高考数学精讲精练精析专题10_3抛物线试题理含解析

高考数学精讲精练精析专题10_3抛物线试题理含解析

专题 10.3 抛物线 【三年高考】 1. 【2016 年高考四川理数】设 O为坐标原点，P 是以 F为焦点的抛物线 2 2 (p 0)y px  上任意一点，M 是线段 PF 上的点，且 PM =2 MF ,则直线 OM 的斜率的最大值为( ) （A） 3 3 （B） 2 3 （C） 2 2 （D）1 【答案】C 2.【2016 高考新课标 1卷】以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B两点,交 C 的准线于 D、E 两点.已知 |AB|= 4 2 ,|DE|=2 5 ,则 C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B 3. 【2016 高考浙江理数】若抛物线 y2=4x 上的点 M到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离是_______． 【答案】9 【解析】 1 10 9M Mx x    4. 【2016 高考天津理数】设抛物线 22 2 x pt y pt     ，（t 为参数，p＞0）的焦点为 F，准线为 l.过抛物线上一点 A 作 l 的垂线，垂足为 B.设 C（ 7 2 p,0），AF 与 BC 相交于点 E.若|CF|=2|AF|，且△ACE 的面积为3 2，则 p 的 值为_________. 【答案】 6 【解析】抛物线的普通方程为 2 2y px ， ( ,0) 2 pF ， 7 3 2 2 pCF p p   ，又 2CF AF ，则 3 2 AF p ， 由抛物线的定义得 3 2 AB p ，所以 Ax p ，则 | | 2Ay p ，由 //CF AB得 EF CF EA AB  ，即 2EF CF EA AF   ， 所以 2 6 2CEF CEAS S   ， 9 2ACF AEC CFES S S     ，所以 1 3 2 9 2 2 p p   ， 6p  ． 5. 【2016 高考新课标 3 理数】已知抛物线C： 2 2y x 的焦点为 F ，平行于 x轴的两条直线 1 2,l l 分别交C 于 ,A B两点，交C的准线于 P Q， 两点． （I）若 F 在线段 AB上， R是PQ的中点，证明 AR FQ ； （II）若 PQF 的面积是 ABF 的面积的两倍，求 AB中点的轨迹方程. 6. 【2015 高考浙江，理 5】如图，设抛物线 2 4y x 的焦点为 F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点 A， B，C，其中点 A， B在抛物线上，点C在 y轴上，则 BCF 与 ACF 的面积之比是（ ） A. 1 1 BF AF   B. 2 2 1 1 BF AF   C. 1 1 BF AF   D. 2 2 1 1 BF AF   【答案】A. 【解析】 1 1      AF BF x x AC BC S S A B ACF BCF ，故选 A. 7.【2015高考上海，理5】抛物线 2 2y px （ 0p  ）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则 p  ． 【答案】 2 【解析】因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶 点到准线的距离，即 1, 2. 2 p p  8.【2015 高考四川，理 10】设直线 l 与抛物线 2 4y x 相交于 A，B 两点，与圆    2 2 25 0x y r r    相 切于点 M，且 M为线段 AB 的中点.若这样的直线 l 恰有 4条，则 r的取值范围是（ ） （A）  1 3， （B）  1 4， （C）  2 3， （D）  2 4， 【答案】D 9.【2015 高考新课标 1，理 20】在直角坐标系 xoy中，曲线 C：y= 2 4 x 与直线 y kx a  ( a＞0)交与 M,N 两点， （Ⅰ）当 k=0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程； （Ⅱ）y 轴上是否存在点 P，使得当 k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由. 10.【2014 新课标 1，理 10】.