广东省汕头市金平区中考数学一模试卷含答案解析

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广东省汕头市金平区中考数学一模试卷含答案解析

‎2016年广东省汕头市金平区中考数学一模试卷 ‎ ‎ 一、相信你,都能选择对!四个选项中只有一个是正确的.(本大题10小题,每题3分,共30分)‎ ‎1.在﹣1,0,2,四个数中,最大的数是(  )‎ A.﹣1 B.0 C.2 D.‎ ‎2.地球的表面积约为510000000km2,将510000000用科学记数法表示为(  )‎ A.0.51×109 B.5.1×109 C.5.1×108 D.0.51×107‎ ‎3.下列图案中既是中心对称图形,又是轴对称图形的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.下列运算中,结果是a6的式子是(  )‎ A.(a3)3 B.a12﹣a6 C.a2•a3 D.(﹣a)6‎ ‎5.一个多边形的每个内角均为120°,则这个多边形是(  )‎ A.七边形 B.六边形 C.五边形 D.四边形 ‎6.在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球,这些球除颜色外其余完全相同,摇匀后随机摸出一个,摸到红球的概率是,则n的值为(  )‎ A.10 B.8 C.5 D.3‎ ‎7.若△ABC与△DEF相似,相似比为2:3,则这两个三角形的面积比为(  )‎ A.2:3 B.3:2 C.4:9 D.9:4‎ ‎8.如图,平行四边形ABCD的周长为20,AE平分∠BAD,若CE=2,则AB的长度是(  )‎ A.10 B.8 C.6 D.4‎ ‎9.若一元二次方程x2+2x+a=0有实数根,则a的取值范围是(  )‎ A.a≤1 B.a≤4 C.a<1 D.a≥1‎ ‎10.如图,直线y=﹣x+2与y轴交于点A,与反比例函数y=(k≠0)的图象交于点C,过点C作CB⊥x轴于点B,AO=2BO,则反比例函数的解析式为(  )‎ A.y= B.y=﹣ C.y= D.y=﹣‎ ‎ ‎ 二.填空题(本大题6小题,每小题4分,共24分)‎ ‎11.在函数y=中,自变量x的取值范围是      .‎ ‎12.如图,自行车的三角形支架,这是利用三角形具有性      .‎ ‎13.因式分解:x3﹣xy2=      .‎ ‎14.如图.将正方形纸片ABCD折叠,使边AB、CB均落在对角线BD上,得折痕BE、BF,则∠EBF的大小为      .‎ ‎15.有一列具有规律的数字:,,,,…则这列数字第10个数为      .‎ ‎16.如图,腰长为3的等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°,则图中阴影部分的面积为      .‎ ‎ ‎ 三.解答题(一)(本大题3小题,每题6分,共18分)‎ ‎17.计算:()﹣2﹣|﹣1|﹣()0+2cos60°.‎ ‎18.先化简,再求值:(x+1)2+x(x﹣2),其中x=.‎ ‎19.已知:在△ABC中,AB=AC.‎ ‎(1)尺规作图:作△ABC的角平分线AD,延长AD至E点,使得DE=AD;(不要求写作法,保留作图痕迹)‎ ‎(2)在(1)的条件下,连接BE,CE,求证:四边形ABEC是菱形.‎ ‎ ‎ 四.解答题(二)(本大题3小题,每小题7分,共21分)‎ ‎20.如图,一条光纤线路从A地到B地需要经过C地,图中AC=40千米,‎ ‎∠CAB=30°,∠CBA=45°,因线路整改需要,将从A地到B地之间铺设一条笔直的光纤线路.‎ ‎(1)求新铺设的光纤线路AB的长度;(结果保留根号)‎ ‎(2)问整改后从A地到B地的光纤线路比原来缩短了多少千米?(结果保留根号)‎ ‎21.某超市用5 000元购进一批新品种的苹果进行试销,由于销售状况良好,超市又调拨11 000元资金购进该品种苹果,但这次的进货价比试销时每千克多了0.5元,购进苹果数量是试销时的2倍.‎ ‎(1)试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元?