浙江专用高考数学大一轮复习高考专题突破四高考中的不等式问题

浙江专用高考数学大一轮复习高考专题突破四高考中的不等式问题

‎（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 高考专题突破四 高考中的不等式问题教师用书 ‎1．若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是(　　)‎ A．a＋c≥b－c B．(a－b)c2≥0‎ C．ac>bc D.>0‎ 答案　B 解析　A项：当c<0时，不等式a＋c≥b－c不一定成立；C项：c＝0时，ac＝bc；D项：c＝0时，＝0；B项：a>b⇒a－b>0，因为c2≥0，所以(a－b)c2≥0.故选B.‎ ‎2．(2016·浙江金华十校联考)已知函数f(x)＝则不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1的解集是(　　)‎ A．{x|－1≤x≤－1} B．{x|x≤1}‎ C．{x|x≤－1} D．{x|－－1≤x≤－1}‎ 答案　C 解析　由题意不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1等价于 ‎①或 ‎② 解不等式组①得x<－1；‎ 解不等式组②得－1≤x≤－1.‎ 故原不等式的解集是{x|x≤－1}，选C.‎ ‎3．(2016·杭州质检)若实数x，y满足则|x|＋|y|的取值范围是________．‎ 答案　[0,2]‎ 解析　|x|＋|y|表示可行域内一点到x，y轴的距离之和，作出不等式组表示的可行域，由可行域可知在(0,0)处取得最小值0，在(1，－1)处取得最大值2，所以|x|＋|y|∈[0,2]．‎ ‎4．若关于x的方程x2＋4x＋|a－2|＋|a＋1|＝0有实根，则实数a的取值范围为________．‎ 答案　[－，]‎ 解析　由方程x2＋4x＋|a－2|＋|a＋1|＝0有实根，可得Δ＝42－4×1×(|a－2|＋|a ‎＋1|)≥0，整理得|a－2|＋|a＋1|≤4.‎ ‎∵|a－2|＋|a＋1|代表数轴上的点a到2和－1两点的距离和，易知|a－2|＋|a＋1|≤4的取值范围为[－，].‎ 题型一　含参数不等式的解法 例1　解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax (a∈R)．‎ 解　原不等式可化为 ax2＋(a－2)x－2≥0⇒(ax－2)(x＋1)≥0.‎ ‎①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0⇒x≤－1.‎ ‎②当a>0时，原不等式化为(x＋1)≥0⇒x≥或x≤－1.‎ ‎③当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0.‎ 当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤；‎ 当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1；‎ 当<－1，即a>－2，解得≤x≤－1.‎ 综上所述，当a<－2时，原不等式的解集为；‎ 当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}；‎ 当－20时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪.‎ 思维升华　解含参数的一元二次不等式的步骤 ‎(1)若二次项含有参数应讨论是否等于0，小于0，和大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．‎ ‎(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．‎ ‎(3)当方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．‎ ‎　(1)若00的解集是______．‎ ‎(2)若关于x的不等式|x－1|＋|x＋m|>3的解集为R，则实数m的取值范围是__________．‎ 答案　(1)(a，)　(2)(－∞，－4)∪(2，＋∞)‎ 解析　(1)原不等式即为(x－a)(x－)<0，‎ 由03，m＋1<－3或m＋1>3，由此解得m<－4或m>2.因此实数m的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．‎ 题型二　线性规划问题 例2　实数x，y满足不等式组 则z＝|x＋2y－4|的最大值为________．‎ 答案　21‎ 解析　方法一　作出不等式组表示的平面区域．如图中阴影部分所示．‎ z＝|x＋2y－4|＝·，则几何含义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的倍．由得点B的坐标为(7,9)，显然，点B到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时zmax＝21.‎ 方法二　由图可知，阴影区域内的点都在直线x＋2y－4＝0的上方，显然此时有x＋2y－4>0，于是目标函数等价于z＝x＋2y－4，即转化为一般的线性规划问题．显然，当直线经过点B时，目标函数取得最大值，zmax＝21.