中考数学总复习分类复习大全集，精品资料
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第 2 课时 整式及因式分解
知能优化训练
中考回顾
1.(2018 山东枣庄中考)下列计算,正确的是( )
A.a5+a5=a10 B.a3÷a-1=a2
C.a·2a2=2a4 D.(-a2)3=-a6
答案 D
2.(2018 浙江金华中考)计算(-a)3÷a 结果正确的是( )
A.a2 B.-a2 C.-a3 D.-a4
答案 B
3.(2018 山东滨州中考)下列运算:①a2·a3=a6,②(a3)2=a6,③a5÷a5=a,④(ab)3=a3b3,其中结果
正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
4.(2018 甘肃张掖中考)下列计算结果等于 x3 的是( )
A.x6÷x2 B.x4-x C.x+x2 D.x2·x
答案 D
5.(2018 浙江衢州中考)分解因式:x2-9= .
答案(x+3)(x-3)
6.(2018 四川宜宾中考)分解因式:2a3b-4a2b2+2ab3= .
答案 2ab(a-b)2
模拟预测
1.下列运算正确的是( )
A.3x3-5x3=-2x B.6x3÷2x-2=3x
C x6 D.-3(2x-4)=-6x-12
答案 C
2.已知 a+b=3,ab=2,则 a2+b2 的值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 C
3.下列各式的变形中,正确的是( )
A.(-x-y)(-x+y)=x2-y2
B -x=
C.x2-4x+3=(x-2)2+1
D.x÷(x2+x)= +1
答案 A
4.把四张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图①)不重叠地放在一个底部为长方形(长为
m cm,宽为 n cm)的盒子底部(如图②),盒子底部未被卡片覆盖的部分用阴影表示,则图②中
两块阴影部分的周长和是( )
A.4m cm
B.4n cm
C.2(m+n)cm
D.4(m-n)cm
答案 B
5.若 3xm+5y2 与 x3yn 的和是单项式,则 nm= .
答案
6.按照下图所示的操作步骤,若输入 x 的值为 2,则输出的值为 .
答案 20
7.若(a+1)2+|b-2|=0,化简 a(x2y+xy2)-b(x2y-xy2)的结果为 .
答案-3x2y+xy2
8.先化简,再求值.
(2x+3)(2x-3)-4x(x-1)+(x-2)2,其中,x=-
解原式=4x2-9-4x2+4x+x2-4x+4=x2-5,当 x=- 时,原式=(- )2-5=3-5=-2.
第 17 课时 解直角三角形
知能优化训练
中考回顾
1.(2018 湖北孝感中考)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=10,AC=8,则 sin A 等于( )
A B
C D
答案 A
2.(2018 浙江金华中考)如图,两根竹竿 AB 和 AD 斜靠在墙 CE 上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,则
竹竿 AB 与 AD 的长度之比为( )
A B
C D
答案 B
3.(2018 浙江宁波中考)如图,某高速公路建设中需要测量某条江的宽度 AB,飞机上的测量人
员在 C 处测得 A,B 两点的俯角分别为 45°和 30°.若飞机离地面的高度 CH 为 1 200 m,且点
H,A,B 在同一水平直线上,则这条江的宽度 AB 为 m.(结果保留根号)
答案 1 200( -1)
4.(2018 四川达州中考)在数学实践活动课上,老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内
雕塑的高度.用测角仪在 A 处测得雕塑顶端点 C 的仰角为 30°,再往雕塑方向前进 4 m 至 B
处,测得仰角为 45°.问:该雕塑有多高?(测角仪高度忽略不计,结果不取近似值)
解如图,过点 C 作 CD⊥AB,交 AB 延长线于点 D.
设 CD=xm.
∵∠CBD=45°,∠BDC=90°,∴BD=CD=xm.
∵∠A=30°,AD=AB+BD=(4+x)m,
∴tanA= ,即 ,
解得 x=2+2
答:该雕塑的高度为(2+2 )m.
5.(2018 湖南衡阳中考)一名徒步爱好者来衡阳旅行,他从宾馆 C 出发,沿北偏东 30°的方向
行走 2 000 m 到达石鼓书院 A 处,参观后又从 A 处沿正南方向行走一段距离,到达位于宾馆南
偏东 45°方向的雁峰公园 B 处,如图所示.
(1)求这台徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离;
(2)若这名徒步爱好者以 100 m/min 的速度从雁峰公园返回宾馆,那么他在 15 min 内能否到
达宾馆?
解(1)过点 C 作 CP⊥AB 于点 P,
由题意可得∠A=30°,AC=2000m,
则 CP= AC=1000m.
即从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离为 1000m.
(2)∵在 Rt△PBC 中,PC=1000m,∠PBC=∠BCP=45°,
∴BC= PC=1000 m.
∵这名徒步爱好者以 100m/min 的速度从雁峰公园返回宾馆,
∴他到达宾馆需要的时间为 =10 <15,
∴他在 15 分钟内能到达宾馆.
模拟预测
1.tan 60°的值等于( )
A.1 B
C D.2
答案 C
2.河堤横断面如图,堤高 BC=6 m,迎水坡 AB 的坡比为 1 ,则 AB 的长为( )
A.12 m B.4 m
C.5 m D.6 m
答案 A
3.小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度.如图,旗杆PA的高度与拉绳PB的长度
相等.小明将 PB 拉到 PB'的位置,测得∠PB'C=α(B'C 为水平线),测角仪 B'D 的高度为 1 m,
则旗杆 PA 的高度为( )
A m B m
C m D m
答案 A
4.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,D 是 AB 的中点,过 D 点作 AB 的垂线交 AC 于点 E,BC=6,sin
A= ,则 DE=.
答案
5.如图,某河堤的横断面是梯形 ABCD,BC∥AD,迎水坡 AB 长为 13 m,且 tan∠BAE= ,则河堤的
高 BE 为 m.
答案 12
6.如图,某海监船向正西方向航行,在 A 处望见一艘正在作业渔船 D 在南偏西 45°方向,海监
船航行到 B 处时望见渔船 D 在南偏东 45°方向,又航行了半小时到达 C 处,望见渔船 D 在南
偏东 60°方向,若海监船的速度为 50 海里/时,则 A,B 之间的距离为 .(取
1.7,结果精确到 0.1 海里)
答案 67.5 海里
7.
如图,小明在家里楼顶上的点 A 处,测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高,
在点 A 处看电梯楼顶部点 B 处的仰角为 60°,在点 A 处看这栋电梯楼底部点 C 处的俯角为
45°,两栋楼之间的距离为 30 m,则电梯楼的高 BC 为 m.(结果精确到 0.1 m,参考数
据: 1.414, 1.732)
答案 82.0
8.某商场为缓解“停车难”问题,拟建造地下停车库,如图是该地下停车库坡道入口的设计
示意图,其中,AB⊥BD,∠BAD=18°,C 在 BD 上,BC=0.5 m.根据规定,地下停车库坡道入口上方
要张贴限高标志,以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入.小明认为 CD 的长就是所限制的高
度,而小亮认为应该
以 CE 的长作为限制的高度.小明和小亮谁说得对?请你判断并计算出正确的结果.(结果精确
到 0.1 m,参考数据:sin 18°≈0.31,cos 18°≈0.95,tan 18°≈0.325)
解在△ABD 中,∠ABD=90°,∠BAD=18°,BA=10,
∵tan∠BAD= ,∴BD=10×tan18°.
∴CD=BD-BC=10×tan18°-0.5≈2.8(m).
在△ABD 中,∠CDE=90°-∠BAD=72°.
∵CE⊥ED,∴∠DCE=18°.∴cos∠DCE=
∴CE=CD×cos∠CDE=2.8×cos18°≈2.7(m).
∵2.7m<2.8m,且 CE⊥AE,∴小亮说得对.
因此,小亮说得对,CE 为 2.7m.
课时训练(三十二) 概率
(限时:40 分钟)
|夯实基础|
1.[2018·襄阳] 下列语句所描述的事件是随机事件的是 ( )
A.任意画一个四边形,其内角和为 180°
B.经过任意两点画一条直线
C.任意画一个菱形,是中心对称图形
D.过平面内任意三点画一个圆
2.[2016·常德] 下列说法正确的是 ( )
A.袋中有形状、大小、质地完全一样的 5 个红球和 1 个白球,从中随机抽出 1 个球,一定是红
球
B.天气预报“明天降水概率为 10%”,是指明天有 10%的时间会下雨
C.某地发行一种福利彩票,中奖率是千分之一,那么买这种彩票 1000 张,一定会中奖
D.连续掷一枚均匀硬币,若 5 次都是正面朝上,则第六次仍然可能正面朝上
3.[2018·南宁] 从-2,-1,2 这三个数中任取两个不同的数相乘,积为正数的概率是 ( )
A. B. C. D.
4.[2018·苏州] 如图 K32-1,飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同.若某人向游戏
板投掷飞镖一次(假设飞镖落在游戏板上),则飞镖落在阴影部分的概率是 ( )
图 K32-1
A. B. C. D.
5.[2018·聊城] 小亮,小莹,大刚三位同学随机地站成一排合影留念,小亮恰好站在中间的
概率是 ( )
A. B. C. D.
6.[2018·玉林] 某小组做“用频率估计概率”的试验时,绘出的某一结果出现的频率折线
图如图 K32-2 所示,则符合这一结果的试验可能是( )
图 K32-2
A.抛一枚硬币,出现正面朝上
B.掷一个正六面体的骰子,出现 3 点朝上
C.一副去掉大小王的扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃
D.从一个装有 2 个红球 1 个黑球的袋子中任取一球,取到的是黑球
7.[2018·长沙] 掷一枚质地均匀的正方体骰子,骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数,则
掷得面朝上的点数为偶数的概率是 .
8.[2018·湘潭] 我市今年对九年级学生进行了物理,化学实验操作考试,其中物理实验操作
考试有 4 个考题备选,分别记为 A,B,C,D,学生从中随机抽取一个考题进行测试,如果每一个
考题抽到的机会均等,那么学生小林抽到考题 B 的概率是 .
9.[2018·益阳] 2018 年 5 月 18 日,益阳新建西流湾大桥竣工通车.如图 K32-3,从沅江 A 地
到资阳 B 地有两条路线可走,从资阳 B 地到益阳火车站可经会龙山大桥或西流湾大桥或龙洲
大桥到达,现让你随机选择一条从沅江 A 地出发经过资阳 B 地到达益阳火车站的行走路线,
那么恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率是 .
图 K32-3
10.[2018·永州] 在一个不透明的盒子中装有 n 个球,它们除了颜色之外其他都没有区别,
其中含有 3 个红球,每次摸球前,将盒中所有的球摇匀,然后随机摸出一个球,记下颜色后再
放回盒中.通过大量重复试验,发现摸到红球的频率稳定在 0.03,那么可以推算出 n 的值大约
是 .
11.[2018·盐城] 端午节是我国传统佳节,小峰同学带了 4 个粽子(除粽馅不同外,其他均相
同),其中有两个肉馅粽子、一个红枣粽子和一个豆沙粽子,准备从中任意拿出两个送给他的
好朋友小悦.
(1)用树状图或列表的方法列出小悦拿到两个粽子的所有可能结果;
(2)请你计算小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率.
12.[2018·遵义] 某超市在端午节期间开展优惠活动,凡购物者可以通过转动转盘的方式享
受折扣优惠,本次活动共有两种方式,方式一:转动转盘甲,指针指向 A 区域时,所购物品享受
9 折优惠,指针指向其他区域无优惠;方式二:同时转动转盘甲和转盘乙,若两个转盘的指针
指向区域的字母相同,所购物品享受 8 折优惠,其他情况无优惠,在每个转盘中,指针指向每
个区域的可能性相同(若指针指向分界线,则重新转动转盘)
(1)若顾客选择方式一,则享受 9 折优惠的概率为 ;
(2)若顾客选择方式二,请用树状图或列表法列出所有可能,并求顾客享受 8 折优惠的概率.
图 K32-4
13.[2018·青岛] 小明和小亮计划暑期结伴参加志愿者活动.小明想参加敬老服务活动,小
亮想参加文明礼仪宣传活动.他们想通过做游戏来决定参加哪个活动,于是小明设计了一个
游戏,游戏规则是:在三张完全相同的卡片上分别标记 4,5,6 三个数字,一人先从三张卡片中
随机抽出一张,记下数字后放回,另一人再从中随机抽出一张,记下数字.若抽出的两张卡片
标记的数字之和为偶数,则按照小明的想法参加敬老服务活动,若抽出的两张卡片标记的数
字之和为奇数,则按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动.你认为这个游戏公平吗?请说明理
由.
|拓展提升|
14.如图 K32-5,已知点 A,B,C,D,E,F 是边长为 1 的正六边形的顶点,连接任意两点均可得到
一条线段.在连接两点所得的所有线段中任取一条线段,取到长度为 的线段的概率为
( )
图 K32-5
A. B. C. D.
15.[2017·株洲] 某次世界魔方大赛吸引了世界各地 600 名魔方爱好者参加,本次大赛首轮
进行了 3×3 阶魔方赛,组委会随机地将爱好者平均分到 20 个区域,每个区域 30 名爱好者同
时进行比赛,完成时间小于 8 秒的爱好者进入下一轮角逐.图 K32-6 是 3×3 阶魔方赛 A 区域
30 名爱好者完成时间统计图.
(1)求 A 区域 3×3 阶魔方赛爱好者进入下一轮角逐的人数的比例(结果用最简分数表示);
(2)若 3×3 阶魔方赛各区域的情况大体一致,则根据 A 区域的统计结果估计在 3×3 阶魔方赛
后本次大赛进入下一轮角逐的人数;
(3)若 3×3 阶魔方赛 A 区域爱好者完成时间的平均值为 8.8 秒,求该项目比赛该区域完成时
间为 8 秒的爱好者的频率(结果用最简分数表示).
图 K32-6
16.[2018·德州] 某学校为了了解全校学生对电视节目(新闻、体育、动画、娱乐、戏曲)
的喜爱情况,从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查,并把调查结果绘制成如图
K32-7 所示的两幅不完整的统计图.
图 K32-7
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)这次被调查的学生共有多少人?
(2)请将条形统计图补充完整.
(3)若该校约有 1500 名学生,估计全校学生中喜欢娱乐节目的有多少人?
(4)该校广播站需要广播员,现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取 2 名,
求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答).
参考答案
1.D 2.D
3.C [解析] 总共有三个数字,两两相乘有三种情况;根据同号得正,异号得负可知,只有-2
与-1 相乘时才得正数,则概率为 .
4.C [解析] 设小正方形的边长为 a,则大正方形的面积为 9a2,阴影部分的面积为
4× ×a×2a=4a2,则飞镖落在阴影部分的概率为 = ,故选 C.
5.B [解析] 画树状图如下:
由树状图可知,所有可能出现的站法共有 6 种,其中小亮恰好站在中间的情况有 2 种,
∴小亮恰好站在中间的概率是 = .
