高考数学常见题型解法归纳反馈训练第81讲圆锥曲线常见题型解法

高考数学常见题型解法归纳反馈训练第81讲圆锥曲线常见题型解法

第 81 讲 圆锥曲线常见题型解法 【知识要点】 圆锥曲线常见的题型有求圆锥曲线的方程、几何性质、最值、范围、直线与圆锥曲线的 关系、圆锥曲线与圆锥曲线的关系、轨迹方程、定点定值问题等. 【方法讲评】 题型一 求圆锥曲线的方程 解题方法 一般利用待定系数法解答. 【例 1】已知椭圆 （ ）的左、右焦点为 ，点 在椭 圆上，且 与 轴垂直． （1）求椭圆的方程； （2）过 作直线与椭圆交于另外一点 ，求 面积的最大值． 综上所求：当 斜率不存在或斜率存在时： 面积取最大值为 ． 【点评】（1）求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法，先定位，后定量.（2）本题用 到了椭圆双曲线的通径公式 ，这个公式很重要，大家要记熟. 【反馈检测 1】已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ，且椭圆上 一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为 ． （1）求椭圆 的方程； （2）设直线 与椭圆 交于 、 两点，且以 为直径的圆过椭圆的右顶点 ，求 △ 面积的最大值． 题型二 圆锥曲线的几何性质 解题方法 利用圆锥曲线的几何性质解答. 【例 2】已知椭圆 的左顶点和上顶点分别为 ，左、右焦 点分别是 ，在线段 上有且只有一个点 满足 ，则椭圆的离心率的平方 为（ ） A． B． C． D． 【点评】求值一般利用方程的思想解答，所以本题的关键就是找到关于 的方程. 【反馈检测 2】已知双曲线 （ ）的左、右焦点分别为 以 为直径的圆被直线 截得的弦长为 ，则双曲线的离心率为（ ） A．3 B．2 C． D． 题型三 圆锥曲线的最值问题 解题方法 一般利用数形结合和函数的方法解答. 【例 3】已知椭圆 上任意一点到两焦点 距离之和为 ，离心率为 ． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线 的斜率为 ，直线 与椭圆 C 交于 两点．点 为椭圆上一点，求 的面积的最大值． 【解析】（1）由条件得： ，解得 ，所以椭圆的 方程为 ∴ ， 当且仅当 ，即 时取得最大值． ∴ 面积的最大值为 2． 【点评】圆锥曲线的最值问题一般利用函数和数形结合解答. 【反馈检测 3】在平面直角坐标系 中，直线 与抛物线 相交于不同的两点 . （Ⅰ）如果直线 过抛物线的焦点，求 的值； （Ⅱ）在此抛物线上求一点 ，使得 到 的距离最小，并求最小值. 题型四 圆锥曲线的范围问题 解题方法 一般利用函数、基本不等式、数形结合等解答. 【例 4】已知椭圆 的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在 轴上，有一个顶点 为 ， ． （1）求椭圆 的方程； （2）过点 作直线 与椭圆 交于 两点，线段 的中点为 ,求直线 的斜率 的取值范围. （1）当直线 与 轴垂直时， 点的坐标为 ，此时， ； （2）当直线 的斜率存在且不为零时，设直线 方程为 , 由方程组 消去 ， 并整理得 ， 设 , , 又有 ，则 ∴ ∴ ， ∴ ， ， ， . 且 ． 综合(1)、(2)可知直线 的斜率 的取值范围是： ． 【点评】利用基本不等式求函数的最值时，要注意创设情景，保证一正二定三相等. 【反馈检测 4】设椭圆 中心在原点，焦点在 轴上，短轴长为 4，点 （2， ）在 椭圆上. （1）求椭圆 的方程； （2）设动直线 交椭圆 于 两点，且 ，求 的面积的取值范围. （ 3 ） 过 （ ） 的 直 线 : 与 过 （ ） 的 直 线 : 的交点 （ ）在椭圆 上，直线 与椭圆 的两准线分别 交于 两点，求 · 的值. 