高中数学人教a版选修1-1章末综合测评3word版含答案

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高中数学人教a版选修1-1章末综合测评3word版含答案

章末综合测评(三) 导数及其应用 (时间 120分钟,满分 150分) 一、选择题(本大题共 12小题,每小题 5分,共 60分.在每小题 给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若函数 f(x)=α2-cos x,则 f′(α)等于( ) A.sin α B.cos α C.2α+sin α D.2α-sin α 【解析】 f′(x)=(α2-cos x)′=sin x,当 x=α时,f′(α)=sin α. 【答案】 A 2.若曲线 y=1 x 在点 P处的切线斜率为-4,则点 P的坐标是( ) A. 1 2 ,2 B. 1 2 ,2 或 - 1 2 ,-2 C. - 1 2 ,-2 D. 1 2 ,-2 【解析】 y′=- 1 x2 ,由- 1 x2 =-4,得 x2=1 4 ,从而 x=±1 2 ,分别 代入 y=1 x ,得 P点的坐标为 1 2 ,2 或 - 1 2 ,-2 . 【答案】 B 3.观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cos x)′=-sin x,归纳可得: 若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x),记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(-x)=( ) A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x) 【解析】 观察可知,偶函数 f(x)的导函数 g(x)是奇函数,所以 g(- x)=-g(x). 【答案】 D 4.若函数 f(x)=ax4+bx2+c满足 f′(1)=2,则 f′(-1)=( ) A.-1 B.-2 C.2 D.0 【解析】 由 f(x)=ax4+bx2+c得 f′(x)=4ax3+2bx,又 f′(1)= 2,所以 4a+2b=2,f′(-1)=-4a-2b=-(4a+2b)=-2.故选 B. 【答案】 B 5.已知函数 f(x)=xln x,若 f(x)在 x0处的函数值与导数值之和等于 1,则 x0的值等于( ) A.1 B.-1 C.±1 D.不存在 【解析】 因为 f(x)=xln x,所以 f′(x)=ln x+1,于是有 x0ln x0 +ln x0+1=1,解得 x0=1或 x0=-1(舍去),故选 A. 【答案】 A 6.过点(0,1)且与曲线 y=x+1 x-1 在点(3,2)处的切线垂直的直线方程 为( ) 【导学号:26160104】 A.2x+y-1=0 B.x-2y+2=0 C.x+2y-2=0 D.2x-y+1=0 【解析】 y′= x+1 x-1 ′= x-1-x+1 x-12 = -2 x-12 , ∴y′|x=3=- 1 2 ,故与切线垂直的直线斜率为 2, 所求直线方程为 y-1=2x, 即 2x-y+1=0.故选 D. 【答案】 D 7.已知函数 y=f(x),其导函数 y=f′(x)的图象如图 1 所示,则 y =f(x)( ) 图 1 A.在(-∞,0)上为减函数 B.在 x=0处取得极小值 C.在(4,+∞)上为减函数 D.在 x=2处取极大值 【解析】 在(-∞,0)上,f′(x)>0,故 f(x)在(-∞,0)上为增函 数,A错;在 x=0处,导数由正变负,f(x)由增变减,故在 x=0处取 极大值,B错;在(4,+∞)上,f′(x)<0,f(x)为减函数,C对;在 x= 2处取极小值,D错. 【答案】 C 8.若函数 f(x)=ax3-x2+x-5 在(-∞,+∞)上单调递增,则 a 的取值范围是( ) A.a>1 3 B.a≥1 3 C.a<1 3 D.a≤1 3 【解析】 f′(x)=3ax2-2x+1 在(-∞,+∞)上恒非负,故 a>0, Δ=4-12a≤0, 解得 a≥1 3 . 【答案】 B 9.以长为 10的线段 AB为直径作半圆,则它的内接矩形面积的最 大值为( ) A.10 B.15 C.25 D.50 【解析】 设内接矩形的长为 x, 则宽为 25-x2 4 , ∴S2=x2· 25-x2 4 =y, ∴y′=50x-x3. 令 y′=0,得 x2=50或 x=0(舍去), ∴S2max=625,即 Smax=25. 【答案】 C 10.函数 y=ln x x 的最大值为( ) A.e-1 B.e C.e2 D.10 3 【解析】 y′= ln x′x-ln x·x′ x2 = 1-lnx x2 ,令 y′=0,得 x=e. 当 x>e时,y′<0;当 00. 故 y 极大值=f(e)=e-1.因为在定义域内只有一个极值,所以 ymax=e- 1. 【答案】 A 11.对于 R 上可导的任意函数 f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必 有( ) A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)>2f(1) C.f(0)+f(2)≤2f(1) D.f(0)+f(2)≥2f(1) 【解析】 ①若 f′(x)不恒为 0,则当 x>1时,f′(x)≥0,当 x<1 时,f′(x)≤0, 所以 f(x)在(1,+∞)内单调递增,在(-∞,1)内单调递减. 所以 f(2)>f(1),f(1)2f(1). ②若 f′(x)=0恒成立,则 f(2)=f(0)=f(1), 综合①②,知 f(0)+f(2)≥2f(1). 【答案】 D 12.若函数 f(x)在(0,+∞)上可导,且满足 f(x)>-xf′(x),则一 定有( ) A.函数 F(x)=fx x 在(0,+∞)上为增函数 B.函数 F(x)=fx x 在(0,+∞)上为减函数 C.函数 G(x)=xf(x)在(0,+∞)上为增函数 D.函数 G(x)=xf(x)在(0,+∞)上为减函数 【解析】 设 G(x)=xf(x),则 G′(x)=xf′(x)+f(x)>0,故 G(x) =xf(x)在(0,+∞)上递增,故选 C. 