6.D [ 解 析 ] 设 选 项 A,B,C,D 所 对 应 的 事 件 分 别 为 A,B,C,D, 则
P(A)= ,P(B)= ,P(C)= ,P(D)= ,由图可知,随着试验次数的增加,频率逐渐稳定在 0.3~0.4 之
间,由此可知,可能是 D 选项的试验.
7. 8.
9.
10.100 [解析] 在同样条件下,大量重复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近,
因此,可以从比例关系入手,列出方程求解.即 =0.03,解得 n=100.故推算 n 大约是 100.
11.解:(1)画树状图如下:
(2)从树状图可以得出共有 12 种等可能的结果,其中小悦拿到的两个粽子都是肉馅的情况有
2 种,所以 P(两个粽子都是肉馅)= = .
12.解:(1)转一次转盘,有4种可能的结果,每种结果的可能性相同,其中,转到A区域,可享受
9 折优惠,只有这一种结果,因此 P(享受 9 折优惠)= .
(2)转两个转盘,所有可能的结果如下:
A B E
A (A,A) (A,B) (A,E)
B (B,A) (B,B) (B,E)
C (C,A) (C,B) (C,E)
D (D,A) (D,B) (D,E)
转两个转盘,所有可能的结果有 12 种,每种结果出现的可能性相同,其中转到的两个字母相
同,可享受 8 折优惠,这种结果有 2 种,所以 P(享受 8 折优惠)= = .
答:顾客享受 8 折优惠的概率为 .
13.解:不公平.理由如下:
画树状图如下:
由树状图可知,共有 9 种等可能的结果,其中和为偶数有 5 种结果,和为奇数有 4 种结果,
∴P(参加敬老服务活动)= ,P(参加文明礼仪宣传活动)= ,∵ ≠ ,∴不公平.
14.B
15.解:(1)由图可知小于 8 秒的人数为 4,总人数为 30,故进入下一轮角逐的比例为: = .
(2) 进 入 下 一 轮 角 逐 的 比 例 为 , 总 共 参 赛 人 数 为 600, 故 进 入 下 一 轮 角 逐 的 人 数
为: ×600=80.
(另一种计算方法是:每个区域都约有 4 人进入下一轮角逐,故进入下一轮角逐的人数
为:20×4=80)
(3)由平均完成时间为 8.8 秒,可知:1×6+3×7+8a+9b+10×10=30×8.8,
由频数之和等于总数据个数,A 区域的总人数为 30,可知:1+3+a+b+10=30,解得 a=7,b=9,
故该区域完成时间为 8 秒的频率为 .
16.解:(1)由喜欢动画节目的人数为 15,可得:15÷30%=50(人).
答:这次被调查的学生共有 50 人.
(2)50-4-15-18-3=10(人).
补全条形统计图如图所示.
(3)1500× =540(人).
答:全校喜欢娱乐节目的学生约有 540 人.
(4)列表如下:
甲 乙 丙 丁
甲 甲乙 甲丙 甲丁
乙 乙甲 乙丙 乙丁
丙 丙甲 丙乙 丙丁
丁 丁甲 丁乙 丁丙
由上表可知共有 12 种等可能的结果,恰好选中甲、乙两人的结果有 2 种,所以 P(选中甲、乙
两人)= = .
答:恰好选中甲、乙两人的概率为 .
课时训练(十) 图形与坐标
(限时:40 分钟)
|夯实基础|
1.在平面直角坐标系中,点 P(-2,-3)所在的象限是 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.[2018·沈阳] 在平面直角坐标系中,点 B 的坐标是(4,-1),点 A 与点 B 关于 x 轴对称,则点
A 的坐标是 ( )
A.(4,1) B.(-1,4)
C.(-4,-1) D.(-1,-4)
3.[2018·贵港] 若点 A(1+m,1-n)与点 B(-3,2)关于 y 轴对称,则 m+n 的值是 ( )
A.-5 B.-3
C.3 D.1
4.[2018·抚顺] 已知点 A 的坐标为(1,3),点 B 的坐标为(2,1),将线段 AB 沿某一方向平移后,
点 A 的对应点的坐标为(-2,1),则点 B 的对应点的坐标为 ( )
A.(5,3) B.(-1,-2)
C.(-1,-1) D.(0,-1)
5.[2018·东营] 在平面直角坐标系中,若点 P(m-2,m+1)在第二象限,则 m 的取值范围是
( )
A.m<-1 B.m>2
C.-1
-1
6.[2018·金华、丽水] 小明为画一个零件的轴截面,以该轴截面底边所在的直线为 x 轴,对
称轴为 y 轴,建立如图 K10-1 所示的平面直角坐标系.若坐标轴的单位长度取 1 mm,则图中转
折点 P 的坐标表示正确的是 ( )
图 K10-1
A.(5,30) B.(8,10)
C.(9,10) D.(10,10)
7.[2018·海南] 如图K10-2,在平面直角坐标系中,△ABC位于第一象限,点A的坐标是(4,3),
把△ABC 向左平移 6 个单位长度,得到△A1B1C1,则点 B1 的坐标是 ( )
图 K10-2
A.(-2,3) B.(3,-1)
C.(-3,1) D.(-5,2)
8.[2018· 青 海 ] 如 图 K10-3, 把 直 角 三 角 形 ABO 放 置 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 ∠
OAB=30°,B 点的坐标为(0,2),将△ABO 沿着斜边 AB 翻折后得到△ABC,则点 C 的坐标是
( )
图 K10-3
A.(2 ,4) B.(2,2 )
C.( ,3) D.( , )
9.如图 K10-4,直线 m⊥n,在某平面直角坐标系中,x 轴∥m,y 轴∥n,点 A 的坐标为(-4,2),点
B 的坐标为(2,-4),则坐标原点为 ( )
图 K10-4
A.O1 B.O2
C.O3 D.O4
10.[2018·吉林] 如图 K10-5,在平面直角坐标系中,A(4,0),B(0,3),以点 A 为圆心,AB 长为
半径画弧,交 x 轴的负半轴于点 C,则点 C 的坐标为 .
图 K10-5
11.[2018·宿迁] 在平面直角坐标系中,将点(3,-2)先向右平移 2 个单位长度,再向上平移 3
个单位长度,则所得点的坐标是 .
12. 如 图 K10-6, 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 若 菱 形 ABCD 的 顶 点 A,B 的 坐 标 分 别 为
(-3,0),(2,0),点 D 在 y 轴上,则点 C 的坐标是 .
图 K10-6
13.[2017·湘潭] 阅读材料:设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),如果 a∥b,则 x1·y2=x2·y1.根据该材料
填空:已知 a=(2,3),b=(4,m),且 a∥b,则 m= .
14.如图K10-7是利用网格画出的太原市地铁1,2,3号线路部分规划示意图.若建立适当的平
面直角坐标系,使表示双塔西街的点的坐标为(0,-1),表示桃园路的点的坐标为(-1,0),则表
示太原火车站的点(正好在网格点上)的坐标是 .
图 K10-7
15.如图 K10-8,在平面直角坐标系中,已知点 A(2,3),点 B(-2,1),在 x 轴上存在点 P 到 A,B
两点的距离之和最小,则 P 点的坐标是 .
图 K10-8
16.[2018·随州] 如图 K10-9,在平面直角坐标系 xOy 中,菱形 OABC 的边长为 2,点 A 在第一
象限,点 C 在 x 轴正半轴上,∠AOC=60°,若将菱形 OABC 绕点 O 顺时针旋转 75°,得到四边形
OA'B'C',则点 B 的对应点 B'的坐标为 .
图 K10-9
17.已知点 A(a,-5),B(8,b).根据下列要求,确定 a,b 的值.
(1)A,B 两点关于 y 轴对称;
(2)A,B 两点关于原点对称;
(3)AB∥x 轴;
(4)A,B 两点在一、三象限两坐标轴夹角的平分线上.
|拓展提升|
18.[2018·潍坊] 在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系.如图 K10-10,
在平面上取定一点 O 为极点,从点 O 出发引一条射线 Ox 称为极轴, 线段 OP 的长度称为极径,
点 P 的极坐标就可以用线段 OP 的长度以及从 Ox 转动到 OP 的角度(规定逆时针方向转动角度
为正)来确定,即 P(3,60°)或 P(3,-300°)或 P(3,420°)等,则点 P 关于点 O 成中心对称的
点 Q 的极坐标表示不正确的是 ( )
图 K10-10
A.Q(3,240°) B.Q(3,-120°)
C.Q(3,600°) D.Q(3,-500°)
19.在平面直角坐标系中,孔明做走棋的游戏,其走法是:棋子从原点出发,第 1 步向右走 1 个
单位,第 2 步向右走 2 个单位,第 3 步向上走 1 个单位,第 4 步向右走 1 个单位,…,依此类推,
第 n 步的走法是:当 n 能被 3 整除时,向上走 1 个单位;当 n 被 3 除,余数为 1 时,向右走 1 个
单位;当 n 被 3 除,余数为 2 时,向右走 2 个单位.当走完第 100 步时,棋子所处位置的坐标是
( )
A.(66,34) B.(67,33)
C.(100,33) D.(99,34)
参考答案
1.C 2.A 3.D 4.C 5.C 6.C 7.C
8.C [解析] 过点C作CD⊥OA于D,由∠OAB=30°,B点的坐标为(0,2),得OB=2,AB=4,OA=2 ,
所以 AC=2 .在 Rt△ACD 中,∠ACD=30°,所以 AD= ,CD= =3,所以 OD=OA-AD= ,因
此点 C 的坐标是( ,3),故选 C.
9.A [解析] 由 A 点坐标为(-4,2)可知,原点在点 A 的右侧,且位于点 A 的下方 2 个单位处.
由点 B 的坐标为(2,-4)可知,原点位于点 B 的左侧,且位于点 B 的上方 4 个单位处.故选 A.
10.(-1,0)
11.(5,1)
12.(5,4) [解析] ∵四边形 ABCD 为菱形,∴AB=CD=AD,AB∥CD,∵A(-3,0),B(2,0),∴
CD=AD=AB=5,OD=4,∴C(5,4).
13.6 [解析] 由题意知 2m=4×3,∴m=6.
14.(3,0)
15.(-1,0) [解析] 作 A 关于 x 轴的对称点 C,连接 BC 交 x 轴于 P,则此时 AP+BP 最小,
∵A 点的坐标为(2,3),∴C(2,-3),
设直线 BC 的表达式是 y=kx+b,
把 B,C 的坐标代入得 解得
即直线 BC 的表达式是 y=-x-1,当 y=0 时,-x-1=0,
解得 x=-1,∴P 点的坐标是(-1,0).
16.( ,- ) [解析] 如图所示,延长 BA 与 y 轴相交于点 D,连接 OB,OB',过点 B'作 B'E⊥y
轴,垂足为点 E.根据∠AOC=60°,将菱形 OABC 绕点 O 顺时针旋转 75°,得到四边形 OA'B'C',
可 得 ∠ AOD= ∠ OBD=30°, ∠ B'OE=45°,OB=OB'. 于 是 , 在 Rt△OAD 中 ,OD=OA·cos ∠
AOD=2× = , 所 以 OB'=OB=2OD=2 . 因 为 ∠ B'OE=45°,B'E ⊥ OE, 所 以
OE=B'E= OB'= ×2 = ,故点 B'的坐标为( ,- ).
17.解:(1)当点 A(a,-5),B(8,b)关于 y 轴对称时,有
(2)当点 A(a,-5),B(8,b)关于原点对称时,有
(3)当 AB∥x 轴时,有
(4)当 A,B 两点位于一、三象限两坐标轴夹角平分线上时,有 xA=yA 且 xB=yB,即 a=-5,b=8.
18.D [解析] 延长 PO 到点 Q,使 OQ=OP,则 Q 点即为所求,此时 OQ=OP=3,逆时针旋转角度为
60°+180°=240°,从而顺时针方向旋转角度为 360°-240°=120°,从而选项 A,B 正确.再
逆 时 针 旋 转 一 周 为 240°+360°=600°, 故 选 项 C 正 确 . 再 顺 时 针 旋 转 一 周 为
120°+360°=480°,故 Q(3,-480°),而不可能为(3,-500°),故选 D.
19.C
分 式
一、 分式的概念及性质
1. 下列分式中，属于最简分式的是( )
A. 4
2x B. 2x
x2＋1
C. x－1
x2－1
D. 1－x
x－1
2. 若分式 2x
5－x
在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是( )
A. x＝0 B.x≠5 C. x≠0 D. x＝5
3. (2018 莱芜)若 x，y 的值均扩大为原来的 3 倍，则下列分式的值保持不变的是( )
A. 2＋x
x－y
B.2y
x2 C. 2y3
3x2 D. 2y2
（x－y）2
4. (2018 甘肃)使得代数式 1
x－3
有意义的 x 的取值范围是________．
5. 若分式x2－9
3x－9
的值为 0，则 x＝________．
二、 分式的化简及求值
6. (2018 天津)计算2x＋3
x＋1
－ 2x
x＋1
的结果为( )
A. 1 B.3 C. 3
x＋1
D. x＋3
x＋1
7. (2018 威海)化简(a－1)÷(1
a
－1)·a 的结果是( )
A. －a2 B.1 C. a2 D. －1
8. (2018 内江)已知：1
a
－1
b
＝1
3
，则 ab
b－a
的值是( )
A. 1
3 B.－1
3 C. 3 D. －3
9. (2018 北京)如果 a－b＝2 3，那么代数式(a2＋b2
2a
－b)· a
a－b
的值为( )
A. 3 B.2 3 C. 3 3 D. 4 3
10. (2018 湖州)当 x＝1 时，分式 x
x＋2
的值是______．
11. (2018 襄阳)计算：5x＋3y
x2－y2
－ 2x
x2－y2
＝________．
12. (2018 包头)化简：x2－4x＋4
x2＋2x
÷( 4
x＋2
－1)＝________．
13. (2018 绥化)当 x＝2 时，代数式(2x＋1
x
＋x)÷x＋1
x
的值是________．
14. (2018 山西)化简：x－2
x－1
· x2－1
x2－4x＋4
－ 1
x－2
.
15. (2018 甘肃)计算： b
a2－b2÷( a
a－b
－1)．
16. (2018 益阳)化简：(x－y＋ y2
x＋y
)·x＋y
x
.
17. (2018 陕西)化简：(a＋1
a－1
－ a
a＋1
)÷3a＋1
a2＋a
.
18. (2018 舟山)化简并求值：(a
b
－b
a)· ab
a＋b
，其中 a＝1，b＝2.
19. (2018 牡丹江)先化简，再求值： x2－1
x2－2x＋1
· 1
x＋1
－1
x
，其中 x＝2.
20. (2018 湘潭)先化简，再求值：(1＋ 4
x－2
)÷ x＋2
x2－4
，其中 x＝3.
21. (2018 龙东地区)先化简，再求值：(a－2ab－b2
a
)÷a－b
a
，其中 a＝1
2
，b＝1.
22. (2018 安顺)先化简，再求值： 8
x2－4x＋4÷( x2
x－2
－x－2)，其中|x|＝2.
