2019届二轮复习矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式选讲学案（全国通用）
矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式选讲
高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)常见的平面变换与矩阵的乘法运算、二阶矩阵的逆矩阵及其求法、矩阵的特征值与特征向量的求法，属B级要求；(2)直线、曲线的极坐标方程、参数方程、参数方程与普通方程的互化、极坐标与直角坐标的互化，属B级要求；(3)含绝对值不等式的解法、不等式证明的基本方法、利用不等式性质求最值以及几个重要不等式的应用，属B级要求.
真 题 感 悟
1.(2018·江苏卷)已知矩阵A＝.
(1)求A的逆矩阵A－1；
(2)若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′(3，1)，求点P的坐标.
解 (1)因为A＝，det(A)＝2×2－1×3＝1≠0，
所以A可逆，从而A－1＝.
(2)设P(x，y)，则＝，所以＝A－1＝，
因此， 点P的坐标为(3，－1).
2.(2017·江苏卷)已知矩阵A＝，B＝.
(1)求AB；
(2)若曲线C1：＋＝1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程.
解 (1)AB＝＝.
(2)设P(x1，y1)是曲线C1上任意一点，变换后对应的点为＝，
所以即因为P(x1，y1)在曲线C1上，所以＋＝1，
从而x2＋y2＝8，即为曲线C2的方程.
3.(2018·江苏卷)在极坐标系中，直线l的方程为ρsin＝2，曲线C的方程为ρ＝4cos θ，求直线l被曲线C截得的弦长.
解 因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，
所以曲线C是圆心为(2，0)，直径为4的圆.
因为直线l的极坐标方程为ρsin＝2，则直线l过A(4，0)，倾斜角为，
所以A为直线l与圆C的一个交点.设另一个交点为B，则∠OAB＝.
连接OB.因为OA为直径，从而∠OBA＝，所以AB＝4cos ＝2.
因此，直线l被曲线C截得的弦长为2.
4.(2017·江苏卷)在平面坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值.
解 由消去t.得l的普通方程为x－2y＋8＝0，
因为点P在曲线C上，设点P(2s2，2s).
则点P到直线l的距离d＝＝，
∴当s＝时，d有最小值＝.
5.(2018·江苏卷)若x，y，z为实数，且x＋2y＋2z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值.
解 由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋22)≥(x＋2y＋2z)2.
因为x＋2y＋2z＝6，所以x2＋y2＋z2≥4，
当且仅当＝＝时，不等式取等号，此时x＝，y＝，z＝，
所以x2＋y2＋z2的最小值为4.
6.(2017·江苏卷)已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明ac＋bd≤8.
证明 由柯西不等式可得(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，
即(ac＋bd)2≤4×16＝64，故ac＋bd≤8.
考 点 整 合
1.矩阵的乘法与逆矩阵、矩阵变换
2.二阶矩阵的特征值和特征向量
(3)如果λ是二阶矩阵M的特征值，则λ是M的特征多项式的一个根，它满足f(λ)＝0，此时将λ代入可得到一组非零解)，它即为M的属于λ
的一个特征向量.
3.直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，
则
4.(1)直线的参数方程
经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数).
设P是直线上的任一点，则t表示有向线段的数量.
(2)圆的参数方程
圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π).
5.含有绝对值的不等式的解法
(1)|f(x)|>a(a>0)f(x)>a或f(x)<－a；
(2)|f(x)|
0)－a0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
解 (1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2(a＞0)，C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆.
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为
ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，
由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，
从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)，a＝1.
a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上.所以a＝1.
热点三 参数方程
[考法1] 参数方程与普通方程的互化
【例3－1】 (2018·南通、扬州、淮安等七市调研)在平面直角坐标系xOy，已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数，r＞0)，若直线l被圆C截得的弦长为4，求r的值.
解 直线l的普通方程为4x＋3y－15＝0，圆C的普通方程为x2＋y2＝r2.
因为圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝3，
又直线l被圆C截得的弦长为4，所以r＝＝.
探究提高 参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围.
[考法2] 直线的参数方程
【例3－2】 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数).
在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝2sin θ.
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，)，求PA＋PB.
解 法一 (1)由ρ＝2sin θ，得x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－)2＝5.
(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得＋＝5，
即t2－3t＋4＝0.由于Δ＝(－3)2－4×4＝2>0，
故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以又直线l过点P(3，)，
故由上式及t的几何意义得PA＋PB＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.
法二 (1)同法一.
(2)因为圆C的圆心为(0，)，半径r＝，直线l的普通方程为：y＝－x＋3＋.
由得x2－3x＋2＝0.解得： 或
不妨设A(1，2＋)，B(2，1＋)，又点P的坐标为(3，).
故PA＋PB＝＋＝3.