已知抛物线C： 2 8y x 的焦点为 F ，准线为 l，P是 l上一点，Q是直线 PF 与C的一个焦点，若 4FP FQ   ，则 | |QF = A . 7 2 B . 5 2 C .3 D .2 【答案】C 【解析】过 Q 作 QM⊥直线 L于 M，∵ 4FP FQ   ∴ 3 4 PQ PF  ， 又 3 4 4 QM PQ PF   ，∴ 3QM  ，由抛物线定义知 3QF QM  ，选 C 11.【2014 新课标 2，理 10】设 F 为抛物线 C: 2 3y x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两 点，O为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ） A. 3 3 4 B. 9 3 8 C. 63 32 D. 9 4 【答案】D. 12.【2014 全国大纲，理 21】已知抛物线 C： 2 2 ( 0)y px p  的焦点为 F，直线 4y  与 y 轴的交点为 P， 与 C 的交点为 Q，且 5| | | | 4 QF PQ . （I）求 C的方程； （II）过 F 的直线 l与 C相交于 A，B 两点，若 AB 的垂直平分线 l与 C相较于 M，N 两点，且 A，M，B，N 四 点在同一圆上，求 l的方程. 【解析】（I）设 ( )0 , 4Q x ，代入 2 2y px= ，得 0 0 8 8 8, , . 2 2 p px PQ QF x p p p = = = + = + ．由题设得 8 5 8 2 4 p p p + = ´ ，解得 2p=- （舍去）或 2p= ，∴C 的方程为 2 4y x= ； （II）由题设知 l与坐标轴不垂直，故可设 l的方程为 ( )1 0x my m= + ¹ ，代入 2 4y x= 得 2 4 4 0y my- - = ．设 ( ) ( )1 1 2 2, , , ,A x y B x y 则 1 2 4 ,y y m+ = 1 2 4y y =- ．故 AB的中点为 ( ) ( )2 2 2 1 22 1 , 2 , 1 4 1D m m AB m y y m+ = + - = + ．又 l ¢的斜率为 ,m l ¢- 的方程 为 21 2 3x y m m =- + + ．将上式代入 2 4y x= ，并整理得 ( )2 24 4 2 3 0y y m m + - + = ．设 ( ) ( )3 3 4 4, , , ,M x y B x y 则 ( )2 3 4 3 4 4 , 4 2 3y y y y m m + =- =- + ．故MN 的中点为 ( )2 2 2 3 42 2 2 4 1 2 12 2 12 3 , , 1 m m E m MN y y mm m m + +÷ç + + - = + - =÷ç ÷ç ． 由于MN 垂直平分线 AB，故 , , ,A M B N 四点在同一圆上等价于 1 2 AE BE MN= = ，从而 2 2 21 1 , 4 4 AB DE MN+ = 即 ( ) ( ) ( )22 22 2 22 2 4 4 1 2 12 24 1 2 2 m m m m m m m + + + + + + + = ，化简得 2 1 0m - = ，解得 1m= 或 1m=- ．所求直 线 l的方程为 1 0x y- - = 或 1 0x y+ - = ． 【三年高考命题回顾】 纵观前三年各地高考试题, 一方面以选择题、填空题的形式考查抛物线的定义、标准方程及简单几何性质 等基础知识，另一方面以解答题的形式考查抛物线的概念和性质、直线与抛物线的位置关系的综合问题， 着力于数学思想方法及数学语言的考查，题目的运算量一般不是很大，属于中档题，分值为 5-12 分． 【2017 年高考复习建议与高考命题预测】 由前三年的高考命题形式可以看出，抛物线的的定义、标准方程及简单几何性质是高考考试的重点，每年 必考，考查方面其它利用性质求抛物线方程，求弦长，求抛物线的最值或范围问题，过定点问题，定值问 题等．预测 2017 年高考，对本节内容的考查仍将以求抛物线的方程和研究抛物线的性质为主，仍以选择题、 填空、解答题的第一小题的形式考查抛物线的定义、标准方程及抛物线的几何性质，难度仍为容易题或中 档题，以解答题的第二问的形式考查直线与抛物线的位置关系，难度仍难题，分值保持在 5-12 分.