【数学】2020届一轮复习新课改省份专用版4-8解三角形的实际应用作业

【数学】2020届一轮复习新课改省份专用版4-8解三角形的实际应用作业

课时跟踪检测(二十八)　解三角形的实际应用 一、题点全面练 ‎1.如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)‎ A．北偏东10°　　　　　　 B．北偏西10°‎ C．南偏东80° D．南偏西80°‎ 解析：选D　由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.‎ ‎2．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于(　　)‎ A．240(－1)m B．180(－1)m C．120(－1)m D．30(＋1)m 解析：选C　∵tan 15°＝tan(60°－45°)＝＝2－，∴BC＝60tan 60°－60tan 15°＝120(－1)(m)．‎ ‎3．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是(　　)‎ A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m 解析：选A　作出示意图如图所示，设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在Rt△BCD中，BC＝h，在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.‎ ‎4．地面上有两座相距120 m的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为，且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为(　　)‎ A．50 m,100 m B．40 m,90 m C．40 m,50 m D．30 m,40 m 解析：选B　设高塔高H m，矮塔高h m，在O点望高塔塔顶的仰角为β.‎ 则tan α＝，tan＝，‎ 根据三角函数的倍角公式有＝.①‎ 因为在两塔底连线的中点O望两塔塔顶的仰角互为余角，所以在O点望矮塔塔顶的仰角为－β，‎ 由tan β＝，tan＝，‎ 得＝.②‎ 联立①②解得H＝90，h＝40.‎ 即两座塔的高度分别为40 m,90 m.‎ ‎5.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min，则该扇形的半径的长度为(　　)‎ A．50 m B．50 m C．50 m D．50 m 解析：选B　设该扇形的半径为r(m)，连接CO，如图所示．‎ 由题意，得CD＝150(m)，OD＝100(m)，∠CDO＝60°，‎ 在△CDO中，由余弦定理，得CD2＋OD2－2CD·OD·cos 60°＝OC2，‎ 即1502＋1002－2×150×100×＝r2，‎ 解得r＝50(m)．‎ ‎6.如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为________m.‎ 解析：在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，由正弦定理得＝，即＝，解得AC＝600.‎ 在△ACD中，∵tan∠DAC＝＝，‎ ‎∴DC＝600×＝600.‎ 答案：600 ‎7.如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C.测量得到：CD＝2，CE＝2，∠D＝45°，∠ACD＝105°，∠ACB＝48.19°，∠BCE＝75°，∠E＝60°，则A，B两点之间的距离为______. 解析：依题意知，在△ACD中，∠DAC＝30°，由正弦定理得AC＝＝2，在△BCE中，∠CBE＝45°，由正弦定理得BC＝＝3.在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝10，解得AB＝.‎ 答案： ‎8.如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50 m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cos θ＝________.‎ 解析：由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°，可得∠DBA＝135°，∠ADB＝30°.‎ 在△ABD中，根据正弦定理可得＝，‎ 即＝，‎ 所以BD＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°)＝25(－)．‎ 在△BCD中，由正弦定理得＝，‎ 即＝，‎ 解得sin∠BCD＝－1.‎ 所以cos θ＝cos(∠BCD－90°)＝sin∠BCD＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎9．如图所示，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，B，C两点到点A的距离分别为20 km和50 km.某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s后A，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5 km/s.‎ ‎(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；‎ ‎(2)求静止目标P到海防警戒线AC的距离．‎ 解：(1)依题意，有PA＝PC＝x，‎ PB＝x－1.5×8＝x－12.‎ 在△PAB中，AB＝20，cos∠PAB＝＝＝.‎ 同理，在△PAC中，AC＝50，‎ cos∠PAC＝＝＝.‎ 因为cos∠PAB＝cos∠PAC，‎ 所以＝，解得x＝31.