中考压轴题 中考新定义题型

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蓬街私立中学校本作业 4 1.（2014•台州）研究几何图形，我们往往先给出这类图形的定义，再研究它的性质和判 定． 定义：六个内角相等的六边形叫等角六边形． （1）研究性质 ①如图 1，等角六边形 ABCDEF 中，三组正对边 AB 与 DE，BC 与 EF，CD 与 AF 分 别有什么位置关系？证明你的结论 ②如图 2，等角六边形 ABCDEF 中，如果有 AB=DE，则其余两组正对边 BC 与 EF，CD 与 AF 相等吗？证明你的结论 ③如图 3，等角六边形 ABCDEF 中，如果三条正对角线 AD，BE，CF 相交于一点 O， 那么三组正对边 AB 与 DE，BC 与 EF，CD 与 AF 分别有什么数量关系？证明你的结 论． （2）探索判定 三组正对边分别平行的六边形，至少需要几个内角为 120°，才能保证六边形一定是等角 六边形？ 2.定义：如图 1，点 M，N 把线段 AB 分割成 AM，MN 和 BN，若以 AM，MN，BN 为边的三 角形是一个直角三角形，则称点 M，N 是线段 AB 的勾股分割点 （1）已知点 M，N 是线段 AB 的勾股分割点，若 AM=2，MN=3 求 BN 的长； （2）如图 2，在△ABC 中，FG 是中位线，点 D，E 是线段 BC 的勾股分割点，且 EC>DE≥BD，连接 AD，AE 分别交 FG 于点 M，N，求证：点 M，N 是线段 FG 的勾股分割 点 （3）已知点 C 是线段 AB 上的一定点，其位置如图 3 所示，请在 BC 上画一点 D，使 C， D 是线段 AB 的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可） （4）如图 4，已知点 M，N 是线段 AB 的勾股分割点，MN>AM≥BN，△AMC，△MND 和△NBM 均是等边三角形，AE 分别交 CM，DM，DN 于点 F，G，H，若 H 是 DN 的中点， 试探究 ， 和 的数量关系，并说明理由 AMFS∆ BENS∆ MNHGS四边形 3.（本题 12 分） 类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”。 （1）概念理解 如图 1，在四边形 ABCD 中，添加一个条件，使得四边形 ABCD 是“等邻边四边 形”，请写出你添加的一个条件； （2）问题探究 ①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形，她的猜想正确吗？请说 明理由； ②如图 2，小红画了一个 Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将 Rt△ABC 沿∠B 的平分线 BB’方向平移得到△A’B’C’，连结 AA’，BC’。小红要使平移后的四 边形 ABC’A’是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段 BB’的长）？ （3）应用拓展 如图 3，“等邻边四边形”ABCD 中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD 为对 角线，AC= AB。试探究 BC，CD，BD 的数量关系。2 4.如图 1，点 P 为∠MON 的平分线上一点，以 P 为顶点的角的两边分别与射线 OM，ON 交 于 A，B 两点，如果∠APB 绕点 P 旋转时始终满足 ，我们就把∠APB 叫做 ∠MON 的智慧角. （1）如图 2，已知∠MON=90°，点 P 为∠MON 的平分线上一点，以点 P 为顶点的角的两 边分别与射线 OM，ON 交于 A，B 两点，且∠APB=135°. 求证：∠APB 是∠MON 的智慧 角； （2）如图 1，已知∠MON= （0°< <90°），OP=2，若∠APB 是∠MON 的智慧角，连 结 AB，用含 的式子分别表示∠APB 的度数和△AOB 的面积； （3）如图 3，C 是函数 图象上的一个动点，过点 C 的直线 CD 分别交 轴和 轴于点 A，B 两点，且满足 BC=2CA，请求出∠AOB 的智慧角∠APB 的顶点 P 的坐标. 2OPOBOA =⋅ α α α )0(3 >= xxy x y 5. （2013 浙江台州,24,13 分）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么称这个 三角形为“好玩三角形” （1）请用直尺与圆规画一个“好玩三角形”； （2）如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°, ,求证：△ABC 是“好玩三角形”； （3）如图 2,已知菱形 ABCD 的边长为 a, ∠ABC=2β,点 P,Q 从点 A 同时出发,以相同的速度 分别沿折线 AB－BC 和 AD－DC 向终点 C 运动,记点 P 所经过的路程为 S ①当 β=45°时,若△APQ 是“好玩三角形”,试求 的值 ②当 tanβ 的取值在什么范围内,点 P,Q 在运动过程中,有且只有一个△APQ 能成为“好玩 三角形”请直接写出 tanβ 的取值范围. （4）本小题为选做题 依据（3）中的条件,提出一个关于“在点 P,Q 的运动过程中,tanβ 的取值范围与△APQ 是“好 玩三角形”的个数关系的真命题（“好玩三角形”的个数限定不能为 1）. 6.过平行四边形 ABCD 顶点 B 分别作边 AD,CD 所在直线的垂线，垂足分别为 E,F,连接 EF， 则△BEF 叫做平行四边形 ABCD 的特征三角形。 如果一个平行四边形是由两个全等的直角三角形拼成，则该平行四边形叫做直角平行四边形， 如果一个平形四边形是由两个全等的等腰三角形拼成，那么这个平行四边形叫做等腰平行四 边形。 2 3tan =A s a A B C B A D C P Q B A C 备用图 D （1） 在下面空格上填写三角形的类别，使对应的两个命题都是真命题： ①命题 1：矩形的特征三角形是____________; 命题 2：菱形的特征三角形是______________。 ②写出命题 1 的逆命题，并探索其是否正确，若正确，给出证明，若不正确，举出反 例。 (2)如果平行四边形 ABCD 的特征三角形是等腰三角形，证明：四边形 ABCD 是等腰平行四 边形。 （3）如果平行四边形的特征三角形是含 30°角的等腰三角形，直接写出它的邻边长的平方 的比