中考数学第一轮复习特殊四边形

中考数学第一轮复习特殊四边形

一、选择题 ( 每小题 6 分，共 30 分 ) 1. 下列四边形：①正方形、②矩形、③菱形，对角线一定相等的是 ( ) (A)①②③ (B)①② (C)①③ (D)②③ 【 解析 】 选 B. 正方形、矩形的对角线相等 . 2.(2010· 烟台中考 ) 如图，小区的一角有一块形状为等腰梯形的空地，为了美化小区，社区居委会计划在空地上建一个四边形的水池，使水池的四个顶点恰好在梯形各边的中点上，则水池的形状一定是 ( ) (A) 等腰梯形 (B) 矩形 (C) 菱形 (D) 正方形 【 解析 】 选 C. 由中位线定理可得水池的四边分别平行且等于等腰梯形两条对角线的一半，等腰梯形的对角线相等，故水池四边相等，所以是菱形 . 3. 如图，在菱形 ABCD 中，∠ A=110° ， E ， F 分别是边 AB 和 BC 的中点， EP⊥CD 于点 P ，则∠ FPC=( ) (A)35° (B)45° (C)50° (D)55° 【 解析 】 选 D. 延长 PF 交 AB 的延长线于 G, 由 AB∥CD 得∠ GBF=∠C 又因为 BF=FC,∠BFG=∠PFC, ∴△GBF≌△PCF,∴GF=PF. ∵∠GEP=90°,∴EF=FP ， ∴∠ FEP=∠FPE, ∴∠FPC=∠BEF=55°. 4 ．如图，正方形 ABCD 内有两条相交线段 MN 、 EF ， M 、 N 、 E 、 F 分别在边 AB 、 CD 、 AD 、 BC 上．小明认为：若 MN=EF ，则 MN⊥EF ；小亮认为 : 若 MN⊥EF ，则 MN=EF ．你认为 ( ) (A) 仅小明对 (B) 仅小亮对 (C) 两人都对 (D) 两人都不对 【 解析 】 选 C. 作 AG∥EF 交 BC 于 G, 作 BH∥MN 交 CD 于 H, ∵EF=MN,∴AG=BH, ∴Rt△AGB≌Rt△BHC,∴∠BAG=∠CBH. ∵∠CBH+∠ABH=90°, ∴∠BAG+∠ABH=90°, ∴MN⊥EF. 反之也成立 . 5.(2010· 台州中考 ) 如图，矩形 ABCD 中， AB ＞ AD ， AB=a ， AN 平分∠ DAB ， DM⊥AN 于 点 M ， CN⊥AN 于点 N. 则 DM+CN 的值为 ( 用含 a 的代数式表示 )( ) 【 解析 】 选 C. 设 AN 交 DC 于点 P ，由于 AN 平分∠ DAB ， DM⊥AN ， 则△ ADP 和△ CNP 是等腰直角三角形 , 又 DM 垂直 AP ，所以 DM= DP ， NC= CP ，则 DM+CN= DP+ CP= (DP+CP)= CD, 因为 CD=AB=a ，故 DM+CN= a. 二、填空题 ( 每小题 6 分，共 24 分 ) 6.(2010· 河北中考 ) 矩形 ABCD 的顶点 A ， B 在数轴上， CD=6 ，点 A 对应的数为 -1 ，则点 B 所对应的数为 _____. 【 解析 】 ∵ 矩形 ABCD ，∴ AB=CD=6,∴B 所对应的数是 5. 答案： 5 7. 如图，菱形 ABCD 的周长为 8 ，高 AE 平分 BC, 菱形的面积为 _____ ． 【 解析 】 菱形 ABCD 的周长为 8 ，高 AE 平分 BC. ∵AB=AC=BC=2 ， ∴ AE= ， ∴菱形的面积为 . 答案： 8. 已知一个四边形的对角线互相垂直，那么顺次连结这个四边形的四边中点所得的四边形是 _____ ． 【 解析 】 四边形的对角线互相垂直 , 那么中点四边形的一组邻边互相垂直，所以中点四边形是矩形 . 答案： 矩形 9. 如图，在矩形 ABCD 中， AB=3 ， AD=4 ， P 是 AD 上的动点， PE⊥AC 于 E ， PF⊥BD 于 F ，则 PE+PF 的值为 _____. 【 解析 】 取特殊位置， P 在 A 的位置时， PE+PF 就等于△ ABD 中 BD 边上的高 h ， 由 AB · AD= · BD · h 得 h=2.4. 答案： 2.4 三、解答题 ( 共 46 分 ) 10.(10 分 ) 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 交于点 O ， BE⊥DE 于点 E ， OF⊥DE 于 F ， BE=10 ，求 OF 的长 . 