在备战 2017 年高考中，要熟记抛物线的定义，会根据题中的条件用待定系数法、定义法等方法求抛物线的标准方 程，会根据条件研究抛物线的几何性质，会用设而不求思想处理直线与抛物线的位置关系，重点掌握与抛 物线有关的最值问题、定点与定值问题、范围问题的处理方法，注意题中向量条件的转化与向量方法应用. 【2017 年高考考点定位】 高考对抛物线的考查有三种主要形式：一是考查抛物线的定义；二是考查抛物线的标准方程与几何性质； 三是考查直线与抛物线的位置关系，从涉及的知识上讲，常平面向量、函数、方程、不等式等知识相联系， 试题多为容易题和中档题. 【考点 1】抛物线的定义 【备考知识梳理】 1.抛物线定义：平面内与一个定点 F和一条定直线 l(定点 F 不在定直线 l 上)的距离的比等于 1 的点的轨迹 叫做抛物线，点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线. 【规律方法技巧】 1. 抛物线的定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点 M；一个定点 F(抛物线的焦点)；一条定直线 l(抛 物线的准线)；一个定值 1(点 M 与定点 F 的距离和它到定直线 l 的距离之比等于 1)． 2. 常常利用抛物线的定义将抛物线上一点到焦点的焦半径问题与焦点到准线的距离问题互相转化. 【考点针对训练】 1. 【2016 届湖北省八校高三二联】已知 F 是抛物线 2 4x y 的焦点，P为抛物线上的动点，且 A的坐标为  0, 1 ，则 PF PA 的最小值是（ ） A. 1 4 B. 1 2 C. 2 2 D. 3 2 【答案】C 2. 【2016 届河南省郑州一中高三考前冲刺三】如图所示，直线 y=x-2 与圆 03422  xyx 及抛物线 xy 82  依次交于 A，B，C，D 四点，则 CDAB  =（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【考点 2】抛物线的标准方程与几何性质 【备考知识梳理】 1. 抛物线的标准方程与几何性质 焦点在 x正半轴上 焦点在 x负半轴上 焦点在 y正半轴上 焦点在 y正半轴上 标准方程 2 2y px （ 0p  ） 2 2y px  （ 0p  ） 2 2x py （ 0p  ） 2 2x py  （ 0p  ） 图形 性 质 顶点 （0,0） 对称轴 x轴 y轴 焦点 （ 2 p ，0） （- 2 p ，0） （0， 2 p ） （0，- 2 p ） 准线 x =- 2 p x = 2 p y =- 2 p y = 2 p 范围 x≥0， y∈R x≤0， y ∈R y ≥0， x∈R y ≤0， x∈R 离心率 e =1 【规律方法技巧】 1. p的几何意义： p是焦点到准线的距离，故 p恒为正. 2.焦点在 x轴上的抛物线的标准方程可以统一写成 2 ( 0)y ax a  ；焦点在 y 轴上的抛物线的标准方程可以 统一写成 2 ( 0)x ay a  . 3.焦点的非零坐标是一次项系数的 1 4 ，准线方程中的常数为一次项系数的- 1 4 . 4.求抛物线的标准方程 （1）定义法：若某曲线（或轨迹）上任意一点到定点的距离与到定直线的距离相等，符合抛物线的定义， 该曲线是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线，从而求出定点到定直线的距离即为 p，写出抛物线的标 准方程， （2）待定系数法，用待定系数法求抛物线标准方程分三步：①判定是否在原点；②确定焦点在哪个半轴上， 确定标准方程类型；③根据条件列出关于 p的方程，解出 p值，即可写出标准方程. 5.抛物线 2 2y px （ 0p  ）上点的坐标可设为（ 2 0 0, 2 y y p ），在计算时，可以降低计算量. 【考点针对训练】 1. 【2016 届陕西洛南永丰中学高三考前最后一卷】已知点 A是抛物线  2: 2 0C x py p  上一点，O为 坐标原点，若 ,A B是以点  0,10M 为圆心， OA 的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点，且 ABO 为 等边三角形，则 p的值是（ ） A． 5 2 B． 5 3 C． 5 6 D． 5 9 【答案】C 2. 【2016 届福建省泉州市高三 5月质检】已知抛物线 2: 4C y x ,若等边三角形 PQF 中, P在C上,Q在 C的准线上, F 为C的焦点, 则 PF （ ） A．8 B．4 C．3 D． 