‎ ‎(2)如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价出售,当大部分苹果售出后,余下的苹果定价为4元,超市在这两次苹果销售中的盈利不低于4 100元,那么余下的苹果最多多少千克?‎ ‎22.某学校为了增强学生体质,决定开设以下体育课外活动项目:A.篮球 B.乒乓球C.羽毛球 D.足球,为了解学生最喜欢哪一种活动项目,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图,请回答下列问题:‎ ‎(1)这次被调查的学生共有      人;‎ ‎(2)请你将条形统计图(2)补充完整;‎ ‎(3)在平时的乒乓球项目训练中,甲、乙、丙、丁四人表现优秀,现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛,求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答)‎ ‎ ‎ 五.解答题(三)(本大题3小题,每小题9分,共27分)‎ ‎23.如图,抛物线y=﹣x2+3x+4交x轴于A、B两点(点A在B左边),交y轴于点C.‎ ‎(1)求A、B两点的坐标;‎ ‎(2)求直线BC的函数关系式;‎ ‎(3)点P在抛物线的对称轴上,连接PB,PC,若△PBC的面积为4,求点P的坐标.‎ ‎24.如图,AB切⊙O于点B,AD交⊙O于点C和点D,点E为的中点,连接OE交CD于点F,连接BE交CD于点G.‎ ‎(1)求证:AB=AG;‎ ‎(2)若DG=DE,求证:GB2=GC•GA;‎ ‎(3)在(2)的条件下,若tanD=,EG=,求⊙O的半径.‎ ‎25.有一副直角三角板,在三角板ABC中,∠BAC=90°,∠C=60°,AB=6,在三角板DEF中,∠FDE=90°,∠E=45°,EF=6.将这副直角三角板按如图1所示位置摆放,点A与点F重合,点E、F、A、C在同一条直线上.现固定三角板ABC,将三角板DEF以每秒1个单位的速度沿边AC匀速运动,DF与AB相交于点M.‎ ‎(1)如图2,连接ME,若∠EMA=67.5°,求证:△DEM≌△AEM;‎ ‎(2)如图3,在三角板DEF移动的同时,点N从点C出发,以每秒2个单位长度的速度沿CB向点B匀速移动,当三角板DEF的顶点D移动到AB边上时,三角板DEF停止移动,点N也随之停止移动.连接FN,设四边形AFNB的面积为y,在三角板DEF运动过程中,y存在最小值,请求出y的最小值;‎ ‎(3)在(2)的条件下,在三角板DEF运动过程中,是否存在某时刻,使E、M、N三点共线,若存在,请直接写出此时AF的长;若不存在,请直接回答.‎ ‎ ‎ ‎2016年广东省汕头市金平区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、相信你,都能选择对!四个选项中只有一个是正确的.(本大题10小题,每题3分,共30分)‎ ‎1.在﹣1,0,2,四个数中,最大的数是(  )‎ A.﹣1 B.0 C.2 D.‎ ‎【分析】正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小,据此判断即可.‎ ‎【解答】解:根据实数比较大小的方法,可得 ‎﹣1<0<<2,‎ 故在﹣1,0,2,四个数中,最大的数是2.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:正实数>0>负实数,两个负实数绝对值大的反而小.‎ ‎ ‎ ‎2.地球的表面积约为510000000km2,将510000000用科学记数法表示为(  )‎ A.0.51×109 B.5.1×109 C.5.1×108 D.0.51×107‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值是易错点,由于510000000有9位,所以可以确定n=9﹣1=8.‎ ‎【解答】解:510 000 000=5.1×108.‎ 故选C.‎ ‎【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法,准确确定a与n值是关键.