【 解析 】 ∵BD 是矩形 ABCD 的对角线，∴ OB=OD ， ∵ BE⊥DE ， OF⊥DE ，∴ BE∥OF, ∴OF 为△ DBE 的中位线，∴ OF= BE=5. 11.(12 分 )(2010· 青岛中考 ) 已知：如图，在正方形 ABCD 中，点 E 、 F 分别在 BC 和 CD 上， AE=AF. (1) 求证： BE=DF ； (2) 连接 AC 交 EF 于点 O ，延长 OC 至点 M ， 使 OM=OA ，连接 EM 、 FM. 判断四边形 AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论 . 【 解析 】 (1)∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB ＝ AD,∠B=∠D=90°. ∵AE=AF ， ∴ Rt△ABE≌Rt△ADF. ∴BE ＝ DF. (2) 四边形 AEMF 是菱形 . 证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ BCA=∠DCA=45° ， BC=DC. ∵BE ＝ DF ， ∴ BC-BE=DC-DF ，即 CE=CF. ∴OE=OF ， ∵ OM=OA ， ∴四边形 AEMF 是平行四边形 . ∵AE=AF ， ∴平行四边形 AEMF 是菱形 . 12.(12 分 )(2010· 宁波中考 ) 如图 1 ，有一张菱形纸片 ABCD ， AC ＝ 8 ， BD ＝ 6. (1) 请沿着 AC 剪一刀，把它分成两部分， 把剪开的两部分分拼成一个平行四边形， 在图 2 中用实线画出你所拼成的平行四边 形；若沿着 BD 剪开，请在图 3 中用实线画出拼成的平行四边形；并直接写出这两个平行四边形的周长 . (2) 沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在图 4 中用实线画出拼成的平行四边形 . ( 注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等 ) 【 解析 】 13.(12 分 ) 如图 1 ，在正方形 ABCD 中， E 是 AB 上一点， F 是 AD 延长线上一点，且 DF ＝ BE ． (1) 求证： CE ＝ CF ； (2) 在图 1 中，若 G 在 AD 上，且∠ GCE ＝ 45° ，则 GE ＝ BE ＋ GD 成立吗？为什么？ (3) 运用 (1)(2) 解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图 2 ，在直角梯形 ABCD 中， AD∥BC(BC ＞ AD) ，∠ B ＝ 90° ， AB ＝ BC ＝ 12 ， E 是 AB 上一点，且∠ DCE ＝ 45° ， BE ＝ 4 ，求 DE 的长． 【 解析 】 (1) 在正方形 ABCD 中， ∵ BC ＝ CD ，∠ B ＝∠ CDF ， BE ＝ DF ， ∴△ CBE ≌△CDF ．∴ CE ＝ CF ． (2)GE ＝ BE ＋ GD 成立． 理由是：∵△ CBE ≌△CDF ，∴∠ BCE ＝∠ DCF ． ∴∠ BCE ＋∠ ECD ＝∠ DCF ＋∠ ECD 即∠ ECF ＝∠ BCD ＝ 90° ， 又∠ GCE ＝ 45° ，∴∠ GCF ＝∠ GCE ＝ 45° ． ∵ CE ＝ CF ，∠ GCE ＝∠ GCF ， GC ＝ GC ，∴△ ECG≌△FCG ．∴ GE ＝ GF ．∴ GE ＝ DF ＋ GD ＝ BE ＋ GD ． (3) 过 C 作 CG⊥AD ，交 AD 延长线于 G ． 在直角梯形 ABCD 中， ∵ AD∥BC ，∴∠ A ＝∠ B ＝ 90° ， 又∠ CGA ＝ 90° ， AB ＝ BC ， ∴四边形 ABCD 为正方形．∴ AG ＝ BC ＝ 12 ． 已知∠ DCE ＝ 45° ， 根据 (1)(2) 可知， ED ＝ BE ＋ DG ． 设 DE ＝ x ，则 DG ＝ x － 4 ，∴ AD ＝ 16 － x ． 在 Rt△AED 中，∵ DE 2 =AD 2 +AE 2 ， 即 x 2 =(16-x) 2 +8 2 ． 解这个方程，得 x ＝ 10 ．∴ DE ＝ 10 ．