23. (2018 眉山)先化简，再求值：(x－1
x
－x－2
x＋1
)÷ 2x2－x
x2＋2x＋1
，其中 x 满足 x2－2x－2＝0.
24. (2018 广安)先化简，再求值： a
a＋1
÷(a－1－2a－1
a＋1
)，并从－1，0，1，2 四个数中，选一
个合适的数代入求值．
25. 先化简( 4
x＋3
－1)÷x2－2x＋1
x2－9
，然后从不等式 2x－4<0 的非负整数解中选取一个合适的解
代入求值．
答案
1. B 2. B 3. D 4. x＞3 5. －3 6. C 7. A 8. C 9. A
10. 1
3 11. 3
x－y 12. －x－2
x
或2－x
x 13. 3
14. 原式＝ x
x－2
. 15. 原式＝ 1
a＋b
. 16. 原式＝x. 17. 原式＝ a
a－1
.
18. 原式＝a－b，当 a＝1，b＝2 时，原式＝－1.
19. 原式＝ 1
x（x－1）
，当 x＝2 时，原式＝1
2.
20. 原式＝x＋2，
当 x＝3 时，原式＝5.
21. 原式＝a－b，
当 a＝1
2
，b＝1 时，原式＝－1
2.
22. 原式＝ 2
x－2
，
∵|x|＝2，
∴x＝－2 或 x＝2(舍去)，
当 x＝－2 时，原式＝－1
2.
23. 原式＝x＋1
x2
，
∵x2－2x－2＝0，
∴x2＝2x＋2＝2(x＋1)，
∴原式＝1
2.
24. 原式＝ 1
a－2
，
在所给四个数中，当 a＝－1，0，2 时，原式均无意义，所以只能取 a＝1.
当 a＝1 时，原式＝－1.
25. 原式＝3－x
x－1
，
解不等式 2x－4<0，得 x<2，
∴不等式 2x－4<0 的非负整数解为 x＝0，1，
又∵x2－9≠0，且 x2－2x＋1≠0，∴x≠±3，x≠1，
∴x＝0，
当 x＝0 时，原式＝－3.
1． 一元二次方程
对于方程：ax2＋bx＋c＝0：
① 求根公式是x＝
2 4
2
b b ac
a
，其中△＝b2－4ac叫做根的判别式。
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当△＝0时，方程有两个相等的实数根；
当△＜0时，方程没有实数根．注意：当△≥0时，方程有实数根。
② 若方程有两个实数根x1和x2，则二次三项式ax2＋bx＋c可分解为a(x－x1)(x－
x2)。
③ 以a和b为根的一元二次方程是x2－(a＋b)x＋ab＝0。
2． 一次函数
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，直线与y轴的交点坐标（0，b)。
① 当k＞0时，y随x的增大而增大(直线从左向右上升)；
② 当k＜0时，y随x的增大而减小(直线从左向右下降)；
③ 特别地：当b＝0时，y＝kx(k≠0)又叫做正比例函数，图象必过原点。
3． 反比例函数
反比例函数y＝ (k≠0)的图象叫做双曲线。
① 当k＞0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右下降)；
② 当k＜0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升)。
4． 二次函数
（1）.定义：一般地，如果 cbacbxaxy ,,(2 是常数， )0a ，那么 y 叫做 x 的
二次函数。
（2）.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。
① a 的符号决定抛物线的开口方向：当 0a 时，开口向上；当 0a 时，开
口向下； a 相等，抛物线的开口大小、形状相同。
②平行于 y 轴（或重合）的直线记作 hx .特别地， y 轴记作直线 0x 。
（3）.求抛物线的顶点、对称轴的方法
①公式法：
a
bac
a
bxacbxaxy 4
4
2
22
2
，
∴顶点是 ），（
a
bac
a
b
4
4
2
2 ，对称轴是直线
a
bx 2
。
（4） 若已知抛物线上两点 1 2( , ) ( , )、x y x y （即 y 值相同），则对称轴方程可以表
示为： 1 2
2
x xx
（5）.抛物线 cbxaxy 2
中， cba ,, 的作用
① a 决定开口方向及开口大小。
②b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置.
① 0b 时，对称轴为 y 轴；② a 、b 同号时，对称轴在 y 轴左侧；③ a 、b 异号
时，对称轴在 y 轴右侧。
③c 的大小决定抛物线 cbxaxy 2 与 y 轴交点（0，c ）的位置。
（6）.用待定系数法求二次函数的解析式
①一般式： cbxaxy 2 .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值，通常选择一
般式.
②顶点式： khxay 2 .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
③交点式 ： 已知 图 像与 x 轴 的交 点 坐标 1x 、 2x ， 通常 选 用交 点 式：
21 xxxxay 。
（7）.直线与抛物线的交点
① y 轴与抛物线 cbxaxy 2 得交点为(0, c )。
②抛物线与 x 轴的交点。
有两个交点 ( 0 ) 抛物线与 x 轴相交；
有一个交点（顶点在 x 轴上） ( 0 ) 抛物线与 x 轴相切；
5． 锐角三角形
斜坡的坡度：i＝
铅垂高度
水平宽度
6． 圆的有关性质
（1）垂径定理：垂直（平分）于弦的直径一定平分（垂直）弦及平分弦所对的
弧，
（2）两条平行弦所夹的弧相等。
（3）圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
（4）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
（5）圆周角等于它所对的弧的度数的一半。
（6）同弧或等弧所对的圆周角相等。
（7）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
（8）90º的圆周角所对的弦是直径，反之，直径所对的圆周角是90º，直径是最
长的弦。、
（9）圆内接四边形的对角互补。
7． 三角形的内心与外心
（1）三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心．三角形的内心就是三内角角平
分线的交点。
（2）三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心．三角形的外心就是三边中垂线
的交点．
常见结论：①Rt△ABC 的三条边分别为：a、b、c（c 为斜边），则它的内切圆
的半径
2
a b cr ；
②△ABC 的周长为l ，面积为 S，其内切圆的半径为 r，则
1
2S lr
弧长L＝ ．
2 1
360 2
n rS lr 扇形
S圆锥侧＝πrl，
动点问题
1. 如图，动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 运动至点 B 后，立即按原路返回，点 P 在运动过
程中速度不变，则以点 B 为圆心，线段 BP 长为半径的圆的面积 S 与点 P 的运动时间 t 的
函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，⊙O 的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O 与∠α的两边
相切，图中阴影部分的面积 S 关于⊙O 的半径 r（r＞0）变化的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，梯形 ABCD 中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且 AE=EF=FB=5，DE=12 动点 P
从点 A 出发，沿折线 AD-DC-CB 以每秒 1 个单位长的速度运动到点 B 停止．设运动时间为
t 秒，y=S△EPF，则 y 与 t 的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点 P 是以 O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦 AP 的长为 x，△
APO 的面积为 y，则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C．
D．
4. 如右图所示，已知等腰梯形 ABCD，AD∥BC，若动直线 l 垂直于 BC，且向右平移，设
扫过的阴影部分的面积为 S，BP 为 x，则 S 关于 x 的函数图象大致是（ ）
A． B． C．
D．
5．如图所示，在矩形 ABCD 中，垂直于对角线 BD 的直线 l，从点 B 开始沿着线段 BD 匀
速平移到 D．设直线 l 被矩形所截线段 EF 的长度为 y，运动时间为 t，则 y 关于 t 的函数的
大致图象是（ ）
A． B． C．
D．
6. 如图所示：边长分别为 1 和 2 的两个正方形，其中一边在同一水平线上，小正方形沿该
水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为 t，大正方形内去掉小正方形后的面积
为 s，那么 s 与 t 的大致图象应为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，半径为 1 的圆和边长为 3 的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右
匀速穿过正方形，设穿过时间为 t，正方形除去圆部分的面积为 S（阴影部分），则 S 与 t
的 大 致 图 象 为 （ ）
A． B． C． D．
8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是梯形，AB∥CD，点 B（10，0），C（7，
4）．直线 l 经过 A，D 两点，且 sin∠DAB= 2
2
．动点 P 在线段 AB 上从点 A 出发以每秒 2
个单位的速度向点 B 运动，同时动点 Q 从点 B 出发以每秒 5 个单位的速度沿 B→C→D 的
方向向点 D 运动，过点 P 作 PM 垂直于 x 轴，与折线 A→D→C 相交于点 M，当 P，Q 两点
中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点 P，Q 运动的时间为 t 秒（t＞0），△
MPQ 的面积为 S．
（1）点 A 的坐标为 ，直线 l 的解析式为 ；
（2）试求点 Q 与点 M 相遇前 S 与 t 的函数关系式，并写出相应的 t 的取值范围；
（3）试求（2）中当 t 为何值时，S 的值最大，并求出 S 的最大值；
（4）随着 P，Q 两点的运动，当点 M 在线段 DC 上运动时，设 PM 的延长线与直线 l 相交
于点 N，试探究：当 t 为何值时，△QMN 为等腰三角形？请直接写出 t 的值．
9．如图①，在▱ABCD 中，AB=13，BC=50，BC 边上的高为 12．点 P 从点 B 出发，沿 B-A-D-A
运动，沿 B-A 运动时的速度为每秒 13 个单位长度，沿 A-D-A 运动时的速度为每秒 8 个单
位长度．点 Q 从点 B 出发沿 BC 方向运动，速度为每秒 5 个单位长度．P、Q 两点同时出
发，当点 Q 到达点 C 时，P、Q 两点同时停止运动．设点 P 的运动时间为 t（秒）．连结 PQ．
（1）当点 P 沿 A-D-A 运动时，求 AP 的长（用含 t 的代数式表示）．
（2）连结 AQ，在点 P 沿 B-A-D 运动过程中，当点 P 与点 B、点 A 不重合时，记△APQ
的面积为 S．求 S 与 t 之间的函数关系式．
（3）过点 Q 作 QR∥AB，交 AD 于点 R，连结 BR，如图②．在点 P 沿 B-A-D 运动过程中，
当线段 PQ 扫过的图形（阴影部分）被线段 BR 分成面积相等的两部分时 t 的值．
（4）设点 C、D 关于直线 PQ 的对称点分别为 C′、D′，直接写出 C′D′∥BC 时 t 的值．
四、真题演练
一、选择题
1．如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D 为 BC 的中点，若动点 E
以 1cm/s 的速度从 A 点出发，沿着 A→B→A 的方向运动，设 E 点的运动时间为 t 秒（0≤t
＜6），连接 DE，当△BDE 是直角三角形时，t 的值为（ ）
A．2 B．2.5 或 3.5
C．3.5 或 4.5 D．2 或 3.5 或 4.5
2．图 1 所示矩形 ABCD 中，BC=x，CD=y，y 与 x 满足的反比例函数关系如图 2 所示，等
腰直角三角形 AEF 的斜边 EF 过 C 点，M 为 EF 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．当 x=3 时，EC＜EM
B．当 y=9 时，EC＞EM
C．当 x 增大时，EC•CF 的值增大
D．当 y 增大时，BE•DF 的值不变
3．如图，将边长为 4 的正方形 ABCD 的一边 BC 与直角边分别是 2 和 4 的 Rt△GEF 的一
边 GF 重合．正方形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度沿 GE 向右匀速运动，当点 A 和点
E 重合时正方形停止运动．设正方形的运动时间为 t 秒，正方形 ABCD 与 Rt△GEF 重叠部
分面积为 s，则 s 关于 t 的函数图象为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A（0，2），B（0，6），动点 C 在直线 y=x 上．若以
A、B、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点 C 的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，E，F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点，满足 AE=DF．连接 CF 交 BD 于点
G，连接 BE 交 AG 于点 H．若正方形的边长为 2，则线段 DH 长度的最小值是 ．
6．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A、B 的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动
点 Q 从点 O、动点 P 从点 A 同时出发，分别沿着 OA 方向、AB 方向均以 1 个单位长度/秒
的速度匀速运动，运动时间为 t（秒）（0＜t≤5）．以 P 为圆心，PA 长为半径的⊙P 与 AB、
OA 的另一个交点分别为 C、D，连接 CD、QC．
（1）求当 t 为何值时，点 Q 与点 D 重合？
（2）设△QCD 的面积为 S，试求 S 与 t 之间的函数关系式，并求 S 的最大值；
（3）若⊙P 与线段 QC 只有一个交点，请直接写出 t 的取值范围．
7．半径为 2cm 的与⊙O 边长为 2cm 的正方形 ABCD 在水平直线 l 的同侧，⊙O 与 l 相切
于点 F，DC 在 l 上．
（1）过点 B 作的一条切线 BE，E 为切点．
①填空：如图 1，当点 A 在⊙O 上时，∠EBA 的度数是 ；
②如图 2，当 E，A，D 三点在同一直线上时，求线段 OA 的长；
（2）以正方形 ABCD 的边 AD 与 OF 重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图 3），至
边 BC 与 OF 重合时结束移动，M，N 分别是边 BC，AD 与⊙O 的公共点，求扇形 MON 的
面积的范围．
8．已知：如图①，在平行四边形 ABCD 中，AB=12，BC=6，AD⊥BD．以 AD 为斜边在平
行四边形 ABCD 的内部作 Rt△AED，∠EAD=30°，∠AED=90°．
（1）求△AED 的周长；
（2）若△AED 以每秒 2 个单位长度的速度沿 DC 向右平行移动，得到△A0E0D0，当 A0D0
与 BC 重合时停止移动，设运动时间为 t 秒，△A0E0D0 与△BDC 重叠的面积为 S，请直接
写出 S 与 t 之间的函数关系式，并写出 t 的取值范围；
（3）如图②，在（2）中，当△AED 停止移动后得到△BEC，将△BEC 绕点 C 按顺时针方
向旋转α（0°＜α＜180°），在旋转过程中，B 的对应点为 B1，E 的对应点为 E1，设直线 B1E1
与直线 BE 交于点 P、与直线 CB 交于点 Q．是否存在这样的α，使△BPQ 为等腰三角形？
若存在，求出α的度数；若不存在，请说明理由．
9．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点 M，N 从点 C 同时出发，
均以每秒 1cm 的速度分别沿 CA、CB 向终点 A，B 移动，同时动点 P 从点 B 出发，以每秒
2cm 的速度沿 BA 向终点 A 移动，连接 PM，PN，设移动时间为 t（单位：秒，0＜t＜2.5）．
（1）当 t 为何值时，以 A，P，M 为顶点的三角形与△ABC 相似？
（2）是否存在某一时刻 t，使四边形 APNC 的面积 S 有最小值？若存在，求 S 的最小值；
若不存在，请说明理由．
10．如图，点 O 为矩形 ABCD 的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点 E、F、G 分别从 A、
B、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点 E 的运动速度为 1cm/s，点 F
的运动速度为 3cm/s，点 G 的运动速度为 1.5cm/s，当点 F 到达点 C（即点 F 与点 C 重合）
时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF 关于直线 EF 的对称图形是△EB′F．设
点 E、F、G 运动的时间为 t（单位：s）．
（1）当 t= s 时，四边形 EBFB′为正方形；