‎ ‎ ‎ ‎3.下列图案中既是中心对称图形,又是轴对称图形的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.‎ ‎【解答】解:A、是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项正确;‎ B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;‎ C、不是轴对称图形,因为找不到任何这样的一条直线,沿这条直线对折后它的两部分能够重合;即不满足轴对称图形的定义,是中心对称图形,故此选项错误;‎ D、是轴对称图形,不是中心对称图形,因为找不到任何这样的一点,旋转180度后它的两部分能够重合;即不满足中心对称图形的定义,故此选项错误.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.‎ ‎ ‎ ‎4.下列运算中,结果是a6的式子是(  )‎ A.(a3)3 B.a12﹣a6 C.a2•a3 D.(﹣a)6‎ ‎【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项和积的乘方进行计算即可.‎ ‎【解答】解:A、(a3)3=a9,故此选项错误;‎ B、不能合并,故此选项错误;‎ C、a2•a3=a5,故此选项错误;‎ D、(﹣a)6=a6,故此选项正确;‎ 故选D.‎ ‎【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方,掌握运算法则是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎5.一个多边形的每个内角均为120°,则这个多边形是(  )‎ A.七边形 B.六边形 C.五边形 D.四边形 ‎【分析】一个多边形的每个内角都相等,根据内角与外角互为邻补角,因而就可以求出外角的度数.根据任何多边形的外角和都是360度,利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数,即多边形的边数.‎ ‎【解答】解:外角是180°﹣120°=60°,‎ ‎360÷60=6,则这个多边形是六边形.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】考查了多边形内角与外角,根据外角和的大小与多边形的边数无关,由外角和求正多边形的边数,是常见的题目,需要熟练掌握.‎ ‎ ‎ ‎6.在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球,这些球除颜色外其余完全相同,摇匀后随机摸出一个,摸到红球的概率是,则n的值为(  )‎ A.10 B.8 C.5 D.3‎ ‎【分析】根据红球的概率结合概率公式列出关于n的方程,求出n的值即可.‎ ‎【解答】解:∵在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球,这些球除颜色外其余完全相同,摇匀后随机摸出一个,摸到红球的概率是,‎ ‎∴=,‎ 解得n=8.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.‎ ‎ ‎ ‎7.若△ABC与△DEF相似,相似比为2:3,则这两个三角形的面积比为(  )‎ A.2:3 B.3:2 C.4:9 D.9:4‎ ‎【分析】由△ABC与△DEF相似,相似比为2:3,根据相似三角形的性质,即可求得答案.‎ ‎【解答】解:∵△ABC与△DEF相似,相似比为2:3,‎ ‎∴这两个三角形的面积比为4:9.‎ 故选C.‎ ‎【点评】此题考查了相似三角形的性质.注意相似三角形的面积比等于相似比的平方.‎ ‎ ‎ ‎8.如图,平行四边形ABCD的周长为20,AE平分∠BAD,若CE=2,则AB的长度是(  )‎ A.10 B.8 C.6 D.4‎ ‎【分析】根据平行四边形的性质得出AB=CD,AD=BC,AD∥BC,推出∠DAE=∠BAE,求出∠BAE=∠AEB,推出AB=BE,设AB=CD=x,则AD=BC=x+2得出方程x+x+2=10,求出方程的解即可.‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AB=CD,AD=BC,AD∥BC,‎ ‎∴∠DAE=∠BAE,‎ ‎∵AE平分∠BAD,‎ ‎∴∠DAE=∠BAE,‎ ‎∴∠BAE=∠AEB,‎ ‎∴AB=BE,‎ 设AB=CD=x,则AD=BC=x+2‎ ‎∵▱ABCD的周长为20,‎ ‎∴x+x+2=10,‎ 解得:x=4,‎ 即AB=4,‎ 故选D.‎ ‎【点评】本题考查了平行四边形的在,平行线的性质,等腰三角形的判定的应用,解此题的关键是能推出AB=BE,题目比较好,难度适中.‎ ‎ ‎ ‎9.若一元二次方程x2+2x+a=0有实数根,则a的取值范围是(  )‎ A.a≤1 B.a≤4 C.a<1 D.a≥1‎ ‎【分析】首先得出根的判别式△=b2﹣4ac=4﹣4a≥0,进一步求得不等式的解集得出答案即可.‎ ‎【解答】解:∵一元二次方程x2+2x+a=0有实数根,‎ ‎∴△≥0,即△=4﹣4a≥0,‎ ‎∴a≤1.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)根的判别式.当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.‎ ‎ ‎ ‎10.如图,直线y=﹣x+2与y轴交于点A,与反比例函数y=(k≠0)的图象交于点C,过点C作CB⊥x轴于点B,AO=2BO,则反比例函数的解析式为(  )‎ A.y= B.y=﹣ C.y= D.y=﹣‎ ‎【分析】先求出点A的坐标,然后表示出AO、BO的长度,根据AO=2BO,求出点C的横坐标,代入直线解析式求出纵坐标,用待定系数法求出反比例函数解析式.‎ ‎【解答】解:∵直线y=﹣x+2与y轴交于点A,‎ ‎∴A(0,2),即OA=2,‎ ‎∵AO=2BO,‎ ‎∴OB=1,‎ ‎∴点C的横坐标为﹣1,‎ ‎∵点C在直线y=﹣x+2上,‎ ‎∴点C(﹣1,3),‎ ‎∴反比例函数的解析式为:y=﹣.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题,根据题意确定点C的横坐标并求出纵坐标是解题的关键.‎ ‎ ‎ 二.填空题(本大题6小题,每小题4分,共24分)‎ ‎11.在函数y=中,自变量x的取值范围是 x≥﹣ .‎ ‎【分析】当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数,即2x+1≥0.‎ ‎【解答】解:依题意,得2x+1≥0,‎ 解得x≥﹣.‎ ‎【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑:‎ ‎(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;‎ ‎(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;‎ ‎(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数.‎ ‎ ‎ ‎12.如图,自行车的三角形支架,这是利用三角形具有性 稳定 .‎ ‎【分析】根据三角形具有稳定性解答.‎ ‎【解答】解:自行车的三角形车架,这是利用了三角形的稳定性.‎ 故答案为:稳定性.‎ ‎【点评】本题考查了三角形的稳定性,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎13.因式分解:x3﹣xy2= x(x﹣y)(x+y) .‎ ‎【分析】先提取公因式x,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.‎ ‎【解答】解:x3﹣xy2‎ ‎=x(x2﹣y2)‎ ‎=x(x﹣y)(x+y).‎ 故答案为:x(x﹣y)(x+y).‎ ‎【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.‎ ‎ ‎ ‎14.