高考文科数学福建卷

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高考文科数学福建卷

‎2009年普通高校招生统一考试(福建卷)‎ 数学(文史类)‎ 一、选择题:本大题共12小题。每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.若集合,则等于 ‎2. 下列函数中,与函数 有相同定义域的是 ‎ A . B. C. D.‎ ‎3.一个容量100的样本,其数据的分组与各组的频数如下表 组别 ‎ ‎ 频数 ‎12‎ ‎13‎ ‎24‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎13‎ ‎7‎ 则样本数据落在上的频率为 A. 0.13‎‎ B. ‎0.39 ‎‎ C. 0.52 D. 0.64‎ ‎4. 若双曲线的离心率为2,则等于 A. 2 B. C. D. 1‎ ‎5. 如右图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且体积为。则该集合体的俯视图可以是 ‎6. 阅读图6所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是 A.-1 B. 2 ‎ C. 3 D. 4‎ ‎7. 已知锐角的面积为,,则角的大小为 A. 75° B. 60°‎ B. 45° D.30°‎ ‎8. 定义在R上的偶函数的部分图像如右图所示,则在上,下列函数中与的单调性不同的是 A. B. ‎ C. D.‎ ‎9.在平面直角坐标系中,若不等式组(为常数)所表示的平面区域内的面积等于2,则的值为 A. -5 B. ‎1 ‎‎ C. 2 D. 3 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎10. 设是平面内的两条不同直线;是平面内的两条相交直线,则的一个充分而不必要条件是 A. B. C. D. ‎ ‎11.若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25, 则可以是 A. B. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ C. D. ‎ ‎12.设,,为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足与不共线,‎ ‎ ∣∣=∣∣,则∣ •∣的值一定等于w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ A.以,为邻边的平行四边形的面积 B. 以,为两边的三角形面积 C.,为两边的三角形面积 D. 以,为邻边的平行四边形的面积 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置。‎ ‎13. 复数的实部是 。‎ ‎14. 点A为周长等于3的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点B,则劣弧AB的长度小于1的概率为 。‎ ‎15. 若曲线存在垂直于轴的切线,则实数的取值范围是 .‎ ‎16. 五位同学围成一圈依序循环报数,规定:‎ ‎①第一位同学首次报出的数为1.第二位同学首次报出的数也为1,之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和;‎ ‎②若报出的是为3的倍数,则报该数的同学需拍手一次,‎ 当第30个数被报出时,五位同学拍手的总次数为 。‎ 三、解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.www.ks5u.com ‎ ‎17.(本小题满分)2分)‎ 等比数列中,已知 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ (I)求数列的通项公式;‎ ‎ (Ⅱ)若分别为等差数列的第3项和第5项,试求数列的通项公式及前项和。‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,现一次有放回地随机摸取3次,每次摸取一个球 ‎ (I)试问:一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ (Ⅱ)若摸到红球时得2分,摸到黑球时得1分,求3次摸球所得总分为5的概率。‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 已知函数其中,‎ ‎ (I)若求的值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ (Ⅱ)在(I)的条件下,若函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于,求函数的解析式;并求最小正实数,使得函数的图像象左平移个单位所对应的函数是偶函数。‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 如图,平行四边形中,,将 沿折起到的位置,使平面平面 ‎ (I)求证: w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ (Ⅱ)求三棱锥的侧面积。‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知函数且 ‎ (I)试用含的代数式表示;‎ ‎ (Ⅱ)求的单调区间;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ (Ⅲ)令,设函数在处取得极值,记点,证明:线段与曲线存在异于、的公共点;‎ ‎22.(本小题满分14分)‎ 已知直线经过椭圆 的左顶点A和上顶点D,椭圆的右顶点为,点和椭 圆上位于轴上方的动点,直线,与直线 分别交于两点。‎ ‎ (I)求椭圆的方程;‎ ‎ (Ⅱ)求线段MN的长度的最小值;‎ ‎ (Ⅲ)当线段MN的长度最小时,在椭圆上是否存在这 样的点,使得的面积为?若存在,确定点的个数,若不存在,说明理由 参考答案及解析 一、选择题:本大题共12小题。每小题5分,共60分,‎ 1. 解析 本题考查的是集合的基本运算.属于容易题.‎ 解法1 利用数轴可得容易得答案B.‎ 解法2(验证法)去X=1验证.由交集的定义,可知元素1在A中,也在集合B中,故选B.‎ ‎2. 解析 解析 由可得定义域是的定义域;的定义域是≠0;的定义域是定义域是。故选A.‎ ‎3.解析 由题意可知频数在的有:13+24+15=52,由频率=频数总数可得0.52.故选C.‎ ‎4. 解析 由,解得a=1或a=3,参照选项知而应选D.‎ ‎5. 解析 解法1 由题意可知当俯视图是A时,即每个视图是变边长为1的正方形,那么此几何体是立方体,显然体积是1,注意到题目体积是,知其是立方体的一半,可知选C.‎ ‎ 解法2 当俯视图是A时,正方体的体积是1;当俯视图是B时,该几何体是圆柱,底面积是,高为1,则体积是;当俯视是C时,该几何是直三棱柱,故体积是,当俯视图是D时,该几何是圆柱切割而成,其体积是.故选C.‎ ‎6. 解析当代入程序中运行第一次是,然后赋值此时;返回运行第二次可得,然后赋值;再返回运行第三次可得,然后赋值,判断可知此时,故输出,故选D。‎ ‎7. 解析 由正弦定理得,注意到其是锐角三角形,故C=°,选B ‎8. 解析 根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反,故可知求在上单调递减,注意到要与的单调性不同,故所求的函数在上应单调递增。而函数在上递减;函数在时单调递减;函数 在(上单调递减,理由如下y’=3x2>0(x<0),故函数单调递增,显然符合题意;而函数,有y’=-<0(x<0),故其在(上单调递减,不符合题意,综上选C。‎ ‎9.解析 如图可得黄色即为满足的直线恒过(0,1),故看作直线绕点(0,1)旋转,当a=-5时,则可行域不是一个封闭区域,当a=1时,面积是1;a=2时,面积是;当a=3时,面积恰好为2,故选D.‎ ‎10.解析 要得到必须是一个平面内的两条相交直线分别与另外一个平面平行。若两个平面平行,则一个平面内的任一直线必平行于另一个平面。对于选项A,不是同一平面的两直线,显既不充分也不必要;对于选项B,由于与时相交直线,而且由于//m可得,故可得,充分性成立,而不一定能得到//m,它们也可以异面,故必要性不成立,故选B.对于选项C,由于m,n不一定的相交直线,故是必要非充分条件.对于选项D,由可转化为C,故不符合题意。综上选B.‎ ‎11.解析 的零点为x=,的零点为x=1, 的零点为x=0, 的零点为x=.现在我们来估算的零点,因为g(0)= -1,g()=1,所以g(x)的零点x(0, ),又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25,只有的零点适合,故选A。‎ ‎12.解析 假设与的夹角为,∣ •∣=︱︱·︱︱·∣cos<,>∣=︱︱·︱︱•∣cos(90)∣=︱︱·︱︱•sin,即为以,为邻边的平行四边形的面积,故选A。‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,‎ ‎13.解析 =-1-I,所以实部是-1。‎ ‎14. 解析解析:如图可设,则,根据几何概率可知其整体事件是其周长,则其概率是。w。w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ 15. 解析:由题意该函数的定义域,由。因为存在垂直于轴的切线,故此时斜率为,问题转化为范围内导函数存在零点。‎ 解法1 (图像法)再将之转化为与存在交点。当不符合题意,当时,如图1,数形结合可得显然没有交点,当如图2,此时正好有一个交点,故有应填 或是。‎ 解法2 (分离变量法)上述也可等价于方程在内有解,显然可得 ‎16. 解析 这样得到的数列这是历史上著名的数列,叫斐波那契数列.寻找规律是解决问题的根本,否则,费时费力.