20125月中考复习数学压轴题练习1

20125月中考复习数学压轴题练习1

中考数学压轴题汇编（1）‎ ‎1、如图，抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，点P是它的 顶点，点A的横坐标是3，点B的横坐标是1．‎ ‎(1)求、的值； (2）求直线PC的解析式；‎ ‎(3）请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线 PC的位置关系，并说明理由．(参考数：，，)‎ ‎2、（湖北荆门）如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．‎ ‎(1)设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；‎ ‎(2)如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；‎ 图2‎ 图1‎ ‎(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．‎ ‎（第25题图）‎ A x y B C O ‎3.（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线=－++‎ 经过A（0，－4）、B（，0）、 C（，0）三点，且-=5．‎ ‎（1）求、的值；（4分）‎ ‎（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3分）‎ ‎（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线 的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？‎ 若不存在，请说明理由．（3分）‎ ‎4. (河池市 本小题满分12分) ‎ 如图11，在直角梯形中，∥，，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，对角线，相交于点，，．‎ ‎（1）线段的长为 ，点的坐标为 ；‎ M C B O A ‎（2）求△的面积；‎ ‎（3）求过，，三点的抛物线的解析式；‎ ‎（4）若点在（3）的抛物线的对称轴上，点为该 抛物线上的点，且以，，，四点为顶点的四边形 为平行四边形，求点的坐标．‎ ‎ ‎ ‎5、（2010•重庆）已知：如图（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC=AC，∠C=120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．‎ ‎（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；‎ ‎（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；‎ ‎（3）如图（2），现有∠MCN=60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．‎ ‎1、如图，抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，点P是它的 顶点，点A的横坐标是3，点B的横坐标是1．‎ ‎(1)求、的值；‎ ‎(2）求直线PC的解析式；‎ ‎(3）请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线 PC的位置关系，并说明理由．(参考数：，，)‎ 解： (1)由已知条件可知： 抛物线经过A(-3，0)、B(1，0)两点．‎ ‎∴ 解得 ． (2) ∵， ∴ P(-1，-2)，C． 设直线PC的解析式是，则 解得． ‎ ‎∴ 直线PC的解析式是． 说明：只要求对，不写最后一步，不扣分．‎ ‎ (3) 如图，过点A作AE⊥PC，垂足为E． 设直线PC与轴交于点D，则点D的坐标为(3，0)．在Rt△OCD中，∵ OC=，，‎ ‎∴ ． …………8分 ‎∵ OA=3，，∴AD=6． …………9分∵ ∠COD=∠AED=90o，∠CDO公用，‎ ‎∴ △COD∽△AED．∴ ， 即． ∴ ． ∵ ，‎ ‎∴ 以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC相离． ………12分 ‎2、（湖北荆门）如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．‎ ‎(1)设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；‎ ‎(2)如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；‎ 图2‎ 图1‎ ‎(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．‎ 解：(1)由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠BPE=90°．∴∠OPE＋∠APB=90°．又∠APB＋∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA．‎ ‎∴Rt△POE∽Rt△BPA．…………………………………………………………2分 ‎∴．即．∴y=(0＜x＜4)．‎ 且当x=2时，y有最大值．…………………………………………………4分 ‎(2)由已知，△PAB、△POE均为等腰三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)．……6分 设过此三点的抛物线为y=ax2＋bx＋c，则∴‎ A x y B C O y=．… (3)由(2)知∠EPB=90°，即点Q与点B重合时满足条件．……………………9分 直线PB为y=x－1，与y轴交于点(0，－1)．