如图.将正方形纸片ABCD折叠,使边AB、CB均落在对角线BD上,得折痕BE、BF,则∠EBF的大小为 45° .‎ ‎【分析】首先根据正方形的性质可得∠1+∠2+∠3+∠4=∠ABC=90°,再根据折叠可得∠1=∠2=∠ABD,∠3=∠4=∠DBC,进而可得∠2+∠3=45°,即∠EBF=45°.‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠ABC=90°,‎ 根据折叠可得∠1=∠2=∠ABD,∠3=∠4=∠DBC,‎ ‎∵∠1+∠2+∠3+∠4=∠ABC=90°,‎ ‎∴∠2+∠3=45°,‎ 即∠EBF=45°,‎ 故答案为:45°.‎ ‎【点评】此题主要考查了图形的翻折变换,关键是找准图形翻折后,哪些角是相等的.‎ ‎ ‎ ‎15.有一列具有规律的数字:,,,,…则这列数字第10个数为  .‎ ‎【分析】由=, =, =, =,…找到规律即可解决问题.‎ ‎【解答】解:∵ =, =, =, =,…‎ 根据此规律第10个数为: =.‎ 故答案为.‎ ‎【点评】本题考查规律型:数字的变化类,解题的关键是掌握从一般到特殊的探究方法,找到规律,属于中考常考题型.‎ ‎ ‎ ‎16.如图,腰长为3的等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°,则图中阴影部分的面积为 ﹣ .‎ ‎【分析】由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAC=45°,∠BAB′=15°,AB′=AB=3,∠B′=∠B=90°,得出∠B′AD=30°,由三角函数求出B′D,求出△AB′D的面积,阴影部分的面积=△AB′C′的面积﹣△AB′D的面积,即可得出结果.‎ ‎【解答】解:如图所示:‎ ‎∵将直角边长为3cm的等腰Rt△ABC绕点A逆时针旋转15°得到△AB′C′,‎ ‎∴∠BAC=45°,∠BAB′=15°,AB′=AB=3,∠B′=∠B=90°,‎ ‎∴∠B′AD=45°﹣15°=30°,‎ ‎∴在Rt△AB′D中,B′D=AB′•tan30°=3×=,‎ ‎∴S△AB′D=AB′•B′D=×3×=,‎ ‎∴阴影部分的面积=×3×3﹣=﹣;‎ 故答案为:﹣.‎ ‎【点评】此题考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质、三角函数.此题难度不大,注意掌握旋转前后图形的对应关系,注意掌握数形结合思想的应用.‎ ‎ ‎ 三.解答题(一)(本大题3小题,每题6分,共18分)‎ ‎17.计算:()﹣2﹣|﹣1|﹣()0+2cos60°.‎ ‎【分析】原式第一项利用负整数指数幂法则计算,第二项利用绝对值的代数意义化简,第三项利用零指数幂法则计算,最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果.‎ ‎【解答】解:原式=4﹣1﹣1+1=3.‎ ‎【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎18.先化简,再求值:(x+1)2+x(x﹣2),其中x=.‎ ‎【分析】先对所求的式子化简,然后再将x=代入化简后的式子求值即可解答本题.‎ ‎【解答】解:(x+1)2+x(x﹣2)‎ ‎=x2+2x+1+x2﹣2x ‎=2x2+1,‎ 当x=时,‎ 原式==+1=.‎ ‎【点评】本题考查整式的混合运算﹣﹣化简求值,解题的关键是明确整式的混合运算的计算方法,会分母有理化.‎ ‎ ‎ ‎19.已知:在△ABC中,AB=AC.‎ ‎(1)尺规作图:作△ABC的角平分线AD,延长AD至E点,使得DE=AD;(不要求写作法,保留作图痕迹)‎ ‎(2)在(1)的条件下,连接BE,CE,求证:四边形ABEC是菱形.‎ ‎【分析】(1)直接利用角平分线的作法得出E点位置进而得出答案;‎ ‎(2)利用菱形的判定方法得出答案.‎ ‎【解答】(1)解:如图所示:AD,DE为所求; ‎ ‎(2)证明:∵AB=AC,AD平分∠CAB,‎ ‎∴CD=BD,AD⊥BC,‎ ‎∵AD=DE,‎ ‎∴四边形ABEC是菱形.