（2）若以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点 F，C，G 为顶点的三角形相似，求 t 的值；
（3）是否存在实数 t，使得点 B′与点 O 重合？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理
由．
11．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．点 D、E、F 分别是边 AB、
BC、AC 的中点，连接 DE、DF，动点 P，Q 分别从点 A、B 同时出发，运动速度均为 1cm/s，
点 P 沿 A F D 的方向运动到点 D 停止；点 Q 沿 BC 的方向运动，当点 P 停止运动时，
点 Q 也停止运动．在运动过程中，过点 Q 作 BC 的垂线交 AB 于点 M，以点 P，M，Q 为
顶点作平行四边形 PMQN．设平行四边形边形 PMQN 与矩形 FDEC 重叠部分的面积为 y
（cm2）（这里规定线段是面积为 0 有几何图形），点 P 运动的时间为 x（s）
（1）当点 P 运动到点 F 时，CQ= cm；
（2）在点 P 从点 F 运动到点 D 的过程中，某一时刻，点 P 落在 MQ 上，求此时 BQ 的长
度；
（3）当点 P 在线段 FD 上运动时，求 y 与 x 之间的函数关系式．
12．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为（0，4），点 B 的坐标为（4，
0），点 C 的坐标为（-4，0），点 P 在射线 AB 上运动，连结 CP 与 y 轴交于点 D，连结 BD．过
P，D，B 三点作⊙Q 与 y 轴的另一个交点为 E，延长 DQ 交⊙Q 于点 F，连结 EF，BF．
（1）求直线 AB 的函数解析式；
（2）当点 P 在线段 AB（不包括 A，B 两点）上时．
①求证：∠BDE=∠ADP；
②设 DE=x，DF=y．请求出 y 关于 x 的函数解析式；
（3）请你探究：点 P 在运动过程中，是否存在以 B，D，F 为顶点的直角三角形，满足两
条直角边之比为 2：1？如果存在，求出此时点 P 的坐标：如果不存在，请说明理由．
13．如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，- 2
3
），且与 y 轴交于点 C（0，
2），与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边）．
（1）求抛物线的解析式及 A，B 两点的坐标；
（2）在（1）中抛物线的对称轴 l 上是否存在一点 P，使 AP+CP 的值最小？若存在，求 AP+CP
的最小值，若不存在，请说明理由；
（3）在以 AB 为直径的⊙M 相切于点 E，CE 交 x 轴于点 D，求直线 CE 的解析式．
中考数学一轮复习关于圆的计算讲学案
中考数学一轮复习第 26 讲《关于圆的计算》
【考点解析】
知识点一 弧长、扇形的面积
【例题 1】（2016 吉林长春）如图，PA、PB 是⊙O 的
切线，切点分别为 A、B，若 OA=2，∠P=60°，则 的长为
（ ）
A． π B．π C． D．
【考点】弧长的计算；切线的性质．
【专题】计算题；与圆有关的计算．
【分析】由 PA 与 PB 为圆的两条切线，利用切线的性
质得到两个角为直角，再利用四边形内角和定理求出
∠AOB 的度数，利用弧长公式求出 的长即可．
【解答】解：∵PA、PB 是⊙O 的切线，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
在四边形 APBO 中，∠P=60°，
∴∠AOB=120°，
∵OA=2，
∴ 的长 l= = π，
故选 C
【点评】此题考查了弧长的计算，以及切线的性质，
熟练掌握弧长公式是解本题的关键．
【例题 2】 （2016 四川广安）如图，AB 是圆 O 的直
径，弦 CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4 ，则 S 阴影=（ ）
A．2πB．πC．πD．π
【考点】圆周角定理；垂径定理；扇形面积的计算．
【分析】根据垂径定理求得 CE=ED=2 ，然后由圆周
角定理知∠DOE=60°，然后通过解直角三角形求得线段
OD、OE 的长度，最后将相关线段的长度代入 S 阴影=S 扇
形 ODB﹣S△DOE+S△BEC．
【解答】解：如图，假设线段 CD、AB 交于点 E，
∵AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，
∴CE=ED=2 ，
又∵∠BCD=30°，
∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°，
∴OE=DEcot60°=2 × =2，OD=2OE=4，
∴S 阴 影 =S 扇 形 ODB ﹣ S△DOE+S△BEC= ﹣
OE×DE+BECE= ﹣2 +2 = ．
故选 B．
【变式】
1.（2016 广东深圳）如图，在扇形 AOB 中∠AOB=90°，
正方形 CDEF 的顶点 C 是弧 AB 的中点，点 D 在 OB 上，点
E 在 OB 的延长线上，当正方形 CDEF 的边长为 时，则阴
影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
考点：扇形面积、三角形面积的计算。
解析：∵C 为 的中点，CD=
2．（2016.山东青岛）如图，一扇形纸扇完全打开后，外
侧两竹条和 AC 的夹角为 120°，长为 25cm，贴纸部分的
宽 BD 为 15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（ ）
A．175πcm2B．350πcm2C． πcm2D．150πcm2
【考点】扇形面积的计算．
【分析】贴纸部分的面积等于扇形 ABC 减去小扇形的
面积，已知圆心角的度数为 120°，扇形的半径为 25cm
和 10cm，可根据扇形的面积公式求出贴纸部分的面积．
【解答】解：∵AB=25，BD=15，
∴AD=10，
∴S 贴纸= ﹣πcm2，
故选 A．
知识点二 圆锥的侧面积和全面积
【例题】（2016 广西贺州）已知圆锥的母线长是 12，
它的侧面展开图的圆心角是 120°，则它的底面圆的直径
为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】圆锥的计算．
【分析】根据圆锥侧面展开图的圆心角与半径（即圆
锥的母线的长度）求得的弧长，就是圆锥的底面的周长，
然后根据圆的周长公式 l=2πr 解出 r 的值即可．
【解答】解：设圆锥的底面半径为 r．
圆锥的侧面展开扇形的半径为 12，
∵它的侧面展开图的圆心角是 120°，
∴弧长= =8π，
即圆锥底面的周长是 8π，
∴8π=2πr，解得，r=4，
∴底面圆的直径为 8．
故选 D．
【点评】本题考查了圆锥的计算．正确理解圆锥的侧
面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理
解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形
的弧长．
【变式】
（2016 年浙江省宁波市）如图，圆锥的底面半径 r
为 6cm，高 h 为 8cm，则圆锥的侧面积为（ ）
A．30πcm2B．48πcm2C．60πcm2D．80πcm2
【考点】圆锥的计算．
【专题】与圆有关的计算．
【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通
过圆锥侧面积公式可以求得结果．
【解答】解：∵h=8，r=6，
可设圆锥母线长为 l，
由勾股定理，l= =10，
圆锥侧面展开图的面积为：S侧=×2×6π×10=60π，
所以圆锥的侧面积为 60πcm2．
故选：C．
【点评】本题主要考察圆锥侧面积的计算公式，解题
关键是利用底面半径及高求出母线长即可．
知识点三 阴影部分的面积
【例题】（2016 黑龙江大庆）如图，在矩形 ABCD 中，
AB=5，BC=10 ，一圆弧过点 B 和点 C，且与 AD 相切，则
图中阴影部分面积为 75 ﹣ ．
【考点】扇形面积的计算；矩形的性质；切线的性质．
【分析】设圆的半径为 x，根据勾股定理求出 x，根
据扇形的面积公式、阴影部分面积为：矩形 ABCD 的面积
﹣（扇形 BOCE 的面积﹣△BOC 的面积）进行计算即可．
【解答】解：设圆弧的圆心为 O，与 AD 切于 E，
连接 OE 交 BC 于 F，连接 OB、OC，
设圆的半径为 x，则 OF=x﹣5，
由勾股定理得，OB2=OF2+BF2，
即 x2=（x﹣5）2+（5 ）2，
解得，x=5，
则∠BOF=60°，∠BOC=120°，
则阴影部分面积为：矩形 ABCD 的面积﹣（扇形 BOCE
的面积﹣△BOC 的面积）
=10 ×5﹣ + ×10 ×﹣ ，
故答案为：75 ﹣ ．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，掌握矩形的性质、
切线的性质和扇形的面积公式 S= 是解题的关键．
【变式】
（2016 四川乐山 3 分）如图 8，在 中， ， ,以点 为
圆心，的长为半径画弧，与 边交于点 ,将 绕点 旋转 后
点 与点 恰好重合，则图中阴影部分的面积为___▲__.
答案：
解析：依题意，有 AD＝BD，又 ，所以，有
CB＝CD＝BD，即三角形 BCD 为等边三角形
∠BCD＝∠B＝60°，∠A＝∠ACD＝30°，
由 ，求得：BC＝2，AB＝4，
＝ ，
阴影部分面积为： ＝ ＝
【典例解析】
【例题 1】（2016.山东省泰安市，3 分）如图，是一
圆锥的左视图，根据图中所标数据，圆锥侧面展开图的扇
形圆心角的大小为（ ）
A．90°B．120°C．135°D．150°
【分析】根据圆锥的底面半径得到圆锥的底面周长，
也就是圆锥的侧面展开图的弧长，根据勾股定理得到圆锥
的母线长，利用弧长公式可求得圆锥的侧面展开图中扇形
的圆心角．
【解答】解：∵圆锥的底面半径为 3，
∴圆锥的底面周长为 6π，
∵圆锥的高是 6 ，
∴圆锥的母线长为 =9，
设扇形的圆心角为 n°，
∴ =6π，
解得 n=120．
答：圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为 120°．
故选 B．
【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图
是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半
径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥
底面周长作为相等关系，列方程求解．
【例题 2】
（2016 年浙江省宁波市）如图，半圆 O 的直径 AB=2，
弦 CD∥AB ， ∠COD=90° ， 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积
为 ．
【考点】扇形面积的计算．
【分析】由 CD∥AB 可知，点 A、O 到直线 CD 的距离
相 等 ， 结 合 同 底 等 高 的 三 角 形 面 积 相 等 即 可 得 出
S△ACD=S△OCD，进而得出 S 阴影=S 扇形 COD，根据扇形
的面积公式即可得出结论．
【解答】解：∵弦 CD∥AB，
∴S△ACD=S△OCD，
∴S 阴影=S 扇形 COD= π = ×π× = ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了扇形面积的计算以及平行线的性
质，解题的关键是找出 S 阴影=S 扇形 COD．本题属于基础
题，难度不大，解决该题型题目时，通过分割图形找出面
积之间的关系是关键．
【例题 3】
1．（2013 江西，21，9 分）如图 1，一辆汽车的背面，
有一种特殊形状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度可抽象为一
条折线 OAB，如图 2 所示，量得连杆 OA 长为 10cm，雨刮
杆 AB 长为 48cm，∠OAB=120°．若启动一次刮雨器，雨
刮杆 AB 正好扫到水平线 CD 的位置，如图 3 所示．
（1）求雨刮杆 AB 旋转的最大角度及 O、B 两点之间
的距离；（结果精确到 0.01）
（2）求雨刮杆 AB 扫过的最大面积．（结果保留π的
整数倍）
（参考数据：sin60°= ，cos60°= ，tan60°= ，
≈26.851，可使用科学计算器）
【思路分析】将实际问题转化为数学问题，（1）AB 旋转
的最大角度为 180°；在△OAB 中，已知两边及其夹角，
可求出另外两角和一边，只不过它不是直角三角形，需要
转化为直角三角形来求解，由∠OAB=120°想到作 AB 边上
的高，得到一个含 60°角的 Rt△OAE 和一个非特殊角的
Rt△OEB.在 Rt△OAE中，已知∠OAE=60°，斜边 OA=10，
可求出 OE、AE 的长，进而求得 Rt△OEB 中 EB 的长，再由
勾股定理求出斜边 OB 的长；（2）雨刮杆 AB 扫过的最大面
积就是一个半圆环的面积（以 OB、OA 为半径的半圆面积
之差）.
[解]（1）雨刮杆 AB 旋转的最大解度为 180°．
连接 OB，过 O 点作 AB 的垂线交 BA 的延长线于 EH 噗，
∵∠OAB=120°，
∴∠OAE=60°
在 Rt△OAE 中，
∵∠OAE=60°，OA=10，
∴sin∠OAE= = ，
∴OE=5 ，
∴A∴EB=AE+AB=53，
在 Rt△OEB 中，
∵OE=5 ，EB=53，
∴OB= = =2 ≈53.70；
（2）∵雨刮杆 AB 旋转 180°得到 CD，即△OCD 与
△OAB 关于点 O 中心对称，
∴△BAO≌△OCD，∴S△BAO=S△DCO，（直接证明全等
得到面积相等的也给相应的分值）
∴ 雨 刮 杆 AB 扫 过 的 最 大 面 积 S= π(OB2 － OA2)
=1392π
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，以及扇形面
积的求法，将斜三角形转化为直角三角形求解.在直角三
角形中，已知两边或一边一角都可求出其余的量. 难点是
考生缺乏生活经验，弄不懂题意.
【中考热点】
【热点 1】
（2016 山东烟台）如图，C 为半圆内一点，O 为圆心，
直径 AB 长为 2cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC 绕
圆心 O 逆时针旋转至△B′OC′，点 C′在 OA 上，则边 BC
扫过区域（图中阴影部分）的面积为 π cm2．
【考点】扇形面积的计算；旋转的性质．
【分析】根据已知条件和旋转的性质得出两个扇形的
圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可得出
答案．
【解答】解：∵∠BOC=60°，△B′OC′是△BOC 绕
圆心 O 逆时针旋转得到的，
∴∠B′OC′=60°，△BCO=△B′C′O，
∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°，
∴∠B′OB=120°，
∵AB=2cm，
∴OB=1cm，OC′=，
∴B′C′= ，
∴S 扇形 B′OB= =π，
S 扇形 C′OC= = ，
∴阴影部分面积=S 扇形 B′OB+S△B′C′O﹣S△BCO
﹣S 扇形 C′OC=S 扇形 B′OB﹣S 扇形 C′OC=π﹣ =π；
故答案为：π．
【热点 2】
（2016 四川巴中）如图，将边长为 3 的正六边形铁
丝框 ABCDEF 变形为以点 A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽
略铁丝的粗细）．则所得扇形 AFB（阴影部分）的面积为
18 ．
【考点】正多边形和圆；扇形面积的计算．
【分析】由正六边形的性质得出 的长=12，由扇形的
面积=弧长×半径，即可得出结果．
【解答】解：∵正六边形 ABCDEF 的边长为 3，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA=3，
∴ 的长=3×6﹣3﹣3═12，
∴扇形 AFB（阴影部分）的面积=×12×3=18．
故答案为：18．
【热点 3】
（2016 湖北宜昌，21，8 分）如图，CD 是⊙O 的弦，
AB 是直径，且 CD∥AB，连接 AC、AD、OD，其中 AC=CD，
过点 B 的切线交 CD 的延长线于 E．
（1）求证：DA 平分∠CDO；
（2）若 AB=12，求图中阴影部分的周长之和（参考
数据：π=3.1， =1.4， =1.7）．
【考点】切线的性质；弧长的计算．
【分析】（1）只要证明∠CDA=∠DAO，∠DAO=∠ADO
即可．
（2）首先证明 = = ，再证明∠DOB=60°得△BOD 是
等边三角形，由此即可解决问题．
【解答】证明：（1）∵CD∥AB，
∴∠CDA=∠BAD，
又∵OA=OD，
∴∠ADO=∠BAD，
∴∠ADO=∠CDA，
∴DA 平分∠CDO．
（2）如图，连接 BD，
∵AB 是直径，
∴∠ADB=90°，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
又∵CD∥AB，
∴∠CDA=∠BAD，
∴∠CDA=∠BAD=∠CAD，
∴ = = ，
又∵∠AOB=180°，
∴∠DOB=60°，
∵OD=OB，
∴△DOB 是等边三角形，
∴BD=OB= AB=6，
∵ = ，
∴AC=BD=6，
∵BE 切⊙O 于 B，
∴BE⊥AB，
∴∠DBE=∠ABE﹣∠ABD=30°，
∵CD∥AB，
∴BE⊥CE，
∴DE= BD=3，BE=BD×cos∠DBE=6× =3 ，
∴ 的长= =2π，
∴ 图 中 阴 影 部 分 周 长 之 和 为 2 =4π+9+3
=4×3.1+9+3×1.7=26.5．
【点评】本题考查切线的性质、平行线的性质、等边三角
形的判定和性质、弧长公式等知识，解题的关键是灵活应
用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常
考题型．
中考数学一轮复习教案
【课标要求】
⒈掌握不等式及其基本性质.
