高中数学人教a版选修2-3第二章随机变量及其分布2-3-2-3-1学业分层测评word版含答案

高中数学人教a版选修2-3第二章随机变量及其分布2-3-2-3-1学业分层测评word版含答案

学业分层测评 (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．设随机变量 X～B(40，p)，且 E(X)＝16，则 p 等于( ) A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【解析】 ∵E(X)＝16，∴40p＝16，∴p＝0.4.故选D. 【答案】 D 2．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的期望为( ) A．0.6 B．1 C．3.5 D．2 【解析】 抛掷骰子所得点数ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 5 6 P 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 所以 E(ξ)＝1×1 6 ＋2×1 6 ＋3×1 6 ＋4×1 6 ＋5×1 6 ＋6×1 6 ＝3.5. 【答案】 C 3．设ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 P 1 6 1 6 1 3 1 3 又设η＝2ξ＋5，则 E(η)等于( ) A.7 6 B.17 6 C.17 3 D.32 3 【解析】 E(ξ)＝1×1 6 ＋2×1 6 ＋3×1 3 ＋4×1 3 ＝17 6 ，所以 E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ) ＋5＝2×17 6 ＋5＝32 3 . 【答案】 D 4．某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独 立的，遇到红灯的概率都是1 3 ，遇到红灯时停留的时间都是 2 min，这名学生在上 学路上因遇到红灯停留的总时间 Y 的期望为( ) A.1 3 B．1 C.4 3 D.8 3 【解析】 遇到红灯的次数 X～B 4，1 3 ，∴E(X)＝4 3. ∴E(Y)＝E(2X)＝2×4 3 ＝8 3. 【答案】 D 5．设随机变量 X 的分布列为 P(X＝k)＝1 4 ，k＝1,2,3,4，则 E(X)的值为( ) A．2.5 B．3.5 C．0.25 D．2 【解析】 E(X)＝1×1 4 ＋2×1 4 ＋3×1 4 ＋4×1 4 ＝2.5. 【答案】 A 二、填空题 6．今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为 0.9和0.85， 设发现目标的雷达的台数为 X，则 E(X)＝________. 【导学号：97270049】 【解析】 X 可能的取值为 0,1,2，P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015，P(X ＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22，P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765，所以 E(X) ＝1×0.22＋2×0.765＝1.75. 【答案】 1.75 7．(2016·邯郸月考)一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字 0，两 个面上标有数字 1，一个面上标有数字 2.将这个小正方体抛掷 2 次，则向上的数之 积的数学期望是________． 【解析】 随机变量 X 的取值为 0,1,2,4，P(X＝0)＝3 4 ，P(X＝1)＝1 9 ，P(X＝2) ＝1 9 ，P(X＝4)＝ 1 36 ，因此 E(X)＝4 9. 【答案】 4 9 8.如图 232，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 125 个同样大小的小 正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为 X，则 X 的 均值 E(X)＝________. 图 232 【解析】 依题意得 X 的取值可能为 0,1,2,3，且 P(X＝0)＝ 33 125 ＝ 27 125 ，P(X＝1) ＝9×6 125 ＝ 54 125 ，P(X＝2)＝3×12 125 ＝ 36 125 ，P(X＝3)＝ 8 125.故 E(X)＝0× 27 125 ＋1× 54 125 ＋ 2× 36 125 ＋3× 8 125 ＝6 5. 【答案】 6 5 三、解答题 9．某俱乐部共有客户 3 000 人，若俱乐部准备了 100 份小礼品，邀请客户在 指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为 4%.问俱乐部能否向每一位客户都 发出领奖邀请？ 