2019届二轮复习圆锥曲线的综合问题学案（全国通用）

2019届二轮复习圆锥曲线的综合问题学案（全国通用）

【考纲解读】 考点 考纲内容 5 年统计 分析预测 圆锥 曲线 的综 合问 题 （1）会解决直线与椭 圆、抛物线的位置关系 的问题. (2) 了解方程与曲线的 对应关系和求曲线方 程的基本方法. （3）理解数形结合、 用代数方法处理几何 问题的思想.了解圆锥 曲线的简单应用. 2014•浙江文 17,22； 2015•浙江文 19；理 19； 2016•浙江文 19；理 19； 2017•浙江 21； 2018•浙江 21. 1.圆锥曲线是历年高考命题的重点和热点， 也是一大难点．命题的热点主要有四个方面： 一是直线和圆锥曲线的位置关系中的基本运 算；二是最值与范围问题；三是定点与定值 问题；四是有关探究性的问题． 2.命题多与函数、方程、不等式、数列、向 量等多种知识综合，考查考生的各种数学思 想与技能. 3.备考重点： (1)掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义、 标准方程、几何性质；学 ] （2）熟练掌握常见直线与圆锥曲线综合问题 题型的解法； （3）利用数形结合思想，灵活处理综合问题. 【知识清单】 1. 圆锥曲线中的定点、定值问题 圆锥曲线中定值、定点问题的求解方法 圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长、短轴，双曲线的虚、实轴， 抛物线的焦参数等．定值问题的求解与证明类似，在求定值之前，已经知道定值的结果(题中未告知，可用 特殊值探路求之)，解答这类题要大胆设参，运算推理，到最后参数必清，定值显现． 2. 圆锥曲线中的最值与范围问题 与圆锥曲线相关的最值、范围问题综合性较强，解决的方法：一是由题目中的限制条件求范围，如直线与 圆锥曲线的位置关系中 Δ 的范围，方程中变量的范围，角度的大小等；二是将要讨论的几何量如长度、面 积等用参数表示出来，再对表达式进行讨论，应用不等式、三角函数等知识求最值，在解题过程中注意向 量、不等式的应用． 3.圆锥曲线中的探索性问题 探索性问题的求解方法：先假设成立，在假设成立的前提下求出与已知、定理或公理相同的结论，说明结 论成立，否则说明结论不成立．处理这类问题，一般要先对结论做出肯定的假设，然后由此假设出发，结 合已知条件进行推理论证．若推出相符的结论，则存在性随之解决；若推出矛盾，则否定了存在性；若证 明某结论不存在，也可以采用反证法． 【重点难点突破】 考点 1 圆锥曲线中的定点、定值问题 【1-1】【2018 年理北京卷】已知抛物线 C： =2px 经过点 （1，2）．过点 Q（0，1）的直线 l 与抛物线 C 有 两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N． （Ⅰ）求直线 l 的斜率的取值范围； （Ⅱ）设 O 为原点， ， ，求证： 为定值． 【答案】(1) 取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）；(2)证明过程见解析. 【解析】 直线 PA 的方程为 y–2= ． 令 x=0，得点 M 的纵坐标为 ． 同理得点 N 的纵坐标为 ． 由 ， 得 ， ． 所以 ． ] 所以 为定值． 【1-2】【2018 届安徽省淮南市二模】已知抛物线 的顶点在原点，焦点在 轴上，且抛物线上有一点 到焦点的距离为 6. (1)求该抛物线 的方程； (2)已知抛物线上一点 ，过点 作抛物线的两条弦 和 ，且 ，判断直线 是否过定点， 并说明理由. 【答案】（1） ；（2）过定点 【解析】 所以直线 的方程为 化简的 . ] 直线 过定点 . 【领悟技法】 定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉 及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定 值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 【触类旁通】 【变式一】【2018 届河南省漯河市高级中学高三上期中】在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ，如图所示，斜率为 且不过原点的直线 交椭圆 于两点 ，线段 的中点为 ，射线 交椭圆 于点 ，交直线 于点 . xOy 2 2: 13 xC y+ = ( 0)k k > l C ,A B AB E OE C G 3x = − ( )3,D m− （1）求 的最小值； （2）若 ，求证：直线 过定点. 【答案】（1） .（2）见解析 由方程组 ，得 ， 由题意 ，所以 ， 设 ， 2 2m k+ 2OG OD OE= ⋅ l 2 2 2{ 13 y kx t x y = + + = ( )2 2 23 1 6 3 3 0k x ktx t+ + + − = 0∆ > 2 23 1k t+ > ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y ， 由 ，得 ， 因此直线 的方程为 ，所以直线 恒过定点 . 【变式二】【2018 届华大新高考联盟 4 月检测】已知抛物线 的焦点为 ， 的三个顶点都在抛物 线上，且 . （1）证明: 两点的纵坐标之积为定值； （2）设 ，求 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2） . 【解析】 2 2 2 22 2 3 9 1 3 13 1 3 1 kt t t kOE kk k     += − + =    ++ +    2OG OD OE= ⋅ t k= l ( )1y k x= + l ( )1,0− 故 ， 故 的取值范围是 . 【综合点评】圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明 方法一般是采用直接法或反证法． 考点 2 圆锥曲线中的最值与范围问题 【2-1】【2018 届江苏省仪征中学高三 10 月检测】椭圆 C： 的长轴是短轴的两倍，点 在椭圆上.