⒉掌握一元一次不等式、一元一次不等式组及其解
法，用数轴确定解集.
⒊根据具体问题中的数量关系，列出不等式（组），
解决简单的问题.
【课时分布】
不等式（组）部分在第一轮复习时大约需要 3 个课时，
其中包括单元测试.下表为内容及课时安排（仅供参考）.
课时数内 容
1 不等式的基本性质、不等式（组）的解法
1 不等式（组）的应用
1 不等式（组）在实际问题中的应用
单元测试与评析
【知识回顾】
1、知识脉络
2、基础知识
不等式的有关概念
(1)用不等号表示不等关系的式子叫做不等式.
(2)使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
(3)不等式的所有的解,组成这个不等式的解的集合,
简称为这个不等式的解集.
(4)求不等式的解集的过程,叫做解不等式.
不等式的基本性质
(1)不等式的性质 1
不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整
式,不等号的方向不变.
如果,那么++,--.
(2)不等式的性质 2
不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的
方向不变.
如果,并且 0,那么.
(3)不等式的性质 3
不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的
方向改变.
如果,并且 0,那么.
一元一次不等式
(1)只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未
知数的最高次数是 1,像这样的不等式叫做一元一次不等
式.
(2)解一元一次不等式与解一元一次方程相类似,基
本步骤是:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化
为 1.特别要注意当系数化为 1 时,不等式两边同乘以(或
除以)同一个负数,不等号的方向必须改变.
(3)一元一次不等式的解集在数轴上直观表示如下图:
一元一次不等式组
(1)几个未知数相同的一元一次不等式所组成的不等
式组叫做一元一次不等式组.
(2)解一元一次不等式组一般先求出不等式组中各个
不等式的解集,再利用数轴求出它们的公共部分.
(3)由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组
的解集的四种情况如下:
若,则
①的解集是，如下图： ②的解集是，如下图：
③的解集是，如下图： ④无解，如下图：
不等式(组)的应用
解不等式的应用问题关键是建立不等式模型,会根据
题中的不等量关系建立不等式(组),解决实际应用问题.
具体可以参见“三、方程(组)及其应用”中列方程(组)
解应用题的一般步骤.
3．能力要求
例 1.解下列不等式(组),并把解集在数轴上表示出(1)
≥
(2) ≤ ①
②
解：(1) 去分母,得 ≥
整理,得 ≥
∴ ≤
解集在数轴上表示为:
(2) 由①得 ≤
整理得 ≤
∴ ≤
由②得
整理得
∴
解集在数轴上表示为:
∴ 不等式组的解集为≤
例 2.已知关于、的方程组的解是负数,求的取值范围.
【分析】先由方程组求出方程组的解(用含的代数式
表示),再由方程组的解为负数列出不等式组,求的取值范
围.
【解】 解方程组 得
∵方程组的解是负数，
∴ 即
∴
∴
【说明】本题主要考查学生解方程组和分步解决问题
的能力.当方程或不等式中含有字母时，一般是先将字母
看作已知数进行计算.
例 3.现计划把甲种货物 1240t 和乙种货物 880t 用一
列货车运往基地,已知这列货车挂有 A、B 两种不同规格的
货车厢共 40 节，使用 A 型车厢每节费用为 6000 元，使用
B 型车厢每节费用为 8000 元.
(1)设运送这批货物的总费用为万元,这列货车挂 A
型车厢节,试写出与之间的函数关系式.
(2)如果每节 A 型车厢最多可装甲种货物 35t 和乙种
货物 15t,每节 B 型车厢最多可装甲种货物 25t 和乙种货
物 35t,装货时按此要求安排 A、B 两种车厢的节数,那么
共有几种方案?
(3)在(2)的方案中,哪种方案费用最省?并求出最省
费用.
【分析】题(1)中总费用应该是 A 型车厢的费用和 B
型车厢的费用的总和.
题(2)的要求是 A 型车厢的甲种货物最大装载量与 B
型车厢的甲种货物最大装载量的和不少于 1240 吨；A 型
车厢的乙种货物最大装载量与 B 型车厢的乙种货物最大
装载量的和不少于 880 吨.
【解】 (1) ∵ 用 A 型车厢节,则 B 型车厢为(40-)
节,得
(2) 依题意,得 ≥
≥
解之,得 ≤≤
∵ 取整数， ∴ 或或.
∴ 共有三种方案:
① 24 节 A 型车厢和 16 节 B 型车厢;
② 25 节 A 型车厢和 15 节 B 型车厢;
③ 26 节 A 型车厢和 14 节 B 型车厢.
(3) 当时,万元;
当时,万元;
当时,万元;
故安排方案③,即 A 型车厢 26 节,B 型车厢 14 节最
省,最省费用为 26.8 万元.
【说明】目前中考越来越注重能力的考查.本题是一
道实际生活中的“方案设计问题”，要善于把这类问题转
化，抽象为数学问题加以解决.
例 4. 某市大蒜在国内、国际市场享有盛誉.某运输
公司计划用 10 辆汽车将甲、乙、丙三种规格大蒜共 100t
运输到外地.按规定每辆车只能装同一种大蒜,且必须满
载,每种大蒜不少于一车.
(1)设用辆车装运甲种大蒜,用辆车装运乙种大蒜,
根据下表提供的信息,求与之间的函数关系式,并求自变
量的取值范围.
(2)设此次运输公司的利润为 M(单位:百元),求 M 与
的函数关系式及最大运输利润,并安排此时相应的车辆分
配方案.
大蒜规格甲乙丙
每辆汽车的满载量/t81011
运输每吨大蒜获利/百元 2.22.12
【分析】题(1)中要全面把握三个条件：共用 10 辆汽
车；大蒜共 100t；每种大蒜不少于一车.由题意可以列出
方程和不等式.
题(2)中运输公司的利润 M 是甲、乙、丙三种大蒜的
利润总和.
【解】(1)∵用辆车装运甲种大蒜,用辆车装运乙种大
蒜，
∴装运丙种大蒜的车辆为(10――)辆.
根据题意，得 ――＝100，
化简，得 ＝－＋10.
∵每种大蒜不少于一车，
∴ ≥1，
≥1. 解之得 ≤≤.
(2) 根据题意，得 M＝＋＋――
＝＋－－－
＝－
∵－
∴M 随的增大而减小.
又∵≤≤
∴当＝时 M 有最大值.
∴M 最大＝－＝（百元）
此时相应的车辆分配方案为：用 1 辆车装运甲种大
蒜, 用 7 辆车装运乙种大蒜, 用 2 辆车装运丙种大蒜.
【说明】不等式的运用常常与方程（组）、函数的知
识相结合，当不等式作为隐含条件使用的时候，更能反映
学生全面思考问题的能力.
例 5. 我国东南沿海某地的风力资源丰富,一年内日
平均风速不小于 3m/s 的时间共约 160 天,其中日平均风速
不小于 6m/s 的时间约占 60 天.为了充分利用风能这种
“绿色能源”,该地拟建一个小型风力发电场,决定选用
A、B 两种型号的风力发电机.根据产品说明,这两种风力
发电机在各种风速下的日发电量(即一天的发电量)如下
表:
日平均风速
日发电量 A 型发电机 0≥36≥150
B 型发电机 0≥24≥90
根据上面的数据回答：
(1)若这个发电场购台 A 型风力发电机，则预计这些
A 型风力发电机一年的发电总量至少为 ；
(2)已知 A 型风力发电机每台 0.3 万元,B 型风力发电
机每台 0.2 万元.该发电场拟购置风力发电机共 10 台,希
望购置的费用不超过 2.6 万元,而建成的风力发电场每年
的发电总量不少于102000,请你提供符合条件的购机方案.
【分析】 审题的关键在于将文字与表格中的符号对
应起来,如一台 A 型发电机一年有 60d 的日发电量≥150,
有 100d 的日发电量≥36,则可求出一台 A 型发电机的年发
电量(最小值).
题(2)要求提出符合条件的购机方案,因此,只要是符
合要求的方案均可,实际上购机方案可能不止一套.
【解】(1)12600
(2)设购 A 型发电机台，则购 B 型发电机－台.
根据题意，得
≤
≥
解之得：≤≤
∴可购 A 型发电机 5 台，则购 B 型发电机 5 台；或
购 A 型发电机 6 台，则购 B 型发电机 4 台.
【说明】本题提供的是实际生活中常见的表格，要善
于从中找出解题所需要的有效信息，构建相应的数学模型.
【复习建议】
立足教材，打好基础，查漏补缺，系统复习，熟练掌
握不等式(组)的基本知识、基本方法和基本技能.
2、多样化题型的适应性训练，重视问题情境的创设
和实际问题的解决，强化不等式(组)思想和方法的渗透、
总结.增强学生自觉运用不等式(组)模型解决现实生活中
的数学问题的意识和能力.
3、注重知识间的联系，将不等式(组)知识与函数知
识、方程(组)知识有机结合，强化训练学生综合运用数学
知识的能力，从而把数学知识转化为自身素质
中考数学一轮复习数据的收集、整理与描述
学案
第 32 课时 数据的收集、整理与描述
【课时目标】
1．经历收集、整理、描述和分析 数据的活动，了解
数据整理的程，能用计算器处理较为复杂的数据．
2．体会抽样的必要性，能指出总体、个体、样本，
能通过实例了解简单随机抽样．
3．了解全面调查、抽样调查，能识别适当的调查方
式．
4．会制作扇形统计图，能用多种统计图直观、有效
地描述数据．
5．通过实例，了解频数和频数分布的意义，能画频
数直方图，能利用频数直方图解释数据中蕴涵的信息．
6．通过表格、折线图、趋势图等，感受随机现象的
变化趋势．
【知识梳理】
1．全面调查：为了一定的目的而对全体考察对象进
行的______ _，称为全面调查，全面调查是通过调查总体
的方式来收集数据的．
2．抽样调查：从总体中抽取部分_______进行调查，
这种调查方式称为抽样调查．抽样调查是通过调查样本的
方式来收集数据的．
3．总体、个体、样本：所要考察_______称为总体，
组成总体的________称为个体，从总体中抽取的_______
称为总体的一个样本．
4．常见的统计图有_______图、___________ 图、
_______图和_______图．
5．条形统计图能表示各种数据的_______，扇形统计
图能够表示各部分数量占总数量的_ ______，折线统计图
能反映事物的________．
6．在扇形统计图中，扇形所对圆心角的度数与百分
比的关系是：圆心角的度数＝_______×________．
7．(1)在整理数据时，我们往往把数据分成若干组，
而各个小组内的数据的_______叫做该组的频数，该小组
的频率等于_______；各小组的频率之和等于_______．
(2)在频数分布表中，每个小组两个端点之间的距离
（组内数据的取值范围）称为_______．
(3)频数分布直方图的绘制步骤：①计算最大值与
________的差；②决定_______与组数；③列出频数分布
表；④画频数分布直方图．
【考点例析】
考点一 全面调查与 抽样调 查
例 1 下列调查中，调查方式选择正确的是 ( )
A．为了了解 1 000 个灯泡的使用寿命，选择全面调
查
B．为了了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查
C．为了了解生产的一批炮弹的杀伤半径，选择全面
调查
D．为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择全
面调查
提示 本题主要考查了调查方式的选用，理解两种
调查方式的适用范围和特点是解决问 题的关键．
考点二 总体、个体、样本和样本容量
例 2 为了了解攀枝花市 2012 年中考数学学科各分数
段成绩分布情况，从中抽取 150 名考生的中考数学成绩进
行统计分析，在这个问题中，样本是指 ( )
A．150
B．被抽取的 1 50 名考生
C．被抽取的 150 名 考生的中考数学成绩
D．攀枝花市 2012 年中考数学成绩
提示 根据从总体中取出的一部分个体叫做这个总
体的一个样本，再根据被收集数据的这一部分对象找出样
本，即可得出答案．
考点三 常见的统计图
例 3 某初中学校共有学生 720 人，该校有关部门从全
体学生中随机抽取了 50 人对其到校方式进行调查，并将
调查结果制成了如图所示的条形统计图，由此可以估计全
校坐公交车到校的学生有_______人．
提示 由统计图可得 50 人中 坐公交车上学校的有
15 人，由此可以估算全校坐公交车到校的学生数．
例 4 为调查某校 2000 名学生对新闻、体育、动画、
娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取部分学生
进行调查，并结合数据作出如图所示的扇形统计图，根据
统计图提供的信息，可估算出该校喜爱体育节目的学生共
有 ( )
A．300 名 B．400 名 C．500 名 D．600 名
提示 学校总人数是 2000，根据扇形统计图可计 算
出喜爱体育节目学生的百分比，总人数×喜爱体育节目学
生的百分比，就可以算出喜爱体育节目的学生人数．
考点四 频数与频率、频数分布直 方图
例 5 为了了解某中学 300 名
男生的身高情况，随机抽取若干名男生进行身高测
量，将所得数据整理后，画出频数分布直方图（如
图），估计该校男生的身高在～的
人数有 ( )
A．12 B．48 C．72 D．96
提示 根据直方图，先确定出各组频数，得到
样本容量，再求出～这组频率的
大小，再乘以总人数 300，即可得出结果．
考点五 统计图的综合运用
例 6 第三十届夏季奥林匹克
运动会将于 2012 年 7 月 27 日至 8 月 12 日在英国
伦敦举行，目前正在进行火炬传递活动．某校学
生会为了确定近期宣传专刊的主题，想知道学生
对伦敦奥运火炬传递路线的了解程度，决定随机
抽取部分学生进行一次问卷调查，并根据收集到
的信息进行了统计，绘制了下面两幅尚不完整的
统计图，请你根据统计图
中所提供的信息，解答下列问题：
(1)接受问卷调查的学生共有_______名 ；
(2)请补全折线统计图，并求出扇形统计图中
“基本了解”部分所对应扇形的圆心角的大小；
(3)若该校共有 1200 名学生，请根据上述调
查结果估计该校学生中对伦敦奥运火炬传递路线
达到“了解”和“基本了解”程度的总人数，
提示 (1)从扇形统计图及条形统计图中可以看
出“了 解很少”的人数与所占百分比，从而可求出
接受问卷调查的学生总人数；(2)由(1)可以算出各部分的
人数，即可补全折线统计图，求“基本了解”部分所对应
扇形的圆心角，即利用扇形统计图中求扇形圆心角的公式
计算即可；(3)先计 算“了解”和“基本了解”程度的百
分比的和，再乘以 1200 即可．
【反馈练习】
1．下列调查中，须用全面调查的是 ( )
A．了解某市学生的视力情况
B．了解某市中学生课外阅读的情况．了解某市百岁
以上老人的健康情况
D．了解某市老年人参加晨练的情况
2．吸 烟有害健康，如果要了解人们被动吸烟的情
况，那么最合适的调查方式是 ( )
A．全面调查 B．抽 样调查．在社 会上随机调查
D．在学校随机调查
3．为了了解某校 2 000 名师生对我市 “三创”工作
（创国家园林城市、国家卫生城市、全国文明城市） 的
知晓情况，从中随机抽取了 100 名师生进行问卷调查，这
项调查中的样本是 ( )
A．2000 名师生对“三创”工作的知晓情况
B．从中抽取的 100 名师生
C． 从中抽取的 100 名师 生对“三创”工作的知晓
情况
D．100
4．某班主任把本班学生上学方式的调查结果绘制成
如图所示的不完整的统计图．已知乘公交车上学的学生有
20 人，骑自行车上学的学生有 26 人，则乘公交车上学的
学生人数在扇形统计图中对应的扇形所占的圆心角的度
数为_______．
5．某城市对教师试卷讲评课中学生参与的深度和广
度进行评价，其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听
讲、讲解题目四项，评价组随机抽取了若干名初中学
生的参与情况，绘制了如下两幅不完整的统计图，请
根据图中所给信息，解答下列问题：
(1)在这次评价中，一共抽查了_______名学生；
(2)请将条形统计图补充完整；
(3)如果全市有 16 万名初中学生，那么在试卷讲评课
中， “独立思考”的学生约有多少万人？
6．某市对参加 2012 年中考的 50000 名初中 毕业生
进行了一次视力抽样调查，绘制出频数分布表和频数分布
直方图的一部分．请根据图表信息，回答下列问题：
(1)在频数分布表中，a 的值为_______，b 的值为
_______，并将频数分布直方图补充完整；
(2)甲同学说：“我的视力情况是此次抽样调查所
得数据的中位数”，问甲同学的视力情况应在什么范围
内？
(3)若视力在 4.9 以上（含 4.9）均属正常，则视力
正常的人数占被统计人数的百分比是_______，并根据上
述信息估计全市初中毕业生中视力正常的学生有多少
人？
中考数学阅读理解问题专题复习学案
阅读理解问题
【题型特征】 阅读理解题一般篇幅比较长,由“阅读”和
“问题”两部分构成,其阅读部分往往为学生提供一个自
学材料,其内容多以定义一个新概念(法则),或展示一个
解题过程,或给出一种新颖的解题方法,或介绍某种图案
的设计流程等.学生必须通过自学,理解其内容、过程、方
法和思想,把握其本质,才可能会解答试题中的问题.