探究提高 过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为(t为参数)，t的几何意义是的数量，即|t|表示P0到P的距离，t有正负之分.使用该式时直线上任意两点P1，P2对应的参数分别为t1，t2，则P1P2＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1＋t2).
【训练3】 (2014·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，求线段AB的长.
解 将直线l的参数方程代入抛物线方程y2＝4x，
得＝4，解得t1＝0，t2＝－8.所以AB＝|t1－t2|＝8.
热点四 绝对值不等式
【例4】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.
①当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；
②若f(x)≤1，求a的取值范围.
(2)(2018·镇江期末)已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋a|，若对任意x∈R，不等式f(x)＞a2－3恒成立，求实数a的取值范围.
解 (1)①当a＝1时，f(x)＝
可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}.
②f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.
而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2或x＝－a时等号成立(最小值能取到).
故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.
所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞).
(2)因为对任意x∈R，不等式f(x)＞a2－3恒成立，所以f(x)min＞a2－3.
又|x－a|＋|x＋a|≥|x－a－(x＋a)|＝|2a|，所以|2a|＞a2－3，①
法一 (将|a|作为整体)即|a|2－2|a|－3＜0，解得－1＜|a|＜3.
所以－3＜a＜3.∴a∈(－3，3).
法二 (先去绝对值符号)①式等价于2a＞a2－3，②
或2a＜－a2＋3，③
由②得－1＜a＜3，
由③得－3＜a＜1，
所以，－3＜a＜3.∴a∈(－3，3).
探究提高 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：
①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.
(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法.(3)解答含有绝对值不等式的恒成立、存在性问题时，通常将其转化为分段函数，再求分段函数的最值，从而求出所求参数的值.
【训练4】 已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集；
(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围.
解 (1)f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝
由f(x)≥1可得
①当x≤－1时显然不满足题意；
②当－10，b>0，且a3＋b3＝2.
证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；
(2)a＋b≤2.
证明 (1)∵a>0，b>0且a3＋b3＝2.
由柯西不等式，得(a＋b)(a5＋b5)≥(＋)2＝(a3＋b3)2＝4.
当且仅当ab5＝ba5，即a＝b＝1时等号成立.因此(a＋b)(a5＋b5)≥4.
(2)∵a3＋b3＝2，∴(a＋b)(a2－ab＋b2)＝2，即(a＋b)[(a＋b)2－3ab]＝2.
所以(a＋b)3－2＝3ab(a＋b)，又ab≤＝，
∴(a＋b)3－2≤(a＋b)3，则(a＋b)3≤2.
从而a＋b≤2当且仅当a＝b＝1时等号成立.
1.矩阵与变换主要掌握二阶矩阵与平面变换、二阶矩阵的逆矩阵及其求法以及特征值与特征向量的应用.
2.(1)化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数(代入消去法、加减消去法、恒等式消去法等)；化普通方程为参数方程基本思路是引入一种关系，引入参数；
(2)参数方程和极坐标方程的简单应用：求几何图形的面积、曲线的轨迹方程或研究某些函数的最值问题.
3.(1)对于绝对值不等式的求解或含参问题的求解一般采用零点分段法，也可利用图象求解；
(2)在运用柯西不等式进行求解或证明时，注意对条件进行“形变”，符合柯西不等式的结构，再加以运用.
1.(2013·江苏卷)已知矩阵A＝，B＝，求矩阵A－1B.
解 设矩阵A的逆矩阵为，则＝，
即＝，故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝，
从而A的逆矩阵为A－1＝，所以A－1B＝＝.
2.(2015·江苏卷)已知x，y∈R，向量α＝是矩阵A＝的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值.
解 由已知，得Aα＝－2α，即＝＝，
则即所以矩阵A＝.
从而矩阵A的特征多项式f(λ)＝(λ＋2)(λ－1)，
所以矩阵A的另一个特征值为1.
3.(2015·江苏卷)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，求圆C的半径.
解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.
圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ－4＝0，
化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.
则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为.
4.(2018·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率.
解 (1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.
当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α，
当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，
所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.
又由①得t1＋t2＝－，
故2cos α＋sin α＝0，于是直线l的斜率k＝tan α＝－2.
5.(2016·江苏卷)设a＞0，＜，|y－2|＜，求证：|2x＋y－4|＜a.
证明 由a＞0，|x－1|＜可得|2x－2|＜，又|y－2|＜，
∴|2x＋y－4|＝|(2x－2)＋(y－2)|≤|2x－2|＋|y－2|＜＋＝a.
则|2x＋y－4|＜a成立.
6.(2018·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.
(1)画出y＝f(x)的图象；
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值.
解 (1)f(x)＝
y＝f(x)的图象如图所示.
(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，
故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)上成立，
因此a＋b的最小值为5.