‎ ‎【点评】此题主要考查了菱形的判定以及复杂作图,正确把握菱形的判定方法是解题关键.‎ ‎ ‎ 四.解答题(二)(本大题3小题,每小题7分,共21分)‎ ‎20.如图,一条光纤线路从A地到B地需要经过C地,图中AC=40千米,‎ ‎∠CAB=30°,∠CBA=45°,因线路整改需要,将从A地到B地之间铺设一条笔直的光纤线路.‎ ‎(1)求新铺设的光纤线路AB的长度;(结果保留根号)‎ ‎(2)问整改后从A地到B地的光纤线路比原来缩短了多少千米?(结果保留根号)‎ ‎【分析】(1)过C作CD⊥AB,交AB于点D,利用∠CAD的正弦和余弦分别求出CD、AD,再利用∠CBA的正切求出BD,然后根据AB=AD+BD计算即可得解;‎ ‎(2)利用勾股定理列式求出BC,然后列式计算即可得解.‎ ‎【解答】解:(1)过C作CD⊥AB,交AB于点D,‎ 在Rt△ACD中,CD=AC•sin∠CAD=AC•sin30°=40×=20(千米),‎ AD=AC•cos∠CAD=AC•cos30°=40×=20(千米),‎ 在Rt△BCD中,BD====20(千米),‎ ‎∴AB=AD+DB=20+20=20(+1)(千米),‎ 则新铺设的光纤线路AB的长度20(+1)(千米);‎ ‎(2)在Rt△BCD中,根据勾股定理得:BC===20(千米),‎ 所以AC+CB﹣AB=40+20﹣20(+1)=20(1+﹣)(千米),‎ 则整改后从A地到B地的光纤线路比原来缩短了20(1+﹣)千米.‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用,主要利用了锐角三角函数,作辅助线构造出直角三角形是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎21.某超市用5 000元购进一批新品种的苹果进行试销,由于销售状况良好,超市又调拨11 000元资金购进该品种苹果,但这次的进货价比试销时每千克多了0.5元,购进苹果数量是试销时的2倍.‎ ‎(1)试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元?‎ ‎(2)如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价出售,当大部分苹果售出后,余下的苹果定价为4元,超市在这两次苹果销售中的盈利不低于4 100元,那么余下的苹果最多多少千克?‎ ‎【分析】(1)设试销时该品种苹果的进货价是每千克x元,则实际进货价为(0.5+x)元,根据这次购进苹果数量是试销时的2倍,列方程求解;‎ ‎(2)设余下的苹果为y千克,求出总购进的苹果数量,根据超市在这两次苹果销售中的盈利不低于4 100元,列不等式求解.‎ ‎【解答】解:(1)设试销时该品种苹果的进货价是每千克x元,则实际进货价为(0.5+x)元,‎ 由题意得,×2=,‎ 解得:x=5,‎ 经检验,x=5是原分式方程的解,且符合题意,‎ 答:试销时该品种苹果的进货价是每千克5元;‎ ‎(2)由(1)得,总共购进苹果:5000÷5×3=3000(kg),‎ 设余下的苹果为y千克,‎ 由题意得,7+4y﹣5000﹣11000≥4 100,‎ 解得:y≤300.‎ 答:余下的苹果最多为300千克.‎ ‎【点评】本题考查了一元一次不等式和分式方程的应用,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列方程求解,注意检验.‎ ‎ ‎ ‎22.某学校为了增强学生体质,决定开设以下体育课外活动项目:A.篮球 B.乒乓球C.羽毛球 D.足球,为了解学生最喜欢哪一种活动项目,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图,请回答下列问题:‎ ‎(1)这次被调查的学生共有 200 人;‎ ‎(2)请你将条形统计图(2)补充完整;‎ ‎(3)在平时的乒乓球项目训练中,甲、乙、丙、丁四人表现优秀,现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛,求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答)‎ ‎【分析】(1)由喜欢篮球的人数除以所占的百分比即可求出总人数;‎ ‎(2)由总人数减去喜欢A,B及D的人数求出喜欢C的人数,补全统计图即可;‎ ‎(3)根据题意列出表格,得出所有等可能的情况数,找出满足题意的情况数,即可求出所求的概率.