版高中数学概率正态分布北师大版选修

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*§6　正态分布 第二章　概　率 学习目标 1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线 所表示的意义. 2.了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－ 3σ，μ＋3σ]的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题. 题型探究 知识梳理 内容索引 当堂训练 知识梳理 知识点　正态分布 1.正态分布 正态分布的分布密度函数为：f(x)＝ ， x∈(－∞，＋∞)，其中exp{g(x)}＝eg(x)，μ表示 ，σ2(σ>0)表 示 .通常用X～N(μ，σ2)表示X服从参数为μ和σ2的正态分布. 均值 方差 2.正态分布密度函数满足以下性质 (1)函数图像关于直线 对称. (2)σ(σ>0)的大小决定函数图像的 . (3)随机变量在三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ－σ0)和N(μ2， )(σ2>0)的分布密度 函数图像如图所示，则有 A.μ1<μ2，σ1<σ2 B.μ1<μ2，σ1>σ2 C.μ1>μ2，σ1<σ2 D.μ1>μ2，σ1>σ2 解析 解析　分布密度曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的 连续曲线.当μ一定时，σ越大，曲线的最高点越低且较平缓； 反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭.故选A. 答案 例2　设X～N(1,22)，试求： (1)P(－15). 解　P(X>5)＝P(X<－3)＝ [1－P(－3c＋1)＝P(Xc＋1)＝P(Xa). ②P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a). (2)利用X落在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内 的概率分别是0.683,0.954,0.997求解. 反思与感悟 跟踪训练2　(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8， 则P(0<ξ<2)等于 A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 解析 解析　∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2)， ∴μ＝2，对称轴是x＝2. ∵P(ξ<4)＝0.8， ∴P(ξ>4)＝P(ξ<0)＝0.2， ∴P(0<ξ<4)＝0.6， ∴P(0<ξ<2)＝0.3.故选C. 答案 (2)设X～N(6,1)，求P(490)＝P(X－110>－20)＝P(X－μ>－σ)， ∵P(X－μ<－σ)＋P(－σσ)＝2P(X－μ<－σ)＋0.683＝1， ∴P(X－μ<－σ)＝0.159， ∴P(X>90)＝1－P(X－μ<－σ)＝1－0.159＝0.841. ∴54×0.841≈45(人)，即及格人数约为45. ∵P(X>130)＝P(X－110>20)＝P(X－μ>σ)， ∴P(X－μ<－σ)＋P(－σσ)＝0.683＋2P(X－μ>σ)＝1， ∴P(X－μ>σ)≈0.159，即P(X>130)≈0.159. ∴54×0.159≈8(人)，即130分以上的人数约为8. 解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正 态分布在(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)三个区间内 的概率，在此过程中用到归纳思想和数形结合思想. 反思与感悟 跟踪训练3　有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20,4). 若这批零件共有5 000个，试求： (1)这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比； 解　∵X～N(20,4)， ∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22， ∴尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比大约是68.3%. 解答 (2)若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的 零件大约有多少个？ 解　∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24， ∴尺寸在14～26 mm间的零件所占的百分比大约是99.7%，而尺寸在 16～24 mm间的零件所占的百分比大约是95.4%. ∴尺寸在24～26 mm间的零件所占的百分比大约是 ＝ 2.15%. 因此尺寸在24～26mm间的零件大约有5 000×2.15%≈107(个). 解答 当堂训练 2 3 4 51 1.某市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的分布密度曲线如图所 示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，下列说法中正 确的是 A.甲科总体的方差最小 B.丙科总体的平均数最小 C.乙科总体的方差及平均数都居中 D.甲、乙、丙总体的平均数不相同 √ 答案解析 解析　由正态曲线的性质知，曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线越 矮胖；σ越小，曲线越瘦高，且σ2是方差，故选A. 2.设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，且二次方程x2＋4x＋ξ＝0无实数 根的概率为 ，则μ等于 A.1 B.2 C.4 D.不能确定 2 3 4 51 √ 答案解析 由Δ＝16－4ξ<0，得ξ>4， 3.已知服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.若某校 高一年级1 000名学生的某次考试成绩X服从正态分布N(90,152)，则此次考 试成绩在区间(60,120)内的学生大约有 A.997人 B.972人 C.954人 D.683人 2 3 4 51 答案 √ 解析 解析　依题意可知μ＝90，σ＝15， 故P(60a)， 本课结束