2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册教案:第3章 3

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2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册教案:第3章 3

www.ks5u.com 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用,会判断直线与椭圆的位置关系.(重点)‎ ‎2.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题.(难点)‎ ‎1.通过直线与椭圆位置关系的判断,培养学生的逻辑推理核心素养.‎ ‎2.通过弦长、中点弦问题及椭圆综合问题的学习,提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养.‎ 大家知道,直线与圆有三种位置关系,设圆心到直线的距离为d,圆的半径为R,则 d>R时⇔直线与圆相离; ‎ d=R时⇔直线与圆相切;‎ d<R时⇔直线与圆相交.‎ 那么直线与椭圆有几种位置关系呢?又如何来判定呢?‎ ‎1.点与椭圆的位置关系 点P(x0,y0)与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系:‎ 点P在椭圆上⇔+=1;‎ 点P在椭圆内部⇔+<1;‎ 点P在椭圆外部⇔+>1.‎ ‎2.直线与椭圆的位置关系 直线y=kx+m与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系:‎ 联立消去y得一个关于x的一元二次方程.‎ 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0‎ 位置关系 解的个数 Δ的取值 相切 一解 Δ=0‎ 相离 无解 Δ<0‎ 思考:过原点的直线和椭圆相交,两交点关于原点对称吗?‎ ‎[提示] 根据椭圆的对称性知,两交点关于原点对称.‎ ‎1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)点P(2,1)在椭圆+=1的内部. (  )‎ ‎(2)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切. (  )‎ ‎(3)过点A(0,1)的直线一定与椭圆x2+=1相交. (  )‎ ‎(4)长轴是椭圆中最长的弦. (  )‎ ‎[提示] (1)× (2)√ (3)√ (4)√‎ ‎2.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系为(  )‎ A.相切    B.相交    C.相离    D.不确定 B [直线方程y=kx-k+1可化为y-1=k(x-1),知直线过定点(1,1),因+<1,∴点(1,1)在椭圆内,故直线y=kx-k+1与椭圆相交.]‎ ‎3.直线x+2y=m与椭圆+y2=1只有一个交点,则m的值为(  )‎ A.2 B.± C.±2 D.±2‎ C [由消去y并整理得 ‎2x2-2mx+m2-4=0.‎ 由Δ=4m2-8(m2-4)=0,得m2=8.‎ ‎∴m=±2.]‎ ‎4.若点A(a,1)在椭圆+=1的内部,则a的取值范围是________.‎ ‎(-,) [∵点A在椭圆内部,‎ ‎∴+<1,∴a2<2,‎ ‎∴-<a<.]‎ 直线与椭圆的位置关系 ‎【例1】 已知直线l:y=2x+m,椭圆C:+=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:‎ ‎(1)有两个公共点;‎ ‎(2)有且只有一个公共点;‎ ‎(3)没有公共点.‎ ‎[思路探究] → ‎→→得出结论 ‎[解] 直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组消去y,得9x2+8mx+2m2-4=0 ①.‎ 方程①的判别式Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144.‎ ‎(1)当Δ>0,即-3<m<3时,方程①有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个公共点.‎ ‎(2)当Δ=0,即m=±3时,方程①有两个相同的实数解,可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点.‎ ‎(3)当Δ<0,即m<-3或m>3时,方程①没有实数解,可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.‎ 代数法判断直线与椭圆的位置关系 判断直线与椭圆的位置关系,通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则 Δ>0⇔直线与椭圆相交;‎ Δ=0⇔直线与椭圆相切;‎ Δ<0⇔直线与椭圆相离.‎ 提醒:注意方程组的解与交点个数之间的等价关系.‎ ‎[跟进训练]‎ ‎1.若直线y=kx+1(k∈R)与椭圆+=1恒有公共点,求实数m的取值范围.‎ ‎[解] 因为y=kx+1(k∈R)恒过点(0,1),则点(0,1)在椭圆+=1内或椭圆上时,直线与椭圆恒有公共点,所以≤1,即m≥1.‎ 当m=5时,+=1不是椭圆,它是以原点为圆心,半径为的圆.因此,m的取值范围为[1,5)∪(5,+∞).‎ 弦长和中点弦问题 ‎[探究问题]‎ ‎1.求弦长常用的方法有哪几种?‎ ‎[提示] (1)两点间距离公式,需要先通过解方程组将两点坐标求出来.