将PB向上平移2个单位则过点E(0，1)，‎ ‎∴该直线为y=x＋1．…由得∴Q(5，6)．‎ 故该抛物线上存在两点Q(4，3)、(5，6)满足条件． 12‎ ‎3.（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线=－++‎ 经过A（0，－4）、B（，0）、 C（，0）三点，且-=5．‎ ‎（1）求、的值；（4分）‎ ‎（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3分）‎ ‎（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线 的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？‎ 若不存在，请说明理由．（3分）‎ ‎ 解：（1）∵抛物线=－++经过点A（0，－4），‎ ‎ ∴=－4 又由题意可知，、是方程－++=0的两个根，‎ ‎∴+=， =－=6 由已知得（-）=25‎ 又（-）=（+）－4=－24 ∴ －24=25 ‎ ‎ 解得=±当=时，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，不合题意，舍去．∴=－． ‎ ‎ （2）∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上， 5分 ‎ 又∵=－－－4=－（+）+ 6分 ‎ ∴抛物线的顶点（－，）即为所求的点D． 7分 ‎ （3）∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（－6，0），‎ 根据菱形的性质，点P必是直线=-3与 抛物线=－--4的交点， 8分 ‎ ∴当=－3时，=－×（－3）－×（－3）－4=4， ‎ ‎ ∴在抛物线上存在一点P（－3，4），使得四边形BPOH为菱形． 9分 M C B O A 图11‎ ‎ 四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（－3，3），但这一点不在抛物线上． 10分 ‎4. (河池市 本小题满分12分) ‎ 如图11，在直角梯形中，∥，，点为 坐标原点，点在轴的正半轴上，对角线，相交于点，‎ ‎，．‎ ‎（1）线段的长为 ，点的坐标为 ；‎ ‎（2）求△的面积；‎ ‎（3）求过，，三点的抛物线的解析式；‎ ‎（4）若点在（3）的抛物线的对称轴上，点为该 抛物线上的点，且以，，，四点为顶点的四边形 为平行四边形，求点的坐标．‎ 解：（1）4 ；. …………………（2分）‎ ‎（2）在直角梯形OABC中，OA=AB=4，‎ ‎ ∵ ∥ ∴ △OAM∽△BCM ………（3分）‎ ‎ 又 ∵ OA=2BC ‎ ∴ AM＝2CM ，CM＝AC ………………（4分）‎ M C B O A D ‎ 所以 ………（5分）‎ ‎（注：另有其它解法同样可得结果，正确得本小题满分.）‎ ‎（3）设抛物线的解析式为 ‎　　　由抛物线的图象经过点,,.所以 ‎　　　　　 ……………………………（6分）‎ ‎　　　解这个方程组，得，， ………………（7分）‎ 所以抛物线的解析式为 ………………（8分）‎ ‎ （4）∵ 抛物线的对称轴是CD，‎ ‎ ① 当点E在轴的下方时，CE和OA互相平分则可知四边形OEAC为平行四边形，此时点F和点C重合，点F的坐标即为点； …（9分）‎ ‎② 当点E在轴的下方，点F在对称轴的右侧，存在平行四边形，‎ ‎∥，且，此时点F的横坐标为6，将代入，可得.所以. ………………………………………（11分）‎ ‎ 同理，点F在对称轴的左侧，存在平行四边形，∥，且，此时点F的横坐标为，将代入，可得.所以.（12分）‎ 综上所述，点F的坐标为，. ………（12分）‎ ‎　　‎ ‎5、（2010•重庆）已知：如图（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC=AC，∠C=120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．‎ ‎（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；‎ ‎（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；‎ ‎（3）如图（2），现有∠MCN=60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．‎ 解答：解：（1）过点C作CD⊥OA于点D．（如图） ∵OC=AC，∠ACO=120°， ∴∠AOC=∠OAC=30°．‎ ‎∵OC=AC，CD⊥OA，∴OD=DA=1． 在Rt△ODC中，OC===（1分）‎ ‎（i）当0＜t＜时，OQ=t，AP=3t，OP=OA﹣AP=2﹣3t． 过点Q作QE⊥OA于点E．（如图）‎ 在Rt△OEQ中，∵∠AOC=30°，∴QE=OQ=，‎ ‎∴S△OPQ=OP•EQ=（2﹣3t）•=﹣+t， 即S=﹣+t；（3分）‎ ‎（ii）当＜t≤时（如图） OQ=t，OP=3t﹣2． ∴∠BOA=60°，∠AOC=30°，∴∠POQ=90°．‎ ‎∴S△OPQ=OQ•OP=t•（3t﹣2）=﹣t， 即S=﹣t；‎ 故当0＜t＜时，S=﹣+t，当≤t＜时，S=﹣t（5分）‎ ‎（2）D（，1）或（，0）或（，0）或（，）（9分）‎ ‎（3）△BMN的周长不发生变化．理由如下：‎ 延长BA至点F，使AF=OM，连接CF．（如图） 又∵∠MOC=∠FAC=90°，OC=AC，‎ ‎∴△MOC≌△FAC， ∴MC=CF，∠MCO=∠FCA．（10分）‎ ‎∴∠FCN=∠FCA+∠NCA=∠MCO+∠NCA =∠OCA﹣∠MCN=60°，‎ ‎∴∠FCN=∠MCN． 又∵MC=CF，CN=CN，∴△MCN≌△FCN，∴MN=NF．（11分）‎ ‎∴BM+MN+BN=BM+NF+BN=BO﹣OM+BA+AF=BA+BO=4．∴△BMN的周长不变，其周长 为4．‎