阅读理解题呈现的方式多种多样,有纯文型(全部用
文字展示条件和问题)、图文型(用文字和图形结合展示条
件和问题)、表文型(用文字和表格结合展示条件和问题)、
改错型(条件、问题、解题过程都已展示,但解题过程一般
要改正).考查内容可以是学过知识的深入探索,也可以是
新知识的理解运用.
阅读理解题按解题方法不同常见的类型有:(1)定义
概念与定义法则型;(2)解题示范(改错)与新知模仿型;(3)
迁移探究与拓展应用型等.
【解题策略】解答阅读理解型问题的基本模式:阅读
——理解——应用.重点是阅读,难点是理解,关键是应用.
阅读时要理解材料的脉络,要对提供的文字、符号、图形
等进行分析,在理解的基础上迅速整理信息,及时归纳要
点,挖掘其中隐含的数学思想方法,运用类比、转化、迁移
等方法,构建相应的数学模式或把要解决的问题转化为常
规问题.
可根据其类型,采用不同的思路.一般地:
(1)定义概念、法则型阅读理解题以纯文字、符号或
图形的形式定义一种全新的概念、公式或法则等.解答时
要在阅读理解的基础上解答问题.解答这类问题时,要善
于挖掘定义的内涵和本质,要能够用旧知识对新定义进行
合理解释,进而将陌生的定义转化为熟悉的旧知识去理解
和解答.
(2)解题示范、新知模仿型阅读理解题以范例的形式
给出,并在求解的过程中暗示解决问题的思路技巧,再以
思路技巧为载体设置类似的问题.解决这类问题的常用方
法是类比、模仿和转化;正误辨析型阅读理解题抓住学生
学习中的薄弱环节和思维漏洞,“刻意”地制造迷惑,使
得解答过程似是而非.解答时主要是通过对数学公式、法
则、方法和数学思想的准确掌握,运用其进行是非辨别.
(3)迁移探究与拓展应用型,即阅读新问题,并运用新
知识探究问题或解决问题,解答这类题的关键是认真阅读
其内容,理解其实质,把握其方法、规律,然后加以解决.
类型一 定义概念与定义法则型
典 例 1 (2015 四 川 宜 宾 ) 规
定 :sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx,sin(x+y)=sinxcosy+c
osx 据此判断下列等式成立的是 (写出所有正确
的序号).
③sin2x=sinxcosx+cosxsinx=2sinxcosx,命题正确;
④sin(x-y)=sinxcos(-y)+cosxsin(-y)=sinxcosy-cosxs
iny,命题正确.
【全解】②③④
举 一 反 三 (2015 贵 州 铜 仁 ) 定 义 一 种 新 运
算 :ab=b2-ab, 如 :12=22-12=2, 则
(-12)3= .
2. (2013 湖北十堰)定义:对于实数 a,符号[a]表示不
大于 a 的最大整数.
例如:[5.7]=5,[5]=5,[-π]=-4.
(1)如果[a]=-2,那么 a 的取值范围是 .
(2)如果 =3,求满足条件的所有正整数 x【小结】 以
上题目分别考查锐角三角函数以及特殊角的三角函数值、
解不等式等知识点,正确理解题目中的定义是关键.
类型二 解题示范与新知模仿型(改错)
典例 2 (2015 甘肃兰州)为了求 1+2+22+23+…+2100
的 值 , 可 令 S=1+2+22+23+…+2100, 则
2S=2+22+23+24+…+2101, 因 此 2S-S=2101-1, 所 以
S=2101-1,即 1+2+22+23+…+2100=2101-1,仿照以上推理
计算 1+3+32+33+…+32015 的值是 .
【解析】 根据提供解题方法,我们可先根据等式的性
质,得到和的 3 倍,将两式相减,可得和的 2 倍,再根据等式
的性质,两边都除以 2,可得答案.具体解题过程如下:
设 M=1+3+32+33+…+32015,①
①式两边都乘以 3,得+32+33+…+32015.②
②-①,得 2M=32015-1,
【技法梳理】 本题让学生从特例入手,通过自学例题解法,
探索发现解题的思路技巧,并用此思路技巧解决新问题.
我们可以仿照例题的解法.
举 一 反 三 (2015 湖 南 永 州 ) 在 求
1+62+63+64+65+66+67+68+69的值时,小林发现:从第二个
加 数 起 每 一 个 加 数 都 是 前 一 个 加 数 的 6 倍 ,于 是 她
设:+6+62+63+64+65+66+67+68+69.①
然 后 在 ① 式 的 两 边 都 乘 以 6, 得
+62+63+64+65+66+67+68+69+610.②
②-①,得 6S-S=610-1,即 5S=610-1,所以 .得出答案
后,爱动脑筋的小林想:
如果把“6”换成字母“a”(a≠0 且 a≠1),能否求
出 1+a+a2+a3+a4+…+a2015 的值?你的答案是( ).
4. (2015 贵州黔南州)先阅读以下材料,然后解答问题,分
解因式.
mx+nx+my+ny=(mx+nx)+(my+ny)=x(m+n)+y(m+n)=(m+n)(x
+y);也可以
mx+nx+my+ny=(mx+my)+(nx+ny)=m(x+y)+n(x+y)=(m+n)(x
+y).以上分解因式的方法称为分组分解法,请用分组分解
法分解因式:a3-b3+a2b-ab2.
5. (2015 广东珠海)阅读下列材料:
解答“已知 x-y=2,且 x1,y0,试确定 x+y 的取值范
围”有如下解法:
解:∵x-y=2,
∴x=y+2.
又 x1,
∴y+21.
∴y-1.
又 y0,
∴-1y0.①
同理,得 1x2.②
由①+②,得-1+1y+x0+2,
∴x+y 的取值范围是 0x+y2.
请按照上述方法,完成下列问题:
(1) 已 知 x-y=3, 且 x2,y1, 则 x+y 的 取 值 范 围
是 .
(2)已知y1,x-1,若x-y=a成立,求x+y的取值范围(结
果用含 a 的式子表示).
【小结】 弄清题中的技巧是解题的关键.我们只要按照示
例中的思路技巧去类比、模仿,一般不会做错,做题时要克
服思维定势的影响和用“想当然”代替现实的片面意识.
类型三 迁移探究与拓展应用型
典例 3 (2015 北京)阅读下面材料:小腾遇到这样一
个 问 题 : 如 图 (1), 在 △ABC 中 , 点 D 在 线 段 BC
上,∠BAD=75°,∠CAD=30°,AD=2,BD=2DC,求 AC 的长.
小腾发现,过点 C 作 CE∥AB,交 AD 的延长线于点 E,
通过构造△ACE,经过推理和计算能够使问题得到解决(如
图(2)).
请 回 答 :∠ACE 的 度 数 为 ,AC 的 长
为 .
参考小腾思考问题的方法,解决问题:
如 图 (3), 在 四 边 形 ABCD
中,∠BAC=90°,∠CAD=30°,∠ADC=75°,AC 与 BD 交于点
E,AE=2,BE=2ED,求 BC 的长.
【解析】 过点 D 作 DF⊥AC,交 AC 于点 F.根据相似的三角
形的判定与性质,可得 ,根据等腰三角形的判定,可得
AD=AC,根据正切函数,可得 DF 的长,根据直角三角形的性
质,可得 AB 与 DF 的关系,根据勾股定理,可得答案.
【全解】∠ACE=75°,AC 的长为 3.
过点 D 作 DF⊥AC 于点 F.
∵∠BAC=90°=∠DFA,
∴AB∥DF.
∴△ABE∽△FDE.
∴
∴EF=1,AB=2DF.
在△ACD 中,∠CAD=30°,∠ADC=75°,
∴∠ACD=75°,AC=AD.
∵DF⊥AC,
∴∠AFD=90°.
在△AFD 中,AF=2+1=3,∠FAD=30°,
∴DF=AFtan30°= ,AD=2DF=2 .
∴AC=AD=2 ,AB=2DF=2 .
∴BC= =2 .
举一反三
A. 2BD. 10(2015 河北)嘉淇同学用配方法推导一元二次
方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式时,对于 b2-4ac0 的情
况,她是这样做的:
由于 a≠0,方程 ax2+bx+c=0 变形为:
第一步
嘉淇的解法从第 步开始出现错误;事实上,当
b2-4ac0 时 , 方 程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的 求 根 公 式
是 .
用配方法解方程:x2-2x-24=0.
【小结】 解答本类题要仔细审题,理解题意所给的方
法,达到学以致用的目的.例 3 主要考查了锐角三角函数
关系知识,根据已知得出边 AC,AB 的长是解题关键.举一
反三考查了一道关于不等式的新型题和一道正误辨析型
阅读理解题.提供的阅读材料中,在进行开方时,没有注意
一个正数的平方根有两个.本题考查的知识点是用配方法
解一元二次方程.
类型一 (2015贵州黔西南州)在平面直角坐标系中,
对于平面内任一点(m,n),规定以下两种变换:
(1)f(m,n)=(m,-n),如 f(2,1)=(2,-1);
(2)g(m,n)=(-m,-n),如 g(2,1)=(-2,-1).
按照以上变换有:f[g(3,4)]=f(-3,-4)=(-3,4),那么
g[f(-3,2)]= .
2. (2015 新疆)规定用符号[x]表示一个实数的整数
部 分 , 例 如 :[3.69]=3,[ ]=1, 按 此 规 定 ,[ -1]=
(2015 山东东营)将自然数按以下规律排列:
第一列第二列第三列第四列第五列
第一行 1451617…
第二行 23615…
第三行 98714…
第四行 10111213…
第五行…
…
表中数 2 在第二行第一列,与有序数对(2,1)对应,数
5 与(1,3)对应,数 14 与(3,4)对应,根据这一规律,数 2015
对应的有序数对为 (2015 河北)定义新运算:
例如: .则函数 (x≠0)的图象大致是( ).
类型三 (2015 福建漳州)阅读材料:如图(1),在△AOB
中 ,∠O=90°,OA=OB, 点 P 在 AB 边 上 ,PE⊥OA 于 点
E,PF⊥OB 于点 F,则 PE+PF=OA.(此结论不必证明,可直接
应用)
(第 7 题)
(1)【理解与应用】
如图(2),正方形 ABCD 的边长为 2,对角线 AC,BD 相交
于点 O,点 P 在 AB 边上,PE⊥OA 于点 E,PF⊥OB 于点 F,则
PE+PF 的值为 .
(2)【类比与推理】
如 图 (3), 矩 形 ABCD 的 对 角 线 AC,BD 相 交 于 点
O,AB=4,AD=3,点 P 在 AB 边上,PE∥OB 交 AC 于点 E,PF∥OA
交 BD 于点 F,求 PE+PF 的值;
(3)【拓展与延伸】
如图(4),☉O 的半径为 4,A,B,C,D 是☉O 上的四点,
过点 C,D 的切线 CH,DG 相交于点 M,点 P 在弦 AB 上,PE∥BC
交 AC 于点 E,PF∥AD 交 BD 于点 F,当∠ADG=∠BCH=30°
时,PE+PF 是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请
说明理由(2015福建龙岩)如图,我们把依次连接任意四边
形 ABCD 各边中点所得四边形 EFGH 叫中点四边形.