【解】 设来领奖的人数ξ＝k(k＝0,1，…，3 000)， ∴P(ξ＝k)＝Ck3 000(0.04)k(1－0.04)3 000－k， 则ξ～B(3 000,0.04)，那么 E(ξ)＝3 000×0.04＝120(人)>100(人)． ∴俱乐部不能向每一位客户都发送领奖邀请． 10．(2015·重庆高考)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有 10 个粽 子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同．从中 任意选取 3 个． (1)求三种粽子各取到 1 个的概率； (2)设 X 表示取到的豆沙粽个数，求 X 的分布列与数学期望． 【解】 (1)令 A 表示事件“三种粽子各取到 1 个”，则由古典概型的概率计 算公式有 P(A)＝C12C13C15 C310 ＝1 4. (2)X 的所有可能值为 0,1,2，且 P(X＝0)＝ C38 C310 ＝ 7 15 ，P(X＝1)＝C12C28 C310 ＝ 7 15 ， P(X＝2)＝C22C18 C310 ＝ 1 15. 综上知，X 的分布列为 X 0 1 2 P 7 15 7 15 1 15 故 E(X)＝0× 7 15 ＋1× 7 15 ＋2× 1 15 ＝3 5(个)． [能力提升] 1．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X 表示甲车床生产 1 000 件产品中 的次品数，Y 表示乙车床生产 1 000 件产品中的次品数，经一段时间考察，X，Y 的分布列分别是： X 0 1 2 3 P 0.7 0.1 0.1 0.1 X 0 1 2 3 P 0.5 0.3 0.2 0 据此判定( ) A．甲比乙质量好 B．乙比甲质量好 C．甲与乙质量相同 D．无法判定 【解析】 E(X)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6， E(Y)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7. 由于 E(Y)>E(X)， 故甲比乙质量好． 【答案】 A 2．某船队若出海后天气好，可获得 5 000 元；若出海后天气坏，将损失 2 000 元；若不出海也要损失 1 000 元．根据预测知天气好的概率为 0.6，则出海的期望 效益是( ) A．2 000 元 B．2 200 元 C．2 400 元 D．2 600 元 【解析】 出海的期望效益 E(ξ)＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－ 800＝2 200(元)． 【答案】 B 3．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假 定该毕业生得到甲公司面试的概率为2 3 ，得到乙、丙两公司面试的概率均为 p，且 三个公司是否让其面试是相互独立的．记 X 为该毕业生得到面试的公司个数，若 P(X＝0)＝ 1 12 ，则随机变量 X 的数学期望 E(X)＝________. 【解析】 ∵P(X＝0)＝ 1 12 ＝(1－p)2×1 3 ，∴p＝1 2.随机变量 X 的可能值为 0,1,2,3， 因此 P(X＝0)＝ 1 12 ，P(X＝1)＝2 3 × 1 2 2＋2×1 3 × 1 2 2＝1 3 ，P(X＝2)＝2 3 × 1 2 2×2＋ 1 3 × 1 2 2＝ 5 12 ，P(X＝3)＝2 3 × 1 2 2＝1 6 ，因此 E(X)＝1×1 3 ＋2× 5 12 ＋3×1 6 ＝5 3. 【答案】 5 3 4．(2015·山东高考)若 n 是一个三位正整数，且 n 的个位数字大于十位数字， 十位数字大于百位数字，则称 n 为“三位递增数”(如 137,359,567 等)． 在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取 1 个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之 积不能被 5 整除，参加者得 0 分；若能被 5 整除，但不能被 10 整除，得－1 分； 若能被 10 整除，得 1 分． (1)写出所有个位数字是 5 的“三位递增数”； (2)若甲参加活动，求甲得分 X 的分布列和数学期望 E(X)． 【解】 (1)个位数字是 5 的“三位递增数”有 125,135,145,235,245,345. (2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为 C39＝84，随机变量 X 的取值为： 0，－1,1，因此， P(X＝0)＝C38 C39 ＝2 3 ， P(X＝－1)＝C24 C39 ＝ 1 14 ， P(X＝1)＝1－ 1 14 －2 3 ＝11 42. 所以 X 的分布列为 X 0 －1 1 P 2 3 1 14 11 42 则 E(X)＝0×2 3 ＋(－1)× 1 14 ＋1×11 42 ＝ 4 21.