2019届二轮复习函数方程问题的分析学案(全国通用)

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2019届二轮复习函数方程问题的分析学案(全国通用)

第8炼 函数方程问题的分析 一、基础知识:‎ ‎1、函数方程:含有未知函数的等式叫做函数方程,例如:都可称为函数方程。在高中阶段,涉及到函数方程有以下几个类型:‎ ‎(1)表示函数的某种性质:例如体现是偶函数;体现是周期为1的周期函数(可详见“函数对称性与周期性”一节)‎ ‎(2)可利用解方程组的思想解出涉及的函数的解析式:例如:,可用代替得,即 ‎ ‎(3)函数方程也是关于变量的恒等式,所以通过对变量赋特殊值得到某些数的函数值 ‎2、双变量函数方程的赋值方法:‎ ‎(1)对均赋特殊值,以得到某些点的函数值,其中有些函数值会对性质的推导起到关键作用,比如,在赋特殊值的过程中要注意所赋的值要符合函数定义域。‎ ‎(2)其中某一个变量不变,另一个赋特殊值,可得到单变量的恒等式,通常用于推断函数的性质 ‎3、常见函数所符合的函数方程:在填空选择题时可作为特殊的例子辅助处理,但是在解答题中不能用这些特殊的函数代表函数方程 ‎(1): ‎ ‎(2): ‎ ‎(3)① 当时,: ‎ ‎ ②当时,:‎ 二、典型例题 例1:已知函数对任意的均有,且当时,‎ ‎(1)求证:为奇函数 ‎(2)求证:为上的增函数 ‎(1)思路:要证明奇函数,则需要出现在同一等式中,所以考虑令,则有,再通过代入特殊值计算出即可 解:(1)令,则 ‎ 令,则解得 为奇函数 ‎(2)思路:要证明单调递增,则需任取,且,去证明与的大小,结合等式,则需要让与分居等号的两侧,才能进行作差。所以考虑,进而。只需判断的符号即可 解:任取,且,令,代入方程可得:‎ ‎ ,依题意可得:‎ 即 为增函数 小炼有话说:第(2)问将拆分为是本题证明的亮点,达到了让与分居等号的两侧的目的 例2:已知定义在上的函数,对于任意实数都满足,且,当时,‎ ‎(1)求的值 ‎(2)求证:在上是增函数 ‎(3)求不等式:的解集 解:(1)令,则有,解得或 令可得:‎ ‎ ‎ ‎(2)思路:考虑证明单调递增,则需构造出,即可设且令,则有,从而,由和已知条件可得:所以需要证明,即,,可考虑结合题目条件和,令,则有,从而单调性可证 证明:,则令,代入函数方程有:‎ ‎ ,下证 由已知可得,时,所以只需证明时,‎ 令 ‎ ‎ ‎ ‎,即 在上单调递增 ‎(3)思路:本题并没有的解析式,所以考虑利用函数的单调性求解。由(1)(2)问可得,从而,再根据单调性即可得到关于的不等式,解出不等式即可 解: ‎ ‎,且 ‎ 由(2)可得单调递增 解得 例3:定义在的函数满足关系,当时,,若,则的大小关系为( )‎ A. B. C. D. ‎ 思路:由比较函数值大小联想到考虑函数的单调性,先化简,由可得:,令解得:,即,所给方程左边已经作差,所以考虑,,则,因为,所以,从而,即,得到在单调递增,所以 答案:D 小炼有话说:本题在证明单调性时,因为考虑了中自变量的取值,所以只需考虑的单调性,缩小的范围使得判断的范围较容易。但也可将在中任取,但是在判断的范围会比较复杂,可利用不等式的等价变形来证:‎ 假设,因为 ‎ 且 ‎ ‎ 由可得成立,从而 例4:函数的定义域为,满足,在区间 上单调递增,若满足,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ 思路:从所求中发现互为相反数,所以联想到判定是否具有奇偶性。令,则有,需求出:令,则,再令,则,所以,为偶函数。所以,所解不等式为,因为为偶函数,且区间上单调递增,所以自变量距离轴越近,则函数值越小,所以,即,解得,因为,所以的范围为 答案:D 例5:设角的终边在第一象限,函数的定义域为,且,当时,有,则使等式成立的的集合为 ‎ 思路:首先从所求出发,由确定代入的特殊值。令得:,则下一步需要确定的值,令,则有,所以,由角的终边在第一象限可得:,从而的集合为 答案:‎ 例6:定义在上的函数满足:对于任意的,有,且时,有,设的最大值和最小值分别为,则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ 思路:由最值联想到函数的单调性,从而先考虑证明单调,令(其中),则可证明为增函数,从而,再利用函数方程求出的值即可 解:,且,令代入函数方程可得:‎ ‎,‎ ‎ ‎ 在单调递增 ‎ ‎ ‎ 令,可得:‎ 答案:D 例7:已知函数满足:,对任意实数都有,则( )‎ A. B. C. D. ‎ 思路:由所求出发可考虑判断是否具备周期性,令,可得,即,所以,两式相加可得,则可判定的周期为6,由可得:,即,由可得,则 ‎,从而,所以,且 答案:B 例8:已知是定义在上的函数,,且对任意的,都有,那么 ‎__________‎ 思路:函数方程为“和→积”的特点,抓住,可发现令,则,所以可得:自变量间隔,,其函数值的和为0,所以将求和的式子两两一组,即:‎ 答案:‎ 例9:设函数的定义域为,,且对,都有,则的解析式为________‎ 思路:观察到右边的结构并非的轮换对称式,考虑其中一个变量不变,另一个变量赋值为1,则时, ①,时, ②,则求是关键,结合,可令,则,代入到①②可得:‎ ‎,即,消去解得:‎ 答案::‎ 例10:已知函数是定义在上不恒为的函数,且对于任意的实数满足,‎ ‎,,考察下列结论:‎ ‎① ②为奇函数 ③数列为等差数列 ④数列为等比数列,其中正确的个数为( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 思路:考虑按照选项对函数方程中的进行赋值。‎ ‎①计算,令,可得;令,则,所以,①正确 ‎② 使等式中出现,令,则,需要计算出,结合方程可令,则有,即,所以,为奇函数,②正确 ‎③ 从等差数列定义出发,考虑递推公式,因为,所以可得:‎ ‎,从而判定为等差数列,③正确 ‎④若按照等比数列定义,考虑,则不易于进行化简。可由③出发得到的表达式:,所以,即,所以,从而可判定是一个等比数列,④正确 答案:D
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