(1)若四边形 ABCD 是菱形,则它的中点四边形 EFGH 一
定是 ;
A. 菱形 B. 矩形正方形 D. 梯形
(2)若四边形 ABCD 的面积为 S1,中点四边形 EFGH 的
面积记为 S2,则 S1 与 S2的数量关系是 S1= S2;
(3)在四边形 ABCD 中,沿中点四边形 EFGH 的其中三边
剪开,可得三个小三角形,将这三个小三角形与原图中未
剪开的小三角形拼接成一个平行四边形,请画出一种拼接
示意图,并写出对应全等的三角形.
参考答案
【真题精讲】
2. (1)-2≤a-1
解得 5≤x7,
则满足条件的所有正整数为解析:根据题意列出不等
式组,求出不等式的解 Ba3-b3+a2b-ab2
=a3+a2b-(b3+ab2)
=a2(a+b)-b2(a+b)
=(a+b)(a2-b2)
=(a+b)2(a-b)(1)∵x-∴x=y+3.
又 x2,
∴y+32.
∴y-1.
∵y1,
∴-1y1.①
同理,得 2x4,②
由①+②,得 1+2x+y1+4.
∴x+y 的取值范围是 1x+y5;
(2)∵x-y=a,
∴x=y+a.
又 x-1,
∴y+a-1.
∴y-a-1.
∵y1,
∴1y-a-1.①
同理,得 a+1x-1,②
由①+②,得 1+a+1x+y-a-1+(-1).
∴x+y 的取值范围是 a+2x+y-a-2.
则原式的最小值为 6.
故选 C.
用配方法解方程:x2-2x-24=0,过程如下:
移项,得 x2-2x=24,
配方,得 x2-2x+1=24+1,
即(x-1)2=25,
开方,得 x-1=±5,
∴x1=6,x2=-4.
【课后精练】(3,2) 2. 2(45,12)
7. (1) .理由如下:
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴OA=OB=OC=OD,∠ABC=∠AOB=90°.
∵AB=BC=2,
∴AC=2 .
∴OA∵OA=OB,∠AOB=90°,PE⊥OA,PF⊥OB,
∴PE+PF=OA(2)∵四边形 ABCD 是矩形,
∴OA=OB=OC=OD,∠DAB=90°.
∵AB=4,AD∴BD∴OA=OB=OC=OD=.
∵PE∥OB,PF∥AO,
∴△AEP∽△AOB,△BFP∽△BOA.
(3)当∠ADG=∠BCH=30°时,PE+PF 是定值.理由如下:
连接 OA,OB,OC,OD,如图.
(第 7 题)
∵DG 与☉O 相切,
∴∠GDA=∠ABD.
∵∠ADG=30°,
∴∠ABD=30°.
∴∠AOD=2∠ABD=60°.
∵OA=OD,
∴△AOD 是等边三角形.
∴AD=OA 同理可得 B∵PE∥BC,PF∥AD,
∴△AEP∽△ACB,△BFP∽△BDA.
∴PE+PF∴当∠ADG=∠BCH=30°时,PE+PF(1)B.理由如下:
如图(1),连接 AC,BD.
(第 8 题(1))
∵E,F,G,H 分别是菱形 ABCD 各边的中点,
∴EH∥BD∥FG,EF∥AC∥HG,EH=FG∴四边形 EFGH 为
平行四边形.
∵四边形 ABCD 是菱形,
∴AC⊥BD.
∴EF⊥FG.
∴▱EFGH 是矩形;
故选 B.
(2)2.理由如下:
如图(2),设 AC 与 EH,FG 分别交于点 N,P,BD 与 EF,HG
分别交于点 K,Q.
(第 8 题(2))
∵E 是 AB 的中点,EF∥AC,EH∥BD,
∴△EBK∽△ABM,△AEN∽△EBK.
∴四边形 ABCD 的面积为 S1,中点四边形 EFGH 的面积记为
S2,则 S1 与 S2 的数量关系是 S1=2S2.
(3)如图(3),四边形 NEHM 是平行四边形,
(第 8 题(3))
△MAH≌△GDH,△NAE≌△FBE,△CFG≌△ANM.
(3)∵二次函数 y=ax2+bx+1(a,b 是常数,a0)的图象上存
在两个不同的“梦之点”A(x1,x1),B(x2,x2),
∴x1=a +bx1+1,x2=a +bx2+1.
∴a +(b-1)x1+1=0, a +(b-1)x2+1=0.
∴x1,x2 是一元二次方程 ax2+(b-1)x+1=0 的两个不
等实根.
中考数学整式专题复习学案
中考数学专题练习 2《整式》
【知识归纳】
1.代数式 用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开
方）把 或表示 连接而成的式子叫做代数式.
2.代数式的值 用 代替代数式里的字母，按照代数式
里的运算关系，计算后所得的 叫做代数式的值整式
（1）单项式：由数与字母的 组成的代数式叫做单项
式（单独一个数或 也是单项式）.单项式中的 叫做这个
单项式的系数；单项式中的所有字母的 叫做这个单项式
的次数.
(2) 多项式：几个单项式的 叫做多项式.在多项式
中，每个单项式叫做多项式的 ,其中 的 叫做这个多项式
的次数.不含字母的项叫做 .
(3) 整式： 与 统称整式同类项：在一个多项式中，
所含 相同并且相同字母的 也分别相等的项叫做同类项.
合并同类项的法则是幂的运算性质: aman= ； (am)n= ；
am÷an＝ ； (ab)乘法公式：
(1) ； （2）（a＋b）(a－b)＝ ；
(3) (a＋b)2＝ ；(4)(a－b)2＝整式的除法
⑴ 单项式除以单项式的法则：把 、 分别相除后，
作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它
的指数一起作为商的一个因式．
⑵ 多项式除以单项式的法则：先把这个多项式的每
一项分别除以 ，再把所得的商 ．因式分解：就是把一个
多项式化为几个整式的 的形式．分解因式要进行到每一
个因式都不能再分解为止．因式分解的方法：⑴ ，⑵ ，
（3）0. 提公因式法：式法: ⑴ ⑵ ，⑶2. 十字相乘
法： ．
13．因式分解的一般步骤:一“提”（ ），二“用”
（ ）．
【基础检测】（2016 湖北武汉）下列计算中正确的是
（ ）
A．aa2＝a2 B．2aa＝2a2 C．(2a2)2＝2a4 D．6a8÷3a2
＝2a4
2. （2016 吉林）计算（﹣a3）2 结果正确的是（ ）
A．a5 B．﹣a5 C．﹣a6 D．a（2016 吉林）小红要
购买珠子串成一条手链，黑色珠子每个 a 元，白色珠子每
个 b 元，要串成如图所示的手链，小红购买珠子应该花费
（ ）
A．（3a+4b）元 B．（4a+3b）元 C．4（a+b）元 D．3（a+b）
元（2016 辽宁丹东）下列计算结果正确的是（ ）
A．a8÷a4=a2B．a2a3=a6C．（a3）2=a6D．（﹣2a2）
3=8a6
5．（2016 四川泸州）计算 3a2﹣a2 的结果是（ ）
A．4a2B．3a2C．2a2D．（2016 黑龙江龙东）下列运
算中，计算正确的是（ ）
A．2a3a=6a B．（3a2）3=27a6
C．a4÷a2=2a D．（a+b）2=a2+ab+b2
7 （2016 江西）分解因式：ax2﹣ay2= ．
8.（2016 广西百色）观察下列各式的规律：
（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2
（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4
…
可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）
= ．
9．（2016 贵州毕节）分解因式 3m4﹣48= ．
10．（2016 海南）因式分解：ax﹣ay= ．
11．（2016 海南）某工厂去年的产值是 a 万元，今年
比去年增加 10%，今年的产值是 万元．(2016 河北）
若 mn=m+3，则 2mn+3m-5nm+10=_____．（2016 山东菏泽）
已知 4x=3y，求代数式（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2
的值．．（2016 山东济宁）先化简，再求值：a（a﹣2b）+
（a+b）2，其中 a=﹣1，b= ．
【达标检测】
一、选择题
1．已知代数式 的值为 7，则 的值为 （ ）
A． B． C．8 D．10
2．下列计算正确的是（ ）
A．b3b3=2b3 B．x2+x2=x4 C．（a2）3=a6 D．（ab3）
2=ab6
3．下列因式分解正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．多项式 因式分解的结果是（ ）
A． B．
C． D．
5．若单项式 与 的差是 ，则（ ）．
A．m≠9 B．n≠3 C．m=9 且 n=3 D．m≠9 且 n≠3
6．若 ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
7．下列多项式相乘，结果为 的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
8．请写出一个只含字母 和 ，次数为 3，系数是负
数的单项式 ．
9．已知：单项式 与 的和是单项式，那么 ．
10．若 2x=3，2y=5，则 2x+y= ．
11．计算： = ；
12．计算： ， = ．
13．因式分解：x2y﹣2xy2= ．
14．分解因式：a3b-2a2b2+ab3= ．
15．已知 am=3 ，an=2 ，则 ， ．
16．若 x＋y＝3，xy＝2，则（5x＋2）―（3xy―5y）
＝ ．
三、解答题化简：
18.（2016 浙江湖州）当 a=3，b=﹣1 时，求下列代数式
的值．
（1）（a+b）（a﹣b）；
（2）a2+2ab+b2．．请你说明：当 n 为自然数时，（n+7）
2-（n-5）2 能被 24 整除．
20. （2016 重庆市 A 卷）（a+b）2﹣b（2a+b）
21. 计算：（1）（2016 重庆市 B 卷）（x﹣y）2﹣（x
﹣2y）（x+y）
22.先化简，再求值：（x+y）（x-y）-（4x3y-8xy3）
÷2xy，其中 x=-1， ．
参考答案
【知识归纳答案】
1.数、数的字母
2.数值、结果
3.（1）乘积、字母、数字因数、指数的和
（2）项、次数最高的项、次数、常数项.
(3) 、单项式与多项式、
4.字母、指数、把同类项中的系数相加减，字母部分
不 变 、 aman=am+n ； (am)n=amn ； am÷an ＝ am-n ；
(ab)n=anb(1) ac+ad+bc+bd；（2）（a＋b）(a－b)＝a2-b2；
(3) (a ＋ b)2 ＝ a2+2ab+b2 ； (4)(a － b)2 ＝
a2-2ab+b2⑴系数、相同字母 ⑵单项式、相加．
8.乘积的
9.：⑴提公因式法，⑵ 公式法，（3）十字相乘法.
10. m(a+b+c)⑴ (a+b)(a-b) ⑵ (a+b)2，⑶ (a-b)2.
12.： (x+p)(x+q)．
13．:一“提”（取公因式），二“用”（公式）．
【基础检测答案】（2016 湖北武汉）下列计算中正确
的是（ ）
A．aa2＝a2 B．2aa＝2a2 C．(2a2)2＝2a4 D．6a8÷3a2
＝2a4
【考点】幂的运算
【答案】B
【解析】A． aa2＝a3，此选项错误；B．2aa＝2a2，
此选项正确；C．(2a2)2＝4a4，此选项错误；D．6a8÷3a2
＝2a6，此选项错误。
2. （2016 吉林）计算（﹣a3）2 结果正确的是（ ）
A．a5B．﹣a5C．﹣a6D．a6
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【分析】原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算
得到结果，即可作出判断．
【解答】解：原式=a6，
故选 D（2016 吉林 2 分）小红要购买珠子串成一条手
链，黑色珠子每个 a 元，白色珠子每个 b 元，要串成如图
所示的手链，小红购买珠子应该花费（ ）
A．（3a+4b）元 B．（4a+3b）元 C．4（a+b）元 D．3（a+b）
元
【考点】列代数式．
【分析】直接利用两种颜色的珠子的价格进而求出手
链的价格．
【解答】解：∵黑色珠子每个 a 元，白色珠子每个 b
元，
∴要串成如图所示的手链，小红购买珠子应该花费
为：3a+4b．
故选：A．（2016 辽宁丹东 3 分）下列计算结果正确
的是（ ）
A．a8÷a4=a2B．a2a3=a6C．（a3）2=a6D．（﹣2a2）
3=8a6
【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘
方与积的乘方．
【分析】根据同底数幂相除，底数不变指数相减；同
底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指
数相乘；积的乘方法则，把每一个因式分别乘方，再把所
得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a8÷a4=a4，故 A 错误；
B、a2a3=a5，故 B 错误；
C、（a3）2=a6，故 C 正确；
D、（﹣2a2）3=﹣8a6，故 D 错误．
故选：C．
5．（2016 四川泸州）计算 3a2﹣a2 的结果是（ ）
A．4a2B．3a2C．2a2D．3
【考点】合并同类项．
【分析】直接利用合并同类项的知识求解即可求得答
案．
【解答】解：3a2﹣a2=2a2．
故选 C．
6.（2016 黑龙江龙东）下列运算中，计算正确的是
（ ）
A．2a3a=6a B．（3a2）3=27a6
C．a4÷a2=2a D．（a+b）2=a2+ab+b2
【考点】整式的混合运算．
【分析】分别利用积的乘方运算法则以及同底数幂的
除法运算法则、完全平方公式、单项式乘以单项式运算法
则化简求出答案．
【解答】解：A、2a3a=6a2，故此选项错误；
B、（3a2）3=27a6，正确；
C、a4÷a2=2a2，故此选项错误；
D、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项错误；
故选：B．
7 （2016 江西）分解因式：ax2﹣ay2= a（x+y）（x
﹣y） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】应先提取公因式 a，再对余下的多项式利用
平方差公式继续分解．
【解答】解：ax2﹣ay2，
=a（x2﹣y2），
=a（x+y）（x﹣y）．
故答案为：a（x+y）（x﹣y）．
8.（2016 广西百色 3 分）观察下列各式的规律：
（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2
（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4
…
可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）=
a2017﹣b2017 ．
【考点】平方差公式；多项式乘多项式．
【分析】根据已知等式，归纳总结得到一般性规律，
写出所求式子结果即可．
【解答】解：（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4；
…
可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）
=a2017﹣b2017，
故答案为：a2017﹣b20．（2016 贵州毕节 5 分）分解
因式 3m4﹣48= 3（m2+4）（m+2）（m﹣2） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式把原式进
行因式分解即可．
【解答】解：3m4﹣48=3（m4﹣42）
=3（m2+4）（m2﹣4）
=3（m2+4）（m+2）（m﹣2）．
故答案为：3（m2+4）（m+2）（m﹣2）．
10．（2016 海南 4 分）因式分解：ax﹣ay= a（x﹣
y） ．
【考点】因式分解-提公因式法．
【分析】通过提取公因式 a 进行因式分解即可．
【解答】解：原式=a（x﹣y）．
故答案是：a（x﹣y）．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法：：如果
一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，
从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的
方法叫做提公因式法．
11．（2016 海南 4 分）某工厂去年的产值是 a 万元，
今年比去年增加 10%，今年的产值是 （1+10%）a 万元．
【考点】列代数式．
【专题】增长率问题．
【分析】今年产值=（1+10%）×去年产值，根据关系
列式即可．
【解答】解：根据题意可得今年产值=（1+10%）a 万
元，
故答案为：（1+10%）a．
【点评】本题考查了增长率的知识，增长后的收入=
（1+10%）×增长前的收入．(2016 河北 3 分）若 mn=m+3，
则 2mn+3m-5nm+10=___1___.
