【数学】2020届一轮复习人教A版综合法和分析法作业

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【数学】2020届一轮复习人教A版综合法和分析法作业

‎2020届一轮复习人教A版 综合法和分析法 作业 ‎1.下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1f(x2)”的是(　　)‎ A.f(x)=‎1‎x B.f(x)=(x-1)2‎ C.f(x)=ex D.f(x)=ln(x+1)‎ 解析:本题就是判断哪一个函数在(0,+∞)内是减函数,A项中,f'(x)=‎1‎x'=-‎1‎x‎2‎<0,所以f(x)=‎1‎x在(0,+∞)内为减函数,其余选项均不符合.‎ 答案:A ‎2.分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明设a>b>c,且a+b+c=0,求证:b‎2‎‎-ac‎<‎‎3‎a,则证明的依据应是(　　)‎ A.a-b>0 B.a-c>0‎ C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0‎ 解析:b‎2‎‎-ac‎<‎‎3‎a⇔b2-ac<3a2⇔(a+c)2-ac<3a2⇔(a-c)(2a+c)>0⇔(a-c)(a-b)>0.‎ 答案:C ‎3.命题“如果数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,那么数列{an}一定是等差数列”是否成立(　　)‎ A.不成立 B.成立 C.不能断定 D.与n取值有关 解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-5,又a1=S1=2×12-3×1=-1适合上式,所以an=4n-5(n∈N*),则an-an-1=4(常数),故数列{an}是等差数列.‎ 答案:B ‎4.已知函数f(x)=cos(3x+4θ)是奇函数,则θ等于(　　)‎ A.kπ‎4‎‎+‎π‎8‎(k∈Z) B.kπ+π‎2‎(k∈Z)‎ C.kπ(k∈Z) D.kπ‎4‎(k∈Z)‎ 解析:因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)对x∈R恒成立,即cos(-3x+4θ)=-cos(3x+4θ),亦即cos(3x-4θ)+cos(3x+4θ)=0,所以2cos 3xcos 4θ=0,因此cos 4θ=0,4θ=kπ+π‎2‎(k∈Z),解得θ=kπ‎4‎‎+‎π‎8‎(k∈Z).‎ 答案:A ‎5.要证a2+b2-1-a2b2≤0,只需证明(　　)‎ A.2ab-1-a2b2≤0 B.a2+b2-1-a‎4‎‎+‎b‎4‎‎2‎≤0‎ C.‎(a+b‎)‎‎2‎‎2‎-1-a2b2≤0 D.(a2-1)(b2-1)≥0‎ 解析:∵a2+b2-1-a2b2≤0⇐(a2-1)(b2-1)≥0,∴由分析法知选D.‎ 答案:D ‎6.已知a,b,c为正实数,且a+b+c=1,求证:‎1‎a‎-1‎‎1‎b‎-1‎‎1‎c‎-1‎≥8.证明过程如下:‎ 因为a,b,c为正实数,且a+b+c=1,‎ 所以‎1‎a-1=b+ca>0,‎1‎b-1=a+cb>0,‎1‎c-1=a+bc>0,所以‎1‎a‎-1‎‎1‎b‎-1‎‎1‎c‎-1‎‎=b+ca·a+cb·a+bc≥‎‎2bc·2ac·2‎ababc=8.当且仅当a=b=c时取等号,所以不等式成立.‎ 这种证法是　　　　　. ‎ 解析:本题从已知条件出发,不断地展开思考,去探索结论,这种方法是综合法.‎ 答案:综合法 ‎7.平面内有四边形ABCD和点O,且满足OA‎+OC=OB+‎OD,则四边形ABCD为　　　　　　　　. ‎ 解析:因为OA‎+OC=OB+‎OD,所以OA‎-OB=OD-‎OC,即BA‎=‎CD,故四边形ABCD为平行四边形.