人教a版数学【选修1-1】作业：第一章《常用逻辑用语》章末检测（b）（含答案）
第一章 章末检测 (B)
(时间：120 分钟 满分：150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)．
1．函数 f(x)＝x|x＋a|＋b 是奇函数的充要条件是( )
A．ab＝0 B．a＋b＝0
C．a＝b D．a2＋b2＝0
2．若“a≥b⇒c>d”和“a
1，y>1，条件 q：x＋y>2，xy>1，则条件 p 是条件 q 的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．2x2－5x－3<0 的一个必要不充分条件是( )
A．－1
20 D．∀x∈R,2x>0
10．设原命题：若 a＋b≥2，则 a，b 中至少有一个不小于 1，则原命题与其逆命题的真
假情况是( )
A．原命题真，逆命题假
B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题
11．下列命题中为全称命题的是( )
A．圆内接三角形中有等腰三角形
B．存在一个实数与它的相反数的和不为 0
C．矩形都有外接圆
D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行
12．以下判断正确的是( )
A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题
B．命题“∀x∈N，x3>x”的否定是“∃x∈N，x3>x”
C．“a＝1”是“函数 f(x)＝sin 2ax 的最小正周期为π”的必要不充分条件
D．“b＝0”是“函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 是偶函数”的充要条件
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13．下列命题中________为真命题．(填序号)
①“A∩B＝A”成立的必要条件是“A B”；
②“若 x2＋y2＝0，则 x，y 全为 0”的否命题；
③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；
④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．
14．命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是
__________________________________，这是__________命题．
15．若“∀x∈R，x2－2x－m>0”是真命题，则实数 m 的取值范围是____________．
16．给出下列四个命题：
①∀x∈R，x2＋2>0；
②∀x∈N，x4≥1；
③∃x∈Z，x3<1；
④∃x∈Q，x2＝3.
其中正确命题的序号为________．
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)
17．(10 分)分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假．
(1)矩形的对角线相等且互相平分；
(2)正偶数不是质数．
18．(12 分)写出由下述各命题构成的“p 或 q”，“p 且 q”，“非 p”形式的命题，并
指出所构成的这些命题的真假．
(1)p：连续的三个整数的乘积能被 2 整除，q：连续的三个整数的乘积能被 3 整除；
(2)p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形．
19.(12 分)已知 ab≠0，求证：a＋b＝1 的充要条件是 a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
20．(12 分)已知二次函数 f(x)＝ax2＋x.对于∀x∈[0,1]，|f(x)|≤1 成立，试求实数 a 的取
值范围．
21.(12 分)下列三个不等式：
①2－x2＋ax－25
4 >1；
②(a－3)x2＋(a－2)x－1>0；
③a>x2＋1
x2.
若其中至多有两个不等式的解集为空集，求实数 a 的取值范围．
22．(12 分)已知命题 p：x1 和 x2 是方程 x2－mx－2＝0 的两个实根，不等式 a2－5a－3≥|x1
－x2|对任意实数 m∈[－1,1]恒成立；命题 q：不等式 ax2＋2x－1>0 有解；若命题 p 是真命题，
命题 q 是假命题，求 a 的取值范围．
第一章 常用逻辑用语(B)
答案
1．D [若 a2＋b2＝0，即 a＝b＝0 时，f(－x)＝(－x)|－x＋0|＋0＝－x|x|＝－f(x)，∴a2
＋b2＝0 是 f(x)为奇函数的充分条件．又若 f(x)为奇函数即 f(－x)＝－x|(－x)＋a|＋b＝－(x|x
＋a|＋b)，则必有 a＝b＝0，即 a2＋b2＝0，∴a2＋b2＝0 是 f(x)为奇函数的必要条件．]
2．B [由 a≥b⇒c>d 可得 c≤d⇒a2，
xy>1，但不满足 q，故选项为 A.]
7．D [由 2x2－5x－3<0，解得－1
20，是全称命题，∴A 不正确；
又∵对全称命题“∀x∈N，x3>x”的否定为“∃x∈N，x3≤x”，∴B 不正确；
又∵f(x)＝sin 2ax，当最小正周期 T＝π时，有 2π
|2a|
＝π，∴|a|＝1 a＝1.