解 析 ： 先 化 简 ， 再 替 换 。
3m-3mn+10=3(m-mn)+10=10- ．（ 2016 山 东 菏 泽 ） 已 知
4x=3y，求代数式（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2 的
值．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】首先利用平方差公式和完全平方公式计算，
进一步合并，最后代入求得答案即可．
【解答】解：（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2
=x2﹣4xy+4y2﹣（x2﹣y2）﹣2y2
=﹣4xy+3y2
=﹣y（4x﹣3y）．
∵4x=3y，
∴原式=0．
【点评】此题考查整式的化简求值，注意先化简，再
代入求得数值即可．
15．（2016 山东省济宁市 3 分）先化简，再求值：a
（a﹣2b）+（a+b）2，其中 a=﹣1，b= ．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】原式利用单项式乘以多项式，以及完全平方
公式化简，去括号合并得到最简结果，把 a 与 b 的值代入
计算即可求出值．
【解答】解：原式=a2﹣2ab+a2+2ab+b2=2a2+b2，
当 a=﹣1，b= 时，原式=2+2=4．
【达标检测答案】
一、选择题
1．已知代数式 的值为 7，则 的值为 （ ）
A． B． C．8 D．10
【答案】C
【解析】
试题分析：因为 ，所以 ，所以 ，故选 C．
2．下列计算正确的是（ ）
A．b3b3=2b3 B．x2+x2=x4 C．（a2）3=a6 D．（ab3）
2=ab6
【答案】C
【解析】1.幂的乘方与积的乘方；2.合并同类项；3.
同底数幂的乘法．A、b3b3=b6，故本选项错误；B、
x2+x2=2x2，故本选项错误；C、（a2）3=a6，故本选项正
确；D、（ab3）2=a2b6，故本选项错误．
故选 C．
3．下列因式分解正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】因式分解是把一个多项式化为几个因式积的
形式．由此可知 ，故错误； ，故错误； ，故错误．
故选 C
4．多项式 因式分解的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】对于因式分解的题目，如果有公因式，首先
进行提取公因式，然后再利用公式法进行因式分解．原式
=9（ －1）=9（x+1）（x－1）．故选 D．若单项式 与 的
差是 ，则（ ）．
A．m≠9 B．n≠3 C．m=9 且 n=3 D．m≠9 且 n≠3
【答案】C
【解析】根据同类项的减法计算法则可得：m－n=2n，
n=3，解得：m=9，n=3．21 世纪教育网
6．若 ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：因为 ， ，所以 ，故选 D．
7．下列多项式相乘，结果为 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A、原式= －10a+16；B、原式= －6a－16；
C、原式= +6a－16；D、原式= +10a+16．故选考点：多项
式的乘法法则
二、填空题(每题 3 分,共 30 分)
8．请写出一个只含字母 和 ，次数为 3，系数是负
数的单项式 ．
【答案】 或 ．
【解析】单项式的次数是指单项式中所有字母的指数
之和，单项式的系数是指单项式中的数字因数．
9．已知：单项式 与 的和是单项式，那么 ．
【答案】7
【解析】因为单项式 与 的和是单项式，所以单项式
与 是同类型，所以 m=4，n-1=2，所以 m=4，n=3，所以 7．
10．若 2x=3，2y=5，则 2x+y= ．
【答案】【解析】考查同底数幂的乘法．
【解答】：∵2x=3，2y=5，∴2x+y=2x2y=3×5=15．．计
算： = ；
【答案】5
【解答】： ．
12．计算： ， = ．
【答案】3x-1 4x
【解析】（1）原式=（－9 ）÷（－3x）+3x÷（－3x）
=3x－1
（2）原式= = =4x．
13．因式分解：x2y﹣2xy2= ．
【答案】xy（x﹣2y）．
【解析】多项式中有公因式，所以提取公因式 xy，
得到 x2y﹣2xy2= xy（x﹣2y）．
14．分解因式：a3b-2a2b2+ab3= ．
【答案】ab（a-b）2．
【解析】
试题解析：a3b-2a2b2+ab3=ab（a2-2ab+b2）=ab（a-b）
2．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
15．已知 am=3 ，an=2 ，则 ， ．
【答案】18； ．
【解析】
试题解析：a2m+n=（am）2an=32×2=18；
am-n=am÷an=3÷2= ．
考点：1．同底数幂的除法；2．同底数幂的乘法；3．幂
的乘方与积的乘方．
16．（2016 湖北荆州）将二次三项式 x2+4x+5 化成
（x+p）2+q 的形式应为 ．
【分析】直接利用完全平方公式将原式进行配方得出
答案．
【解答】解：x2+4x+5
=x2+4x+4+1
=（x+2）2+1．
故答案为：（x+2）2+1．
【点评】此题主要考查了配方法的应用，正确应用完
全平方公式是解题关键．
三、解答题(每题 5 分,共 40 分)化简：
【分析】：先算乘法，再合并同类项即可．
【解答】：原式（2016 浙江湖州）当 a=3，b=﹣1 时，
求下列代数式的值．
（1）（a+b）（a﹣b）；
（2）a2+2ab+b2．
【分析】（1）把 a 与 b 的值代入计算即可求出值；
（2）原式利用完全平方公式变形，将 a 与 b 的值代
入计算即可求出值．
【解答】解：（1）当 a=3，b=﹣1 时，原式=2×4=8；
（2）当 a=3，b=﹣1 时，原式=（a+b）2=22=4．
19．请你说明：当 n 为自然数时，（n+7）2-（n-5）2
能被 24 整除．
【分析】原式利用平方差公式分解得到结果，即可做
出判断．
【解答】：原式=（n+7+n-5）（n+7-n+5）=24（n+1），
则当 n 为自然数时，（n+7）2-（n-5）2 能被 24 整除．
20. （2016 重庆市 A 卷）（a+b）2﹣b（2a+b）
【分析】根据完全平方公式和单项式乘多项式的法则
计算即可；
【解答】解：（a+b）2﹣b（2a+b）
=a2+2ab+b2﹣2ab﹣b2
=a2；
【点评】本题考查的是整式的混合运算，掌握完全平
方公式是解题的关键．
21. 计算：（1）（2016 重庆市 B 卷 5 分）（x﹣y）2﹣
（x﹣2y）（x+y）
【考点】整式的混合运算．
【分析】根据平方差公式、多项式乘多项式法则进行
计算；
【解答】解：（x﹣y）2﹣（x﹣2y）（x+y）
=x2﹣2xy+y2﹣x2+xy+2y2
=﹣xy+3y2；
【点评】本题考查的是整式的混合运算,掌握平方差
公式、多项式乘多项式法则是解题的关键．
22.先化简，再求值：（x+y）（x-y）-（4x3y-8xy3）
÷2xy，其中 x=-1， ．
【答案】-x2+3y2；0.
【解析】考查了 1、整式的混合运算；2、化简求值．
试题分析：原式第一项利用平方差公式化简，第二项
利用多项式除单项式法则计算，去括号合并得到最简结
果，将 x 与 y 的值代入计算即可求出值．
试题解析：原式=x2-y2-2x2+4y=-x2+3y2，
当 x=-1， 时，原式=-1+1=0．
中考数学专题：几何图形的归纳,猜想,证明
问题
中考数学专题 10 几何图形的归纳,猜想,证明问题
【前言】实行新课标以来，中考加大了对考生归纳，总
结，猜想这方面能力的考察，但是由于数列的系统知识要到
高中才会正式考察，所以大多放在填空压轴题来出。根据学
生反映，这种问题一般较难，得分率很低，经常有同学选择
+填空就只错了这一道。对于这类归纳总结问题来说，思考
的方法是最重要的，所以一下我们通过今年的一二模真题来
看看如何应对这种新题型。
第一部分 真题精讲
【例 1】
如图， +1 个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一直
线上，设 的面积为 ， 的面积为 ，…， 的面积为 ，则 = ；
=____ （用含 的式子表示）．
【思路分析】拿到这种题型，第一步就是认清所求的图形到
底是什么样的。本题还好，将阴影部分标出，不至于看错。
但是如果不标就会有同学误以为所求的面积是 , 这种的,
第二步就是看这些图形之间有什么共性和联系.首先 所代
表的三角形的底边 是三角形 的底边,而这个三角形和△
是相似的.所以边长的比例就是 与 的比值.于是 .接下来
通过总结,我们发现所求的三角形有一个最大的共性就是高
相等,为 （连接上面所有的 B 点，将阴影部分放在反过来的
等边三角形中看）。那么既然是求面积，高相等，剩下的自
然就是底边的问题了。我们发现所有的 B,C 点连线的边都是
平行的，于是自然可以得出 自然是所在边上的 n+1 等分点.
例如 就是 的一个三等分点.于是 (n+1-1 是什么意思?为什
么要减 1?)
【例 2】
在平面直角坐标系中，我们称边长为 1 且顶点的横纵坐
标均为整数的正方形为单位格点 正方形，如图，菱形 的四
个顶点坐标分别是 ， ， ， ，则菱形 能覆盖的单位格点
正方形的个数是_______个；若菱形 的四个顶点坐标分别
为 ， ， ， （ 为正整数），则菱形 能覆盖的单位格点正
方形的个数为_________（用含有 的式子表示）．
【思路分析】此题方法比较多，例如第一空直接数格子都可
以数出是 48（笑）。这里笔者提供一种方法，其他方法大家
可以自己去想想看。因为求的是菱形包涵的正方形个数，所
以只需求出被 X,Y 轴所分的四个三角形包涵的个数，再乘以
4 即可。比如我们来看第二象限那个三角形。第二象限菱形
那条边过（-2n,0）(0,n),自然可以写出直线解析式为 ,斜
率 意味着什么?看上图,注意箭头标注的那些空白三角形,
这些 RT 三角形一共有 2n/2=n 个,他们的纵直角边与横直角
边的比是不是就是 ?而且这些直角三角形都是全等的,面积
均为两个单位格点正方形的一半.那么整个的△AOB 的面积
自然就是 ,所有 n 个空白小三角形的面积之和为 ,相减之后
自然就是所有格点正方形的面积 ,也就是数量了.所以整个
菱形的正方形格点就是 .
【例 3】
如图， ，过 上到点 的距离分别为 的点作 的垂线与
相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为 ．则
第一个黑色梯形的面积 ；观察图中的规律，第 ( 为正整数)
个黑色梯形的面积 ．
【思路分析】本题方法也比较多样。所有阴影部分都是一个
直角梯形，而因为 ，所以梯形的上下底长度分别都对应了
垂足到 0 点的距离,而高则是固定的 2。第一个梯形上底是 1，
下底是 3，所以 .第二个梯形面积 ,第三个是 ,至此,我们发
现本题中梯形面积数值上其实就是上下底的和.而且各个梯
形的上底都是前一个梯形上底加上 4。于是第 n 个梯形的上
底就是 1+4(n-1)=4n-3,(第一个梯形的上底 1 加上(n-1)个
4.)下底自然就是 4n-1,于是 就是 8n-4.
【例 4】
在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称
为整点．请你观察图中正方形 A1B1C1D1，A2B2C2D2，
A3B3C3D3……每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律
推算出正方形 A10B10C10D10 四条边上的整点共有
个．
【思路分析】此题看似麻烦，但是只要把握住“正方形”这
个关键就可以了。对于 来说,每条边的长度是 2n,那么自然
整点个数就是 2n+1，所以四条边上整点一共有
(2n+1)x4-4=8n(个)(要减去四个被重复算的顶点),于是 就
是 80 个.
【例 5】
如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=1，取斜边的中点，
向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下
去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC 的 BC 边重叠为止，
此时这个三角形的斜边长为_____．
【思路分析】本题依然要找出每个三角形和上一个三角形之
间的规律联系。关键词“中点”“垂线”“等腰直角”。这
就意味着每个三角形的锐角都是 45 度，并且直角边都是上
一个三角形直角边的一半。绕一圈是 360 度，包涵了 8 个
45°。于是绕到第八次就可以和 BC 重叠了，此时边长为△ABC
的 ，故而得解。
【例 6】
如图，以等腰三角形 的斜边为直角边向外作第 个等腰
直角三角形 ，再以等腰直角三角形 的斜边为直角边向外作
第 个等腰直角三角形 ，……，如此作下去，若 ，则第 个
等腰直角三角形的面积 ________（n 为正整数）.
【思路分析】和上题很类似的几何图形外延拓展问题。还是
一样慢慢找小三角形面积的规律。由题可得 ，分子就是
1,2,4,8,16 这样的数列。于是
【总结】几何图形的归纳总结问题其实就包括了代数方
面的数列问题，只不过需要考生自己找出图形与图形之间的
联系而已。对于这类问题，首先就是要仔细读题，看清楚题
目所求的未知量是什么，然后找出各个未知量之间的联系，
这其中就包括了寻找未知量的拓展过程中，哪些变了，哪些
没有变。最后根据这些联系列出通项去求解。在遇到具体关
系很难找的问题时，不妨先写出第一项，第二项，第三项然
后去找数式上的规律，如上面例 6 就是一例，如果纠结于几
何图形当中等腰三角形直角边的平方，反而会使问题复杂
化，直接列出前几项的面积就可以大胆的猜测出来结果了。
这类题目计算量往往不大，重在思考和分析的方法，还请考
生细心掌握。
第二部分 发散思考
【思考 1】
如图，在平面直角坐标系 xOy 中， ， ， ，
，…，以 为对角线作第一个正方形 ，以
为对角线作第二个正方形 ，以 为对角线作第
三个正方形 ，…，如果所作正方形的对角线 都在
y 轴上，且 的长度依次增加 1 个单位，顶点 都在第一
象
限内（n≥1，且 n 为整数）．那么 的纵坐标为 ；用 n
的代数式表示 的纵坐标： ．
【思考 2】
如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点 处开始跳
动，第一
次跳到点 关于 x 轴的对称点 处，接着跳到点 关于 y
轴
的对称点 处，第三次再跳到点 关于原点的对称点
处，…，
如此循环下去．当跳动第 2009 次时，棋子落点处的坐
标是
．
【思考 3】
对于大于或等于 2 的自然数 n 的平方进行如下“分
裂”，分裂成 n 个连续奇数的和，则自然数 72 的分裂数中
最大的数是 ，自然数 n 的分裂数中最大的数是【思考 4】
一个质点在第一象限及 轴、 轴上运动，在第一秒钟，
它从原点运动到 ，然后接着按图中箭头所示方向运动,即 ，
且每秒移动一个单位，那么第 35 秒时质点所在位置的坐标
是_______
【思考 5】
如图，将边长为 的正方形纸片从左到右顺次摆放，其
对应的正方形的中心依次为 A1, A2, A3, ….①若摆放前 6
个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）
之和为 ；②若摆放前 n（n 为大于 1 的正
整数）个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）
之和为 .
第三部分 思考题解析
【思考 1 答案】2；
【思考 2 答案】（3，－2）
【思考 3 答案】13；2n-1
【思考 4 答案】（5，0）
【思考 5 答案】10