‎ 答案:平行四边形 ‎8.在锐角三角形ABC中,求证:tan Atan B>1.‎ 证明:要证tan Atan B>1,只需证sinAsinBcosAcosB>1,‎ 因为A,B均为锐角,所以cos A>0,cos B>0.‎ 因此只需证明sin Asin B>cos Acos B,‎ 即cos Acos B-sin Asin B<0,‎ 只需证cos(A+B)<0.‎ 而△ABC为锐角三角形,所以90°1.‎ ‎9.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,点E是PC的中点.‎ ‎(1)证明CD⊥AE.‎ ‎(2)证明PD⊥平面ABE.‎ 证明:(1)在四棱锥P-ABCD中,‎ 因为PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,‎ 所以PA⊥CD.‎ 因为AC⊥CD,PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.‎ 又因为AE⊂平面PAC,所以CD⊥AE.‎ ‎(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.‎ 因为点E是PC的中点,所以AE⊥PC.‎ 由(1)知,AE⊥CD,又PC∩CD=C,‎ 所以AE⊥平面PCD.‎ 又因为PD⊂平面PCD,所以AE⊥PD.‎ 因为PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,‎ 所以平面PA⊥AB.‎ 又AB⊥AD,PA∩AD=A,‎ 所以AB⊥平面PAD.‎ 因为PD⊂平面PAD,所以AB⊥PD.‎ 又因为AB∩AE=A,所以PD⊥平面ABE.‎ ‎10.已知△ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列.试分别用分析法和综合法证明B为锐角.‎ 思路分析:在△ABC中,要证B为锐角,只需证cos B>0,结合余弦定理可解决问题.‎ 证明:分析法:要证明B为锐角,只需证cos B>0.‎ ‎∵cos B=a‎2‎‎+c‎2‎-‎b‎2‎‎2ac,‎ ‎∴只需证明a2+c2-b2>0,即a2+c2>b2.‎ 又∵a2+c2≥2ac,∴只需证明2ac>b2.‎ 由已知‎2‎b‎=‎1‎a+‎‎1‎c,得2ac=b(a+c),‎ ‎∴只需证明b(a+c)>b2,即只需证明a+c>b.‎ 而a+c>b显然成立,故B为锐角.‎ 综合法:由题意,得‎2‎b‎=‎1‎a+‎1‎c=‎a+cac,‎ 则b=‎2aca+c,∴b(a+c)=2ac.‎ ‎∵a+c>b,∴b(a+c)=2ac>b2.‎ ‎∴cos B=a‎2‎‎+c‎2‎-‎b‎2‎‎2ac‎≥‎‎2ac-‎b‎2‎‎2ac>0.‎ 又∵0Q B.P=Q C.P0”是“△ABC为锐角三角形”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:若△ABC为锐角三角形,则A必为锐角,因此一定有AB‎·‎AC>0,但当AB‎·‎AC>0时,只能得到A为锐角,这时△ABC不一定为锐角三角形.‎ 答案:B ‎3.在△ABC中,C=π‎3‎,a,b,c分别为A,B,C的对边,则ab+c‎+‎bc+a=　　　　　. ‎ 解析:因为C=π‎3‎,所以a2+b2=c2+ab,所以(a2+ac)+(b2+bc)=c2+ab+ac+bc=(a+c)(b+c),所以ab+c‎+bc+a=‎‎(a‎2‎+ac)+(b‎2‎+bc)‎‎(b+c)(c+a)‎=1.‎ 答案:1‎ ‎4.