【答案】 C 二、填空题(本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分.将答案填在 题中的横线上) 13.函数 f(x)=ln x-x的单调递增区间为________. 【解析】 令 f′(x)=1 x -1>0,解不等式即可解得 x<1,注意定 义域为(0,+∞).所以 0<x<1. 【答案】 (0,1) 14.设函数 f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax.若 f(x)的两个极值点为 x1, x2,且 x1x2=1,则实数 a的值为________. 【解析】 f′(x)=18x2+6(a+2)x+2a. 由已知 f′(x1)=f′(x2)=0,从而 x1x2=2a 18 =1,所以 a=9. 【答案】 9 15.若函数 f(x)=ln|x|-f′(-1)x2+3x+2,则 f′(1)=________. 【解析】 当 x>0时,f(x)=ln x-f′(-1)x2+3x+2, ∴f′(x)=1 x -2f′(-1)x+3, ∴f′(1)=1-2f′(-1)+3. 当 x<0时,f(x)=ln(-x)-f′(-1)x2+3x+2, ∴f′(x)=- 1 -x -2f′(-1)x+3=1 x -2f′(-1)x+3, ∴f′(-1)=-1+2f′(-1)+3, ∴f′(-1)=-2, ∴f′(1)=8. 【答案】 8 16.当 x∈[-1,2]时,x3-x2-x2. 【答案】 (2,+∞) 三、解答题(本大题共 6小题,共 70分.解答应写出文字说明,证 明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10分)已知曲线 y=x3+x-2在点 P0处的切线 l1 与直线 l:4x-y-1=0平行,且点 P0在第三象限. (1)求点 P0的坐标; 【导学号:26160105】 (2)若直线 l2⊥l1,且 l2也过点 P0,求直线 l2的方程. 【解】 (1)由 y=x3+x-2,得 y′=3x2+1. 令 3x2+1=4,解得 x=±1. 当 x=1时,y=0;当 x=-1时,y=-4. 又点 P0在第三象限, ∴切点 P0的坐标为(-1,-4). (2)∵直线 l2⊥l1,l1的斜率为 4, ∴直线 l2的斜率为- 1 4 . ∵l2过切点 P0,点 P0的坐标为(-1,-4), ∴直线 l2的方程为 y+4=- 1 4 (x+1),即 x+4y+17=0. 18.(本小题满分 12 分)(2015·重庆高考)已知函数 f(x)=ax3+x2(a ∈R)在 x=- 4 3 处取得极值. (1)确定 a的值; (2)若 g(x)=f(x)ex,讨论 g(x)的单调性. 【解】 (1)对 f(x)求导得 f′(x)=3ax2+2x, 因为 f(x)在 x=- 4 3 处取得极值, 所以 f′ - 4 3 =0, 即 3a·16 9 +2· - 4 3 = 16a 3 - 8 3 =0,解得 a=1 2 . (2)由(1)得,g(x)= 1 2 x3+x2 ex, 故 g′(x)= 3 2 x2+2x ex+ 1 2 x3+x2 ex = 1 2 x3+5 2 x2+2x ex = 1 2 x(x+1)(x+4)ex. 令 g′(x)=0,解得 x=0,x=-1或 x=-4. 当 x<-4时,g′(x)<0,故 g(x)为减函数; 当-40,故 g(x)为增函数; 当-10时,g′(x)>0,故 g(x)为增函数. 综上知,g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0, +∞)内为增函数. 19.(本小题满分 12分)设 f(x)=ln x,g(x)=f(x)+f′(x),求 g(x)的 单调区间和最小值. 【解】 由题意知 f′(x)=1 x ,g(x)=ln x+1 x , ∴g′(x)=x-1 x2 . 令 g′(x)=0,得 x=1. 当 x∈(0,1)时,g′(x)<0,故(0,1)是 g(x)的单调减区间. 当 x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,故(1,+∞)是 g(x)的单调增区间. 因此,x=1是 g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值 点. 所以 g(x)的最小值为 g(1)=1. 20.(本小题满分 12分)(2014·重庆高考)已知函数 f(x)=x 4 + a x -ln x - 3 2 ,其中 a∈R,且曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线 y=1 2 x. (1)求 a的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. 【解】 (1)对 f(x)求导得 f′(x)=1 4 - a x2 - 1 x , 由 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线 y=1 2 x知 f′(1)=- 3 4 -a=-2,解得 a=5 4 . (2)由(1)可知 f(x)=x 4 + 5 4x -ln x-3 2 , 则 f′(x)=x2-4x-5 4x2 . 令 f′(x)=0,解得 x=-1或 x=5. 因 x=-1不在 f(x)的定义域(0,+∞)内,舍去. 当 x∈(0,5)时,f′(x)<0,故 f(x)在(0,5)内为减函数;当 x∈(5,+ ∞)时,f′(x)>0,故 f(x)在(5,+∞)内为增函数. 由此知函数 f(x)在 x=5时取得极小值 f(5)=-ln 5,无极大值. 21.(本小题满分 12分)某商场销售某种商品的经验表明,该商品 每日的销售量 y(单位:千克)与销售价格 x(单位:元/千克)满足关系式 y = a x-3 +10(x-6)2.其中 3
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