‎ ‎(2)弦长公式,不需要求出交点坐标,采用根与系数的关系整体代换即可.‎ ‎2.“点差法”的核心是什么?‎ ‎[提示] 假设弦l中点为(x0,y0), 弦的两端点坐标为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,‎ 由两式作差得+=0,即kl=-.‎ ‎【例2】 过椭圆+=1内一点M(2,1)引一条弦,使弦被M点平分.‎ ‎(1)求此弦所在的直线方程;‎ ‎(2)求此弦长.‎ ‎[思路探究] ‎ ‎(1)法一:联立方程,消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解.‎ 法二:点差法.‎ ‎(2)设弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),利用弦长公式求解.‎ ‎[解] (1)法一:设所求直线方程为y-1=k(x-2).代入椭圆方程并整理,得 ‎(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0.‎ 又设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1,x2是方程的两个根,‎ 于是x1+x2=.‎ 又M为AB的中点,∴==2,‎ 解得k=-.‎ 故所求直线的方程为x+2y-4=0.‎ 法二:设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 又M(2,1)为AB的中点,∴x1+x2=4,y1+y2=2.‎ 又A,B两点在椭圆上,‎ 则x+4y=16,x+4y=16.‎ 两式相减得(x-x)+4(y-y)=0.‎ 于是(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0.‎ ‎∴=-=-,‎ 即kAB=-.‎ 又直线AB过点M(2,1),‎ 故所求直线的方程为x+2y-4=0.‎ ‎(2)设弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由得x2-4x=0,‎ ‎∴x1+x2=4,x1x2=0,‎ ‎∴|AB|=· ‎=·=2.‎ ‎1.本例中把条件改为“点M(2,1)是直线x+2y-4=0被焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的中点”,求该椭圆的离心率.‎ ‎[解] 设直线与椭圆的两交点为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=4,y1+y2=2.‎ 由+=1和+=1,‎ 得=-,∴k==.‎ 又x+2y-4=0的斜率为-,∴=.‎ 所以椭圆的离心率为e====.‎ ‎2.把本例条件中“使弦被M点平分去掉”,其他条件不变,求弦的中点P的轨迹方程.‎ ‎[解] 设弦的中点为P(x,y),两端点的坐标为(x1,y1),(x2,y2),则 ‎∴=-,‎ 从而kl==.‎ 又kl=kPM=,∴=.‎ 整理得x2+4y2-2x-4y=0.‎ 故轨迹方程为x2+4y2-2x-4y=0.(椭圆内的部分)‎ ‎1.弦中点问题的解决方法 ‎(1)用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤 ‎①设点——设出弦的两端点坐标;‎ ‎②代入——代入圆锥曲线方程;‎ ‎③作差——两式相减,再用平方差公式把上式展开;‎ ‎④整理——转化为斜率与中点坐标的关系式,然后求解.‎ ‎(2)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解,在使用根与系数的关系时,要注意使用条件Δ>0;在用“点差法”‎ 时,要检验直线与圆锥曲线是否相交.‎ ‎2.弦长公式 设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则有 ‎|AB|= ‎= ‎=· ‎= ‎=·(k为直线斜率).‎ 提醒:如果直线方程涉及斜率,要注意斜率不存在的情况.‎ 与椭圆有关的综合问题 ‎【例3】 椭圆E:+=1(a>b>0)经过点A(-2,0),且离心率为.‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)过点P(4,0)任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M,N.在x轴上是否存在点Q,使得∠PQM+∠PQN=180°?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎[解] (1)由条件可知,椭圆的焦点在x轴上,且a=2,又e==,得c=.‎ 由a2-b2=c2得b2=a2-c2=2.‎ ‎∴所求椭圆的方程为+=1.‎ ‎(2)若存在点Q(m,0),使得∠PQM+∠PQN=180°,‎ 则直线QM和QN的斜率存在,分别设为k1,k2.‎ 等价于k1+k2=0.‎ 依题意,直线l的斜率存在,故设直线l的方程为y=k(x-4).‎ 由,‎ 得(2k2+1)x2-16k2x+32k2-4=0.‎ 因为直线l与椭圆C有两个交点,所以Δ>0.‎ 即(16k2)2-4(2k2+1)(32k2-4)>0,解得k2<.‎ 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,‎ y1=k(x1-4),y2=k(x2-4),‎ 令k1+k2=+=0,‎ ‎(x1-m)y2+(x2-m)y1=0,‎ 当k≠0时,2x1x2-(m+4)(x1+x2)+8m=0,‎ 化简得,=0,‎ 所以m=1.‎ 当k=0时,也成立.‎ 所以存在点Q(1,0),使得∠PQM+∠PQN=180°.