题型五 直线与圆锥曲线的关系问题 解题方法 一般利用判别式、韦达定理、弦长公式、点差法等解答. 【例 5】已知双曲线 ，经过点 能否作一条直线 ，使 与双曲线交于 、 ，且点 是线段 的中点.若存在这样的直线 ，求出它的方程，若不存在，说明 理由. 这说明直线 与双曲线不相交，故被点 平分的弦不存在，即不存在这样的直线 . 【点评】（1）这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后 验证它是否满足题设的 条件.本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理.（2）本题如果忽视对判别式的 考察，将得出错误的结果，请务必小心.由此题可看到中点弦问题中判断点的 位置非常重 要.（1）若中点 在圆锥曲线内，则被点 平分的弦一般存在；（2）若中点 在圆锥曲 线外，则被点 平分的弦可能不存在. 【反馈检测 5】过点 (-1,0)作直线 与曲线 ： 交于 两点，在 轴上 是否存在一点 ( ,0)，使得 是等边三角形，若存在，求出 ；若不存在，请说明 理由. 题型六 圆锥曲线与圆锥曲线的关系问题 解题方法 一般利用判别式和数形结合解答. 【例 6】已知曲线 及 有公共点,求实数 的取值范 围． 【点评】直线与圆锥曲线相交问题，一般可用两个方程联立后，用 来处理．但 用 来判断双圆锥曲线相交问题是不可靠的．解决这类问题：方法 1，由“ ”与 直观图形相结合；方法 2，由“ ”与根与系数关系相结合. 【反馈检测 6】设椭圆 ，抛物线 . (1)若 经过 的两个焦点，求 的离心率； (2)设 ， ,又 为 与 不在 轴上的两个交点，若 的垂心为 ，且 的重心在 上，求椭圆 和抛物线 的方程. 题型七 圆锥曲线的定点和定值问题 解题方法 过定点的问题，一般先求曲线的方程，再证明曲线过定点；定值的问题，就是求值问 题，直接求解就可以了. 【例 7】在直角坐标系 中，点 到点 的距离之和是 4，点 的轨迹是 与 轴的负半轴交于点 ，不过点 的直线 与轨迹 交于不同的 两点 和 . （I）求轨迹 的方程； （II）当 时，求 与 的关系，并证明直线 过定点. （2）将 ，代入曲线 C 的方程，整理得 因为直线 与曲线 C 交于不同的两点 和 ， 所以 ① 设 ，则 ② 且 ③ 显 然 ， 曲 线 与 轴 的 负 半 轴 交 于 点 （ -2 ， 0 ）， 所 以 由 将②、③代入上式，整理得 所以 即 经检验，都符合条件① 【点评】证明曲线过定点，一般先求曲线的方程，再证明它过定点. 【反馈检测 7】已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，椭圆 上的点到焦点距 离的最大值为 ，最小值为 ． （Ⅰ）求椭圆 的标准方程； （Ⅱ）若直线 与椭圆 相交于 ， 两点（ 不是左右顶点），且以 为直径的圆过椭圆 的右顶点，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标． 题型八 轨迹问题 解题方法 一般利用直接法、待定系数法、代入法、消参法解答. 【例 8】 已知抛物线 和点 ， 为抛物线上一点，点 在线段 上且 ，当点 在该抛物线上移动时，求点 的轨迹方程． 【点评】点 之所以在动，就是因为点 在动，所以点 是被动点，点 是主动点， 这种情景，应该利用代入法求轨迹方程. 【反馈检测 8】 已知 的顶点 ，顶点 在抛物线 上运动，求 的重心 的轨迹方程． 题型九 存在性问题 解题方法 一般先假设存在，再探求，最后检验. 