‎ ‎【解答】解:(1)根据题意得:20÷=200(人),‎ 则这次被调查的学生共有200人;‎ ‎(2)补全图形,如图所示:‎ ‎(3)列表如下:‎ 甲 乙 丙 丁 甲 ‎﹣﹣﹣‎ ‎(乙,甲)‎ ‎(丙,甲)‎ ‎(丁,甲)‎ 乙 ‎(甲,乙)‎ ‎﹣﹣﹣‎ ‎(丙,乙)‎ ‎(丁,乙)‎ 丙 ‎(甲,丙)‎ ‎(乙,丙)‎ ‎﹣﹣﹣‎ ‎(丁,丙)‎ 丁 ‎(甲,丁)‎ ‎(乙,丁)‎ ‎(丙,丁)‎ ‎﹣﹣﹣‎ 所有等可能的结果为12种,其中符合要求的只有2种,‎ 则P==.‎ ‎【点评】此题考查了条形统计图,扇形统计图,以及列表法与树状图法,弄清题意是解本题的关键.‎ ‎ ‎ 五.解答题(三)(本大题3小题,每小题9分,共27分)‎ ‎23.如图,抛物线y=﹣x2+3x+4交x轴于A、B两点(点A在B左边),交y轴于点C.‎ ‎(1)求A、B两点的坐标;‎ ‎(2)求直线BC的函数关系式;‎ ‎(3)点P在抛物线的对称轴上,连接PB,PC,若△PBC的面积为4,求点P的坐标.‎ ‎【分析】(1)令y=0得﹣x2+3x+4=0解得方程的解即为A、B两点坐标;‎ ‎(2)令x=0,解得抛物线y=﹣x2+3x+4与y轴交点C的坐标,设直线BC的函数关系式y=kx+b,解得k和b的值即可得出直线BC的函数关系式; ‎ ‎(3)求得抛物线y=﹣x2+3x+4的对称轴,设对称轴与直线BC的交点记为D,求得D点坐标,设点P的坐标,表示出PD,再根据三角形的面积公式得出点P的坐标.‎ ‎【解答】解:(1)由﹣x2+3x+4=0解得x=﹣1或x=4,‎ 所以A、B两点坐标为(﹣1,0)和(4,0); ‎ ‎(2)抛物线y=﹣x2+3x+4与y轴交点C坐标为(0,4),由(1)得,B(4,0),‎ 设直线BC的函数关系式y=kx+b,‎ ‎∴,‎ 解得,‎ ‎∴直线BC的函数关系式为y=﹣x+4; ‎ ‎(3)抛物线y=﹣x2+3x+4的对称轴为x=,‎ 对称轴与直线BC的交点记为D,则D点坐标为(,).‎ ‎∵点P在抛物线的对称轴上,‎ ‎∴设点P的坐标为(,m),‎ ‎∴PD=|m﹣|,‎ ‎∴S△PBC=OB•PD=4.‎ ‎∴×4×|m﹣|=4,‎ ‎∴m=或m=.‎ ‎∴点P的坐标为(,)或(,).‎ ‎【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题,待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的性质,是一道综合性的题目,难度不大,是中考的常见题型.‎ ‎ ‎ ‎24.如图,AB切⊙O于点B,AD交⊙O于点C和点D,点E为的中点,连接OE交CD于点F,连接BE交CD于点G.‎ ‎(1)求证:AB=AG;‎ ‎(2)若DG=DE,求证:GB2=GC•GA;‎ ‎(3)在(2)的条件下,若tanD=,EG=,求⊙O的半径.‎ ‎【分析】(1)由AB为⊙O切线,得到OB⊥AB,根据垂径定理得到OE⊥CD,根据等腰三角形的性质得到∠OBG=∠OEG,等量代换得到∠ABG=∠BGA,即可得到结论;‎ ‎(2)根据等腰三角形的性质得到∠DGE=∠DEG,根据已知条件得到∠A=∠D,等量代换得到∠GBC=∠A,推出△GBC∽△GAB,根据相似三角形的性质即可得到结论;‎ ‎(3)在Rt△DEF中,tanD=,设EF=3x,则DF=4x,由勾股定理得DE=5x,根据勾股定理列方程得到x=1,设⊙O半径为r,根据勾股定理列方程即可得到结论.‎ ‎【解答】(1)证明:如图,连接OB.