首先求出这个数列的每一项除以3所得余数的变化规律,再求所求就比较简单了.‎ 这个数列的变化规律是:从第三个数开始递增,且是前两项之和,那么有1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987……分别除以3得余数分别是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0……由此可见余数的变化规律是按1、1、2、0、2、2、1、0循环,周期是8.在这一个周期内第四个数和第八个数都是3的倍数,所以在三个周期内共有6个报出的数是三的倍数,后面6个报出的数中余数是1、1、2、0、2、2,只有一个是3的倍数,故3的倍数总共有7个,也就是说拍手的总次数为7次.s.5.u.c.o.m 三、解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.www.ks5u.com www.ks5u.com ‎17.(本小题满分)2分)‎ 解:(I)设的公比为 ‎ 由已知得,解得 ‎ (Ⅱ)由(I)得,,则,‎ ‎ 设的公差为,则有解得 ‎ 从而 ‎ 所以数列的前项和 ‎18.(本小题满分12分)‎ 解:(I)一共有8种不同的结果,列举如下:‎ ‎ (红、红、红、)、(红、红、黑)、(红、黑、红)、(红、黑、黑)、(黑、红、红)、(黑、红、黑)、(黑、黑、红)、(黑、黑、黑)‎ ‎ (Ⅱ)记“3次摸球所得总分为‎5”‎为事件A ‎ 事件A包含的基本事件为:(红、红、黑)、(红、黑、红)、(黑、红、红)事件A包含的基本事件数为3‎ ‎ 由(I)可知,基本事件总数为8,所以事件A的概率为 ‎19.(本小题满分12分)‎ 解法一:‎ ‎(I)由得 ‎ 即又 ‎(Ⅱ)由(I)得,‎ ‎ 依题意,‎ ‎ 又故 ‎ 函数的图像向左平移个单位后所对应的函数为 ‎ ‎ ‎ 是偶函数当且仅当 ‎ 即 ‎ 从而,最小正实数 解法二:‎ ‎(I)同解法一 ‎(Ⅱ)由(I)得, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ 依题意,‎ 又,故 函数的图像向左平移个单位后所对应的函数为 是偶函数当且仅当对恒成立 亦即对恒成立。‎ 即对恒成立。‎ 故 从而,最小正实数 ‎20.(本小题满分12分)‎ ‎(I)证明:在中,‎ ‎ ‎ ‎ 又平面平面 ‎ 平面平面平面 ‎ 平面 ‎ 平面 ‎(Ⅱ)解:由(I)知从而 ‎ 在中,‎ ‎ ‎ ‎ 又平面平面 ‎ ‎ ‎ 平面平面,平面 ‎ 而平面 ‎ 综上,三棱锥的侧面积,‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 解法一:‎ ‎(I)依题意,得 ‎ 由得 ‎(Ⅱ)由(I)得(‎ ‎ 故 ‎ 令,则或 ‎ ①当时,‎ ‎ 当变化时,与的变化情况如下表:‎ ‎ ‎ ‎+‎ ‎—‎ ‎+‎ 单调递增 单调递减 单调递增 由此得,函数的单调增区间为和,单调减区间为 ‎②由时,,此时,恒成立,且仅在处,故函数的单调区间为R ‎③当时,,同理可得函数的单调增区间为和,单调减区间为 综上:‎ 当时,函数的单调增区间为和,单调减区间为;‎ 当时,函数的单调增区间为R;‎ 当时,函数的单调增区间为和,单调减区间为 ‎(Ⅲ)当时,得 ‎ 由,得 ‎ 由(Ⅱ)得的单调增区间为和,单调减区间为 ‎ 所以函数在处取得极值。‎ ‎ 故 ‎ 所以直线的方程为 ‎ 由得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ 令 ‎ 易得,而的图像在内是一条连续不断的曲线,‎ ‎ 故在内存在零点,这表明线段与曲线有异于的公共点 解法二:‎ ‎(I)同解法一 ‎(Ⅱ)同解法一。‎ ‎(Ⅲ)当时,得,由,得 由(Ⅱ)得的单调增区间为和,单调减区间为,所以函数在处取得极值,‎ 故 所以直线的方程为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 由得 解得 所以线段与曲线有异于的公共点 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎22.(本小题满分14分)‎ 解法一:‎ ‎(I)由已知得,椭圆的左顶点为上顶点为 ‎ 故椭圆的方程为 ‎(Ⅱ)直线AS的斜率显然存在,且,故可设直线的方程为,从而 由得0‎ 设则得,从而 即又 由得 故 又 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 当且仅当,即时等号成立 时,线段的长度取最小值 ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当取最小值时,‎ ‎ 此时的方程为 ‎ 要使椭圆上存在点,使得的面积等于,只须到直线的距离等于,所以在平行于且与距离等于的直线上。‎ 设直线 则由解得或 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎
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