不过原点的直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点，设直线 OA、l、OB 的斜率分别为 、 、 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1P 3, 2      1k k ，且 、 、 恰好构成等比数列，记△ 的面积为 S. （1）求椭圆 C 的方程. （2）试判断 是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？ （3）求 S 的范围. 【答案】(1) （2）5（3） 【解析】 所以 ； 所以 所以 是定值为 5； （3） （ ，且 ） 所以 2k 1k k 2k ABO 2 2OA OB+ 2 2 14 x y+ = ( )0,1S ∈ ( )0,1S ∈ 【2-2】【2018 届浙江省嘉兴市第一中学高三 9 月测试】如图，已知抛物线 ，过直线 上任一点 作抛物线的两条切线 ，切点分别为 . （I）求证： ； （II）求 面积的最小值. 【答案】(1)见解析(2) 面积取最小值 【解析】 所以 综上，当 时， 面积取最小值 . 【综合点评】 1.(1)凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用韦达定理，避免求交点坐标的复杂运 算．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质． (2)对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图， 由图象结合几何性质做出解答．并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用． 2.解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，解决这类问题需要正确运用转化思 想、函数与方程思想、数学结合思想，其中运用最多的是利用方程根与系数关系构造等式或者函数关系式， 注意根的判别式来确定或者限制参数的范围． 【领悟技法】 圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最 值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； ②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系； ③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 【触类旁通】 【变式 1】【浙江省金华十校 2018 年 4 月高考模拟】已知抛物线 和 ： ，过抛物线 上的一点 ，作 的两条切线，与 轴分别相交于 ， 两点. （Ⅰ）若切线 过抛物线的焦点，求直线 斜率； （Ⅱ）求面积 的最小值. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） . 【解析】 从而 ， . 记函数 ，则 ， ， 的最小值为 ，当 取得等号. 【变式 2】【2018 届浙江省名校协作体高三上学期联考】如图，已知抛物线 的焦点在抛物线 上，点 是抛物线 上的动点． （Ⅰ）求抛物线 的方程及其准线方程； （Ⅱ）过点 作抛物线 的两条切线， 、 分别为两个切点，求 面积的最小值． 2 2 : 1C y x= + A B PAB∆ 【答案】(Ⅰ) 的方程为 其准线方程为 ；(Ⅱ)2. 所以 ，同理切线 的方程为 ， 又 和 都过 点，所以 ， 所以直线 的方程为 . 1C 2 4x y= 1y = − 1 12 2y x x y= + − PB 2 22 2y x x y= + − PA PB P 2 1 1 2 2 2 4 2 0{ 4 2 0 tx y t tx y t − + − = − + − = AB 24 2 0tx y t− + − = 联立 得 ，所以 . 考点 3 圆锥曲线中的探索性问题 【3-1】【2018 届广东省东莞市考前冲刺】在直角坐标系 中，已知抛物线 的焦点为 ，若 椭圆 ： 经过点 ，抛物线 和椭圆 有公共点 ，且 . （1）求抛物线 和椭圆 的方程； （2）是否存在正数 ，对于经过点 且与抛物线 有 两个交点的任意一条直线，都有焦点 在以 为直径的圆内？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） , （2） 【解析】 （1）因为抛物线 经过点 ，且 . 所以 ，解得 ，所以抛物线 ，焦点 ， 由题意知 解得 所以椭圆 ： 2 2 4 2{ 1 y tx t y x = + − = + 2 24 1 0x tx t− + − = 1 2 2 1 2 4{ 1 x x t x x t + = ⋅ = − 【3-2】【【2018 届陕西省榆林市第二中学高三上学期期中】已知椭圆 的左右焦点 分别为 ，离心率为 ；圆 过椭圆 的三个顶点.过点 且斜率不为 0 的直线与椭圆 交于 两点. （Ⅰ）求椭圆 的标准方程； （Ⅱ）证明：在 轴上存在定点 ，使得 为定值；并求出该定点的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 （Ⅰ）依题意，不妨设圆 过椭圆 的上、下、右三个顶点， 令 ，解得 ，故 ， 又 ， . 要使其为定值，需满足 ， 解得 . 故定点 的坐标为 . 【领悟技法】 解析几何中存在性问题的求解方法： 1．通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化，其步骤为：假设满足条件的元素（点、直线、曲线 或参数）存在，用待定系数法设出，列出关于特定参数的方程组，若方程组有实数解，则元素（点、直线、 曲线或参数）存在，否则（点、直线、曲线或参数）不存在． 2．反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法． 【触类旁通】 【变式一】【2018 届广西柳州市高三上学期摸底】已知过抛物线 的焦点 ，斜率为 的直线交抛物线于 两点，且 . （1）求该抛物线 的方程； （2）已知抛物线上一点 ，过点 作抛物线的两条弦 和 ，且 ，判断直线 是否过定点？并说明理由. 