‎ ‎∵AB为⊙O切线,‎ ‎∴OB⊥AB,‎ ‎∴∠ABG+∠OBG=90°,‎ ‎∵点E为的中点,‎ ‎∴OE⊥CD,‎ ‎∴∠OEG+∠FGE=90°,‎ 又∵OB=OE,‎ ‎∴∠OBG=∠OEG,‎ ‎∴∠ABG=∠FGE,‎ ‎∵∠BGA=∠FGE,‎ ‎∴∠ABG=∠BGA,‎ ‎∴AB=AG;‎ ‎(2)证明:连接BC,‎ ‎∵DG=DE,‎ ‎∴∠DGE=∠DEG,‎ 由(1)得∠ABG=∠BGA,‎ 又∵∠BGA=∠DGE,‎ ‎∴∠A=∠D,‎ ‎∵∠GBC=∠D,‎ ‎∴∠GBC=∠A,‎ ‎∵∠BGC=∠AGB,‎ ‎∴△GBC∽△GAB,‎ ‎∴,‎ ‎∴GB2=GC•GA;‎ ‎(3)连接OD,在Rt△DEF中,tanD=,‎ ‎∴设EF=3x,则DF=4x,由勾股定理得DE=5x,‎ ‎∵DG=DE,‎ ‎∴DG=5x,‎ ‎∴GF=DG﹣DF=x.‎ 在Rt△EFG中,由勾股定理得GF2+EF2=EG2,‎ 即(3x)2+x2=()2,解得x=1,‎ 设⊙O半径为r,在Rt△ODF中,OD=r,OF=r﹣3x=r﹣3,DF=4x=4,‎ 由勾股定理得:OF2+FD2=OD2,即(r﹣3)2+(4)2=r2,‎ 解得r=,‎ ‎∴⊙O的半径为.‎ ‎【点评】本题考查了切线的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,等腰三角形的性质,垂径定理,连接BC构造相似三角形是解决(2)的关键.‎ ‎ ‎ ‎25.有一副直角三角板,在三角板ABC中,∠BAC=90°,∠C=60°,AB=6,在三角板DEF中,∠FDE=90°,∠E=45°,EF=6.将这副直角三角板按如图1所示位置摆放,点A与点F重合,点E、F、A、C在同一条直线上.现固定三角板ABC,将三角板DEF以每秒1个单位的速度沿边AC匀速运动,DF与AB相交于点M.‎ ‎(1)如图2,连接ME,若∠EMA=67.5°,求证:△DEM≌△AEM;‎ ‎(2)如图3,在三角板DEF移动的同时,点N从点C出发,以每秒2个单位长度的速度沿CB向点B匀速移动,当三角板DEF的顶点D移动到AB边上时,三角板DEF停止移动,点N也随之停止移动.连接FN,设四边形AFNB的面积为y,在三角板DEF运动过程中,y存在最小值,请求出y的最小值;‎ ‎(3)在(2)的条件下,在三角板DEF运动过程中,是否存在某时刻,使E、M、N三点共线,若存在,请直接写出此时AF的长;若不存在,请直接回答.‎ ‎【分析】(1)只要证明∠MED=∠MEA=22.5°,即可利用AAS证明△DEM≌△AEM.‎ ‎(2)如图2中,作FG⊥CB,垂足为G.设AF=x,则CN=2x,想办法构建二次函数,利用二次函数性质解决问题.‎ ‎(3)不存在.假设存在,推出矛盾即可.‎ ‎【解答】(1)证明:如图2中,∵∠EMA=67.5°,∠BAE=90°‎ ‎∴∠MEA=90°﹣∠EMA=90°﹣67.5°=22.5°,‎ ‎∴∠MED=∠DEA﹣∠EMA=45°﹣22.5°=22.5°=∠MEA,‎ 在△EMD和△EMA中,‎ ‎,‎ ‎∴△DEM≌△AEM.‎ ‎(2)解:如图2中,作FG⊥CB,垂足为G.设AF=x,则CN=2x.‎ 在Rt△ABC中,∠C=60°,AB=6,∴AC===2,‎ ‎∴CF=2﹣x,‎ 在Rt△CFG中,FG=CF•sin60°=2﹣x)•=3﹣x,‎ ‎∴y=S△ABC﹣S△CFN=AC•AB﹣CN•FG,‎ ‎=•2×6﹣•2x•(3﹣x)‎ ‎=x2﹣3x+6‎ ‎=(x﹣)2+,‎ ‎∴y的最小值为.‎ ‎(3)不存在.理由:‎ 解:如图3中,作NH⊥NH于H.‎ 当E、M、N共线时,∵NH∥AM,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ 解得t=﹣2,不合题意.‎ ‎∴不存在某时刻,使E、M、N三点共线.‎ ‎【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、二次函数、勾股定理、平行线性质等知识,灵活运用这些知识是解题的关键,学会条件辅助线构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.‎ ‎ ‎ ‎2016年6月17日
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