2 【答案】B 【考点 3】直线与抛物线的位置关系 【备考知识梳理】 设双曲线的方程为 2 2y px （ 0p  ），直线 0Ax By C   ，将直线方程与抛物线方程联立，消去 y 得 到关于 x 的方程 2 0mx nx p   . (1)若m≠0，当△＞0时，直线与抛物线有两个交点. 当△=0 时，直线与抛物线有且只有一个公共点，此时直线与抛物线相切. 当△＜0 时，直线与抛物线无公共点. （2）当m =0 时，直线与抛物线只有一个交点，此时直线与抛物线的对称轴平行. 【规律方法技巧】 1.已知抛物线 y2 ＝2px(p>0)，过其焦点的直线交抛物线于 A、B 两点(如右图所示)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)．则 有以下结论： (1)|AB|＝x1＋x2＋p，或|AB|＝ 2p sin 2α (α为 AB 所在直线的倾斜角)； (2)x1x2＝ p2 4 ； (3)y1y2＝－p2 . （4）以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 2.过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为 2p. 3. 直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，则一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐 标或纵坐标，常设出交点坐标，用根与系数关系将横坐标之和与之积表示出来，这是进一步解题的基础． 4．直线 y＝kx＋b(k≠0)与圆锥曲线相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|＝ 1＋k2 |x1－x2|＝ 1＋k2 · x1＋x2 2－4x1x2＝ 1＋ 1 k2 ·|y1－y2|＝ 1＋ 1 k2 · y1＋y2 2－4y1y2. 5．对中点弦问题常用点差法和参数法. 【考点针对训练】 1.【2016 福建省厦门一中高三周测】已知抛物线 2: 8C y x 与直线 ( 2) ( 0)y k x k   相交于 ,A B两点， F 为C的焦点，若 2FA FB ，则 k （ ） A． 1 3 B． 2 2 3 C． 2 3 D． 2 3 【答案】B 2. 【2016 届辽宁大连八中、二十四中高三模拟】过抛物线 xy 42  的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B两 点，分别过 A、B两点作准线的垂线，垂足分别为 'A ， 'B 两点，以线段 'A 'B 为直径的圆C过点 )3,2( ， 则圆C的方程为（ ） A． 2)2()1( 22  yx B． 5)1()1( 22  yx C． 17)1()1( 22  yx D． 26)2()1( 22  yx 【答案】B 【应试技巧点拨】 1.如何利用抛物线的定义解题 （1）求轨迹问题：主要抓住到定点的距离和到定直线距离的几何特征，并验证其满足抛物线的定义，然后 直接利用定义便可确定抛物线的方程； （2）求最值问题：主要把握两个转化：一是把抛物线上的点到焦点的距离可以转化为到准线的距离；二是 把点到抛物线的距离转化为到焦点的距离.在解题时要准确把握题设的条件，进行有效的转化，探求最值问 题. 2.线和抛物线若有一个公共点，并不能说明直线和抛物线相切，还有可能直线与抛物线的对称轴平行． 3．有关弦的问题 (1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视抛 物线定义的运用，以简化运算． ①斜率为 k的直线与圆锥曲线交于两点 1 1 1( , )P x y    ， 2 2 2( , )P x y    ，则所得弦长 2 1 2 1 2| | 1 | |PP k x x   或 1 2 2 12 1| | 1 | |PP y y k    ，其中求 1 2| |x x 与 2 1| |y y 时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：  21 2 1 2 1 2| | 4x x x x x x    ，  22 1 1 2 1 2| | 4y y y y y y    . ②当斜率 k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． (2)弦的中点问题 有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算． 