高中数学北师大版新教材必修一同步课件：2-3-1 函数的单调性
第1课时 函数的单调性
必备知识
·
自主学习
导思
1.
函数图象的上升、下降用什么来刻画
?
2.
怎样确定函数的单调区间
?
1.
函数的单调性
(1)
定义
函数
增函数
减函数
条件
设函数
y=f(x)
的定义域为
D,
对于任意
x
1
,x
2
∈D,
当
x
1
f(x
2
)
(2)
本质
:
函数的单调性反映的是两个变量的对应变化规律
,
定量地刻画了函数在区间上图象的变化趋势
,
是函数诸多性质中最核心、最本质的性质
.
(3)
应用
:
证明函数的单调性、比较大小、解不等式、求参数范围等
.
【
思考
】
函数单调性的定义中
,
能否将“任意”改为存在
?
为什么
?
提示
:
不能
,
一些特殊的值满足并不能说明函数的单调性
.
2.
单调性及单调区间
如果函数
y=f(x)
在区间
I
上
___________________,
那么就称函数
y=f(x)
在区间
I
上
具有单调性
.
此时区间
I
为函数
y=f(x)
的单调区间
.
3.
函数的最大
(
小
)
值
设函数
y=f(x)
的定义域为
D,
若存在实数
M,
对所有的
x∈D,
都有
_______________
___,
且存在
x
0
∈D,
使得
_______,
则称
M
为函数
y=f(x)
的最大
(
小
)
值
.
单调递增或单调递减
f(x)≤M(f(x)≥
M)
f(x
0
)=M
【
思考
】
函数
f(x)=-x
2
的定义域为
R,
存在实数
1,
对所有的
x∈R,
都有
f(x)≤1.
那么
1
是函
数
f(x)=-x
2
的最大值吗
?
为什么
?
提示
:
不是
.
因为不存在
x
0
∈R,
使得
f(x
0
) =- =1.
【
基础小测
】
1.
辨析记忆
(
对的打“√”
,
错的打“
×”)
(1)
函数
f(x)=x
2
,
因为
-1<2,
且
f(-1)0,
即
m<0
时
,f(x)
max
=f(-1)=1-m.
所以
f(x)
max
=
【
解题策略
】
1.
不含参数的最值问题
确定二次函数的对称轴
,
由函数的图象确定最高点、最低点
,
代入相应的自变量的值求出最值
.
2.
含参数的最值问题
以一元二次函数图象开口向上、对称轴为
x=m
为例
,
区间为
[a,b],
(1)
最小值
:f(x)
min
= ;
(2)
最大值
:f(x)
max
= .
【
题组训练
】
1.
当
x∈[-3,3]
时
,
函数
f(x)=x
2
-4x
的最大值为
.
【
解析
】
因为函数
f(x)=x
2
-4x=(x-2)
2
-4,
所以函数的图象是对称轴为
x=2,
开口向上的抛物线
;
因为
x∈[-3,3],
故当
x=-3
时
,f(x)
有最大值
,
最大值为
f(-3)=21.
答案
:
21
2.
函数
f(x)=x
2
-3x+1
在
x∈[0,+∞)
上的最小值为
.
【
解析
】
函数
f(x)=x
2
-3x+1
的图象是抛物线
,
因为抛物线
f(x)=x
2
-3x+1
的对称轴
方程为
x= ,
且抛物线开口朝上
,
所以抛物线
f(x)=x
2
-3x+1
在 上单调递减
,
在 上单调递增
,
所以抛物线在对称轴处取得最小值
.
所以
f(x)
min
=
答案
:
-
课堂检测
·
素养达标
1.
函数
y=f(x)
的图象如图所示
,
则
f(x)
的递减区间是
(
)
A.(0,1) B.(-∞,1)
C. D.(-∞,3)
【
解析
】
选
A.
由图象可知递减区间为
(0,1).
2.
函数
f(x)
的图象如图
,
则其最大值、最小值分别为
(
)
A. B.f(0),
C. ,f(0) D.f(0),f(3)
【
解析
】
选
B.
观察函数图象
,f(x)
最大值、
最小值分别为
f(0), .
3.(
教材二次开发
:
例题改编
)
函数
y=|x|-1
的单调递减区间为
(
)
A.(0,+∞) B.(-∞,0)
C.(-∞,-1) D.(-1,+∞)
【
解析
】
选
B.
当
x≥0
时
,y=|x|-1=x-1,
此时函数为增函数
,
当
x<0
时
,y=|x|-1
=-x-1,
此时函数为减函数
,
即函数的单调递减区间为
(-∞,0).
4.
函数
y=-2x+1
在区间
[-1,2]
上的最大值为
.
【
解析
】
由函数
y=-2x+1
的图象可知
(
图略
),
当
x=-1
时
,
函数取最大值为
3.
答案
:
3
5.
函数
y=x
2
-4x+3
在区间
[-1,1]
上的最小值为
.
【
解析
】
因为函数
y=(x-2)
2
-1,
对称轴为
x=2,
由函数的图象
(
图略
)
可知函数在
[-1,1]
上单调递减
,
所以函数的最小值为
f(1)=0.
答案
:
0