故“a＝1”是“函数 f(x)sin 2ax 的最小正周期为π”的充分不必要条件．]
13．②④
解析 ①A∩B＝A⇒A⊆B 但不能得出 A B，
∴①不正确；
②否命题为：“若 x2＋y2≠0，则 x，y 不全为 0”，是真命题；
③逆命题为：“若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形全等”，是假命题；
④原命题为真，而逆否命题与原命题是两个等价命题，∴逆否命题也为真命题．
14．如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数 假
15．(－∞，－1)
解析 由Δ＝(－2)2－4×(－m)<0，得 m<－1.
16．①③
17．解 (1)逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是矩形(真命题)．
否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等或不互相平分(真命题)．
逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形(真命题)．
(2)逆命题：如果一个正数不是质数，那么这个正数是正偶数(假命题)．
否命题：如果一个正数不是偶数，那么这个数是质数(假命题)．
逆否命题：如果一个正数是质数，那么这个数不是偶数(假命题)．
18．解 (1)p 或 q：连续的三个整数的乘积能被 2 或能被 3 整除．
p 且 q：连续的三个整数的乘积能被 2 且能被 3 整除．
非 p：存在连续的三个整数的乘积不能被 2 整除．
∵连续的三整数中有一个(或两个)是偶数，而另一个是 3 的倍数，
∴p 真，q 真，∴p 或 q 与 p 且 q 均为真，而非 p 为假．
(2)p 或 q：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形．
p 且 q：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形．
非 p：存在对角线互相垂直的四边形不是菱形．
∵p 假 q 假，∴p 或 q 与 p 且 q 均为假，而非 p 为真．
19．证明 充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2
＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)
＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)
∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
又 ab≠0，即 a≠0 且 b≠0，
∴a2－ab＋b2＝ a－b
2 2＋3
4b2>0.
∴a＋b－1＝0，∴a＋b＝1.
必要性：∵a＋b＝1，即 a＋b－1＝0，
∴a3＋b3＋ab－a2－b2
＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
综上可知，当 ab≠0 时，
a＋b＝1 的充要条件是 a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
20．解 |f(x)|≤1⇔－1≤f(x)≤1⇔－1≤ax2＋x≤1，x∈[0,1]． ①
当 x＝0 时，a≠0，①式显然成立；
当 x∈(0,1]时，①式化为－1
x2
－1
x
≤a≤1
x2
－1
x
在 x∈(0,1]上恒成立．
设 t＝1
x
，则 t∈[1，＋∞)，
则有－t2－t≤a≤t2－t，所以只需
a≥－t2－tmax＝－2
a≤t2－tmin＝0
⇒－2≤a≤0，
又 a≠0，故－2≤a<0.
综上，所求实数 a 的取值范围是[－2,0)．
21．解 对于①，2－x2＋ax－25
4 >1，即－x2＋ax－25
4 >0，故 x2－ax＋25
4 <0，Δ＝a2－25，
所以不等式的解集为空集，实数 a 的取值范围是－5≤a≤5.
对于②，当 a＝3 时，不等式的解集为{x|x>1}，不是空集；当 a≠3 时，要使不等式(a
－3)x2＋(a－2)x－1>0 的解集为空集．
则 a－3<0，
a－22＋4a－3≤0，
解得－2 2≤a≤2 2.
对于③，因为 x2＋1
x2
≥2 x2·1
x2
＝2，
当且仅当 x2＝1，即 x＝±1 时取等号．
所以，不等式 a>x2＋1
x2
的解集为空集时，a≤2.
因此，当三个不等式的解集都为空集时，－2 2≤a≤2.
所以要使三个不等式至多有两个不等式的解集为空集，则实数 a 的取值范围是
{a|a<－2 2或 a>2}．
22．解 ∵x1，x2 是方程 x2－mx－2＝0 的两个实根，
则 x1＋x2＝m 且 x1x2＝－2，
∴|x1－x2|＝ x1＋x22－4x1x2＝ m2＋8，
当 m∈[－1,1]时，|x1－x2|max＝3，
由不等式 a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数 m∈[－1,1]恒成立可得：a2－5a－3≥3，
∴a≥6 或 a≤－1.
所以命题 p 为真命题时，a≥6 或 a≤－1.
命题 q：不等式 ax2＋2x－1>0 有解，
当 a>0 时，显然有解；
当 a＝0 时，2x－1>0 有解；
当 a<0 时，∵ax2＋2x－1>0 有解，
∴Δ＝4＋4a>0，∴－10 有解时 a>－1.
又命题 q 为假命题，∴a≤－1.
综上得，若 p 为真命题且 q 为假命题则 a≤－1.