4．解抛物线中的最值问题要注意定义的灵活运用，即抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离相等， 解该题的关键就是利用此定义将问题转化为求解圆上的点到定点距离的最值问题． 二年模拟 1. 【2016 届江西师大附中、鹰潭一中联考】 已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为 1x ，直线 l与抛物线C相交于 BA, 两点．若线段 AB 的中点为 )1,2( ，则直线 l 的方程为( ) A． 32  xy B． 52  xy C． 3 xy D． 1 xy 【答案】A 2. 【2016 届河北省石家庄市高三二模】已知实数 0p ，直线 0234  pyx 与抛物线 pxy 22  和圆 4 ) 2 ( 2 22 pypx  从上到下的交点依次为 DCBA ,,, ，则 BD AC 的值为（ ） A． 8 1 B． 16 5 C． 8 3 D． 16 7 【答案】C 【解析】 0234  pyx 与 pxy 22  联立方程组可求得 pxpx 2, 8 21  ，同理 0234  pyx 与 4 ) 2 ( 2 22 pypx  联立方程组可求得 5 4, 5 43 pxpx  ，所以有 pxpxpxpx DCBA 2, 5 4 5 , 8  ， , 8 3        BD AC BD AC xx xx xx xx BD AC ,所以正确选项为 C. 3. 【2016 届河南省禹州市名校高三三模】过抛物线 2 4y x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 , (A B A在第一 象限) 两点,O为坐标原点, 若 AOB 的面积为 2 2 ,则 AF BF 的值为（ ） A． 2 2 B．3 2 2 C． 4 2 3 D． 4 2 2 【答案】B 4. 【2016 届邯郸市一中高三十研】已知直线 2 2( 1)y x  与抛物线 2: 4C y x 交于 ,A B两点，点 ( 1, )M m ，若 0MA MB     ，则m （ ） A． 2 B． 2 2 C． 1 2 D．0 【答案】B 【解析】由 2 2 2( 1) 4 y x y x      得 2 2 2( 1) 4 yy   即 22 2 4 2 0y y   ，设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则 1 2 1 22, 4y y y y    ，所以 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 2 5 4 4 4 2 y y y y y yx x        ， 2 2 1 2 1 2 1 4 4 y yx x    ， 1 1 2 2( 1, ), ( 1, )MA x y m MB x y m        ，所以有 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( 1)( 1) ( )( ) ( ) 1 ( )MA MB x x y m y m x x x x y y m y y m                 2 2 25 1 21 1 4 2 2 ( ) 0 2 2 2 m m m m m            ，所以 2 2 m  ，故选 B. 5.【2016年安庆市高三二模】已知抛物线 :C 2 8x y 的焦点为 F ,动点Q在C上,圆Q的半径为1,过点 F 的直线与圆Q切于点 P ,则 FP FQ   的最小值为 ． 【答案】 3 【解析】 1 2 2 22  FQrFQFPFQFP . 由抛物线的定义知： ddFQ , 为点Q到准线的距离, 易知,抛物线的顶点到准线的距离最短, 3)(,2 minmin  FQFPFQ . 6. 【2016 年河南省八市重点高中质检】M 为抛物线 2 8y x 上一点，过点M 作MN垂直该抛物线的准 线于点 ,N F 为抛物线的焦点，O为坐标原点，若四边形OFMN 的四个顶点在同一个圆上，则该圆的面积 为_______. 【答案】 27 2  7. 【2016 年湖北安庆一中高三二模】若抛物线 2 6y x 的准线被圆心为  2,1 的圆截得的弦长等于 3 , 则该圆的半径为 ． 