如图,在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD(侧棱与底面垂直)中,当底面四边形ABCD满足条件　　　　　时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形). ‎ 解析:要证明A1C⊥B1D1,‎ 只需证明B1D1⊥平面A1C1C.‎ 因为CC1⊥B1D1,‎ 只要再有条件B1D1⊥A1C1,就可证明B1D1⊥平面A1C1C,‎ 从而得答案为B1D1⊥A1C1.‎ 答案:B1D1⊥A1C1(答案不唯一)‎ ‎5.设a,b,c,d均为正数,求证:a‎2‎‎+‎b‎2‎‎+c‎2‎‎+‎d‎2‎≥‎‎(a+c‎)‎‎2‎+(b+d‎)‎‎2‎.‎ 证明:要证明a‎2‎‎+‎b‎2‎‎+c‎2‎‎+‎d‎2‎≥‎‎(a+c‎)‎‎2‎+(b+d‎)‎‎2‎成立,‎ 只需证a‎2‎‎+‎b‎2‎‎+‎c‎2‎‎+‎d‎2‎≥(a+b)2+(b+c)2,‎ 即证‎(a‎2‎+b‎2‎)(c‎2‎+d‎2‎)‎≥ac+bd,‎ 就是证(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,‎ 就是证b2c2+a2d2≥2abcd,‎ 也就是证(bc-ad)2≥0,此式显然成立,‎ 故所证不等式成立.‎ ‎6.在锐角三角形ABC中,已知3b=2‎3‎asin B,且cos B=cos C,求证:△ABC是等边三角形.‎ 证明:∵△ABC为锐角三角形,‎ ‎∴A,B,C∈‎0,‎π‎2‎,‎ 由正弦定理及条件,可得 ‎3sin B=2‎3‎sin Asin B.‎ ‎∵B∈‎0,‎π‎2‎,‎ ‎∴sin B≠0,∴3=2‎3‎sin A,‎ ‎∴sin A=‎3‎‎2‎.‎ ‎∵A∈‎0,‎π‎2‎,‎ ‎∴A=π‎3‎.‎ 又cos B=cos C,且B,C∈‎0,‎π‎2‎,‎ ‎∴B=C.‎ 又B+C=‎2π‎3‎,‎ ‎∴A=B=C=π‎3‎.‎ 从而△ABC是等边三角形.‎ ‎7.导学号40294013是否存在常数C,使不等式x‎2x+y‎+‎yx+2y≤C≤xx+2y‎+‎y‎2x+y对任意正数x,y恒成立?若存在,请给出证明;若不存在,请说明理由.‎ 解:存在常数C=‎2‎‎3‎使不等式成立.‎ 证明如下:‎ ‎∵x>0,y>0,‎ ‎∴要证x‎2x+y‎+yx+2y≤‎‎2‎‎3‎,‎ 只需证3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2(2x+y)(x+2y),‎ 即证x2+y2≥2xy,此式显然成立.‎ ‎∴x‎2x+y‎+yx+2y≤‎‎2‎‎3‎.‎ 再证xx+2y‎+y‎2x+y≥‎‎2‎‎3‎,‎ 只需证3x(2x+y)+3y(x+2y)≥2(x+2y)(2x+y),‎ 即证x2+y2≥2xy,此式显然成立.‎ ‎∴xx+2y‎+y‎2x+y≥‎‎2‎‎3‎.‎ 综上所述,存在常数C=‎2‎‎3‎,使得不等式x‎2x+y‎+‎yx+2y≤C≤xx+2y‎+‎y‎2x+y对任意正数x,y恒成立.‎ ‎8.求证:当x∈[0,1]时,‎2‎‎2‎x≤sin x≤x.‎ 证明:记F(x)=sin x-‎2‎‎2‎x,则F'(x)=cos x-‎2‎‎2‎.‎ 当x∈‎0,‎π‎4‎时,F'(x)>0,F(x)在‎0,‎π‎4‎上是增函数;‎ 当x∈π‎4‎‎,1‎时,F'(x)<0,F(x)在π‎4‎‎,1‎上是减函数.‎ 又F(0)=0,F(1)>0,所以当x∈[0,1]时,F(x)≥0,即sin x≥‎2‎‎2‎x.‎ 记H(x)=sin x-x,则当x∈(0,1)时,H'(x)=cos x-1<0,所以H(x)在[0,1]上是减函数,则H(x)≤H(0)=0,即sin x≤x.‎ 综上,‎2‎‎2‎x≤sin x≤x,x∈[0,1].‎
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