‎ 思维升华　对线性规划问题的实际应用，关键是建立数学模型，要找准目标函数及两个变量，准确列出线性约束条件，然后寻求最优解，最后回到实际问题．‎ ‎　(1)已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为(　　)‎ A．5 B．4‎ C. D．2‎ ‎(2)(2017·杭州调研)一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为10 000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为5 000元，那么适当安排生产，可产生的最大利润是________元．‎ 答案　(1)B　(2)30 000‎ 解析　(1) 画出满足约束条件的可行域如图所示，‎ 可知当目标函数过直线x－y－1＝0与2x－y－3＝0的交点(2,1)时取得最小值，所以有2a＋b＝2.因为a2＋b2表示原点(0,0)到点(a，b)的距离的平方，所以的最小值为原点到直线2a＋b－2＝0的距离，即()min＝＝2，所以a2＋b2的最小值是4，故选B.‎ ‎(2)设生产甲种肥料x车皮，生产乙种肥料y车皮，则z＝10 000x＋5 000y，约束条件为 画出可行域如图所示，由图可知，‎ 在D(2,2)处z有最大值，且zmax＝10 000×2＋5 000×2＝30 000(元)．‎ 题型三　基本不等式的应用 例3　(1)在面积为定值9的扇形中，当扇形的周长取得最小值时，扇形的半径是(　　)‎ A．3 B．2‎ C．4 D．5‎ ‎(2)(2016·浙江五校第一次联考)已知a>0，b>0，c>1，且a＋b＝1，则(－2)·c＋的最小值为______．‎ 答案　(1)A　(2)4＋2 解析　(1)设扇形的半径为r，其弧长为l，‎ 由题意可得S＝lr＝9，故lr＝18.‎ 扇形的周长C＝2r＋l≥2＝2＝12，‎ 当且仅当2r＝l，即r＝3，l＝6时取等号．‎ ‎(2)∵＝＝ ‎＝＋＋2≥2 ＋2‎ ‎＝2＋2，‎ 当且仅当即时等号成立，‎ ‎∴(－2)·c＋≥2c＋ ‎＝2(c－1)＋＋2 ‎≥2 ＋2＝4＋2，‎ 当且仅当2(c－1)＝，即c＝1＋时，等号成立．‎ 综上，所求最小值为4＋2.‎ 思维升华　(1)应用型问题解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型．(2)应用基本不等式求最值要注意检验等号成立的条件，不要忽视问题的实际意义．‎ ‎　(1)设x，y均为正实数，且＋＝1，则xy的最小值为(　　)‎ A．4 B．4 C．9 D．16‎ ‎(2)某栋楼的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成，已知土地使用权费为2 000元/m2；材料工程费在建造第一层时为400元/m2，以后每增加一层费用增加40元/m2.要使平均每平方米建筑面积的成本费最低，则应把楼盘的楼房设计成________层．‎ 答案　(1)D　(2)10‎ 解析　(1)由＋＝1可得xy＝8＋x＋y.‎ ‎∵x，y均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2 (当且仅当x＝y时等号成立)，即xy－2－8≥0，解得≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.‎ ‎(2)设应把楼房设计成x层，每层有面积y m2，则平均每平方米建筑面积的成本费为 k＝ ‎＝＋20x＋380≥2 ＋380＝780，当且仅当＝20x，‎ 即x＝10时取等号，故应把楼房设计成10层．‎ 题型四　绝对值不等式 例4　设不等式|x＋1|＋|x－1|≤2的解集为M.‎ ‎(1)求集合M；‎ ‎(2)若x∈M，|y|≤，|z|≤，求证：|x＋2y－3z|≤.‎ ‎(1)解　①⇒x∈∅；‎ ‎②⇒－1≤x≤1；‎ ‎③⇒x∈∅，‎ 综上所述，不等式的解集即集合M为[－1,1]．‎ ‎(2)证明　|x＋2y－3z|≤|x|＋2|y|＋3|z|‎ ‎≤1＋2×＋3×＝，‎ ‎∴|x＋2y－3z|≤.‎ 思维升华　(1)解绝对值不等式可以利用绝对值的几何意义，零点分段法、平方法、构造函数法等．‎ ‎(2)利用绝对值三角不等式可以证明不等式或求取值．‎ ‎　(1)(2016·杭州质检)已知函数f(x)＝|x－5|＋|x＋3|＋|x－3|＋|x＋5|－c，若存在正常数m，使f(m)＝0，则不等式f(x)2时，不等式(x－2)(x－m)<0的解集为 ‎{x|22时，不等式的解集为{x|2g(x)对任意的x∈R都成立，求k的取值范围．‎ 解　(1)f(x)＝＋＝＋＝|x－3|＋|x＋4|，‎ ‎∵f(x)≥f(4)，即|x－3|＋|x＋4|≥9，‎ ‎∴或或 解得x≤－5或x≥4，‎ ‎∴f(x)≥f(4)的解集为{x|x≤－5或x≥4}．‎ ‎(2)f(x)>g(x)，即f(x)＝|x－3|＋|x＋4|的图象恒在g(x)＝k(x－3)图象的上方，‎ 又∵f(x)＝|x－3|＋|x＋4|＝ g(x)＝k(x－3)的图象恒过定点P(3,0)，作函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象如图，其中kPB＝2，A(－4,7)，‎ ‎∴kPA＝－1，‎ 由图可知，要使得f(x)的图象恒在g(x)图象的上方，则需－12，‎ 所以M(a)＝