【答案】 1 【解析】抛物线 2 6y x= 的准线 3 2 x = - ,圆心 ( 2 1)，- 到其距离等于 3 1( 2) 2 2 - - - = .又弦长等于 3 ,所以则 该圆的半径为 2 21 3( ) ( ) 1 2 2 + = . 8. 【2016 届陕西省黄陵中学高三下第六次模拟】已知F 是抛物线 2 4y x 的焦点，过F 作一直线 l交抛 物线于 ,A B两点，若 3FB AF   ，则直线 l与坐标轴围成的三角形的面积为______． 【答案】 3 2 9.【2016 年湖北四市高三联合测试】已知顶点为原点 O，焦点在 x轴上的抛物线，其内接 ABC 的重心是 焦点 F，若直线 BC 的方程为 0204  yx 。 （1）求抛物线方程； （2）过抛物线上一动点 M作抛物线切线 l，又 lMN  且交抛物线于另一点 N，ME(E 在 M 的右侧)平行于 x 轴，若 NMEFMN   ，求的值。 【解析】（1）设抛物线的方程为 pxy 22  ，则其焦点为 )0, 2 ( p ， ),(),,(),,( 332211 yxCyxByxA ，联立 0200)80(8 2 0204 2 2       xpx pxy yx ，∴ 8 80 32   pxx ， 2 420420 2132 pxxyy  ，又 ABC 的重心为焦点 F，               23 0 8 8011 32 1 321 1 321 py yyy px xxxp ，代入抛物线中，解得 8p ，故抛物线方程为 xy 162  ； （2）设 ),( 00 yxM ，即切线 8 )(8: 0 00 y kxxyyl MN  ，即 8 tan 0ykNME MN  ，又 4 tan 0 0   x y kFME MF ，∵ NMEFMEFME x y y y y y NME        2tan 464 16 64 1 8 2 2tan 0 0 2 0 0 2 0 0 ，即 1  . 10【2016 年江西师大附中高三模考】已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点  1,0F ，其准线与 x轴的交 点为K，过点K的直线 l与C交于 ,A B两点，点 A关于 x轴的对称点为D． （Ⅰ）证明：点F 在直线 BD上； （Ⅱ）设 8 9 FA FB    ，求 BDK 内切圆M 的方程. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 1 2 1 2 4 4 y y m y y     ，所以     2 1 2 1 21 1 4 2x x my my m       ， 1 16 2 2 2 1 21  yyxx 又  1 11,FA x y    ，  2 21,FB x y    ，故       2 1 2 1 2 1 2 1 21 1 5 8 4FA FB x x y y x x x x m              ，则 2 8 48 4 , 9 3 m m     ，故直线 l的 方程为3 4 3 0x y   或3 4 3 0x y   ，  2 2 2 1 2 1 1 2 4 74 16 16 3 y y y y y y m          ， 故 直线 BD的方程3 7 3 0x y   或3 7 3 0x y   ，又KF 为 BKD 的平分线，故可设圆心    ,0 1 1M t t   ，  ,0M t 到直线 l及BD的距离分别为 3 1 3 1 , 5 4 t t  ，由 3 1 3 1 5 4 t t   得 1 9 t  或 9t  （舍去）.故圆M 的半径为 3 1 2 5 3 t r    ，所以圆M 的方程为 2 21 4 9 9 x y       . 11.【2015 届甘肃省天水市一中高三第五次高考模拟】已知 P是抛物线 xy 42  上的一个动点,Q是圆    2 23 1 1x y    上的一个动点, )0,1(N 是一个定点,则 PQ PN 的最小值为（ ） A．3 B．4 C．5 D． 2 1 【答案】A 【解析】设圆心 (3,1)为点M ，则 PQ PN 的最小值可以记为 1PM PN  的最小值，结合抛物线的 定义，可知其为点 (3,1)到准线的距离即为 PM PN 的最小值，所以最值为3 1 1 3   ，故选 A． 12.