广东高考理科数学试题及参考答案

广东高考理科数学试题及参考答案

‎2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）‎ ‎（数学理科）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则 A. B. C. D.‎ ‎2．已知复数Z满足，则Z=‎ A. B. 　 C. D.‎ ‎3．若变量满足约束条件的最大值和最小值分别为和，则 A.8 B‎.7 ‎ C.6 D.5‎ ‎4．若实数k满足，则曲线与曲线的 A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等 D.焦距相等 ‎5．已知向量，则下列向量中与成夹角的是 A.（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）‎ ‎6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是 小学 初中 ‎30‎ 高中 ‎10‎ 年级 ‎50‎ O 近视率/%‎ 小学生 ‎3500名 初中生 ‎4500名 高中生 ‎2000名 A.200,20 B.100,‎20 ‎ C.200,10 D.100，10‎ ‎7．若空间中四条两两不同的直线，满足，则下面结论一定正确的是 A. B. C.既不垂直也不平行 D.的位置关系不确定 ‎8．设集合，那么集合A中满足条件“”的元素个数为 A.60 B‎.90 ‎ C.120 D.130‎ 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．‎ ‎（一）必做题（9～13题）‎ ‎9．不等式的解集为 。‎ ‎10．曲线在点处的切线方程为 。‎ ‎11．从0,1,2,3,4,5,6,7,8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 。‎ ‎12．在中，角所对应的边分别为，已知，‎ 则 。 ‎ ‎13．若等比数列的各项均为正数，且，‎ 则 。‎ ‎（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）‎ ‎14（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线和的方程分别为和，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线和交点的直角坐标为_________.‎ C E A B F D ‎15.（几何证明选讲选做题）如图3,在平行四边形中，‎ 点在上且，与交于点，‎ 则 ‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16、（12分）已知函数，且，‎ ‎ （1）求的值；‎ ‎ （2）若，，求。‎ ‎17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，39，36.‎ 根据上述数据得到样本的频率分布表如下：‎ 分组 频数 频率 ‎ ‎[25,30 ] 3 0.12‎ ‎[30,35 ] 5 0.20‎ ‎[35,40 ] 8 0.32‎ ‎[40,45 ] n‎1 f1 ‎ ‎[45,50 ] n‎2 f2‎ ‎（1）确定样本频率分布表中和的值；‎ ‎（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；‎ ‎（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率。‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ 如图4，四边形为正方形，平面，，于点，，交于点.‎ ‎（1）证明：‎ ‎（2）求二面角的余弦值。‎ ‎19.设数列的前和为,满足，且。‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求数列的通项公式;‎ ‎20.已知椭圆的一个焦点为，离心率为，‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。‎ ‎21．设函数，其中。‎ ‎（1）求函数的定义域（用区间表示）；‎ ‎（2）讨论函数在上的单调性；‎ ‎（3）若，求上满足条件的的集合（用区间表示）。‎ ‎2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）‎ 数学（理科）参考答案 ‎ ‎１－８：BACD BADD;‎ ‎８.解：A中元素为有序数组，题中要求有序数组的5个数中仅1个数为、仅2个数为或仅3个数为，所以共有个不同数组；‎ ‎9.; 10.; 11.; 12.2; 13.50; 14.(1,1); 15.9;‎ ‎11.解：6之前6个数中取3个，6之后3个数中取3个，；‎ ‎16.解：（1），‎ ‎，；‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎，，又，‎ ‎， ‎ ‎．‎ ‎17. 解：（1），；‎ ‎（2）样本频率分布直方图为 日加工零件数 频率 组距 ‎0.016‎ ‎0.024‎ ‎0.04‎ ‎0.056‎ ‎0.064‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎40‎ ‎45‎ ‎50‎ ‎0‎ ‎（3）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率0.2，‎ 设所取的4人中，日加工零件数落在区间（30,35］的人数为，则，‎ ‎，‎ 所以4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率约为0.5904．‎ ‎18.（１）平面，‎ ‎，又，，‎ 平面，‎ ‎，又，‎ 平面，即；‎ ‎（２）设，则中，，又，‎ A B C D E F P x y z ‎，，由（１）知 ‎，，‎ ‎，又，‎ ‎，，同理，‎ 如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则，‎ ‎，，，，‎ 设是平面的法向量，则，又，‎ 所以，令，得，，‎ 由（１）知平面的一个法向量，‎ 设二面角的平面角为，可知为锐角，‎ ‎，即所求．‎ ‎19.解：，，又，‎ ‎，，又，‎ ‎，，‎ 综上知，，；‎ ‎（２）由（１）猜想，下面用数学归纳法证明．‎ ‎①当时，结论显然成立；‎ ‎②假设当（）时，，‎ 则，又，‎ ‎，解得，‎ ‎，即当时，结论成立；‎ 由①②知，．‎ ‎20.解：（１）可知，又，，，‎ 椭圆C的标准方程为；‎ ‎（２）设两切线为，‎ ‎①当轴或轴时，对应轴或轴，可知；‎ ‎②当与轴不垂直且不平行时，，设的斜率为，则，的斜率为，‎ 的方程为，联立，‎ 得，‎ 因为直线与椭圆相切，所以，得，‎ ‎，‎ 所以是方程的一个根，‎ 同理是方程的另一个根，‎ ‎，得，其中，‎ 所以点P的轨迹方程为（），‎ 因为满足上式，综上知：点P的轨迹方程为．‎ ‎21.解：（１）可知，‎ ‎，‎ 或，‎ 或，‎ 或，‎ 或或，‎ 所以函数的定义域D为 ‎；‎ ‎（２），‎ 由得，即，‎ 或，结合定义域知或，‎ 所以函数的单调递增区间为，，‎ 同理递减区间为，；‎ ‎（３）由得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 或或或，‎ ‎，，，‎ ‎，，‎ 结合函数的单调性知的解集为 ‎．‎