【数学】天津市和平区第一中学2019-2020学年高一下学期期末考试试题（解析版）

【数学】天津市和平区第一中学2019-2020学年高一下学期期末考试试题（解析版）

天津市和平区第一中学2019-2020学年 高一下学期期末考试试题 一、选择题 ‎1.若复数对应复平面内的点，且，则复数的虚部为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，由得，‎ ‎∴复数的虚部为，‎ 故选：C.‎ ‎2.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（　　）‎ A. 若,,则 B. 若，,则 C. 若,,则 D. 若,,则 ‎【答案】C ‎【解析】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则：‎ 在A中，若，，则与相交或平行，故A错误；‎ 在B中，若，，则或，故B错误；‎ 在C中，若，，则由线面垂直的判定定理得，故C正确；‎ 在D中，若，，则与平行或，故D错误．‎ 故选C．‎ ‎3.设R，向量且，则( )‎ A. B. C. D. 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】向量且，‎ ‎，，‎ 从而，‎ 因此，‎ 故选C．‎ ‎4.某社区组织“学习强国”的知识竞赛，从参加竞赛的市民中抽出40人，将其成绩分成以下6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第2，3，4组中按分层抽样抽取8人，则第2，3，4组抽取的人数依次为（ ）‎ A. 1，3，4 B. 2，3，‎3 ‎C. 2，2，4 D. 1，1，6‎ ‎【答案】C ‎【解析】由图可知第2，3，4组的频率之比为0.15:0.15:0.3，所以频数之比为1:1:2，‎ 现采用分层抽样的方法，从第2，3，4组中按分层抽样抽取8人，所以第2，3，4组抽取的人数依次为2，2,4.‎ 故选：C.‎ ‎5.雕塑成了大学环境不可分割的一部分，有些甚至能成为这个大学的象征，在中国科学技术大学校园中就有一座郭沫若的雕像．雕像由像体和底座两部分组成．如图，在中，，在中，，且米，求像体的高度（ ）‎ ‎（最后结果精确到‎0.1米，参考数据：‎ ‎，，）‎ A. ‎‎4.0‎米 B. ‎4.2米 C. ‎4.3米 D. ‎‎4.4米 ‎【答案】B ‎【解析】在中，（米），‎ 在中，（米），‎ ‎（米）.‎ 故选：B.‎ ‎6.如图，O是△ABC的重心，=，=，D是边BC上一点，且=3，则（　　）‎ A B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图，延长AO交BC于E，由已知O为△ABC的重心，‎ 则点E为BC的中点，‎ 且 由3，得：D是BC的四等分点，‎ 则，‎ 故选A．‎ ‎7.在中,=分别为角对应边),则的形状为 A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 ‎【答案】B ‎【解析】由题可得=，所以.‎ 由此可知，该三角形是直角三角形，所以角C为直角.‎ 本题选择B选项.‎ ‎8.下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（ ）‎ A 掷一枚骰子一次，事件“出现偶数点”；事件“出现3点或6点”‎ B. 袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到白球”‎ C. 袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到黑球”‎ D. 甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件“从甲组中选出1名男生”，事件“从乙组中选出1名女生”‎ ‎【答案】C ‎【解析】对于选项A，事件发生与否与无关，同时，事件发生与否与无关，则事件与事件N是相互独立事件； ‎ 对于选项B，袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到白球”， 则事件发生与否与无关，同时，事件 发生与否与无关，则事件与事件是相互独立事件； ‎ 对于选项C，袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球， 事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到黑球”， 则事件发生与否和事件有关，故事件和事件与不是相互独立事件；‎ 对于选项D，甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件“从甲组中选出1名男生”，事件“从乙组中选出1名女生”， 则事件发生与否与无关，同时，事件发生与否与无关，则事件与事件是相互独立事件；‎ 故选：C.‎ ‎9.已知S，A，B，C是球O表面上的点，平面ABC，，，，则球O的体积等于　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】平面ABC，，，，面SAB，‎ 面SAB，，，中AC的中点O，‎ ‎，‎ 为球O的直径，又可求得，球O的半径，体积，‎ 故选B．