【2015 届上海市普陀区高三三模调研】已知抛物线 2 4y x 的焦点为 F ，准线为 l，过抛物线上一点 P 作PE l 于 E，若直线 EF 的一个方向向量为 (1, 3)，则 | |PF  ______． 【答案】4 13.【2015 届吉林省吉林市高三第三次模拟考试】已知直线 : 1 0l x y   与抛物线 2: 4C x y 交于 A，B 两点，点 P 为抛物线 C 上一动点，且在直线 l 下方，则△PAB 的面积的最大值为 . 【答案】 4 2 【解析】由题意知：当抛物线过点的切线与直线 l平行时，的面积最大，设点  0 0,x y ，由 2 4x y 得： 21 4 y x ， 1 2 y x  ，所以 0 1 1 2 x  ，解得： 0 2x  ，所以 2 0 0 1 1 4 y x  ，所以  2,1 ，点到直线 l 的距离  22 2 1 1 2 1 1 d       ，由 2 1 0 4 x y x y      ，消去 y ，得： 2 4 4 0x x   ，设  1 1,x y ，  2 2,x y ， 则 1 2 4x x  ， 1 2 4x x   ，所以    22 2 2 1 2 1 21 4 1 1 4 4 4k x x x x            8 ，所 以的面积的最大值是 1 1 8 2 4 2 2 2 d       ，所以答案应填： 4 2． 14.【2015 届浙江省余姚市高三第三次模拟考试】如图，过抛物线 2: 2 ( 0)C x py p  的焦点 F 的直线交C 于 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y 两点，且 1 2 4.x x   （Ⅰ）求 p的值； （Ⅱ） ,R Q是C上的两动点， ,R Q的纵坐标之和为 1， RQ的垂直平分线交 y 轴于点T ，求 MNT 的面 积的最小值． 15.【2015 届黑龙江省哈尔滨市三中高三第四次模拟】过抛物线 yxC 4: 2  对称轴上任一点 )0)(,0( mmP 作 直线 l与抛物线交于 BA, 两点，点Q是点 P关于原点的对称点． （1）当直线 l方程为 0122  yx 时，过 A,B 两点的圆M 与抛物线在点 A 处有共同的切线，求圆M 的方 程； （2）设 AP PB   , 证明： )( QBQAQP  拓展试题以及解析 1.已知过抛物线 2 16 3 y x 的焦点 F 的直线 l交抛物线于 ,A B两点，交其准线于C点,已知CB  =3BF  ,则线 段 AB的中点M 到准线的距离为( ). A． 8 3 B．3 C． 16 3 D． 6 【答案】B 【入选理由】本题主要考查抛物线的方程及其几何性质，直线与抛物线的位置关系,向量的性质等基础知识, 意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，转化与化归能力，此题向量与抛物线结 合，体现学科知识综合，故选此题. 2.已知抛物线 2 8x y 的焦点为 F ,点 ( , )P x y 为该抛物线上的动点，若点 (0, 2)A  ,则 PA PF 的最大值是 （ ） A.1 B. 2 C. 3 D.2 【答案】B 【解析】由题意得 0y  ，焦点 (0, 2)F ， 2PF y  ， 2 2 2( 2) 8 ( 2)PA x y y y      ，当 0y  时， 1 PA PF  ；当 0y  时， 2 8 81 1 1 24( 2) 4 PA y PF y y y          （当且仅当 2y  时取等号）. 所以1 2 PA PF   ，所以 PA PF 的最大值是 2 . 【入选理由】本题主要考查抛物线的方程及其几何性质, 焦半径,基本不等式求最值等基础知识, 意在考查 学生分类讨论的思想,分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，转化与化归能力，此题是抛 物线性质的灵活应用，故选此题. 3.已知离心率等于 2的双曲线的一个焦点与抛物线 21 8 x y 的焦点重合，则该双曲线的方程为 . 【答案】 2 2 1 3 yx   【解析】抛物线的标准方程为 2 8y x ，故其焦点为 (2,0)F ，所以双曲线的焦点在 x轴上，设其方程为 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b     ，则由已知得 2c  ，又 2ce a   ，解得 1a  ，所以 2 2 2 3b c a   ，故双曲 线的方程为 2 2 1 3 yx   . 