【答案】（1） （2） 【解析】 设 ，则 . ∵ ( )2: 2 0C y px p= > F 2 ( ) ( )( )1 1 2 2 1 2, , ,A x y B x y x x< 6AB = C ( ),4M t M MD ME MD ME⊥ DE 2 4y x= ( )8, 4− ( ) ( )1 1 2 2, , ,D x y E x y 1 2 1 24 , 4y y m y y t+ = = − ( ) ( )1 1 2 24, 4 4, 4MD ME x y x y⋅ = − − ⋅ − − ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 24 16 4 16x x x x y y y y= − + + + − + + 【变式二】【2018 届云南省大理市云南师范大学附属中学月考卷二】已知点 为圆 上一动点， 轴于点 ，若动点 满足 （其中 为非零常数） （1）求动点 的轨迹方程； （2）若 是一个中心在原点，顶点在坐标轴上且面积为 8 的正方形，当 时，得到动点 的轨迹为曲线 ，过点 的直线与曲线 相交于 两点，当线段 的中点落在正方形 内（包括边界）时，求直线斜 率的取值范围. 【答案】(1) ,(2) . 【解析】 （Ⅰ）设动点 ，则 ，且 ，① 又 ，得 ， 代入①得动点 的轨迹方程为 ． （Ⅱ）当 时，动点 的轨迹曲线 为 ． 直线的斜率存在，设为 ，则直线的方程为 ，代入 ， 得 ， 考点 4 直线、圆及圆锥曲线的交汇问题 【4-1】【2018 届重庆市三诊】已知椭圆 的离心率为 ，且右焦点与抛物线 的焦点重合. （1）求椭圆的 的方程； （2）设点 为圆 上任意一点，过 作圆 的切线与椭圆 交于 两点，证明：以 为直径的圆经 过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 （1）由题意有： ； （2）由对称性，猜测该定点为 ，设该切线方程为 ， 则有 ， 联立方程有： ， ， 所以 ，即原点以在 为直径的圆上. 【4-2】已知圆 M：(x＋1)2＋y2=1，圆 N：(x－1)2＋y2=9，动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹 为曲线 C （Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ）l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆 P 的半径最长时，求|AB|. 【答案】（1） ；（2） . 【领悟技法】 直线、圆及圆锥曲线的交汇问题，要认真审题，学会将问题拆分成基本问题，然后综合利用数形结合思想、 化归与转化思想、方程的思想等来解决问题，这样可以渐渐增强自己解决综合问题的能力． 【触类旁通】 ] 【变式一】【2018 届江西省南昌市上学期高三摸底】已知椭圆 的离心率为 ， 短轴长为 2. （1）求椭圆 的标准方程； 2 2 1( 2)4 3 x y x+ = ≠ 18 7AB = 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 3 2 C （2）设直线 与椭圆 交于 两点， 为坐标原点，若 ， 求证：点 在定圆上. 【答案】（1）椭圆 的标准方程为 （2）证明见解析 【解析】 由①②得 . ∴点 在定圆 上.（没有求 范围不扣分） 【变式二】【2018 届浙江省杭州市学军中学模拟】 是抛物线 的焦点， 是抛物线 上位于 第一象限内的任意一点，过 三点的圆的圆心为 ，点 到抛物线 的准线的距离为 . :l y kx m= + C ,M N O 5 4OM ONk k⋅ = ( ),m k C 2 2 14 x y+ = 2 26 1 50 ,5 20 4m k≤ < < ≤ ( ),m k 2 2 5 4x y+ = k （Ⅰ）求抛物线 的方程； （Ⅱ）若点 的横坐标为 ，直线 与抛物线 有两个不同的交点 与圆 有两个不同的交点 ，求当 时， 的最小值. 【答案】(1) .(2) . 【解析】 ∴ 令 ，则 ∴ 令 ，则 ∴ 时 . 【易错试题常警惕】 易错典例： 中，B，C 坐标分别为（-3，0），（3， 0），且三角形周长为 16，求点 A 的轨迹方程． 易错分析：没注意检验曲线上的点是否都满足题意． 温馨提示：1.要注意完备性和纯粹性的检验． 2.求轨迹方程的常用方法 (1)直接法：直接利用条件建立 x，y 之间的关系 F(x，y)＝0. (2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程． (3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程． (4)代入(相关点)法：动点 P(x，y)依赖于另一动点 Q 的变化而运动，常利用代入法求动点 P(x，y)的 轨迹方程． 【学 素养提升之思想方法篇】 ----数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想 我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休.""数"与"形"反映了事物两个方面的属 性.我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系.数形结合就是把抽象的数学语言、数量 关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的 结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的. 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互 转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点： 第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几 何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化； ABC∆ 0 0( )x y， 第三是正确确定参数的取值范围. 【典例】【2018 届河南省长葛一高高三上学期开学】如图，已知抛物线 ，圆 ，过抛物线 的焦点 且与 轴平行的直线与 交于 两点，且 . （1）证明：抛物线 与圆 相切； （2）直线过 且与抛物线 和圆 依次交于 ，且直线的斜率 ，求 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2） ． 【解析】 ∴ ，