‎ ‎(2)作PD⊥AC于点D(图略)，在△ADP中，‎ 由cos∠PAD＝，‎ 得sin∠PAD＝＝，‎ 所以PD＝PAsin∠PAD＝31×＝4(km)．‎ 故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4 km.‎ ‎10.已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一座发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝100 m和BN＝200 m，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100 m后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．‎ 解：在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，∴PM＝100.‎ 连接QM(图略)，在△PQM中，∠QPM＝60°，PQ＝100，‎ ‎∴△PQM为等边三角形，∴QM＝100.‎ 在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.‎ 在Rt△BNQ中，tan θ＝2，BN＝200，‎ ‎∴BQ＝100，cos θ＝.‎ 在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQ·cos θ ‎＝(100)2，‎ ‎∴BA＝100.‎ 即两发射塔顶A，B之间的距离是100 m.‎ 二、专项培优练 ‎(一)易错专练——不丢怨枉分 ‎1．一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°，距灯塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则此船航行的速度为________n mile/h.‎ 解析：如图，由题意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°.‎ 在△PMN中，＝，‎ ‎∴MN＝68×＝34 n mile.‎ 又由M到N所用的时间为14－10＝4小时，‎ ‎∴此船的航行速度v＝＝ n mile/h.‎ 答案： ‎2.如图，一位同学从P1处观测塔顶B及旗杆顶A，得仰角分别为α和90°－α.后退l m至点P2处再观测塔顶B，仰角变为原来的一半，设塔CB和旗杆BA都垂直于地面，且C，P1，P2三点在同一条水平线上，则塔BC的高为________m；旗杆BA的高为________m．(用含有l和α的式子表示)‎ 解析：在Rt△BCP1中，∠BP1C＝α，‎ 在Rt△P2BC中，∠P2＝.‎ ‎∵∠BP1C＝∠P1BP2＋∠P2，‎ ‎∴∠P1BP2＝，即△P1BP2为等腰三角形，BP1＝P1P2＝l，‎ ‎∴BC＝lsin α.‎ 在Rt△ACP1中，＝＝tan(90°－α)，∴AC＝，则BA＝AC－BC＝－lsin α＝＝.‎ 答案：lsin α　 ‎(二)素养专练——学会更学通 ‎3.[直观想象、数学建模]为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”‎ 气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测．如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°.在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒．在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°(已知声音的传播速度为340米/秒)．‎ ‎(1)求A，C两地的距离；‎ ‎(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC.‎ 解：(1)由题意，设AC＝x，因为在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒，‎ 所以BC＝x－×340＝x－40，‎ 在△ABC内，由余弦定理得BC2＝AC2＋BA2－2BA·AC·cos∠BAC，‎ 即(x－40)2＝x2＋10 000－100x，解得x＝420.‎ 故A，C两地的距离为420米．‎ ‎(2)在Rt△ACH中，AC＝420，∠CAH＝30°，‎ 所以CH＝AC·tan∠CAH＝140米．‎ 故该仪器的垂直弹射高度CH为140米．‎ ‎4.[数学建模]如图所示，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划要在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．记∠AMN＝θ.‎ ‎(1)将AN，AM用含θ的关系式表示出来；‎ ‎(2)如何设计(即AN，AM为多长时)，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP最大)?‎ 解：(1)∠AMN＝θ，‎ 在△AMN中，由正弦定理，得＝＝，‎ 所以AN＝sin θ，AM＝sin(120°－θ)．‎ ‎(2)在△APM中，由余弦定理，‎ 得AP2＝AM2＋PM2－2AM·PM·cos∠AMP ‎＝sin2(θ＋60°)＋4－sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)‎ ‎＝[1－cos(2θ＋120°)]－sin(2θ＋120°)＋4‎ ‎＝－[sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋ ‎＝－sin(2θ＋150°)，0°＜θ＜120°(其中利用诱导公式可知sin(120°－θ)＝sin(θ＋60°))，‎ 当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时AN＝AM＝2千米．‎