【入选理由】本题主要考查抛物线的方程及其几何性质, 双曲线的标准方程和几何性质等基础知识, 意在 考查学生分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，转化与化归能力，此题是一个基础题， 故选此题. 4.已知圆C的方程为 2 2( 1) 1x y- + = ， P是曲线 2 4 (0 1)y x x   上一点，过点 P作圆C的两条切线， 切点为 A B、 ，则 PA PB   的取值范围是（ ） A． [2 2 3,1]- B． 3[ 2 3, ] 2 - C．[ 2 3,1]- D． 3[2 2 3, ] 2 - 【答案】D 【入选理由】本题主要考查抛物线的方程及其几何性质, 圆的标准方程和几何性质,向量的数量积,解直角 三角形,倍角公式等基础知识, 意在考查学生分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，转化 与化归能力，此题向量与抛物线结合，具有一定的综合性，故选此题. 5.过抛物线 2 4 ( 0)y ax a  的焦点 F 作斜率为 1 的直线，该直线与双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b     的 两 条渐近线的交点分别为 B、C，若 Cx 是 Bx 与 Fx 的等比中项，则双曲线的离心率等于（ ） A. 3 B. 10 3 C. 2 2 D. 10 【答案】D 【入选理由】本题主要考查抛物线的方程及其几何性质, 双曲线的标准方程和几何性质,等比中项等基础知 识, 意在考查学生分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，转化与化归能力，此题双曲线 与抛物线结合，具有一定的综合性，故选此题. 6.已知圆M 过定点 )1,0( 且圆心M 在抛物线 yx 22  上运动，若 x轴截圆M 所得的弦为 || PQ ，则弦长 || PQ 等于（ ） A．2 B．3 C．4 D．与点位置有关的值 【答案】A 【解析】过M 作MN垂直于 x轴于 N ，设 ),( 00 yxM ，则 )0,( 0xN ，在 MNQRt 中， 0|| yMN  ， MQ 为圆的半径， NQ 为 PQ 的一半，因此 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0| | 4 | | 4(| | | | ) 4[ ( 1) ] 4( 2 1)PQ NQ MQ MN x y y x y          又点M 在抛物线上，∴ 0 2 0 2yx  ，∴ 2 2 0 0| | 4( 2 1) 4PQ x y    ，∴ 2|| PQ . 【入选理由】本题主要考查抛物线的方程及其几何性质, 圆的标准方程和几何性质,勾股定理等基础知识, 意在考查学生分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，转化与化归能力，此题是一个常规 题,具有一定的解题技巧，故选此题. 7.已知抛物线 2: 4C x y 的焦点为 F ，Q是抛物线上一点，线段 FQ的延长线交抛物线的准线于点 P，若 1 3 FQ QP   ，则 | |QF =________. 【答案】 3 2 【入选理由】本题主要考查抛物线的方程及其几何性质，直线与抛物线的位置关系,向量的性质等基础知识, 意在考查学生分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，转化与化归能力，此题是一个常规 题,具有一定的解题技巧，故选此题. 8.已知抛物线 C： 2y 2px(p 0)  ，过抛物线第一象限上的一点作抛物线 C 的切线 x 2y 4 0   ，一直线 l过抛物线的焦点交抛物线于 A、B两点 ，抛物线准线为 1l . （Ⅰ）求抛物线 C 的方程； （Ⅱ）若 1l 与 x轴的交点为 M,求 MAB 的面积 S 的范围； （Ⅲ）若 l与 1l 相交于点 P，设AF FB    ，AP PB    ，求证：λ+μ为定值． x y o2 2 1 Q M NP 2 【入选理由】本题主要考查抛物线的方程及其几何性质, 抛物线的切线, 函数的导数,直线与抛物线的位置 关系,三角形面积等基础知识, 意在考查学生分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，转化 与化归能力，此题是一个常规题,具有一定的解题技巧，故选此题.