‎ ‎10.已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，‎ ‎，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意知：，设 以与交点为原点，为轴，为轴建立如下图所示的平面直角坐标系：‎ ‎，，设 ‎ 则，‎ ‎ ‎ 当时，‎ 本题正确选项：D ‎ 二、填空题 ‎11.是虚数单位，则的值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】．‎ ‎12.掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为，事件表示“出现小于5的偶数点”，事件表示“出现小于5的点数”，则一次试验中，事件（表示事件的对立事件）发生的概率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意可知，事件与事件为互斥事件，且，，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎13.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设正方形的边长为，圆柱的底面半径为，则，，‎ 所以圆柱的全面积为，‎ 故全面积与侧面积之比为，填.‎ ‎14.在中，，，是的中点，是上一点，且，则的值是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】为的中点，，‎ ‎，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎15.在中，内角的对边分别是，若，，则____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，根据正弦定理：，可得 根据余弦定理：‎ 由已知可得：‎ 故可联立方程：，解得：.‎ 由，，故答案为：.‎ ‎16.在中，，，，，则______；设，且，则的值为______.‎ ‎【答案】 (1). 3 (2). ‎ ‎【解析】，、、三点共线，‎ ‎，‎ 两边平方得：，‎ ‎，‎ 解得：（舍去）．‎ ‎，，‎ 化简整理，得，‎ ‎，解得．‎ 故答案为：3，．‎ 三、解答题 ‎17.在中，内角、、的对边分别为，，，．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，．求：‎ ‎（ⅰ）边长；‎ ‎（ⅱ）的值．‎ ‎【解】（1）由已知及正弦定理得 ‎，，‎ ‎， ‎ ‎（2）（ⅰ）因为，，‎ 由余弦定理得，‎ ‎（ⅱ）由，因为为锐角，所以 ‎，，‎ ‎18.某校参加夏令营的同学有3名男同学和3名女同学，其所属年级情况如下表：‎ 高一年级 高二年级 高三三年级 男同学 女同学 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）‎ ‎（1）用表中字母写出这个试验的样本空间；‎ ‎（2）设为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，写出事件的样本点，并求事件发生的概率.‎ ‎【解】（1）这个试验的样本空间为：‎ ‎.‎ ‎（2）选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为；‎ ‎，，，，，共6种，‎ 因此事件发生的概率.‎ ‎19.如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，垂直于底面，.‎ ‎（1）求证；　‎ ‎（2）求平面与平面所成二面角的大小；‎ ‎（3）设棱的中点为，求异面直线与所成角的大小.‎ ‎【解】（1）∵底面是正方形， ∴，‎ ‎∵底面，底面，∴，又， ∴平面，∵平面，∴.‎ ‎（2）由（1）知，又，∴为所求二面角的平面角，‎ ‎　在中，∵，∴.‎ ‎（3）取中点，连结，‎ 在，由中位线定理得 ，‎ 或其补角是异面直线与所成角，‎ ‎∵，，‎ 所以中，有，.‎ ‎20.如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.‎ ‎（Ⅰ）求证：EG∥平面ADF；‎ ‎（Ⅱ）求二面角O−EF−C的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.‎ ‎【解】依题意，，如图，以为点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得，‎ ‎.‎ ‎（Ⅰ）证明：依题意，.‎ 设为平面的法向量，则，即.‎ 不妨设，可得，又，可得，‎ 又因为直线，所以.‎ ‎（Ⅱ）解：易证，为平面的一个法向量.‎ 依题意，.‎ 设为平面的法向量，则，即.‎ 不妨设，可得.‎ 因此有，于是，‎ 所以，二面角的正弦值为.‎ ‎（Ⅲ）解：由，得 因为，所以，进而有，‎ 从而，因此.‎ 所以，直线和平面所成角的正弦值为.‎