【例 9】已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆 的离心率为 ，且经过点 ，过 点 的直 线 与椭圆 在第一象限相切于点 . （1）求椭圆 的方程；（2）求直线 的方程以及点 的坐标； （3））是否存过点 的直线 与椭圆 相交于不同的两点 ，满足 ？ 若存在，求出 直线 的方程；若不存在，请说明理由. 因为直线 与椭圆相切，所以 整理，得 解得 所以直线 方程为 将 代入①式，可以解得 点横坐标为 1，故切点 坐标为 （Ⅲ）若存在直线 满足条件，的方程为 ，代入椭圆 的方程得 因 为 直 线 与 椭 圆 相 交 于 不 同 的 两 点 ， 设 两 点 的 坐 标 分 别 为 所以 所以 . 又 ， 因为 即 ， 所以 . 即 【点评】存在性问题，一把先假设存在，再探究，最后检验. 【反馈检测 9】在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ： ，在此抛 物线上一点 到焦点的距离是 3. （1）求此抛物线的方程；（2）抛物线 的准线与 轴交于 点，过 点斜率为 的直线 与抛物线 交于 、 两点．是否存在这样的 ，使得抛物线 上总存在点 满 足 ，若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由． 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第 81 讲： 圆锥曲线常见题型解法参考答案 【反馈检测 1 答案】（1） ；（2） . （2）不妨设 的方程 （ ）,则 的方程为 ． 由 得 ， 设 ， ∵ ，∴ ， 同理可得 ．∴ ， ， ， 设 ，则 ，当且仅当 时等号成立， ∴△ 面积的最大值为 ． 【反馈检测 2 答案】 【反馈检测 2 详细解析】由已知可得圆心到直线的距离 ，故选 . 【反馈检测 3 答案】（Ⅰ）-3；（Ⅱ）4. 【反馈检测 4 答案】（1） ；（2） ；（3）－8. 【反馈检测 4 详细解析】（1）因为椭圆 : （ 过 （2， ）， 故可求得 ＝2， ＝2 椭圆 的方程为 （2）设 ，当直线 斜率存在时设方程为 ， 解方程组 得 ，即 ， 则△＝ ， 即 （*） ， 要使 ，需使 ，即 ， 所以 ， 即 ① 将它代入（*）式可得 到 的距离为 将 及韦达定理代入可得 （3）点 P（ ）在直线 : 和 ： 上， ， 故点 （ ） （ ）在直线 上 故直线 的方程， 上 设 分别是直线 与椭圆准线， 的交点 由 和 得 （－4， ） 由 和 得 （4， ） 故 · ＝－16＋ 又 （ ）在椭圆 ： ,有 故 . · ＝－16＋ ＝－8 【反馈检测 5 答案】 令 ,得 ，则 为正三角形， 到直线 AB 的距离 d 为 . 解得 满足②式,此时 . 【反馈检测 6 答案】（1） ；（2）椭圆方程为 ，抛物线方程为 . 【反馈检测 6 详细解析】（1）由已知椭圆焦点 在抛物线上，可得： ，由 . (2) 【反馈检测 7 答案】（1） ；（2）直线 过定点，定点坐标为 ． 【反馈检测 7 详细解析】（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为 ， 由已知得： ， ， ， ， ． 椭圆的标准方程为 ． 因为以 为直径的圆过椭圆的右焦点 ， ，即 ， ， ， ． 解得： ， ，且均满足 ， 当 时， 的方程为 ，直线过定点 ，与已知矛盾； 当 时， 的方程为 ，直线过定点 ． 所以，直线 过定点，定点坐标为 ． 【反馈检测 8 答案】 【反馈检测 8 详细解析】设 ， ，由重心公式，得 又 在抛物线 上， ． ③ 将①，②代入③，得 ， 即所求曲线方程是 ． 【 反 馈 检 测 9 答 案 】（ 1 ） ；（ 2 ） 存 在 这 样 的 ， 且 的 取 值 范 围 为 . 【反馈检测 9 详细解析】（1）抛物线准线方程是 ， ， , 故抛物线的方程是 .