Cn=。‎ 因,因此。‎ 从而 ‎>。‎
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