‎ 综合问题涉及的问题及解决方法 本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题,其中解答中涉及到椭圆的几何性质及其应用,直线与椭圆的位置关系的综合应用,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,推理与运算能力.此类问题的解答中,把直线方程代入椭圆的方程,转化为方程的根与系数的关系是解答的关键.‎ ‎[跟进训练]‎ ‎2.椭圆的两个焦点坐标分别为F1(-,0)和F2(,0),且椭圆过点.‎ ‎(1)求椭圆方程;‎ ‎(2)过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M,N两点,A为椭圆的左顶点,试判断∠MAN的大小是否为定值,并说明理由.‎ ‎[解] (1)由题意设椭圆方程+=1(a>b>0),‎ 由c=,a2=b2+c2,代入方程+=1,‎ 又∵椭圆过点,‎ 得+=1,解得b2=1,∴a2=4.‎ 椭圆的方程为+y2=1.‎ ‎(2)设直线MN的方程为x=ky-,‎ 联立直线MN和椭圆的方程可得 得(k2+4)y2-ky-=0,‎ 设M(x1,y1),N(x2,y2),A(-2,0),‎ y1y2=-,y1+y2=,‎ 则·=(x1+2,y1)·(x2+2,y2)‎ ‎=(k2+1)y1y2+k(y1+y2)+=0,‎ 即可得∠MAN=.‎ ‎∴∠MAN的大小是定值.‎ ‎1.解决直线与椭圆的位置关系问题,经常利用设而不求的方法,解题步骤为:‎ ‎(1)设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2);‎ ‎(2)联立直线与椭圆的方程;‎ ‎(3)消元得到关于x或y的一元二次方程;‎ ‎(4)利用根与系数的关系设而不求;‎ ‎(5)把题干中的条件转化为x1+x2,x1·x2或y1+y2,y1·y2,进而求解.‎ ‎2.求定值问题常见的方法 ‎(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.‎ ‎(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.‎ ‎3.解决椭圆的中点弦问题的三种方法 ‎(1)方程组法 通过解直线方程与椭圆方程构成的方程组,利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式求解.‎ ‎(2)点差法 设直线与椭圆的交点(弦的端点)坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点(x0,y0)和斜率kAB有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为“点差法”,事实上就是椭圆的垂径定理.‎ 利用kAB==-·=-·,转化为中点(x0,y0)与直线AB的斜率之间的关系,这是处理弦中点轨迹问题的常用方法.‎ ‎(3)中点转移法 先设出弦的一个端点的坐标,再借助中点得出弦的另一个端点的坐标,分别代入椭圆方程作差可得.‎ ‎1.若点P(a,1)在椭圆+=1的外部,则a的取值范围为(  )‎ A. B.∪ C. D. B [由题意知+>1,即a2>,解得a>或a<-.]‎ ‎2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为(  )‎ A.      B. C. D. A [由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0),半径为a.‎ 又直线bx-ay+2ab=0与圆相切,‎ ‎∴圆心到直线的距离d==a,‎ 解得a=b,‎ ‎∴=,‎ ‎∴e=====.‎ 故选A.]‎ ‎3.设椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过焦点F1的直线交椭圆于M,N两点,若△MNF2的内切圆的面积为π,则S=________.‎ ‎4 [如图,已知椭圆 +=1的左、右焦点分别为F1,F2,a=2,过焦点F1的直线交椭圆于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,△MNF2的内切圆的面积为π,‎ ‎∴△MNF2的内切圆半径r=1.‎ ‎∴△MNF2的面积S=×1×(|MN|+|MF2|+|NF2|)=2a=4.]‎ ‎4.椭圆x2+4y2=16被直线y=x+1截得的弦长为________.‎  [由 消去y并化简得x2+2x-6=0.‎ 设直线与椭圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2),‎ 则x1+x2=-2,x1x2=-6.‎ ‎∴弦长|MN|=|x1-x2|‎ ‎===.]‎ ‎5.设椭圆C:+=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点的坐标.‎ ‎[解] (1)将(0,4)代入C的方程,得=1,∴b=4.‎ 由e==,得=,即1-=,∴a=5,‎ ‎∴椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y=(x-3).‎ 设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 将直线AB的方程y=(x-3)代入C的方程,得+=1,即x2-3x-8=0,‎ 则x1+x2=3,∴=,=(x1+x2-6)=-,即中点的坐标为.‎
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